Оценки радиуса просвета конечного множества единичного шара в Rn 1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

www.volsu.ru

МАТЕМАТИКА

DOI: https://doi.org/10.15688/mpcm.j'volsu.2017.3.1

УДК 514.142.2+514.174.6 ББК 32.973.26-018.2

ОЦЕНКИ РАДИУСА ПРОСВЕТА КОНЕЧНОГО МНОЖЕСТВА

ЕДИНИЧНОГО ШАРА В Кп 1

Анна Владимировна Болучевская

Кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры

компьютерных наук и экспериментальной математики,

Волгоградский государственный университет

[email protected], [email protected], [email protected]

просп. Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация

о

сч

Ы

к ч

га а с га

и

<

Ш

к к ¡г к

ч

Владимир Александрович Клячин

Доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой компьютерных наук и экспериментальной математики, Волгоградский государственный университет [email protected], [email protected]

просп. Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация

Михаил Евгеньевич Сапралиев

Магистрант кафедры алгебры и анализа, Калмыцкий государственный университет [email protected]

ул. Пушкина, 11, 358000 г. Элиста, Республика Калмыкия, Российская Федерация

Аннотация. Кусочно-линейная аппроксимация гладких функций, заданий ных на триангуляциях, не обеспечивает сходимости производных, что подтверждается классическим примером Шварца. Тем не менее в плоском слу-

03

< чае, если триангуляция является триангуляцией Делоне (то есть выполнено

§ условие пустой сферы), сходимость производных имеет место. В то же время

ш в многомерном случае условия пустой сферы уже недостаточно, поэтому в [1]

^ было сформулировано модифицированное условие пустой сферы, обеспечивающее необходимую аппроксимацию. В этом условии участвует величина Цк,п,

@ исследованию которой посвящена статья.

Ключевые слова: триангуляция, условие пустой сферы, триангуляция Делоне, выпуклое множество, выпуклая функция, выпуклая оболочка.

Введение

Пусть в Мга задан конечный набор точек Р = {Р^, г = 1,..., N. Широко известна классическая задача: для функции f € С 1(Мга) приближенно вычислить ее производные по известным значениям функции в точках Р^. Один из методов решения такой задачи основан на построении триангуляции Т множества точек Р.

Если симплекс Б триангуляции Т имеет вершины , ,...,р^п € Р, то можно найти функцию вида

¡в (х) = (а,х) + Ь

такую, что

I (Ргк ) = /5 (Ргк ), к = 0,...,П.

Тогда приближенным значением градиента V f(ж) для точек х € Б можно считать значение градиента этой линейной функции Vfs(х). Введем обозначение

а) = тах IV/(х) — Vfs(я)|

хы

для абсолютной погрешности вычисления градиента. Традиционно получают оценки этой величины для произвольных триангуляций с использованием интерполяционных многочленов в терминах геометрии треугольников. Однако поведение погрешности 5$) при уменьшении диаметров симплексов тесно связано не только со структурой симплекса, определяющей степень его невырожденности, но и с геометрией триангуляции в целом.

Напомним, что триангуляция Т называется триангуляцией Делоне, если выполнено условие пустоты сферы: для всякого симплекса в € Т его описанная сфера не содержит внутри себя точек набора Р [4; 5].

В работе [3] и частично в работе [6] было доказано, что при п =2 для триангуляции Делоне набора точек Р, образующих е-сеть, справедлива оценка

тах (/) < с (/)е,

где константа С) зависит от класса функции.

В.А. Клячиным были предприняты попытки получить аналогичный результат для пространств размерности больше 3. Однако, как показано в [2], в многомерном случае для существования подобной оценки недостаточно одного условия пустой сферы. Поэтому в [1] было сформулировано модифицированное условие пустой сферы.

При выполнении этого условия для погрешности вычисления градиента справедливо неравенство вида

тах (/) < с(/) ■ е-Ык^

где С(f) — константа, зависящая от класса функции, а Пк,п определяется следующим образом.

Пусть В(x,t) обозначает открытый шар радиуса t > 0 с центром в точке х G Мга. Тогда

Пк,п = inf sup {р : В(уо, р) С В(0,1) \{q1}...,qk}}.

qi,...,gkeB(0,l) уоев(0,1)

Геометрический смысл величины Цк,п состоит в том, что какие бы к точек из В(0,1) ни взять, найдется открытый шар радиуса Пк,п, лежащий внутри шара В(0,1) и не содержащий заданных к точек. Ясно, что для всех к, п выполнено Цк,п > 0. Данная статья посвящена результатам исследования величины Пк,п.

