О существовании евклидовой структуры на узле восьмерка с мостом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2015. Том 22, № 4

УДК 514.123

О СУЩЕСТВОВАНИИ ЕВКЛИДОВОЙ СТРУКТУРЫ НА УЗЛЕ ВОСЬМЕРКА С МОСТОМ А. Д. Медных, Д. Ю. Соколова

Аннотация. Исследуются основные геометрические инварианты евклидова конического многообразия, сингулярным множеством которого является узел «восьмерка» с мостом, а носителем — трехмерная сфера. Получены условия существования указанного многообразия, вычислен его объем и длины сингулярных геодезических. Ключевые слова: коническое многообразие, евклидова структура, объем, узел «восьмерка».

A. D. Mednykh, D. Yu. Sokolova. On the existence of Euclidean structure on the figure eight knot with a bridge

Abstract: In the present paper the basic geometrical invariants are investigated for the cone-manifold whose underlying space is the three dimensional sphere and the singular set is formed by the figure eight knot with a bridge. The existence of Euclidean structure on the manifold under consideration is established. The volume and the lengths of its singular geodesics are calculated.

Keywords: cone-manifold, Euclidean structure, volume, the figure eight knot.

1. Введение

В классических работах Кебе [1] были доказаны теоремы об униформиза-ции римановых поверхностей с заданной сигнатурой. На современном языке это означает, что все «хорошие» двумерные орбифолды обладают универсальной накрывающей, представляющей собой единичный круг, комплексную плоскость, либо сферу Римана. С точки зрения геометрии последнее равносильно утверждению, что каждый «хороший» двумерный орбифолд обладает либо гиперболической, либо евклидовой, либо сферической структурой. Напомним, что орбифолд является «хорошим», если он не является сферой с одной особой точкой либо сферой с двумя особыми точками различных порядков. Аналогичное утверждение в трехмерном случае формулируется более сложно и носит название Гипотеза Геометризации Терстона. Она была полностью доказана в работах российского математика Г. Перельмана [2-4] и в качестве частного случая повлекла за собой решение знаменитой проблемы Пуанкаре.

Многообразия и орбифолды, обладающие геометрической структурой, можно представить в виде фактор-пространства Х/Г, где X — одна из известных

Работа первого автора выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 15—01—07906), второго автора — при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 16—31—00138).

© 2015 Медных А. Д., Соколова Д. Ю.

геометрий, а Г — дискретная группа изометрий, действующая на X в общем случае с неподвижными точками. В малых размерностях все возможные геометрии известны. В частности, в двумерном случае X = 82, Е2, Н2, в трехмерном случае это одна из восьми геометрий Терстона: X = 83, Е3, Н3,82 + Е1, Н2 + Е1,^,^, ¿^"(2, М).

Пусть X — одна из перечисленных трехмерных геометрий. Тогда образами неподвижных точек группы Г при каноническом отображении X ^ X/Г, как правило, является узел, зацепление или заузленный граф. Проиллюстрируем это лишь на одном примере [5]. Пусть X = Н3, а Г = Е2„, п > 4, — группа Фибоначчи, действующая изометриями на X. Тогда X/Г — трехмерная сфера, а образом неподвижных точек X в X/Г является узел «восьмерка».

Однако в общем случае наличие геометрических структур не обязательно связано с дискретными группами. В результате возникают конические многообразия, которые можно рассматривать как непосредственное обобщение орби-фолдов. В свою очередь, в определении конического многообразия, приведенного в следующем параграфе, потребуем лишь локальную униформизацию с помощью указанных выше геометрий.

Цель настоящей работы — изучение евклидовых структур на узлах и зацеплениях. В 1975 г. Райли [6] обнаружил примеры гиперболических структур на некоторых узлах и дополнениях зацеплений в трехмерной сфере. Позднее, весной 1977 г., Терстон представил теорему существования для римановой метрики постоянной отрицательной кривизны на трехмерных многообразиях. На практике оказалось, что дополнения всех простых узлов, исключая торические и сателлитные, допускают гиперболическую структуру. Отметим следующие известные результаты: евклидова структура на узле «восьмерка» 41 возникает, когда его конический угол а равен Щ-. Этот результат был получен Тер-стоном [7]. Явная конструкция фундаментального множества для конического многообразия 41(а) в Е3 была предложена в работе А. Д. Медных и А. А. Рас-сказова [8]. Это фундаментальное множество представляет собой невыпуклый двадцатигранник, вершины которого задаются целочисленными координатами. Вопрос существования евклидовой структуры на зацеплении Уайтхеда изучен в работе Р. Н. Шматкова [9]. В [10] было исследовано строение фундаментального многогранника для узла «трилистник» с мостом и даны условия существования евклидовой структуры соответствующего конического многообразия. В данной работе исследуем основные геометрические инварианты евклидова конического многообразия, сингулярным множеством которого является узел «восьмерка» с мостом, а носителем — трехмерная сфера. Мы установим условия существования такого многообразия, вычислим его объем и длины его сингулярных геодезических.

