Триангуляция Делоне многомерных поверхностей и ее аппроксимационные свойства Текст научной статьи по специальности «Математика»

© В.А. Клячин, А.А. Широкий, 2009

УДК 517.518.85+517.27

ТРИАНГУЛЯЦИЯ ДЕЛОНЕ МНОГОМЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ЕЕ АППРОКСИМАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА

В.А. Клячин, А.А. Широкий

В статье вводится понятие триангуляции Делоне для поверхностей и доказывается аналог теоремы Г. Вороного о пустоте сферы. Кроме этого получена теорема о сходимости градиентов кусочно-линейных приближений, построенных на триангуляции Делоне для функций класса C2.

1. Триангуляция Делоне графика липшицевой функции

Рассмотрим некоторую n-мерную поверхность F в пространстве Rn+1, заданную графиком функции xn+1 = f (x15xn), x G D С Rn. В настоящей статье под k-мерным симплексом S в Rn мы понимаем выпуклую оболочку k +1 точек pi,i = 0,..., k < n таких, что векторы p1 — p0,p2 — p0, ...,pk — p0 линейно независимы. Определим отображение проекции

п : F ^ D, n(xi, ...,Xn+i) = (xi, ...,xn).

Множество точек вида (x1,..., xn, 0) G Rn+1 обозначим через П. Пусть Pi, i = 1,..., N — некоторый набор точек Pi G Rn+1, лежащих на поверхности F, и таких, что любой симплекс в вершинах из Pi является невырожденным. Обозначим через Р/ = n(Pi) проекцию точки Pi в область D. Будем рассматривать триангуляцию поверхности F n-мерными симплексами, построенными на множестве Pi. Здесь под триангуляцией поверхности мы понимаем такой набор T n-мерных симплексов S1,...,Sm, что:

1) каждая точка Pi заданного набора является вершиной одного из симплексов S G T;

2) каждая вершина любого симплекса S G T является одной из точек Pi, i = 1,N;

3) внутренность пересечения любых двух симплексов пуста;

4) проекция системы симплексов Sj G T,j = 1, ...,m является обычной триангуляцией набора точек P/.

Триангуляцию будем называть остроугольной, если для каждого симплекса его углы между двумя любыми гранями острые.

Из всех триангуляций множества точек поверхности F мы будем выделять триангуляции, удовлетворяющие условию, аналогичному условию Делоне для плоских областей (см. [1;2]). Дадим соответствующие определения.

Определение 1. Пусть S — некоторый n-мерный симплекс в Rn+1. Описанным шаром F(S) для S мы назовем (n + 1) -мерный шар, содержащий симплекс и имеющий минимально возможное значение радиуса.

Определение 2. Будем говорить, что триангуляция поверхности Р удовлетворяет условию Делоне, если для любого симплекса триангуляции описанный около него шар не содержит внутри себя ни одной вершины триангуляции.

Определение 3. Будем говорить, что для двух и-мерных симплексов, пересекающихся по общей (и — 1) -мерной грани, выполнено условие пустоты шара, если описанный шар одного симплекса не содержит внутри себя вершин другого симплекса.

Следует отметить, что в [3] рассмотрен случай, когда вместо шара используется произвольное выпуклое множество.

Теорема 1. Пусть поверхность Р задана над выпуклой областью В с И” Триангуляция этой поверхности, для которой любая пара симплексов, пересекающихся по общей (и — 1) -мерной грани, удовлетворяет условию пустоты шара, является триангуляцией Делоне.

Доказательство. Рассмотрим некоторую триангуляцию множества точек Р*, обладающую свойством, указанным в теореме. Для двух соседних симплексов ББ" данной триангуляции построим гиперплоскость П, проходящую через пересечение гиперсфер дР(Б') П дР(Б"). Рассмотрим произвольный симплекс Б заданной триангуляции и некоторую вершину А произвольного симплекса триангуляции, отличного от Б. Построим луч ОА и последовательность указанных плоскостей, которые пересекаются этим лучом следующим образом. Первой луч пересекает одну из плоскостей, проходящую через одну из граней симплекса Б. Обозначим эту плоскость через П. Эта плоскость также содержит одну из граней соседнего симплекса Б^ Далее луч пересекает одну из плоскостей, содержащих грани симплекса Б^ Обозначим эту плоскость через П2. Плоскость П2 содержит одну из граней соседнего симплекса Б2. Поступая таким образом, получим последовательность плоскостей П15 П2,..., Пь и последовательность симплексов Б1 , Б2,...,Бь. Также обозначим через П± полупространства, определяемые плоскостями П*, такие, что луч ОА при пересечении плоскости П* выходит из П- и входит в П+. Ясно, что А € Бь. Предположим, что А € Б2. Согласно построению плоскостей П* выполнено: А € П+. Заметим, что в силу свойств шаров будет иметь место одно из следующих включений:

Р(Б) П П+ с Р(Б1) П П+,

или

Р(Б1) П П+ с Р(Б) П П+.

