Обобщенная задача Л. Ф. Тота Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 513+681

Д.В. Васинj Ю.Г. Никоноров1 Обобщенная задача Л.Ф. Тота

Предварительные сведения и постановка задачи.

Пусть Р - выпуклый fc-угольник на евклидовой плоскости со сторонами длины ai,..., Обозначим через 6¡ длину наибольшей хорды fc-угольника Р, параллельной стороне a¿. Рассмотрим величину

i=1

JI. Фейеш Тот в работе [1] показал, что л/8 < Т(Р) < 4 и предположил, что 3 < Т(Р) < 4, где равенство слева выполняется, если Р - усеченный треугольник (фигура, получающаяся отсечением трех попарно конгруэнтных треугольников от углов некоторого треугольника), и равенство справа выполняется, если Р - параллелограмм. Предположение JI. Фейеша Тота доказано в статье [2]. В книге [3] ставится вопрос об аналоге указанного утверждения для тел в многомерных евклидовых пространствах. Этому и посвящена настоящая работа.

Пусть Жп - n-мерное евклидово пространство (п > 2). Через \\х — у\\ будем обозначать евклидово расстояние между х и у. Для ограниченных множеств А и В определим расстояние Хаусдор-фа р между ними по формуле

р{А,В) = maxísup^infygBlla; - у\\,

suPy б в inf ж £ А 11 - 2/||}-Через Л будем обозначать пространство компактных выпуклых тел в Жп, снабженное мет-

о

рикой Хаусдорфа, а через Л - подпространство выпуклых тел с непустой внутренностью.

о

Элементы пространства Л будем называть собственными выпуклыми телами. Напомним, что пространство Л является полным и локально-компактным [4]. Для A G Л символы д(А), s(A) означают соответственно границу и площадь поверхности тела А. Пусть также В(х,г) - шар с центром в точке х и радиусом г, S- стандартная единичная сфера в Жп, uin - объем единичного шара в Жп, то есть uin = .

о

Рассмотрим некоторое тело К ЕЛ- Для бо-релевского множества ш С Sобозначим через К(ш) множество точек д(К), для которых

существует опорная гиперплоскость с внешней нормалью из множества ш. Тело К порождает борелевскую меру ц(К,ш) на Б"-1, определяемую по формуле ц(К,ш) = в(А'(ш)), где в(-) означает меру площади на д(К). Эта мера называется поверхностной функцией тела К. Бо-релевское множество ш С Б"-1 называется точкой непрерывности борелевской меры р на сфере Б"-1, если значение меры на ш и его внутренности совпадают. Последовательность боре-левских мер цх, ■ ■ ■, цт,■■ ■ сходится к мере р, если имеет место сходимость цт(и)) —> при т —)> оо для каждого си, являющегося точкой непрерывности меры р. Отметим, что поверхностные функции ц(Кт,ш) сходятся как меры к поверхностной функции ц(К,ш), если имеет место сходимость Кт —>■ К по метрике Хаусдорфа. Все вышеприведенные факты можно найти в [5; 6]. Поверхностную функцию выпуклого тела можно также определить в терминах смешанных объемов, что позволяет получить ряд геометрических неравенств [7].

о

Для выпуклого тела К £Л и произвольного и £ Б"-1 определим Бк{и) как максимальную площадь пересечения К с гиперплоскостями, ортогональными направлению и. Очевидно, что функция Бк Б"-1 —>■ Ж является четной, непрерывной и положительной. Более того, если последовательность выпуклых тел Кт сходится по метрике Хаусдорфа к телу К, то функции Бкт сходятся равномерно к Бк ■

Определим теперь характеристику Л. Фейеша Тота собственного выпуклого тела К по формуле

Тп{К) =

р{К, du)

SK{u)

(1)

Если тело К является многогранником, то (1) можно представить в другом виде. Пусть ,...,(?8 - площади гиперграней многоугольника К. Обозначим через 58- максимальную площадь пересечения К гиперплоскостями, параллельными гиперграни с площадью (?8-. Тогда, как нетрудно убедиться, справедлива формула

■ 1 г = 1

(2)

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 02-01-01071, 01-01-06224, 00-15-96165).

