Научная статья на тему 'О существовании евклидовой структуры на узле трилистник с мостом'

О существовании евклидовой структуры на узле трилистник с мостом Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
98
11
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
ЕВКЛИДОВО КОНИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ / УЗЕЛ ТРИЛИСТНИК С МОСТОМ / EUCLIDEAN CONIC MANIFOLD / TREFOIL KNOT WITH A BRIDGE

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Соколова Дарья Юрьевна

Исследованы основные геометрические инварианты евклидова конического многообразия, сингулярным множеством которого является узел трилистник с мостом, а носителем — трехмерная сфера. Установлены условия существования указанного многообразия, вычислены длины его сингулярных геодезических и найден объем.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On existence of an Euclidean structure on the trefoil knot with a brodge

The aim of the present paper is to investigate basic geometrical properties of an Euclidean conic manifold whose singular set is the trefoil knot with a bridge and the underlying space is the three sphere. Existence theorem is established. The lengths of singular geodesics are calculated. The volume formula is given.

Текст научной работы на тему «О существовании евклидовой структуры на узле трилистник с мостом»

УДК 514.152

О СУЩЕСТВОВАНИИ ЕВКЛИДОВОЙ СТРУКТУРЫ НА УЗЛЕ ТРИЛИСТНИК С МОСТОМ

Д. Ю, Соколова

1. Введение

Теория узлов возникла около 1867 г. в Шотландии в результате исследований трех физиков: Максвелла, Тэйта и Томсона (Лорда Кельвина), детали см. в [1,2]. Интерес Максвелла к узлам тесно связан с его теорией электромагнетизма. Например, в [3] им дается важная интерпретация интегральной формулы Гаусса для коэффициента зацепления двух узлов в трехмерном пространстве: он равен работе, проделанной магнитным полем при передвижении вдоль одного узла при условии, что через второй узел проходит электрический ток. Другой удивительный факт состоит в том, что поверхность Зейферта, границей которой является некоторый данный узел, была представлена Тэйтом на основании физического исследования. Благодаря усилиям Листинга, Райдемайстера, Дэна теория узлов воплотилась в более общую теорию трехмерных многообразий. Было введено понятие фундаментальной группы, и теория групп стала одним из наиболее мощных инструментов в теории узлов. В 1975 г. Райли [4] обнаружил примеры гиперболических структур на некоторых узлах и дополнениях зацеплений в трехмерной сфере. Позднее, весной 1977 г., Терстон представил теорему существования для римановой метрики постоянной отрицательной кривизны на трехмерных многообразиях. На практике оказалось, что дополнения простых узлов, исключая торические и сател-литные, допускают гиперболическую структуру. Это обстоятельство

© 2013 Соколова Д. Ю.

дает возможность представить теорию узлов как раздел геометрии и теории клейиовых групп. Начиная с работ Александэра [5], инварианты многочленов становятся удобным инструментом для исследований узлов. Много разных видов таких многочленов были изучены за последние 30 лет. Среди них многочлены Джона, Кауфмана, ХОМФЛИ-ПТ, А-полиномы (Jones-, Kaufmann-, HOMFLY-PT, A-polynomials) и др. [2,6,7]. Это обстоятельство связывает теорию узлов с алгеброй и алгебраической геометрией.

Целью настоящей работы является изучение евклидовых структур на узлах и зацеплениях. В этом направлении известны следующие результаты: евклидова структура на узле «восьмерка» 4i возникает, когда его конический угол а равен Щ-. Этот результат получен Тер-стоном [8]. Явная конструкция фундаментального множества для конического многообразия 4i (а) в E3 предложена в работе А. Д. Медных и А. А. Рассказова [9]. Это фундаментальное множество представляет собой невыпуклый двадцатигранник, вершины которого задаются целочисленными координатами. Вопрос существования евклидовой структуры на зацеплении Уайтхеда изучен в работе Р. Н. Шматкова [10]. Цель настоящей работы — исследовать основные геометрические инварианты евклидова конического многообразия, сингулярным множеством которого является узел трилистник с мостом, а носителем — трехмерная сфера. Мы установим условия существования такого объекта, найдем длины его сингулярных геодезических и вычислим объем.

2. Предварительные сведения

Трехмерным коническим многообразием называется метрическое пространство, полученное из набора непересекающихся 3-симплексов в пространстве постоянной секционной кривизны k путем изометрического отождествления их граней. При этом предполагается, что образованное в результате такого отождествления топологическое пространство (пространство-носитель) является многообразием.

