УДК 514.152
О СУЩЕСТВОВАНИИ ЕВКЛИДОВОЙ СТРУКТУРЫ НА УЗЛЕ ТРИЛИСТНИК С МОСТОМ
Д. Ю, Соколова
1. Введение
Теория узлов возникла около 1867 г. в Шотландии в результате исследований трех физиков: Максвелла, Тэйта и Томсона (Лорда Кельвина), детали см. в [1,2]. Интерес Максвелла к узлам тесно связан с его теорией электромагнетизма. Например, в [3] им дается важная интерпретация интегральной формулы Гаусса для коэффициента зацепления двух узлов в трехмерном пространстве: он равен работе, проделанной магнитным полем при передвижении вдоль одного узла при условии, что через второй узел проходит электрический ток. Другой удивительный факт состоит в том, что поверхность Зейферта, границей которой является некоторый данный узел, была представлена Тэйтом на основании физического исследования. Благодаря усилиям Листинга, Райдемайстера, Дэна теория узлов воплотилась в более общую теорию трехмерных многообразий. Было введено понятие фундаментальной группы, и теория групп стала одним из наиболее мощных инструментов в теории узлов. В 1975 г. Райли [4] обнаружил примеры гиперболических структур на некоторых узлах и дополнениях зацеплений в трехмерной сфере. Позднее, весной 1977 г., Терстон представил теорему существования для римановой метрики постоянной отрицательной кривизны на трехмерных многообразиях. На практике оказалось, что дополнения простых узлов, исключая торические и сател-литные, допускают гиперболическую структуру. Это обстоятельство
© 2013 Соколова Д. Ю.
дает возможность представить теорию узлов как раздел геометрии и теории клейиовых групп. Начиная с работ Александэра [5], инварианты многочленов становятся удобным инструментом для исследований узлов. Много разных видов таких многочленов были изучены за последние 30 лет. Среди них многочлены Джона, Кауфмана, ХОМФЛИ-ПТ, А-полиномы (Jones-, Kaufmann-, HOMFLY-PT, A-polynomials) и др. [2,6,7]. Это обстоятельство связывает теорию узлов с алгеброй и алгебраической геометрией.
Целью настоящей работы является изучение евклидовых структур на узлах и зацеплениях. В этом направлении известны следующие результаты: евклидова структура на узле «восьмерка» 4i возникает, когда его конический угол а равен Щ-. Этот результат получен Тер-стоном [8]. Явная конструкция фундаментального множества для конического многообразия 4i (а) в E3 предложена в работе А. Д. Медных и А. А. Рассказова [9]. Это фундаментальное множество представляет собой невыпуклый двадцатигранник, вершины которого задаются целочисленными координатами. Вопрос существования евклидовой структуры на зацеплении Уайтхеда изучен в работе Р. Н. Шматкова [10]. Цель настоящей работы — исследовать основные геометрические инварианты евклидова конического многообразия, сингулярным множеством которого является узел трилистник с мостом, а носителем — трехмерная сфера. Мы установим условия существования такого объекта, найдем длины его сингулярных геодезических и вычислим объем.
2. Предварительные сведения
Трехмерным коническим многообразием называется метрическое пространство, полученное из набора непересекающихся 3-симплексов в пространстве постоянной секционной кривизны k путем изометрического отождествления их граней. При этом предполагается, что образованное в результате такого отождествления топологическое пространство (пространство-носитель) является многообразием.
Такое многообразие обладает римановой метрикой постоянной сек-
ционной кривизны к на объединении клеток размерностей 2 и 3. В случае к = 0 будем говорить, что соответствующее коническое многообразие имеет (или допускает) евклидову структуру. Аналогично опре-
к
болической (к = —1) структурами.
Метрическая структура вокруг каждой 1-клетки определяется коническим углом, который является суммой двугранных углов при ребрах, дающих после отождествления эту клетку.
Сингулярным множеством конического многообразия назовем замыкание всех 1-клеток, конический угол вокруг которых не равен 2п.
Следует отметить также, что точка сингулярного множества с коническим углом а имеет окрестность, изометричную окрестности точки, лежащей на ребре клина с углом раствора а, грани которого попарно отождествлены посредством поворота трехмерного пространства вокруг ребра клина. Условно коническое многообразие можно представить как трехмерную сферу с вложенным в нее графом, на котором происходит искажение метрики. При этом если измерить длину окружности бесконечно малого радиуса вокруг компоненты графа, вместо стандартного 2пе она будет равна ае, где а — конический угол вдоль компоненты графа.