ГЕОМЕТРИЯ И АНАЛИЗ

Обозначим через Т™- и Т™ ^ соответственно

1 Ш1П шах

нижнюю и верхнюю грань величин Тп(К) по всем собственным выпуклым телам в Жп. Из результатов работы [2] следует, что Т^ = 3 и ^тах = Представляется интересной задача нахождения величин и Т^ах для произвольного гг > 3, а также экстремальных тел, для которых справедливы равенства = Тп(К) или ^тах = Тп(К). Напомним, что = Т"(К), ее-ли К - усеченный треугольник, Т^ах = Тп(К), если К - параллелограмм [2]. Дальше в статье мы найдем оценки для рассматриваемых величин в случае произвольной размерности и докажем существование экстремальных тел. Основные результаты. Рассмотрим сначала некоторые свойства Т"

о

как функционала Тп :Л—> Ж.

Лемма 1. Функционал Тп на пространстве

о

Л является непрерывным.

Доказательство. Пусть имеется сходимость Кт —>■ К при т —)> оо по метрике Ха-усдорфа. Тогда, как отмечалось выше, поверхностные меры ц(Кт,ш) сходятся к поверхностной мере ц(К,ш). Кроме того, как нетрудно показать, функции Бкт равномерно сходятся к Бк ■ Таким образом,

1 (Ат) = / —-—-->■

Лемма 2. Функционал Тп на пространстве

о

Л является аффинно-инвариантным.

Доказательство. Используя формулу (2) нетрудно показать, что в случае многогранника величина Тп(К) не меняется при невырожденных аффинных преобразованиях. Поскольку многогранники образуют всюду плотное под-

о

множество в Л относительно метрики Хаусдор-фа [4], то с учетом предыдущей леммы получаем аффинную инвариантность Тп для всех собственных выпуклых тел.

Замечание. Нетрудно заметить, что Тп не

о

допускает непрерывного продолжения с Л на все пространство Л. Действительно, если, например, К - двумерный круг в Ж3, то можно выбрать последовательность прямых цилиндров Ст и последовательность эллипсоидов Ет так, чтобы они обе сходились по метрике Хаусдорфа к К. Нетрудно

проверить, что — 2 -1- 7г и

Т3(Ет) = 4. Следовательно, определить по непрерывности Т3(А') невозможно. Приведенная конструкция, очевидно, обобщается на случай произвольного п > 2.

Далее нам понадобится один из результатов К. Лихтвейза.

Лемма 3 [8]. Для произвольного собственного выпуклого тела К С Жп существуют эллипсоид Е с центром в начале координат и некоторая точка z £ Жп, такие, что

z + -Е С К С z + Е. п

В следующей лемме мы найдем некоторые оценки для величин Т™- и Т™ Y.

lililí lllClA

Лемма 4. Для всех п > 2 справедливы нера-венства >2

Доказательство. Согласно предыдущей

о

лемме, для каждого К £Л найдутся эллипсоид Е с центром в начале координат и некоторая точка z G Жп, такие, что

z + -Е С К С z + Е. п

Произведем аффинное преобразование Á : Жп —>■ Жп, при котором точка z переходит в начало координат О, а Е переходит в шар В(0, п). Тогда

В(0,1) С А(А) С В(0,п).

Понятно, что для любого и G S1"-1 справедливо неравенство Sa(íí) (и) >ш„_i. Поэтому

Тп (Л(А')) =

fi(Á(K), du)

-1 Sa(k){u) n(Á(K),du) _ s(A(K)

<

Wn-l

Wn-1

Поскольку по лемме 2 выполняется равенство Т" (А(А')) = Тп(К), а в(А(А)) < 8(В(0,п)) = ппи!п, то Тп(К) < . В силу произвольности

А получаем Т£ах <

С другой стороны, для произвольного собственного выпуклого тела К и произвольного и £ Б"-1 выполняется очевидное неравенство < ^р-- Таким образом,

гтш(кЛ [ n{K,du) f ¡i{K,du)

= 2.