Такое многообразие обладает римановой метрикой постоянной сек-

ционной кривизны к на объединении клеток размерностей 2 и 3. В случае к = 0 будем говорить, что соответствующее коническое многообразие имеет (или допускает) евклидову структуру. Аналогично опре-

к

болической (к = —1) структурами.

Метрическая структура вокруг каждой 1-клетки определяется коническим углом, который является суммой двугранных углов при ребрах, дающих после отождествления эту клетку.

Сингулярным множеством конического многообразия назовем замыкание всех 1-клеток, конический угол вокруг которых не равен 2п.

Следует отметить также, что точка сингулярного множества с коническим углом а имеет окрестность, изометричную окрестности точки, лежащей на ребре клина с углом раствора а, грани которого попарно отождествлены посредством поворота трехмерного пространства вокруг ребра клина. Условно коническое многообразие можно представить как трехмерную сферу с вложенным в нее графом, на котором происходит искажение метрики. При этом если измерить длину окружности бесконечно малого радиуса вокруг компоненты графа, вместо стандартного 2пе она будет равна ае, где а — конический угол вдоль компоненты графа.

Дадим определение группы голономий для геометрического орби-фолда. Пусть б — геометрический орбифолд, обладающий (О, X)-структурой [8]. Рассмотрим ассоциированное с ним (О, Х)-многообра-зие М = б \ £, где £ — сингулярное множество орбифолда б. Пусть области и, и, ••. и отображения : иг ^ X задают локальные сиМ

Уг ◦ У- : ц иг п и) ^ <Рг{ иг П ц • По определению (О, Х)-мпогообразия каждое отображение 7ц локально действует как элемент из О, так что 7ц можно рассматривать как локально постоянное отображение со значениями в О. После композиции с уц получаем локально постоянное отображение иг П иц- ^ О, которое будем также обозначать через 7ц.

Предположим теперь, что две карты (П, уч) и (П^-, щ-) покрывают одну и ту же точку ж. Тогда можно так изменить отображение у (рассмотрев ее композицию с 7^), что оно будет совпадать с отображением (¿вблизи точки ж. На самом деде, если пересечение П П П связно, то эти отображения будут совпадать на всем пересечении, так что получится отображение П П П ^ X, продолжающее Но, вообще говоря, пытаясь таким образом продолжить координатное отображение на все многообразие, мы придем к несогласующимся значениям. Для того чтобы избежать несогласованности, надо перейти к универсальной накрывающей.

Выберем отмеченную точку щ € М и карту (По, (о), покрывающую эту точку. Пусть п : М ^ М — универсальная накрывающая

ММ ческих классов путей в М с началом в отмеченной точке жо и рассмотрим путь а, представляющий гомотопический класс [а] € М (так что а(1) = п([а])). Разобьем путь а промежуточными точками

жо = а(£0), ж± = а^),..., Жп = а^п)

(где ¿о = 0 и ¿1 = 1) таким образом, чтобы каждый из получившихся кусочков пути целиком покрывался какой-то одной картой (П^уч). Затем, двигаясь вдоль пути а, подправляем очередное отображение щ так, чтобы оно совпало с (уже подправленным) отображением (¿-1 в некоторой окрестности ж^ € П П^. Эти согласованные друг с другом карты образуют аналитическое продолжение отображения щ вдоль данного пути. Последнее из новых координатных отображений имеет вид

Ф = 701(Ж1)712(Ж2) .. .7п-1 ,п(ж^(п.

Фиксировав базисную точку и начальное отображение щп, определим отображение развертки В : М ^ X как отображение, заданное локально с помощью аналитического продолжения щ вдоль каждого пути. Иначе говоря, В = уд о п в некоторой окрестности а € М. При

изменении начальных условий (базисной точки и исходного отображения) образ отображения развертки меняется под действием некоторого О

Если наделить пространство универсальной накрывающей (О, X)-структурой, индуцированной накрытием п, то отображение развертки является локальным (О, Х)-гомеоморфизмом между ^Х.

Хотя в наиболее интересных случаях группа О действует па X транзитивно, это условие не является необходимым для определения отображения Б. Например, если группа О тривиальна, а многообразие X замкнуто, то замкнутые (О, X)-мнoгooбpaзия — это в точности конечнолистные накрытия над X с проекцией Б.