Дадим определение группы голономий для геометрического орби-фолда. Пусть б — геометрический орбифолд, обладающий (О, X)-структурой [8]. Рассмотрим ассоциированное с ним (О, Х)-многообра-зие М = б \ £, где £ — сингулярное множество орбифолда б. Пусть области и, и, ••. и отображения : иг ^ X задают локальные сиМ
Уг ◦ У- : ц иг п и) ^ <Рг{ иг П ц • По определению (О, Х)-мпогообразия каждое отображение 7ц локально действует как элемент из О, так что 7ц можно рассматривать как локально постоянное отображение со значениями в О. После композиции с уц получаем локально постоянное отображение иг П иц- ^ О, которое будем также обозначать через 7ц.
Предположим теперь, что две карты (П, уч) и (П^-, щ-) покрывают одну и ту же точку ж. Тогда можно так изменить отображение у (рассмотрев ее композицию с 7^), что оно будет совпадать с отображением (¿вблизи точки ж. На самом деде, если пересечение П П П связно, то эти отображения будут совпадать на всем пересечении, так что получится отображение П П П ^ X, продолжающее Но, вообще говоря, пытаясь таким образом продолжить координатное отображение на все многообразие, мы придем к несогласующимся значениям. Для того чтобы избежать несогласованности, надо перейти к универсальной накрывающей.
Выберем отмеченную точку щ € М и карту (По, (о), покрывающую эту точку. Пусть п : М ^ М — универсальная накрывающая
ММ ческих классов путей в М с началом в отмеченной точке жо и рассмотрим путь а, представляющий гомотопический класс [а] € М (так что а(1) = п([а])). Разобьем путь а промежуточными точками
жо = а(£0), ж± = а^),..., Жп = а^п)
(где ¿о = 0 и ¿1 = 1) таким образом, чтобы каждый из получившихся кусочков пути целиком покрывался какой-то одной картой (П^уч). Затем, двигаясь вдоль пути а, подправляем очередное отображение щ так, чтобы оно совпало с (уже подправленным) отображением (¿-1 в некоторой окрестности ж^ € П П^. Эти согласованные друг с другом карты образуют аналитическое продолжение отображения щ вдоль данного пути. Последнее из новых координатных отображений имеет вид
Ф = 701(Ж1)712(Ж2) .. .7п-1 ,п(ж^(п.
Фиксировав базисную точку и начальное отображение щп, определим отображение развертки В : М ^ X как отображение, заданное локально с помощью аналитического продолжения щ вдоль каждого пути. Иначе говоря, В = уд о п в некоторой окрестности а € М. При
изменении начальных условий (базисной точки и исходного отображения) образ отображения развертки меняется под действием некоторого О
Если наделить пространство универсальной накрывающей (О, X)-структурой, индуцированной накрытием п, то отображение развертки является локальным (О, Х)-гомеоморфизмом между ^Х.
Хотя в наиболее интересных случаях группа О действует па X транзитивно, это условие не является необходимым для определения отображения Б. Например, если группа О тривиальна, а многообразие X замкнуто, то замкнутые (О, X)-мнoгooбpaзия — это в точности конечнолистные накрытия над X с проекцией Б.
Рассмотрим теперь элемент а фундаментальной группы пространства М. Аналитическое продолжение вдоль петли а приводит к ростку у>о, который уже можно сравнить с у о, так как они °ба определены в окрестности базисной точки. Обозначим через да такой элемент группы О, для которого у>д = да<уо; д^ будем называть голономией а. Из определения отображения развертки легко вывести, что Б оТст = да о Б, где Та •. т ^ ат есть преобразование накрытия, индуцированное элементом а. Применяя это равенство к произведению петель, получаем, что отображение Н : а ^ да из п (М) в О является гомоморфизмом, который будем называть голономией М. Его образ называется группой голономии пространства М. Заметим, что отображение Н зависит от произвола при построении Б: при изменении Б образ отображения Н
О.
У
Рис. 1. Узел трилистник с мостом.