Справедлива следующая теорема. Теорема 1. Величина Пк,п монотонно стремится к 0 при увеличении количества точек, то есть

Доказательство. Пусть для всякого к имеем единственный шар максимального радиуса г, который лежит внутри В(0,1) и не содержит заданных к точек. Следовательно, добавление (к + 1)-й точки не может увеличить радиус г (только уменьшить или оставить прежним). Предположим, что для произвольной (к + 1)-й точки существует шар максимального радиуса г\, не содержащий заданных к + 1 точек, такой, что г\ > г. Получаем противоречие. Таким образом, г\ < г.

Докажем теперь следующую теорему. Теорема 2. Величина Пк,п не убывает с ростом размерности пространства, то есть при п > 1 имеет место оценка

Рассмотрим точки р\,... ,рк Е Вп(0,1). Пусть р[,... ,р'к — их проекции на плоскость хп = 0. Тогда найдется шар Вп-г(ро,г) С Вп-Х(0,1) \ {р[,... ,р'к} и г > Пк,п-\. Поскольку Вп(р0,г) лежит внутри цилиндра

1. Основные свойства Пк

Цк,п ^ 0 при к ^ +х>.

Пк,п > пк,п-1.

Доказательство. Пусть

то

Вп(ро,г) С Вп(0,1) \{pi,...,pk}. Отсюда Пк,п > г > Пк,п—1. Теорема доказана.

Кроме того, нами получена следующая оценка. Теорема 3. Справедливо неравенство

1

пм > т^гТП) •

Доказательство. Рассмотрим целое число д такое, что

//кЛ < д < //кП+ь

Впишем в шар Вп(0,1) куб со стороной —=. Разделим его стороны на д частей. В результате получим более мелкие кубы со стороной а = . При этом число таких кубов будет дп — к +1. Хотя бы один из этих кубов не будет содержать точек рх,... ,рк. Шар, вписанный в такой куб, также не содержит точек р\, • • • ,рк. Его радиус равен

1 1 1

-а = _ > ———, -•

2 урщ — ^П+1)

Таким образом,

1

Цк'п — //¥+!+1)•

Теорема доказана.

Для некоторых к и п были получены точные значения Пк,п. Утверждение 1. Пусть п =1, число точек к — произвольно. Тогда Пк,\ = д+х•

Доказательство. Если п = 1, то шар представляет собой отрезок длины 2. Разделим его на к + 1 равных частей длиной (рис. 1).

1 2 к-1 к

2/(к+1)

Рис. 1. Разбиение отрезка на к + 1 равных частей

Ясно, что одна из частей не будет содержать внутри себя точек набора дх^^^дк. Таким образом, для любого набора дх^^^дк найдется шар радиуса , не содержащий внутри себя точек этого набора. Следовательно, пм — д+х.

С другой стороны, если точки дх^^^дк расположены таким образом, что делят отрезок на к + 1 равных частей (рис. 2), то максимальный радиус шара, не содержащего внутри себя точек этого набора, равен ^тх. То есть пм < д+х.

41 12 Чк-1 Чк

2/(к+1)

Рис. 2. Разбиение отрезка точками ...,Цк на к + 1 равных частей Отсюда получаем, что пм = ¿х.

Утверждение 2. Пусть п — произвольно, а к < п. Тогда

Доказательство. Набор д\,...,дк задает к точек, через которые возможно провести ^-мерную плоскость, разделяющую единичный шар на 2 части (рис. 3). При этом полученные части не содержат внутри себя точек д\,...,дк.

Рис. 3. Через точки д1,...,дк проведена ^-мерная плоскость

Ясно, что внутрь одной из этих частей всегда можно поместить открытый шар радиуса не меньше 1. Следовательно, Пк,п > 1 при к < п.

С другой стороны, пусть одна из точек ^ набора д\, ...,дк совпадает с центром шара (рис. 4). Любой шар радиуса больше \ будет содержать в себе точку д^. Следовательно, Ък,п < 1 при к < п.

Рис. 4. Одна из точек набора д1, совпадает с центром шара Отсюда получаем, что Пк,п = 1 при к < п .

Утверждение 3. Пусть п = 2, а к = 3. Тогда пз,2 = 2л/3 — 3.