2. Предварительные сведения

Трехмерным коническим многообразием называется метрическое пространство, полученное из набора непересекающихся 3-симплексов в пространстве по-

стоянной секционной кривизны к путем изометрического отождествления их граней. При этом предполагается, что образованное в результате такого отождествления топологическое пространство (пространство-носитель) является многообразием.

Такое многообразие обладает римановой метрикой постоянной секционной кривизны к на объединении клеток размерностей 2 и 3. В случае к = 0 будем говорить, что соответствующее коническое многообразие имеет (или допускает) евклидову структуру. Аналогично определяются конические многообразия со сферической (к = +1) и гиперболической структурами (к = -1).

Метрическая структура вокруг каждой 1-клетки определяется коническим углом, который является суммой двугранных углов при ребрах, дающих после отождествления эту клетку.

Сингулярным множеством конического многообразия назовем замыкание всех 1-клеток, конический угол вокруг которых не равен 2п.

Следует отметить также, что точка сингулярного множества с коническим углом а имеет окрестность, изометричную окрестности точки, лежащей на ребре клина с углом раствора а, грани которого попарно отождествлены посредством поворота трехмерного пространства вокруг ребра клина. Наглядно коническое многообразие можно представить как трехмерное многообразие с вложенным в него графом, на котором происходит искажение метрики. При этом если измерить длину окружности бесконечно малого радиуса вокруг компоненты графа, вместо стандартного 2пе она будет равна ае, где а — конический угол вдоль компоненты графа.

Дадим определение группы голономий для геометрического орбифолда. Пусть (3 — геометрический орбифолд, обладающий (О, X)-структурой [7]. Рассмотрим ассоциированное с ним (О,Х)-многообразие М = (3 \ £, где £ — сингулярное множество орбифолда (3. Пусть области Ц,,^,... и отображения Фг : Ц ^ X задают локальные системы координат на М с функциями перехода

Ъз = фг ◦ ф-1 : (Ц п Ц) ^ фг(Ц П Ц).

По определению (С,Х)-многообразия каждое отображение 73 локально действует как элемент из О, так что 73 можно рассматривать как локально постоянное отображение со значениями в О. После композиции с ф3- получаем локально постоянное отображение Ц П Ц ^ О, которое будем также обозначать через 73.

Предположим теперь, что две карты (Цг,фг) и (Ц, ф3) покрывают одну и ту же точку ж. Тогда можно так изменить отображение ф3- (рассмотрев ее композицию с 7у), что оно будет совпадать с отображением фг вблизи точки ж. На самом деле, если пересечение ^ПЦ- связно, то эти отображения будут совпадать на всем пересечении, так что получится отображение Ц П Ц ^ X, продолжающее фг. Но, вообще говоря, пытаясь таким образом продолжить координатное отображение на все многообразие, придем к несогласующимся значениям. Для того чтобы избежать несогласованности, надо перейти к универсальной накрывающей.

Выберем отмеченную точку жо € М и карту (Цо,^о), покрывающую эту точку. Пусть п : М ^ М — универсальная накрывающая пространства М. Будем представлять М как пространство гомотопических классов путей в М с началом в отмеченной точке жо, и рассмотрим путь а, представляющий гомотопический класс [а] € М (так что а(1) = п([а])). Разобьем путь а промежуточными точками

жо = а(£о), Ж1 = а(^), ..., жп = а(4„)

(где ¿о = 0 и ¿1 = 1) таким образом, чтобы каждый из получившихся кусочков пути целиком покрывался какой-то одной картой (Ц^, Затем, двигаясь вдоль пути а, подправляем очередное отображение ^ так, чтобы оно совпало с (уже подправленными) отображением в некоторой окрестности ж^ € Щ-1 П Щ.