а
Мы исследуем коническое многообразие С = #(а,в;7), носителем которого является трехмерная сфера В3, а сингулярным множеством Е узел трилистник с одним мостом, который представляет собой граф, изображенный на рис. 1.
Фундаментальная группа п (§3 \ £) дополнения к графу может быть найдена с помо-
щью алгоритма Виртиигера и имеет два порождающих элемента. Мы изучаем геометрическую структуру на данном коническом многообразии.
Коническое многообразие является пополнением для метрического пространства, образованного дополнением сингулярного множества 83 \ £. Значение конического угла а вдоль компоненты узла определяется пополнением метрического пространства. При этом предполагается, что если д и И — гомеоморфизмы, переводящие окрестность точки многообразия в шары вида В = {х £ М3 : ||х|| < 1} с элементом площади поверхности ¿в2 = ¿х2 + ¿у2 + ¿я2, то гомеоморфизм до И-1 состоит из вращений и перемещений евклидова пространства. Таким образом, он сохраняет евклидову метрику. Далее, представляя порождающие фундаментальной группы через матрицы вращения в евклидовом пространстве, получим условия существования евклидовой структуры на коническом многообразии. Для этого найдем группу голономий данного многообразия.
Рассмотрим отображение голономии ^ : п(§3 \ £) ^ Ьот(Е3), которое переводит порождающие в и £ фундаментальной группы
соответствующие петлям вокруг ребер £ с индексами а и в, в линейные преобразования
При этом е3 = (0,0,1), а S и Т — матрицы вращений на углы а и ß соответственно.
п (S3 \£) = <s,t),
(1)
У(х) = (ж - e3)S + е3, = (ж + е3)Т - е3.
(2)
Введем обозначения М = ctg f, N = ctg §, тогда ST
тогда матрицы враще-
где в — угол относительного поворота между сингулярными компонентами [10].
При этом считаем, что отображение голономии переводит элемент к = е-1 во вращение на угол 7 вокруг сингулярной компонен-
ты. соответствующей мосту узла (см. работу [11] для более детального объяснения геометрического смысла указанных порождающих).
Группой голономий исследуемого многообразия называется группа. порожденная вращениями .У и 'У вокруг сингулярных компонент фундаментального множества на углы а и в соответственно.
3. Структура фундаментального множества для узла трилистник с мостом
Построим фундаментальное множество для многообразия <?(а, в; 7)-Это указанный на рис. 2 набор непересекающихся 3-спмплексов в пространстве постоянной нулевой кривизны, из которого путем изометрического отождествления граней получается данное коническое многообразие. Фундаментальное множество представляет собой двенадцатигранник, имеющий 8 вершин.
Р1
Рис. '2. Фундаментальный двенадцатигранник
Это множество может быть реализовано в любой из трех геометрий: 83, Н3 и Е3. При этом, как отмечено в [11], необходимым условием реализации многогранника в евклидовой геометрии является равенство
a = в, а также наличие некоторого соотношения, связывающего углы a и y, более точная формулировка будет дана ниже, в теореме 1.
Отождествление криволинейных граней многогранника & осуществляется изометрическими преобразованиями и по следующим правилам :
^ : PPPP ^ PiP2P3P4; ^ : PPPP ^ PPPP.
4. Реализация фундаментального множества в евклидовом пространстве
Построим геометрическую реализацию фундаментального множества ff(a, a; y) в евклидовом пространстве. Для этого найдем координаты его вершин и выразим их через некоторый параметр, имеющий геометрический смысл.
Положим X = eos |, Y = sin f, где в — угол относительного поворота между компонентами узла. Тогда неподвижными для .93 и 3" из (2) будут следующие прямые:
Fix(J^) = (tX, tY, 1), Fix(^) = (tX, -tY, -1), t e R.
В трехмерном евклидовом пространстве оси вращений Fix(¿^) и Fix(^) расположены как скрещивающиеся прямые с общим перпендикуляром по оси Oz и углом в между ними (рис. 3).