Доказательство. Имеется набор д1,д2,д3, лежащий внутри единичного круга. Из центра круга проведем лучи, проходящие через точки д\,д2,дз. Лучи делят круг на 3 части, не содержащие внутри д\,д2,дз (рис. 5).

Рис. 5. Из центра круга проведены лучи, проходящие через точки

Один из углов, образованных лучами, не меньше 2^• То есть всегда найдется сектор

2 п

круга с центральным углом величины -3, внутри которого можно поместить круг, не содержащий gi,g2,g3. Радиус rm¡n этого круга определяется как радиус окружности, вписанной в треугольник ABC (рис. 6).

Рис. 6. Круг радиуса гтП, не содержащий точек Имеем гт-т — 3. Следовательно, Пз 2 > 2л/3 — 3.

Рассмотрим теперь набор д1,д2,д3 такой, что точки д1,д2,д3 образуют равносторонний треугольник, центр которого совпадает с центром круга (рис. 7). Обозначим а — длину стороны треугольника. Проведем окружность, проходящую через две вершины треугольника и касающуюся единичной окружности.

Рис. 7. Максимальный круг, лежащий внутри единичного и не содержащий точек Радиус К этой окружности связан с а следующим образом:

R

^а2 - а + ^3 2^3 - а '

Отсюда, если а = 3, то К = 2л/3 — 3. В таком случае круг радиуса

К = 2л/3 — 3 является максимальным кругом, лежащим внутри единичного и не содержащим точек д1,д2,д3. Это справедливо, поскольку радиус круга, описанного вокруг треугольника, равен 2 — л/3, что меньше К. В то же время внутрь любого круга радиуса больше К обязательно попадет одна из точек д1,д2,д3. Таким образом, п3,2 < 2л/3 — 3.

Отсюда получаем, что П3,2 =

2л/3 — 3 .

Утверждение 4. Пусть п = 2, а к = 4. Тогда л4,2 = л/2 — 1.

Доказательство. Имеется набор д1,д2,д3,д4, лежащий внутри единичного круга. Из центра круга проведем лучи, проходящие через точки д1,д2,д3,д4. Лучи делят круг на 4 части, не содержащие внутри д1,д2,д3,д4. Один из углов, образованных лучами, не меньше | (см. рис. 8).

Рис. 8. Из центра круга проведены лучи, проходящие через точки q\,q2,q3,q4

То есть всегда найдется сектор круга с центральным углом величины |, внутри которого можно поместить круг, не содержащий q1,q2,q3,Q4- Радиус rmin этого круга определяется как радиус окружности, вписанной в треугольник ABC (рис. 9).

Рис. 9. Круг радиуса гтп, не содержащий точек q1,q^l Имеем гтт = л/2 — 1. Следовательно, щ22 > л/2 — 1.

Рассмотрим теперь набор такой, что точки д1,д2,д3,0_4 образуют квад-

рат, центр которого совпадает с центром круга (рис. 10). Обозначим а — длину стороны квадрата. Проведем окружность, проходящую через две вершины квадрата, принадлежащие одной стороне, и касающуюся единичной окружности.

Рис. 10. Максимальный круг, лежащий внутри единичного и не содержащий точек q1,q2,qз,q4 Радиус Я этой окружности связан с а следующим образом:

—а2 + 2а — 2

R

2а- 4

Отсюда, если а = 2 — л/2, то Я = л/2 — 1. В таком случае круг радиуса Я = у/2 — 1 является максимальным кругом, лежащим внутри единичного и не содержащим точек д1,д2,д3,д4. Это справедливо, поскольку радиус круга, описанного вокруг квадрата, равен л/2 — 1, что равно Я. В то же время внутрь любого круга радиуса больше Я обязательно попадет одна из точек д1,д2,д3,д4. Таким образом, п4,2 < л/2 — 1.

Отсюда получаем, что П4,2 = V2 -1 .

Вычисление величины Цк,п в общем случае затруднительно, поэтому было решено разработать приближенный алгоритм для определения пустого круга максимального радиуса, то есть величины

sup {р : В(уо, р) С В(0, 1) \ {qu ..., qk}}.

уоев(о,1)

2. Алгоритм поиска пустого круга максимального радиуса

Ниже дано описание работы алгоритма вычисления пустого круга максимального радиуса. Алгоритм разбивается на три блока.