Рассмотрим теперь элемент а фундаментальной группы пространства М. Аналитическое продолжение вдоль петли а приводит к ростку у>о, который уже можно сравнить с у о, так как они °ба определены в окрестности базисной точки. Обозначим через да такой элемент группы О, для которого у>д = да<уо; д^ будем называть голономией а. Из определения отображения развертки легко вывести, что Б оТст = да о Б, где Та •. т ^ ат есть преобразование накрытия, индуцированное элементом а. Применяя это равенство к произведению петель, получаем, что отображение Н : а ^ да из п (М) в О является гомоморфизмом, который будем называть голономией М. Его образ называется группой голономии пространства М. Заметим, что отображение Н зависит от произвола при построении Б: при изменении Б образ отображения Н

О.

У

Рис. 1. Узел трилистник с мостом.

а

Мы исследуем коническое многообразие С = #(а,в;7), носителем которого является трехмерная сфера В3, а сингулярным множеством Е узел трилистник с одним мостом, который представляет собой граф, изображенный на рис. 1.

Фундаментальная группа п (§3 \ £) дополнения к графу может быть найдена с помо-

щью алгоритма Виртиигера и имеет два порождающих элемента. Мы изучаем геометрическую структуру на данном коническом многообразии.

Коническое многообразие является пополнением для метрического пространства, образованного дополнением сингулярного множества 83 \ £. Значение конического угла а вдоль компоненты узла определяется пополнением метрического пространства. При этом предполагается, что если д и И — гомеоморфизмы, переводящие окрестность точки многообразия в шары вида В = {х £ М3 : ||х|| < 1} с элементом площади поверхности ¿в2 = ¿х2 + ¿у2 + ¿я2, то гомеоморфизм до И-1 состоит из вращений и перемещений евклидова пространства. Таким образом, он сохраняет евклидову метрику. Далее, представляя порождающие фундаментальной группы через матрицы вращения в евклидовом пространстве, получим условия существования евклидовой структуры на коническом многообразии. Для этого найдем группу голономий данного многообразия.

Рассмотрим отображение голономии ^ : п(§3 \ £) ^ Ьот(Е3), которое переводит порождающие в и £ фундаментальной группы

соответствующие петлям вокруг ребер £ с индексами а и в, в линейные преобразования

При этом е3 = (0,0,1), а S и Т — матрицы вращений на углы а и ß соответственно.

п (S3 \£) = <s,t),

(1)

У(х) = (ж - e3)S + е3, = (ж + е3)Т - е3.

(2)

Введем обозначения М = ctg f, N = ctg §, тогда ST

тогда матрицы враще-

где в — угол относительного поворота между сингулярными компонентами [10].

При этом считаем, что отображение голономии переводит элемент к = е-1 во вращение на угол 7 вокруг сингулярной компонен-

ты. соответствующей мосту узла (см. работу [11] для более детального объяснения геометрического смысла указанных порождающих).

Группой голономий исследуемого многообразия называется группа. порожденная вращениями .У и 'У вокруг сингулярных компонент фундаментального множества на углы а и в соответственно.

3. Структура фундаментального множества для узла трилистник с мостом

Построим фундаментальное множество для многообразия <?(а, в; 7)-Это указанный на рис. 2 набор непересекающихся 3-спмплексов в пространстве постоянной нулевой кривизны, из которого путем изометрического отождествления граней получается данное коническое многообразие. Фундаментальное множество представляет собой двенадцатигранник, имеющий 8 вершин.

Р1

Рис. '2. Фундаментальный двенадцатигранник

Это множество может быть реализовано в любой из трех геометрий: 83, Н3 и Е3. При этом, как отмечено в [11], необходимым условием реализации многогранника в евклидовой геометрии является равенство

a = в, а также наличие некоторого соотношения, связывающего углы a и y, более точная формулировка будет дана ниже, в теореме 1.

Отождествление криволинейных граней многогранника & осуществляется изометрическими преобразованиями и по следующим правилам :

^ : PPPP ^ PiP2P3P4; ^ : PPPP ^ PPPP.

4. Реализация фундаментального множества в евклидовом пространстве

Построим геометрическую реализацию фундаментального множества ff(a, a; y) в евклидовом пространстве. Для этого найдем координаты его вершин и выразим их через некоторый параметр, имеющий геометрический смысл.

Положим X = eos |, Y = sin f, где в — угол относительного поворота между компонентами узла. Тогда неподвижными для .93 и 3" из (2) будут следующие прямые:

Fix(J^) = (tX, tY, 1), Fix(^) = (tX, -tY, -1), t e R.