Эти согласованные друг с другом карты образуют аналитическое продолжение отображения <^о вдоль данного пути. Последнее из новых координатных отображений имеет вид

ф = 7о1(ж1)712(ж2) .. .7п-1,п(жп)^п. Фиксировав базисную точку и начальное отображение <^п, определим отображение развертки Б : М ^ X как отображение, заданное локально с помощью аналитического продолжения <^о вдоль каждого пути, т. е. Б = о п в некоторой окрестности ст € М. При изменении начальных условий (базисной точки и исходного отображения) образ отображения развертки меняется под действием некоторого элемента из группы С.

Если наделить пространство универсальной накрывающей (С, X)-структурой, индуцированной накрытием п, то отображение развертки является локальным (С, X)-гомеоморфизмом между М и X.

Хотя в наиболее интересных случаях группа С действует на X транзитив-но, это условие не является необходимым для определения отображения Б. Например, если группа С тривиальна, а многообразие X замкнуто, то замкнутые (С, X)-многообразия — в точности конечнолистные накрытия над X с проекцией Б.

Рассмотрим теперь элемент ст фундаментальной группы пространства М. Аналитическое продолжение вдоль петли ст приводит к ростку , который уже можно сравнить с <^о, так как они оба определены в окрестности базисной точки. Обозначим через да такой элемент группы С, для которого = да да будем называть голономией ст. Из определения отображения развертки легко вывести, что

Б о Та = да о Б,

где Та : т ^ стт есть преобразование накрытия, индуцированное элементом ст. Применяя это равенство к произведению петель, получаем, что отображение Н : ст ^ да из п1(М) в С является гомоморфизмом, который будем называть голономией М. Его образ называется группой голономии пространства М. Заметим, что отображение Н зависит от произвола при построении Б : при изменении Б образ отображения Н сопрягается элементом из С.

В работе исследуем коническое многообразие & = <^(а,а; 7), носителем которого является трехмерная сфера , а сингулярным множеством Е — узел восьмерка с одним мостом, который представляет собой граф, изображенный на рис. 1.

Фундаментальная группа П1 (83 \ Е) дополнения к графу может быть найдена с помощью алгоритма Виртингера и имеет два порождающих элемента. Мы изучаем геометрическую структуру на данном коническом многообразии.

Коническое многообразие является пополнением метрического пространства, на котором введена неполная евклидова метрика. Значение конического угла а вдоль компоненты узла определяется пополнением метрического пространства. Последнее означает, что если д и Н — гомеоморфизмы, переводящие

Рис. 1. Узел восьмерка с мостом

окрестность точки многообразия в шары вида B3 = {x е

< 1} с элемен-

том площади поверхности = ^ж2 + 2 + ^2, то гомеоморфизм д о Н состоит из движений евклидова пространства. Таким образом, он сохраняет евклидову метрику. Далее, представляя порождающие фундаментальной группы через матрицы вращения в евклидовом пространстве, получим условия существования евклидовой структуры на коническом многообразии. Для этого найдем группу голономий данного многообразия.

Рассмотрим отображение голономии ^ : п1 (83 \ Е) ^ кош(Е3), которое переводит порождающие 5 и £ фундаментальной группы узла

ni(S3 \ Е) = (s,t : sis = Iss), где ls = stst-1 s-1 tsts-11

1,-1

^(x) = (x + ез)T - ез

(1)

в линейные преобразования

J^(x) = (x - ез)S + ез, соответственно, где е3 = (0, 0,1), S, T — матрицы вращений.

Следуя [9], положим М = cot f, тогда матрицы вращений S и Т имеют вид ' М2 + cos 0 sin 0 S= . - I sin 0 M2 — cos 9 2М cos | ), (2)

— 1 + M2

1

M2 + 1

2М sin I —2Mcos I

T =

1

M2 + 1

' M2 + cos в — sin в

— sin в

—2Msin I

2M sin I

M2 — cos 0 —2Mcos I

(3)

2M cos I

-1 + М2

соответственно, где и — угол относительного поворота между сингулярными компонентами.

При этом считаем, что отображение голономии переводит элемент £3 во вращение на угол 7 вокруг сингулярной компоненты, соответствующей мосту узла.