В силу произвольности К получаем неравенство

Тп у 2 Ш1П —

В следующей теореме доказывается существование экстремальных тел для характеристики Л. Фейеша Тота.

Теорема 1. Для всех п > 2 существуют такие собственные выпуклые тела К\ и А'2, для которых справедливы равенства Т^ = ТП(А'1)

Приведенная теорема является частным случаем более общего результата, к формулировке и доказательству которого мы и переходим.

Теорема 2. Пусть п > 2, функционал

о

Ап :Я—> Ж является непрерывным и аффинно-инвариантным. Обозначим через и

нижнюю и верхнюю грани всех значений функционала соответственно. Тогда существуют такие собственные выпуклые тела К\ и К2, для которых справедливы равенства = АП(А'1) " ^шах = РП(К2).

Доказательство. Пусть Ь Е {^тш^тах}-Покажем существование тела К, для которого АП(А') = Ь. По определению Ь можно выбрать последовательность собственных выпуклых тел Кт такую, что Ап(А'т) —>■ Ь при т —> схэ. По лемме 3 для каждого Кт найдутся эллипсоиды Ет с центром в начале координат и точки гт Е Ж" такие, что

~Ь Am Е А'ш С zm Ьт. п

Для каждого т произведем аффинное преобразование Ат : Жп —> Жп, при котором точка zm переходит в начало координат О, а Ет переходит в шар 5(0, п). Тогда

5(0,1) С Ат(А) С 5(0, п).

В силу аффинной инвариантности функционала Fn имеем равенство Fn(Äm(Km)) = Fn(Km), поэтому Fn(Am (A'm) —>■ L при m —)> схэ. Так как все тела Кт = Ат(Кт) лежат в шаре 5(0, п), то в силу локальной компактности пространства Л можно извлечь подпоследовательность из последовательности Кт, сходящуюся к некоторому телу К Е Л. Поскольку все Кт содержат шар 5(0,1), то предельное тело К также его содержит и, следовательно, является собственным. В силу непрерывности функционала F" получаем, что Тп(К) = L, что и требовалось доказать.

Если в последней теореме в качестве функционала F" рассмотреть функционал JI. Фейе-ша Тота Тп и учесть утверждение лемм 1 и 2, получаем доказательство теоремы 1.

Вычисление характеристики JI. Фейе-ша Тота для некоторых классов выпуклых тел.

Нетрудно вычислить значение характеристики Тота для некоторых элементарных тел. Например, Т"(К) = п + 1, если К - собственный симплекс; Тп(К) = 2п, если К - собственный параллелепипед; Тп(К) = пшШп^, если К - шар;

если К - симметричный двой-—, если К - конус;

Тп(К) = 2 + (п — 1) , если К - цилиндр, где п - разменность пространства.

Используя хорошо известную асимптотику

^ при п —>■ схэ, легко показать, что

Тп(К) ~ л/2ттп в случае, когда в качестве К рассматриваются шары, цилиндры, конусы или двойные конусы.

Замечание. Как было показано в [2], в двумерном пространстве характеристика Тота принимает минимальное значение на усеченных треугольниках, в частности на симплексах. Симплекс наряду с шаром предположительно является экстремальным телом и в пространстве Ж3 (значение Т3(К) на этих телах равно 4). Однако в пространствах размерности больше 3 симплекс перестает быть экстремальным телом, поскольку и-

< п + 1, при п > 4.

Рассмотрение многочисленных примеров приводит к следующей гипотезе.

Гипотеза. При п > 3 минимум и максимум величины Тп достигается соответственно на эллипсоидах и параллелепипедах.