Для фундаментального двенадцатигранника (см. рис. 2) пары его вершин }, } лежат соответственно на осях Fix(J^),
Fix(^). Узел трилистник с мостом обладает тремя симметриями второго порядка. В частности, вращение второго порядка в оси Ox оставляет фундаментальный многогранник инвариантным. Отсюда следует, что две оставшиеся вершины р и P3 лежат на оси Ox. Перепишем равенство P2 = в координатном виде. Имеем
P2 = (x,0,0)^= (tX, -tY, -1).
x t X
3 + M2 3X 3- M2
x =-, t =--, X" =-. (*)
2MY ' MY 12 v ;
а02
При этом
Рис. 3. Оси вращении и Их(,г7).
А" = соя - и ¥ = яш -
положительные величины, связанные соотношением Х2+У2 = 1. Подставляя х в исходное равенство, найдем
'3 + М2-6У2 зх
р2 =
2ИУ ' М
-1 .
Итак, учитывая симметрию многогранника, имеем следующее представление координат его вершин:
Ро = (х,0,0), Р = (А,Б,1), Р2 = {-Л, Б, -1), Р3 = (-х,0,0), Р4 = (—А, -БД), Р5 = (А, -Б, -1), (5)
д0 = (0,0Д), ^1 = (0,0, -1),
где
А
3+М2- 6 У2
2МУ
Б
ЗА М '
Из соотношения (*) получим
в ^3 - М2 А = соя - =
2 2\/3
(6)
Теперь перепишем величины для координат вершин многогранника через параметр М = ctg f. Имеем
у = V9+TP А = л/3(3 - М2)
2V3 ' 2М^(9 + М2)'
_ У3(3 - М2) У3(3 + М2)
2М ' V9 + M2
5. Евклидов объем конического многообразия
Основным результатом настоящей работы являются две следующие теоремы.
Теорема 1. Пусть a £ (f,7r), 7 £ (0,27г) и выполнено следующее соотношение:
j^) <8>
Тогда коническое многообразие ff(a, a; 7) евклидово.
Доказательство. Рассмотрим матрицу K = TSTS—T—S-, соответствующую слову k = tsts—t— s—. Учитывая, что trS = trT = 2 cos a + 1, и вычисляя след матрицы K = TSTS-T— S-1, имеем
trK = ^L(27 + 4r)(81 + 4r), (9)
где r = (2 cos a — 1)3. С другой стороны, матрица K представляет собой вращение па угол 7. Так как K — ортогональная матрица, ее след связан с углом вращения следующим образом:
trK = 2cos7+l. (10)
Согласно уравнению (10)
7 ч I г /\ - 1 , 2
cos — = -= 1 Н—-г.
2 2 27
Учитывая, что sin2 j = \ (l — cos
имеем
.97 r (2 cos a — l)3 sinJ - = —— = —-
4 27 27
что эквивалентно равенству (8).
Обозначим через d наименьшее расстояние между сингулярными геодезическими <?(а, а; 7), а через в — угол относительного поворота между ними. Также обозначим через 1а и длины сингулярных геодезических. Введем параметр и = cos в и будем считать, что в £
Теорема 2. Евклидов объем конического многообразия а; 7) равен
Vol(#(a, а; 7)) = --^VI-«2,
1 + 2u
приведенный евклидов объем равен
Уо1(#(а,а;7)) _ (1 - м) V(-l - 2м)
vol(#(a, а; 7)) =
dl7Pa 72а/2а/Г+~ма/1 + 4м + 7м2 '
Доказательство. Рассмотрим тетраэдры Tj — CQoPjPj^i Qi, где i = 0,... , 5, а Ре = р. Их объединение составляет фундаментальный многогранник J^, изображенный на рис. 2. Непосредственно проверяем, что все они являются одинаково ориентируемыми и невырожденными. Напомним, что ориентируемый объем тетраэдра T = WV5V4 с вершинами Vj = (xj, Zj), i = 1, 2,3,4, находится по формуле
1 / x - x4 yi - y4 zi - z4 \ VolT = — det I X2 — X4 У2 — У4 Z2 — z4 I . (11)
\x3 - x4 y3 - y4 z3 - z4 J
При этом выразим вершины тетраэдров через параметр u = cos 9 для О £ (—Воспользуемся формулой (6) и получим, что переменная M в выражениях (7) для координат вершин (5) представляется в виде М = а/—3 — 6и. Из равенства соответствующих сторон многогранника согласно симметрии по формуле (11) находим, что объемы тетраэдров
PoPiQoQu P5P0Q0Q1, P2P3Q0Q1, PsPiQoQi равны
. uJ 1 + и
Voll = , --.