Первый блок — рассматриваются все точки заданного конечного множества точек (рис. 11).

Рис. 11. Обработка кругов в первом блоке алгоритма

1) Строится отрезок с концами а и Ь, проходящий через текущую точку (в цикле обозначим ¿) и центр единичной окружности с0.

Диагональ разбивается на два отрезка [а,Ь] и [¿,6].

Находим середину отрезка [а,£] — предполагаемый центр искомой окружности с.

Расстояние от £ до предполагаемого центра есть предполагаемый радиус г.

Запускаем цикл проверки вхождения других точек в предполагаемые окружности.

Условие в цикле: если расстояние от текущей точки в цикле до с меньше г, отмечаем флаг вхождения.

Если флаг не активен, запоминаем радиус и координаты центра. Повторяем операции 3-6 для второго отрезка \Ь,Ъ].

Второй блок — рассматриваются пары точек (^¿2) (рис. 12).

Отмечаем точку Ь3 между двумя точками пары. Строим отрезок [^¿2].

Поворачиваем отрезок на 90 градусов и экстраполируем его до пересечения с единичной окружностью в точках ¿01, ¿02.

Строим отрезки [13,101] и [¿^¿02], задаем р = 1.

Получаем точку д на прямой, содержащей отрезок [¿3,£01]. При значении параметра р =1 получаем ¿01, при р = 0 получаем точку ¿3.

Рис. 12. Обработка кругов во втором блоке алгоритма

6) Строим диагональ, проходящую через q и с0, с концами к\, к2.

7) Находим существенную точку ess среди к\ и к2 — точку, чье расстояние до q меньше.

8) Вычисляем абсолютную разность между расстоянием от ess до q и расстоянием от t\ до q. Обозначим ее res.

9) В цикле повторяем шаги 5-8, пока р > 0, уменьшая р на заданную величину dp.

10) Внутри цикла проверяем разность res. Если res <= EPS, где EPS — заранее заданная константа, то расстояние от q до t\ есть предполагаемый радиус, а q — предполагаемый центр.

11) Проверяем на вхождение других точек и запоминаем найденные величины.

12) Проделываем шаги 5-11 для другого отрезка \t3,t02\.

Третий блок — рассматриваются тройки точек (t\,t2,t3) (рис. 13).

1) Строим отрезки и [12,13].

2) Находим точку е как пересечение срединных перпендикуляров описанных выше отрезков.

3) Расстояние d от е до Ь1 — предполагаемый радиус.

4) Проверяем на выход за пределы единичного круга: сумма d и расстояния от е до с0 должна быть меньше 1.

5) Проверяем на вхождение других точек. В отсутствии вхождения — запоминаем вычисленные данные.

Рассчитываем максимальный радиус из предполагаемых, которые запомнили в результате работы трех блоков программы.

ПРИМЕЧАНИЕ

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и Администрации Волгоградской области (проект № 15-41-02517 р_поволжье_а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Клячин, В. А. Модифицированное условие пустой сферы Делоне в задаче аппроксимации градиента / В. А. Клячин // Изв. РАН. Сер. мат. — 2016. — Т. 80, № 3. — C. 95-102.

2. Клячин, В. А. О многомерном аналоге примера Шварца / В. А. Клячин // Изв. РАН. Сер. мат. — 2012. — Т. 76, № 4. — C. 41-48.

3. Клячин, В. А. Триангуляция Делоне многомерных поверхностей и ее аппроксима-ционные свойства / В. А. Клячин, А. А. Широкий // Изв. вузов. Мат. — 2012. — № 1. — C. 31-39.

4. Скворцов, А. В. Алгоритмы построения и анализа триангуляции / А. В. Скворцов, Н. С. Мирза. — Томск : Изд-во Том. ун-та, 2006. — 168 с.

5. Delaunay, B. N. Sur la sphere vide. A la memoire de Georges Voronoi / B. N. Delaunay // Известия АН СССР. — 1934. — № 6. — C. 793-800.

6. Shewchuk, J. R. What is a good linear finite element? Interpolation, conditioning, anisotropy, and quality measures : preprint / J. R. Shewchuk. — Berkeley : Department of Electrical Engineering and Computer Sciences, University of California at Berkeley, 2002. — 66 p.