Группой голономий исследуемого многообразия называется группа, порожденная вращениями и вокруг сингулярных компонент фундаментального множества на угол а.

x

3. Структура фундаментального множества для узла «восьмерка» с мостом

Построим фундаментальное множество для многообразия а, а; 7). Рассмотрим указанный на рис. 2 набор непересекающихся 3-симплексов в пространстве постоянной нулевой кривизны, из которого путем изометрического отождествления граней получается данное коническое многообразие. Фундаментальное множество представляет собой двадцатигранник &, имеющий 12 вершин, который получается склеиванием симплексов вдоль общего ребра ^о^ь

Рис. 2. Фундаментальный двадцатигранник ^

Это множество может быть реализовано в любой из трех геометрий: 83, И3 и Е3. Отождествление криволинейных граней многогранника & осуществляется изометрическими преобразованиями и по следующим правилам:

^ : РВДВДРб ^ ЗДВДВД, & : Р4Р5Р6Р7Р8Р9 ^ Р4Р3Р2Р1Р0Р9.

4. Реализация фундаментального множества в евклидовом пространстве

Опишем геометрическую реализацию фундаментального множества #(а, а; 7) в евклидовом пространстве. Для этого найдем координаты его вершин через некоторые параметры, имеющие геометрический смысл.

Положим X = cos I, Y = sin |, где в — угол относительного поворота между компонентами узла. Тогда неподвижными множествами преобразований 5? и 3" из (1) будут следующие прямые:

Fix(J^) = (tX, tY, 1), Fix(^) = (tX, -tY, -1), t e R.

В трехмерном евклидовом пространстве оси вращений Fix(J^) и Fix(^) расположены как скрещивающиеся прямые с общим перпендикуляром по оси Oz и углом в между ними (рис. 3).

аОЕ

Р5

Рз г' Р2

/ 150

Ру^ 100 \Р1

\ 50 ...........\

vi50 -100 -50 / 50 100 150/

/ -50

Р®\ -100 /Р9

\ -150

Р7 Р8

Р0

х

Рис. 3. Оси вращений Р1х(^) и Р1х(^7) Рис. 4. Проекция З' на плоскость Оху

Для фундаментального двадцатигранника & (см. рис. 2) пары его вершин РьРб и Р4,Р9 лежат соответственно на осях Р1х(^), Е1х(^). Узел восьмерка с мостом обладаем тремя симметриями второго порядка. На фундаментальном многограннике они реализуются как вращения в осях Ож, Оу, Ог. В частности, вращение второго порядка в оси Ож оставляет фундаментальный многогранник инвариантным. Отсюда следует, что две вершины & лежат на оси Ож.

Согласно рис. 4 координаты вершин & могут быть представлены следующим образом:

Ро = (ж, 0, 0), Р = (ЬХ,ЬУ, 1), Р2 = (а,6,с), Рз = (-а,6, -с), Р4 = (-ЬХ,ЬУ, -1), Р5 = (-ж, 0, 0), Рб = (-ЬХ, -¿У, 1), Р7 = (-а, -6, с), Рв = (а, -6, -с), Р9 = (ЬХ, -¿У, -1), до = (0, 0,1), ф! = (0, 0,-1).

Заметим следующие равенства для вершины Р2: Р2 = Ро^ = Рб^. Перепишем их в виде

(а, 6, с) = (ж, 0, 0)^,

(ж, 0, 0)^ = (-ЬХ, -¿У, 1)^. ()

Решая второе уравнение системы (5) относительно ж и Ь и учитывая, что X2 + У2 = 1, имеем

5+4М2 - М4 - 20Х2 - 4М2Х2 X(3М2 - 5)

(4)

Ь =

(6)

2МУ(1+ М2 - 8Х2) " МУ(1+ М2 - 8Х2)'

При этом, сравнивая первые координаты векторов (ж, 0, 0)^ и (-ЬХ, -¿У, 1)^ и еще раз пользуясь равенством Х2 + У2 = 1, получим, что величины М и Х связаны соотношением

5 + 6М2 + М4 - 60Х2 - 12М2Х2 + 80Х4 = 0. (7)

Подставляя равенства (6) и (7) в первое уравнение системы (5), найдем значения

величин a,b и с:

I.I/2 - 15Х2 - 7.1/2Л'2 + 20Х4 MY( 1 + М2 - 8Х2) '

b =

Х(5 + М2 — 20Х2) М{1+М2 -8Х2) '

.1/- + I.Y- - 3

1 + М2 - 8Х2 '

(8)

5. Евклидов объем конического многообразия

Основным результатом настоящей работы являются две следующие теоре-

Теорема 1. Пусть a £ Тогда для некоторого 7 £ (0, 2тг] кониче-

ское многообразие ff (a, a; y) обладает евклидовой структурой. В частности, ,2тт) = — евклидов орбпфолд, носителем которого является

трехмерная сфера, а сингулярным множеством — узел «восьмерка»» с кониче-CKIIM углом -у-.