В трехмерном евклидовом пространстве оси вращений Fix(¿^) и Fix(^) расположены как скрещивающиеся прямые с общим перпендикуляром по оси Oz и углом в между ними (рис. 3).

Для фундаментального двенадцатигранника (см. рис. 2) пары его вершин }, } лежат соответственно на осях Fix(J^),

Fix(^). Узел трилистник с мостом обладает тремя симметриями второго порядка. В частности, вращение второго порядка в оси Ox оставляет фундаментальный многогранник инвариантным. Отсюда следует, что две оставшиеся вершины р и P3 лежат на оси Ox. Перепишем равенство P2 = в координатном виде. Имеем

P2 = (x,0,0)^= (tX, -tY, -1).

x t X

3 + M2 3X 3- M2

x =-, t =--, X" =-. (*)

2MY ' MY 12 v ;

а02

При этом

Рис. 3. Оси вращении и Их(,г7).

А" = соя - и ¥ = яш -

положительные величины, связанные соотношением Х2+У2 = 1. Подставляя х в исходное равенство, найдем

'3 + М2-6У2 зх

р2 =

2ИУ ' М

-1 .

Итак, учитывая симметрию многогранника, имеем следующее представление координат его вершин:

Ро = (х,0,0), Р = (А,Б,1), Р2 = {-Л, Б, -1), Р3 = (-х,0,0), Р4 = (—А, -БД), Р5 = (А, -Б, -1), (5)

д0 = (0,0Д), ^1 = (0,0, -1),

где

А

3+М2- 6 У2

2МУ

Б

ЗА М '

Из соотношения (*) получим

в ^3 - М2 А = соя - =

2 2\/3

(6)

Теперь перепишем величины для координат вершин многогранника через параметр М = ctg f. Имеем

у = V9+TP А = л/3(3 - М2)

2V3 ' 2М^(9 + М2)'

_ У3(3 - М2) У3(3 + М2)

2М ' V9 + M2

5. Евклидов объем конического многообразия

Основным результатом настоящей работы являются две следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть a £ (f,7r), 7 £ (0,27г) и выполнено следующее соотношение:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

j^) <8>

Тогда коническое многообразие ff(a, a; 7) евклидово.

Доказательство. Рассмотрим матрицу K = TSTS—T—S-, соответствующую слову k = tsts—t— s—. Учитывая, что trS = trT = 2 cos a + 1, и вычисляя след матрицы K = TSTS-T— S-1, имеем

trK = ^L(27 + 4r)(81 + 4r), (9)

где r = (2 cos a — 1)3. С другой стороны, матрица K представляет собой вращение па угол 7. Так как K — ортогональная матрица, ее след связан с углом вращения следующим образом:

trK = 2cos7+l. (10)

Согласно уравнению (10)

7 ч I г /\ - 1 , 2

cos — = -= 1 Н—-г.

2 2 27

Учитывая, что sin2 j = \ (l — cos

имеем

.97 r (2 cos a — l)3 sinJ - = —— = —-

4 27 27

что эквивалентно равенству (8).

Обозначим через d наименьшее расстояние между сингулярными геодезическими <?(а, а; 7), а через в — угол относительного поворота между ними. Также обозначим через 1а и длины сингулярных геодезических. Введем параметр и = cos в и будем считать, что в £

Теорема 2. Евклидов объем конического многообразия а; 7) равен

Vol(#(a, а; 7)) = --^VI-«2,

1 + 2u

приведенный евклидов объем равен

Уо1(#(а,а;7)) _ (1 - м) V(-l - 2м)

vol(#(a, а; 7)) =

dl7Pa 72а/2а/Г+~ма/1 + 4м + 7м2 '

Доказательство. Рассмотрим тетраэдры Tj — CQoPjPj^i Qi, где i = 0,... , 5, а Ре = р. Их объединение составляет фундаментальный многогранник J^, изображенный на рис. 2. Непосредственно проверяем, что все они являются одинаково ориентируемыми и невырожденными. Напомним, что ориентируемый объем тетраэдра T = WV5V4 с вершинами Vj = (xj, Zj), i = 1, 2,3,4, находится по формуле

1 / x - x4 yi - y4 zi - z4 \ VolT = — det I X2 — X4 У2 — У4 Z2 — z4 I . (11)

\x3 - x4 y3 - y4 z3 - z4 J

При этом выразим вершины тетраэдров через параметр u = cos 9 для О £ (—Воспользуемся формулой (6) и получим, что переменная M в выражениях (7) для координат вершин (5) представляется в виде М = а/—3 — 6и. Из равенства соответствующих сторон многогранника согласно симметрии по формуле (11) находим, что объемы тетраэдров

PoPiQoQu P5P0Q0Q1, P2P3Q0Q1, PsPiQoQi равны

. uJ 1 + и

Voll = , --.