+ 2м)
Объемы тетраэдров PP2Q0Q1
и P4P5Q0Q1 рэ.вны (1 + и)§
Уо12 = -
/П^(1 + 2м)'
Таблица 1
Конический угол a многообразия ü = &(a,a, 7), параметры fl = cos ^, it = cos б Евклидов объем Уо1(^) и приведенный евклидов объем vol(^) Евклидовы длины i о. и i~f сингулярных геодезических Ü
а = f +0.01, s = l, и = -0.988618 0.30791, 0.182526 0.265114 12.006
a = arctg -\/Í5, О - 107 _ _7 ^ 108 ' 9 = 2.26274, 5 ' f^/é = 0.03368 1.64317, ЗМ= 12.4419 V 5
а — - о — — " 2 ' « 27' g — 27, и— 3 2-\/5 = 4.47214, = 0.0227 21б\/2б -4= = 2.68328, г— 6\[Щ- = 13.6821 V 5
2г и 3 , У 27' u - --5 М - 9 4\/14 = 14.9666, 648% =0'01227 6^1 = 5.55492, 12 = 19.7701
а = тг - 0.01, a = -0.9998, и = -0.50042 2074.42, 0.00104 69.1858, 207.817
При всех значениях параметра 6 £ (—ориентированные объемы положительны, и многогранник Jß" (см. рис. 2) состоит из невырожденных тетраэдров. Отсюда
Vol(J^) = 4 Voll +2 Vol2 = - 2„ \Jl-u2.
1 + 2п
Сингулярные геодезические конического многообразия т)
представляют собой компоненты узла, которые соответствуют разным коническим углам а, ß и Y- Найдем длины сингулярных компонент исследуемого многообразия:
5
ia = ь = у = над \\, /7 = X) npipi+i н,
¿=0
где P = р. Имеем
<■=Vu=> ■d==2
(12)
Получим выражение для приведенного евклидова объема:
U/?< ^ Vol(<?(a,a;7)) (1 - м) V(-l - 2«) vol(<7(a, a; 7)) = ■ —
<и711 72А/2А/Г+~ма/1 + 4м + 7м2 '
В табл. 1 представлены результаты численных экспериментов. Данные таблицы расположены в порядке увеличения евклидова объема конического многообразия <?(а, а; 7).
ЛИТЕРАТУРА
1. de la Harpe P., Kervairend M., Weber C. On the Jones polynomial // L'Enseignement Math. 1986. V. 32. P. 271-335.
2. Kauffman L. New invariants in the theory of knots // Amer. Math. Monthly. 19848 V. 95, N 3. P. 195-242.
3. Maxwell J. C. A treatise on electricity and magnetism. Oxford, 1883.
4. Riley R. An elliptical path from parabolic representations to hyperbolic structure // Topology of low-dimension manifolds. Berlin: Springer-Verl., 1979. P. 99-133. (Lect. Notes Math.; V. 722).
5. Alexander J. W. Topological invariants of knots and links // Trans. Amer. Math. Soc. 1928. V. 30, N 2. P. 275-306.
6. Cooper D., Culler M., Gillet H., Long D. D., Sbalen P. B. Plane curves associated to character varieties of 3-manifolds // Invent. Math. 1994. V. 118. P. 47-84.
7. Hilden H. M., Losano M. Т., Montesinos-Amilibia J. M. On the arithmetic 2-bridge knots and link orbifolds and a new knot invariant //J. Knots and its Ramification. 1995. V. 4, N 1. P. 81-114.
8. Thurston W. The geometry and topology of 3-manifold. Princeton: Princeton Univ., 1980. (Lect. Notes).
9. Mednykh A. Rasskazov A. On the structure of the canonical fundamental set for 2-bridge link orbifolds. Bielefeld, 1998. Prepr. ser. Univ. Bielefeld. N 62.
10. Shmatkov R. N. Properties of Euclidean Whitehead link cone-manifolds // Sib. Adv. Math. 2003. V. 13, N 1. P. 55-86.
11. Винберг Э. В., Меннике И., Хеллинг X. О некоторых обобщенно треугольных группах и трехмерных орбифолдах // Тр. Моск. мат. о-ва. 1995. Т. 56. С. 5-33.
г. Новосибирск
20 декабря 2012 г.