Доказательство. Доказательство теоремы будет завершено, если установим, что для каждого a £ 7г) существует описанный в предыдущем параграфе многогранник &, сумма двугранных углов которого при вписанных ребрах P¿P¿+1, i = 0,..., 9, равна 7, где 7 £ (0, 2тт\. Для этого положим М = cot j и X = cos | и рассмотрим кривую (рис. 5), задаваемую уравнением (5).

Рис. 5. Кривая существования евклидовой структуры для Ü(a, а; 7)

a

с=

мы.

x

m

Уравнение кривой (7) как основное соотношение, связывающее углы а и в, получено из системы (5). При этом, как будет видно в дальнейшем, ее выделенная на рис. 5 часть соответствует моделируемой нами ситуации.

Лемма 1. Пусть М £ (0>^7з]> ^ ^ (\/3+8^' и выполнено основное соотношение (7). Тогда существует фундаментальный многогранник & (рис. 2), заданный параметрами айв, где М = cot |il = cos |.

Доказательство. Прежде всего проверим, что указанный многогранник существует при а = у ий = 2 arccos . Действительно, в этом случае координаты вершин целочисленные и равны

Р0 = (3,0,0), Pi = (2, >/2,1), Р2 = (1,V8,0), Р3 = (-1,^8,0), Р4 = (-2,^2,-1), Р5 = (-3,0,0), Р6 = (-2,-а/2,1), Р7 = (-1,-2^2,0), Р8 = (1,-^8,0), Р9 = (2,->/2,-1).

При этом является фундаментальным для орбифолда с носителем

5-3 „ ___...........---------_ „ 2.

3

и сингулярным множеством — узел «восьмерка» с коническим углом ^ Его структура подробно описана в работе [8]. В частности, ориентированные объемы V тетраэдров QoQiP¿P¿+i, i = 0,..., 9, положительны и внутренности этих многогранников не пересекаются.

Напомним, что ориентируемый объем тетраэдра T с вершинами (xj, y-, zj), j = 1, 2, 3,4, определяется по формуле

Vol Т = - det 6

Можно выделить следующие три вида формул для объемов Vi:

txY

Vo = V9 = V4 = V5 = —, 2

V2 = = 3 ab, (9)

V1 = V3=V6 = V6 = ^t(Xb - Ya).

Рассмотрим области вырождения объемов Vi, используя соотношения (6), (7) и (8).

При М £ (0, X £ (\J, y/¡] ориентируемые объемы V¿ не меняют знака и остаются положительными, следовательно, в условиях леммы многогранник не вырождается. В результате получим, что условие положительности объемов Vi > 0, i = 0,..., 9, эквивалентно неравенству а > 0, где а задано уравнением (8).

Следствие. Пусть многообразие ff (a, a; y) евклидово. Тогда

cos7 =---( --1-——-12Ш2{М2 + 5)2(11М2 - 25)

' 1953125 V(1 + М2)10 '

х (3125 - 21875M2 + 1250M4 - 9750M6 - 11175M8 - 2823M 10)X2

169869312 254803968 23461888 136282112 10575872

+ TZ-ТТоТсГ + ■

— - —I— - —I— - — - —

(1 + M2)9 (1+ M2)8 (1 + M2)7 (1 + M2)6 (1 + M2)5

56000512 2232832 14626688 4716288 \

j___i_______L 1 5941 07

(1 + М2)4 (1+М2)3 (1 + М2)2 (1+М2) /

Доказательство. Рассмотрим коммутатор К = БТБТ_15_1Т5Т5-1Т-1, соответствующую слову = вЬзЬ-1 в^ИзЬв-1^1. Матрица К представляет собой поворот на угол 7 вокруг некоторого ребра вида PiPi+1, соответствующего мосту между компонентами узла «восьмерка» (см. рис. 1). След ортогональной матрицы К связан с углом поворота следующим образом: ^ К = 2 сов 7 + 1. Упрощая выражение соэ7 = ^(Ьт К — 1), получим исходное равенство.

Теорема 2. Евклидов объем конического многообразия (3(а, а; 7) равен 8Х\/1 ~ Х2(М4 - ЪШ2Х2 + 150Х2 - 25)

Vo1(#(a,a; 7)) =

3M2(1 + M2 - 8X2)2

Доказательство. Евклидов объем конического многообразия #(а, а; 7) равен объему фундаментального многогранника &, изображенного на рис. 2. Таким образом, евклидов объем Уо1(#(а,а;7)) представляет собой сумму объемов V тетраэдров ^о^РЛ+ъ где г = 0,..., 9, и Р1о = Ро, и находится по формулам (6), (8) и (9):

9 .