+ 2м)

Объемы тетраэдров PP2Q0Q1

и P4P5Q0Q1 рэ.вны (1 + и)§

Уо12 = -

/П^(1 + 2м)'

Таблица 1

Конический угол a многообразия ü = &(a,a, 7), параметры fl = cos ^, it = cos б Евклидов объем Уо1(^) и приведенный евклидов объем vol(^) Евклидовы длины i о. и i~f сингулярных геодезических Ü

а = f +0.01, s = l, и = -0.988618 0.30791, 0.182526 0.265114 12.006

a = arctg -\/Í5, О - 107 _ _7 ^ 108 ' 9 = 2.26274, 5 ' f^/é = 0.03368 1.64317, ЗМ= 12.4419 V 5

а — - о — — " 2 ' « 27' g — 27, и— 3 2-\/5 = 4.47214, = 0.0227 21б\/2б -4= = 2.68328, г— 6\[Щ- = 13.6821 V 5

2г и 3 , У 27' u - --5 М - 9 4\/14 = 14.9666, 648% =0'01227 6^1 = 5.55492, 12 = 19.7701

а = тг - 0.01, a = -0.9998, и = -0.50042 2074.42, 0.00104 69.1858, 207.817

При всех значениях параметра 6 £ (—ориентированные объемы положительны, и многогранник Jß" (см. рис. 2) состоит из невырожденных тетраэдров. Отсюда

Vol(J^) = 4 Voll +2 Vol2 = - 2„ \Jl-u2.

1 + 2п

Сингулярные геодезические конического многообразия т)

представляют собой компоненты узла, которые соответствуют разным коническим углам а, ß и Y- Найдем длины сингулярных компонент исследуемого многообразия:

5

ia = ь = у = над \\, /7 = X) npipi+i н,

¿=0

где P = р. Имеем

<■=Vu=> ■d==2

(12)

Получим выражение для приведенного евклидова объема:

U/?< ^ Vol(<?(a,a;7)) (1 - м) V(-l - 2«) vol(<7(a, a; 7)) = ■ —

<и711 72А/2А/Г+~ма/1 + 4м + 7м2 '

В табл. 1 представлены результаты численных экспериментов. Данные таблицы расположены в порядке увеличения евклидова объема конического многообразия <?(а, а; 7).

ЛИТЕРАТУРА

1. de la Harpe P., Kervairend M., Weber C. On the Jones polynomial // L'Enseignement Math. 1986. V. 32. P. 271-335.

2. Kauffman L. New invariants in the theory of knots // Amer. Math. Monthly. 19848 V. 95, N 3. P. 195-242.

3. Maxwell J. C. A treatise on electricity and magnetism. Oxford, 1883.

4. Riley R. An elliptical path from parabolic representations to hyperbolic structure // Topology of low-dimension manifolds. Berlin: Springer-Verl., 1979. P. 99-133. (Lect. Notes Math.; V. 722).

5. Alexander J. W. Topological invariants of knots and links // Trans. Amer. Math. Soc. 1928. V. 30, N 2. P. 275-306.

6. Cooper D., Culler M., Gillet H., Long D. D., Sbalen P. B. Plane curves associated to character varieties of 3-manifolds // Invent. Math. 1994. V. 118. P. 47-84.

7. Hilden H. M., Losano M. Т., Montesinos-Amilibia J. M. On the arithmetic 2-bridge knots and link orbifolds and a new knot invariant //J. Knots and its Ramification. 1995. V. 4, N 1. P. 81-114.

8. Thurston W. The geometry and topology of 3-manifold. Princeton: Princeton Univ., 1980. (Lect. Notes).

9. Mednykh A. Rasskazov A. On the structure of the canonical fundamental set for 2-bridge link orbifolds. Bielefeld, 1998. Prepr. ser. Univ. Bielefeld. N 62.

10. Shmatkov R. N. Properties of Euclidean Whitehead link cone-manifolds // Sib. Adv. Math. 2003. V. 13, N 1. P. 55-86.

11. Винберг Э. В., Меннике И., Хеллинг X. О некоторых обобщенно треугольных группах и трехмерных орбифолдах // Тр. Моск. мат. о-ва. 1995. Т. 56. С. 5-33.

г. Новосибирск

20 декабря 2012 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.