Пусть В — вершина симплекса Б1, не принадлежащая плоскости П1. По предположению теоремы В € Р(Б), но В € Р(Б1). Таким образом, имеет место включение

Р(Б) П П+ с Р(Б1) П П+,

что делает невозможным принадлежность А € Р(Б), так как из условий теоремы должно быть выполнено А € Р(Б1). Аналогично, по индукции, доказывается, что при условии А € Бк, к = 3,..., Ь будет выполнено А € Р(Б). Теорема доказана.

2. Аппроксимационные свойства триангуляции Делоне

Пусть В с И”, и > 1 — область, в которой задана последовательность {Рт} конечных наборов точек. Для каждого такого набора рассмотрим его триангуляцию Тт.

Для всякого симплекса S G Tm определим величину максимальной его стороны ds. Положим

dm = max ds.

S£Tm

Мы будем рассматривать такие наборы точек Pm и их триангуляции Tm, для которых выполнены условия:

dm ^ 0 при m ^ го. (1)

Vx G D и Ve > 0 3m0 G N : Vm > m0 За G Pm такая, что |а — x| < £ . (2)

Второе условие означает, что Pm является £-сетью при всех достаточно больших m. Рассмотрим некоторую функцию f (x),x G D класса C*(D). Для всякого натурального m построим кусочно-аффинную функцию fm(x) такую, что

fm(a) = f (а), для любой точки а G Pm.

Несложно показать, что при выполнении условий (1) и (2) последовательность fm(x) равномерно сходится к функции f(x) на каждом компактном подмножестве K С D. В данном параграфе мы изучаем возможности триангуляции Делоне для аппроксимации градиента функции f (x) градиентом fm(x). Начнем со случая плоской области. В работе [4] было доказано следующее утверждение.

Утверждение 1. Пусть задана последовательность Tm триангуляций плоской области D С R2, для которой выполнено условие (1). Для треугольника S обозначим через уS величину максимального его острого угла. Тогда, если величина

ds п max------- ^ 0 при m ^ го,

SeTm tg ys

то для любой компактно вложенной подобласти U ш D и произвольной функции f G C2(D) выполнено

|vf (x) — Vfm(x)| ^ 0.

StJm,T СU x£S

Попытаемся оценить величину из утверждения 1 через радиус описанной около треугольника окружности. Будем рассматривать два случая.

1) Рассматриваемый треугольник остроугольный. Тогда ys — угол, расположенный напротив самой длинной стороны ds. Воспользуемся теоремой синусов:

ds cos ys

2R cos ^s < 2R,

поскольку ds = 2R.

J sin ^s

2) Рассматриваемый треугольник тупоугольный. Обозначим через ^d угол, находящийся напротив самой длинной стороны. Очевидно, что ^d > п/2 и ^d + 2^s > п. Если ^ < п/4, то | sin^d| < | sin2^s|. Значит,

ds 2ds cos2 ^s < 2ds = 4^

tg sin sin ^d

Если ^ > п/4, то < dS < 2R. Таким образом, результирующая оценка имеет вид:

tg VS

ds

tg ^s

Откуда получается следующая теорема

< 4R.

Теорема 2. Пусть задана последовательность Тт триангуляций Делоне плоской области В с И2, для которой выполнено условие (1). Тогда для любой компактно вложенной подобласти и ш В выполнено:

тах тах IV / (ж) — У/т(ж)|—>0.

5бТт,Тси хбй ' ^ 7

Для доказательства заметим, что если выполнены условия (1) и (2), то радиус описанной окружности каждого внутреннего треугольника триангуляции Делоне Тт не превосходит е. Действительно, если это не так, то для некоторого треугольника триангуляции радиус описанной окружности будет больше е. Поэтому, в силу (2) найдется точка р € Рт, отличная от вершин этого треугольника, с расстоянием от центра его описанной окружности не большим е. Но это противоречит определению триангуляции Делоне. Таким образом, если последовательность триангуляций Делоне Тт такова, что е ^ 0 при т ^ го, то, согласно вышеполученной оценке, получаем требуемое из утверждения 1.

Перейдем к многомерному случаю. Рассмотрим некоторый п-мерный симплекс Б С И”. Обозначим через Б* (п — 1)-мерную его грань как (п — 1)-мерный симплекс, построенный по точкам р0, ...,р*_1,р*+1, ...,рп. Кроме этого, с симплексом Б свяжем орто-нормированный базис {е^}, как результат процесса ортогонализации Грамма — Шмидта векторов {р* — р0},г = 1, ...,п. Теперь положим

Причем, не ограничивая общности, можно считать, что afk > 0. Ясно, что = 0 при

i > k. Пусть обозначает площадь проекции грани S на плоскость П^, натянутую на вект°ры ef,...,е^-1,е^+1,...,е^.

Пусть обозначает угол между вектором — p0 и плоскостью, натянутой на векторы е1,..., ek-1, k = 2,...,n, ^1 = п/2, а обозначает угол между гранью и

плоскостью Пк. В [4] доказано следующее утверждение.