Уо1(#(а, а; 7)) = = -{аЪ + {х - о) + ХЪ))

г=о 3

16ХаД^Х2(15 + ЗМ2 - 105Х2 + 19М2Х2 + 40Х4)

3M2(1+ M2 - 8X2)2

Заметим, что остаток от деления полинома P = 15 + 3M2 — 105X2 + 19M2X2 + 40X4 на полином Q = 5 + 6M2 + M4 — 60X2 — 12M2X2 + 80X4 равен M4 — 50M2X2 + 150X2 — 25. Поскольку в нашем случае Q = Q(M, X) = 0, окончательный результат можно представить в виде

„ 8-Х"VI - Х2(М4 - 50М2Х2 + 150Х2 - 25) =-ЗМ2(1 + М2 — SX2)2--

Проиллюстрируем полученные результаты на следующих примерах.

6. Примеры

Ниже приведена таблица, в которой представлены результаты численных экспериментов. В ходе которых также были вычислены:

— длины сингулярных геодезических 1а и , которые равны соответственно

9

la = 2t, где t представлено в (6), и = Y1 |P»P»+i|.

i=0

— приведенный евклидов объем

л/л/ w Vo1(#(a, a; 7)) vol(#(a, a; 7)) = V '

где d — наименьшее расстояние между сингулярными компонентами, в рассматриваемой модели d = IQ0Q11 = 2.

Данные таблицы расположены в порядке уменьшения приведенного евклидова объема конического многообразия С(a, a; 7).

Таблица 1

Конический угол а Евклидов объем Vol(€^) Евклидовы длины и (

многообразия Ü = €^(«,«,7), и приведенный сингулярных

параметры X = cos ^, g = cos 7 евклидов объем vol(€^) геодезических Ü

a- 32L " 3 Щр- = 15.0849 2\/б = 4.89898

X = = 0.8165, g = 1 знЬ=0-01571 20

а= Ч- 5 48.5817 9.61766

X = 0.811618, g = -0.6757 0.008185 32.0835

а- S2L " 6 11.6288 11.814

X = 0.810809, g = -1 0.006679 38.416

а - Wz " 20 834.486 41.1951

X = 0.809175, g = 0.527436 0.00192325 127.838

а = тг - 0.02 51707 324.897

X = 0.80902, g = 0.99163 0.000243936 1004.06

ЛИТЕРАТУРА

1. P. Koebe Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven // Nachr. Akad. Wiss. Gott., II. Math.-Phys. Kl. 1907. P. .

2. Perelman G. The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications // arXiv: math.DG/ 0211159[math.DG]. 2002.

3. Perelman G. Ricci flow with surgery on three-manifold // arXiv:math.DG/0303109[math.DG]. 2003.

4. Perelman G. Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds // arXiv:math.DG/0307245[math.DG]. 2003.

5. Веснин А. Ю., Рассказов А. А.. Изометрии гиперболических многообразий Фибоначчи // Сиб. мат. журн. 1999. Т. 40, № 1. С. 14-29.

6. Riley R. An elliptical path from parabolic representations to hyperbolic structure // Topology of Low-Dimension manifolds. : Springer-Verl., 1979. P. 99-133. (Lect. Notes Math.; V. 722).

7. Thurston W. The geometry and topology of 3-manifold. Lecture notes. : Princeton Univ., 1980.

8. Mednykh A., Rasskazov A. Volumes and Degeneration of Cone-structures on the Figure-eight knot // Tokyo J. Math. 2006. V. 29, N 2. P. 445-464.

9. Shmatkov R. N. Properties of Euclidean Whitehead link cone-manifolds // Sib. Adv. Math. 2003. V. 13, N 1. P. 55-86.

10. Соколова Д. Ю. О существовании евклидовой структуры на узле трилистник с мостом // Мат. заметки ЯГУ. 2013. Т. 20, № 1. С. 128-140.

Статья поступила 24 сентября 201-5 г.

Медных Александр Дмитриевич, Соколова Дарья Юрьевна

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,

пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090;

Новосибирский гос. университет,

ул. Пирогова, 2, Новосибирск 630090

mednykh@mat h.nsc.ru