Для того чтобы расширить множество тел К, для которых можно привести явное выражение величины Тп(К), мы рассмотим задачу вычисления характеристики Тота для выпуклых тел вращения. Пусть К - выпуклое тело, поверхность которого образована вращением меридиана Х2 = /(^1). Потребуем, чтобы определяющая функция / : [—а, а] —>■ К была четной, непрерывной, выпуклой вверх и выполнялось равенство /(—а) = /(а) = 0. Обозначим через Бк1(х)

Г)(х

интеграл f л//(у)2 - у2 fix)2 dy, где rj(x)

о

определяется из уравнения ^^^ = —f'(x). Справедлива следующая

Теорема 3. Пусть тело К - тело вращения с меридианом х2 = f(x 1), который обладает вышеперечисленными свойствами, тогда характеристика Тота вычисляется следующим образом:

Тп{К) =

(п — 1)шп_1 [ f(x)r'

Шц-2

SKlix)

■dx. (3)

Тп (К) = ной конус; Тп(К) = 1 +

Доказательство. Рассмотрим сначала функцию /, которая является строго выпуклой, С2-гладкой и /'(О) = О, Г (-а) = схэ, /'(а) = -схэ. В начале данной статьи была введена формула (1) для вычисления характеристики Тота Тп(К) путем интегрирования по гг-мерной сфере. Поскольку тело К - тело вращения с осью ОХ 1, то в формуле (1) можно перейти к интегрированию по полуокружности, принадлежащей некоторой двумерной плоскости, проходящей через 0Х\.

ГЕОМЕТРИЯ И АНАЛИЗ

Пусть это будет единичная положительная полуокружность с центром О в плоскости

= {(а?1, х2, 0, ..., 0)||ж2 = у/1 - х'{, |а?11 < 1}. Возьмем некоторое борелевское множество шх С При вращении всех векторов и £ шх вокруг оси ОХ1 получим множество векторов ш. Очевидно, что ш С Б"-1. Обозначим через К\ множество точек {(хх, Ж2)||(®ъ х2, 0,..., 0) £ А'}, то есть К\ это есть проекция тела К на плоскость Х\Х2- Для тела К\ на множестве введем меру цх{Кх,шх) таким образом, чтобы цх{Кх,шх) = ц(К,ш). Очевидно, площадь поверхности тела К равна

точками х\ = ф(и + 6) и х\ = ф(и — Значение этой величины определим по формуле

Цх{Кх, (и - 6,и + ¿)) =

ф(и-ё)

I 1(хх)п-2л/1 + (Г(хх)У<1хх)

ф(и+6)

где в(5п_2) = (п — 1)шп_1 - площадь поверхности единичной сферы размерности п — 1. Применяя первую теорему о среднем значении, получим, что

(А'1, (и - 6, и + ¿)) =

S(K)= J v(K,du) = J Vx(Ki,du). S(S"-2)/(On-Vl + (Г(())2(Ф(и-0)-ф(и + 0)),

Рассмотрим теперь функцию максимальной площади пересечения тела К с гиперплоскостями, ортогональными направлению и. Обозначим через и множество векторов, полученных вращением некоторого и £ 5П_1 вокруг оси ОХ х-Поскольку тело К есть тело вращения вокруг оси ОХ 1, то для любых И1,И2 Е и выполняется равенство Б к {их) = Бк{и 2)- Так как во множестве II существует единственный вектор и' £ то для Кх на можно определить функцию : —)-К таким образом, что

К) = М«')-

Таким образом, получаем, что для выпуклых тел вращения К функционал Тп{К) может быть вычислен следующим образом:

Тп (К) =

¡j,x{Ki,du)

SKl{u)

Применяя теорему Радона-Никодима [9], получаем следующую формулу

141

где Р{и) является производной меры цх по стандартной угловой мере du и определяется следующим образом:

= + (5)

у ' 28 у '