REFERENCES

1. Klyachin V.A. Modifitsirovannoe uslovie pustoy sfery Delone v zadache approksimatsii gradienta [Modified Delaunay Empty Sphere Condition in the Problem of Approximation of the Gradient]. Izv. RAN. Ser. mat. [Izvestiya: Mathematics], 2016, vol. 80, no. 3, pp. 95-102.

2. Klyachin V.A. O mnogomernom analoge primera Shvartsa [On a Multidimensional Analogue of the Schwarz Example]. Izv. RAN. Ser. mat. [Izvestiya: Mathematics], 2012, vol. 76, no. 4, pp. 41-48.

3. Klyachin V.A., Shirokiy A.A. Triangulyatsiya Delone mnogomernykh poverkhnostey i ee approksimatsionnye svoystva [The Delaunay Triangulation for Multidimensional Surfaces and Its Approximative Properties]. Izv. vuzov. Mat. [Russian Mathematics], 2012, no. 1, pp. 31-39.

4. Skvortsov A.V., Mirza N.S. Algoritmy postroeniya i analiza triangulyatsii [Algorithms of Triangulations Design and Analisys]. Tomsk, Izd-vo Tom. un-ta, 2006. 168 p.

5. Delaunay B.N. Sur la sphere vide. A la memoire de Georges Voronoi. Izvestiya AN SSSR [Izvestiya: Mathematics], 1934, no. 6, pp. 793-800.

6. Shewchuk J.R. What is a good linear finite element? Interpolation, conditioning, anisotropy, and quality measures: preprint. Berkeley, Department of Electrical Engineering and Computer Sciences, University of California at Berkeley, 2002. 66 p.

ESTIMATIONS OF CLEARANCE RADIUS FOR FINITE SUBSET

OF A UNIT BALL IN Rra

Anna Vladimirovna Boluchevskaya

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senior Lecturer, Department of Computer Science and Experimental Mathematics, Volgograd State University

[email protected], [email protected], [email protected] Prosp. Universitetsky, 100, 400062 Volgograd, Russian Federation

Vladimir Aleksandrovich Klyachin

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Head of Department of Computer Science and Experimental Mathematics, Volgograd State University [email protected], [email protected]

Prosp. Universitetsky, 100, 400062 Volgograd, Russian Federation

Mikhail Evgenyevich Sapraliev

Master Student, Department of Algebra and Analysis,

Kalmyk State University

[email protected]

Pushkina St., 11, 358000 Elista, Republic of Kalmykiya, Russian Federation

Abstract. Let P = [Pi], i = 1,... ,N, be a finite set of points in Rra.

Consider a classical problem — approximation of derivatives of function f E C 1(Rra) using function values at points Pi. One method of solving this problem is based on building triangulation T of set P.

If pi0, pil,... ,pin E P are vertices of simplex S in triangulation T then we may find a function

fs (x) = (a,x) + b,

such that

f (Pik ) = fs (Pik ), k = 0,...,n.

Then we can approximate gradient Vf(x) in points x E S by gradient of linear function Vfs(x).

By bs(f) denote an absolute error of gradient computation

&s(f ) = max IVf (x) -Vfs(x)|.

If simplexes diameters are getting smaller then behavior of bs(f) is connected not only with simplexes structure but also with triangulation geometry in whole.

Let us remind that triangulation T is called Delaunay triangulation if an empty sphere condition holds: for every simplex S E T its circumsphere does not contain points of P inside of itself ([4; 5]).

In paper [3] and partially in paper [6] it was proven that if n = 2 and a set of points P is an e-net then the following estimate is true for Delaunay triangulation of P

maxbs(f) < C(f)e,

Ot1

where constant C(f) depends on the function class.

V.A. Klyachin tried to get an analogous result for spaces of dimensions more than 3. But in [2] it was shown that in a multidimensional case an empty sphere condition is not enough for getting a similar estimate. Therefore in [1] a modified empty sphere condition was given.

If this modified empty sphere condition holds then the following inequality is true

maxbs(/) < C(/) ■ zfok,^

o G1

where C(f) is a constant depending on the function class, and nk,n is defined in the following way.

Let B(x,t) be an open ball of radius t > 0 with a center in x G Mra. Then nk,n = inf sup {p : B(yo, p) C B(0,1) \{q!,...,qk}}.

qi,...,gkeB(0,l) y0GB(0,1)

This paper is devoted to studying nk,n-

Key words: triangulation, empty sphere condition, Delaunay triangulation, convex set, convex function, convex hull.