Утверждение 2. Предположим, что для области В с Rn, последовательности наборов точек Pm и их триангуляций Tm выполнены условия (1) и (2). Тогда для любой функции f е C2 (В) и любой компактно вложенной подобласти U (ё В имеет место неравенство

max max |Vf (x) — Vfm(x)|< ( 2 + -П-7TT |, (3)

S6Tm,ScU X6S \ v ^| sin ^j|| cos 9il I

где

\ n

A = — max max

2 U l<*,j<ra

d2f(ж)

dxidxj

Таким образом, для доказательства сходимости градиентов кусочно-линейных функций /т(х) к градиенту функции /(ж) достаточно получить оценку величины

£

1

1 | sin ^i|| cos 0j|:

характеризующей геометрию симплекса.

Обозначим через £* вектор нормали к грани S* данного симплекса S. Тогда cos= (£*, e*). По построению базиса {e*} имеем для некоторых aik

k=1

Заметим, что в силу геометрических соображений

1

|pi - Ро| sin ^¿'

Обозначая через |S¿| площадь соответствующей грани, будем иметь

|Si |(Ci,e¿) (|Si |Ci, (Pfc - Po)) |S¿|(Ci,Pi - Po)

л |Si |\SÍ, ei/

cos 0¿ =-------------s-----------= aifc

|Si| k=1 |Si| sin ^*|p* - po||Si|

Учитывая, что |(£*,р* — p0}| совпадает с высотой симплекса, опущенной на основание S окончательно получаем

1 |p — Po jjSij |pi — Pol

| sin cos 0j| nV h* ’

где V — объем симплекса, a h* — его высота, опущенная из вершины р*. Таким образом, для оценки указанной величины необходимо оценить снизу двугранные и плоские углы при вершине р0. К сожалению, в общем случае не удается это сделать. Тем не менее для остроугольных симплексов в R3 мы доказываем существование необходимой оценки снизу таких углов.

Теорема 3. Пусть Tm, m = 1, 2, 3,... — последовательность остроугольных триангуляций конечных наборов Pm точек области D с R3, для которых выполнены условия (1) и (2). Тогда для функций f (ж),ж Є D класса C2(D) и компактно вложенной подобласти U ш D выполнено

sup sup |Vf (ж) Vfm(x)| ► 0

S6T,SCU ЖЄ5

при m ^ го.

Предварительно докажем вспомогательную лемму.

Лемма 1. Пусть заданы три числа 0 < A* < п/2 + 8, где 0 < 8 < п/2. Если A1 + A2 + A3 > п, то хотя бы два из этих чисел не меньше, чем А0 = 2 (| — 8).

Доказательство. Предположим противное, то есть некоторые из двух данных чисел меньше, чем A0. Тогда для их суммы имеем

A* < 2A0 + 2 + 8 = п’

i=1

что противоречит условию леммы.

Полагая 6 = 0 и, учитывая, что сумма углов плоского и сферического треугольников не меньше п, получаем следствие.

Следствие. Для остроугольного тетраэдра справедливы утверждения:

1. В любой вершине найдутся два двугранных угла не меньших п/4.

2. На любой грани найдутся два плоских угла не меньших п/4.

Таким образом, найдется такая вершина тетраэдра, при которой имеются два двугранных и два плоских угла не меньшие, чем п/4. Тогда, если это вершина p0, то

|Pi - РоЦ 1 = 2

hi _ sin2 4 '

Справедливость теоремы теперь следует из оценки (3).

Список литературы

1. Делоне, Б. П. О пустой сфере. К мемуару Георгия Вороного / Б. П. Делоне ; пер. с фр. А. Ю. Игумнов. // Записки семинара «Сверхмедленные процессы». — Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2006. — Вып. 1. — С. 147-153.

2. Скворцов, А. В. Алгоритмы построения и анализа триангуляции / А. В. Скворцов, Н. С. Мирза. — Томск : Изд. Том. ун-та, 2006. — 168 с.

3. Клячин, В.А. Об одном обобщении условия Делоне / В. А. Клячин // Вестн. Том. гос. ун-та. Серия «Математика и механика». — 2008. — № 1(2). — С. 48-50.

4. Грачева, Е. А. Кусочно-линейное интерполирование поверхностей уровня функций, заданных на нерегулярных сетках / Е. А. Грачева, В. А. Клячин // Записки семинара «Сверхмедленные процессы». — Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2008. — Вып. 3. —

С. 157-167.

Summary

APPROXIMATION PROPERTIES OF DELAUNAY TRIANGULATION

V.A. Klyachin, A.A. Shiroky

This paper introduced the definition of Delaunay triangulation of surfaces and an analogue of B. Delaunay lemma of empty sphere is proved. Also theorems of convergence of gradients of piecewise-linear approximation of smooth functions, built on their values in Delaunay triangulation nodes are obtained.