Введем функцию ф : и £ [0,7г] —>■ х £ [—а, а] таким образом, чтобы и = агс1ап(/'(ж)). В силу условий, наложенных на /, функция х = ф{и) является непрерывной, взаимно-однозначной и С1-гладкой на (0,7г). Величина цх{Кх, (и — 6, и + ¿)) есть площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХх кривой Х2 = /{хх) между

где £ £ [ф(и + 6), ф{и — £))]. С учетом этой формулы найдем предел (5):

= Ит МК1Ли-6,и + 6)) = у ' <5—>0 26

-8{8п-2)/{ф{и)Г-2^ТТ{Ш^Ф'^)-

Подставим найденное выражение для Р{и) в формулу (4), получаем

Т"{К) =

J SKl(u)

du.

Теперь произведя замену переменных, приходим к выражению

[ [Ь Ч SKl^{x)) ■

— а

(6)

Далее мы отождествляем переменные хх и Х2 с переменными х и у соответственно. Рассмотрим Бк1(Ф~1 (х)). Это есть максимальная площадь пересечения К с гиперплоскостями, ортогональными направлению и £ В силу симметрии тела К, гиперплоскость пересечения, имеющая максимальную площадь, проходит через О. Точка пересечения такой гиперплоскости, ортогональной направлению и = ф(х), с кривой f(x) определяется из уравнения = —f'(x) = — tan и. Пусть т](х) = х. Тогда Бк1{Ф~1 {х)) может быть найдена так:

SKM~\X)) =

2 Шп-9

<q(x)

I Vf(y)2 ~ y2(f'(x))2n~2 dy.

Теперь с учетом четности функции / и того, при и £ (0,7г/2) формула

что cos и =

Vi+V'H)2

(6) приобретает вид (3)

Тп{К) =

(п - l)w„_i

Шц- 2

f{x)n~2 SKl{x)

dx.

Формула (3) доказана выше для тел вращений с С2-гладким меридианом. Но поскольку любая выпуклая функция сколь угодно точно может быть аппроксимирована С2-гладкой строго выпуклой функцией, то предельным переходом можно показать справедливость формулы (3) для произвольного выпуклого тела вращения. Следовательно, теорема полностью доказана.

В качестве примера использования формулы (3) рассмотрим вычисление характеристики Тота для выпуклых тел, поверхность которых об-

разована вращением кривой Ч2 = (1 — вокруг оси ОХ 1, где р > 1. Понятно, что при р = 1, тело К есть двойной симметричный конус, при р = 2 тело К - шар, а если р —>■ оо, тогда тело К стремится к цилиндру. Исследование поведения функционала Тп(К) при изменении р, учитывая громоздкость формул, можно произвести численными методами. Для этого в системе символьных вычисленией МАРЬЕ V мы разработали программу, которая позволяет вычислять характеристику Тота для таких тел. Численные результаты тестирований, проведенных в пространствах размерности 3, 4, 5, 6 и 10, делают правдоподобным утверждение о том, что характеристика Тота при р < 2 монотонно убывает, а при р > 2 - монотонно возрастает. Отметим, что полученные численные данные подтверждают вышеприведенную гипотезу об экстремальных значениях величины Тп(К).

Литература

1. L. Fejes Toth. Uber eine affineinvariante Masszahl bei Eipolyedern // Studia Sei. Math. Hungar. 1970. №5.

2. Никоноров Ю.Г., Рассказова H.B. Об одной задаче JI. Фейеша Тота // Математические труды (в печати).

3. Croft Н.Т., Falconer K.J., Guy R.K. Unsolved problems in gemetry. Springer-Verlag. 1994.

4. Хадвигер Г. Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии. М., 1966.

5. Zong Ch. Strange phenomena in convex and discrete geometry. Springer-Verlag. 1996.

6. Буземан Г. Выпуклые поверхности. М. 1968.

7. Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Геометрические неравенства. Л., 1980.

8. Leicutweiß К. Uber die affine Exzentrizität konvexer Körper // Arch. Math. 10 (1959).

9. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. СПб., 1999.