Построение решений уравнения типа Монжа - Ампера на основе Ф-триангуляции Текст научной статьи по специальности «Математика»

www.volsu.ru

МАТЕМАТИКА

DOI: https://doi.oгg/10.15688/j•volsu1.2017.1.1

УДК 517.957+514.752 ББК 32.973.26-018.2

ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ТИПА МОНЖА - АМПЕРА НА ОСНОВЕ Ф-ТРИАНГУЛЯЦИИ

Владимир Александрович Клячин

Доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой компьютерных наук

и экспериментальной математики,

Волгоградский государственный университет

[email protected], [email protected], [email protected]

просп. Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация

Михаил Игоревич Казанин

Аспирант кафедры компьютерных наук и экспериментальной математики, Волгоградский государственный университет [email protected], [email protected]

просп. Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация

о

Аннотация. В статье предложен геометрический метод конструкции кусочно-линейных решений дискретного аналога уравнения вида

X

Идея метода основана на использовании подхода, предложенного А.Д. Алек-

к сандровым для доказательства существования классического решения приве-

¡X

£ денного выше уравнения. Отметим, что геометрическим аналогом решаемой

^ задачи в статье является задача А.Д. Александрова о существовании много-

< гранника с заданными кривизнами вершин.

03

к Ключевые слова: выпуклая многогранная поверхность, кусочно-линей-

ч ная функция, триангуляция, выпуклое множество, уравнение Монжа — Ам-

© пера.

1. Дискретный аналог уравнения Монжа — Ампера

Рассмотрим в области И С М2 уравнение Монжа — Ампера вида

иХ1Х1 иХ2Х2 - и2Х1Х2 = Р (иХ1 ,иХ2 )Ф(Х1,Х2), (1)

где Р, ф — положительные непрерывные функции. Область определения функции Р есть все пространство М2, а ф(х1,х2) определена в И. Поскольку в левой части (1) фактически записано выражение для якобиана отображения градиента функции и(х1,х2), то, разделив обе части уравнения (1) на Р(иХ1 ,иХ2) и интегрируя по любой подобласти Б0 СС И, получим интегральное равенство

Ц^(^0) ^У ^2) = / ф(ж1 ,Х2)^ (2)

О'0 ' До

где Ц0 — образ отображение градиента функции и(х1,х2). Отметим, что в работе [6] даны некоторые параметрические семейства решений уравнения (1).

Следуя [1], запишем уравнение, аналогичное уравнению (1) для кусочно-линейных функций. Для этого предположим, что область И является областью, ограниченной выпуклым многоугольником. Тогда для кусочно-линейной функции f : И ^ М найдется разбиение И на многоугольные области П1} ...,От, замыкания которых пересекаются по общим сторонам и вершинам. Пусть р1,р2, ...,рм € 5 — все вершины этих многоугольников. Для каждой Рг,{ = 1,М, обозначим ,...,0^. те многоугольники, которые имеют точку р^ в качестве вершины. В каждой области функция f может быть задана в виде

/ (%1,%2) = а,гХ1 + ^Х2 + Сг, % =1,М. (3)

Построим для каждого г = 1,И многоугольник М.\ с вершинами ^ ,...,д^п., где Щ = (^кэ )] = 1,щ. По аналогии с равенством (2) введем величину

- <*> = / Ш) (4)

Мг

Для заданных чисел ф^,..., ф^ > 0 систему соотношений

Цр = фг, г =1,М, (5)

будем называть дискретным аналогом уравнения (1). Решением уравнения (5) будем называть всякую кусочно-линейную функцию f (х1,х2), для которой выполнены равенства (5) для точек рг,...,рм, соответствующих разбиению области И для кусочно-линейной функции $ (х1,х2). Отметим, что соответствующая геометрическая задача о существовании выпуклых многогранников с заданными мерами кривизн вершин исследовалась в работе [5].

2. Ф-триангуляция

Рассмотрим в Мга семейство Ф строго выпуклых компактных множеств с не пустой внутренностью. Пусть $ — произвольный невырожденный симплекс. Определим охватывающее множество В € Ф (если оно существует) из данного семейства как множество,

чья граница содержит вершины симплекса (а значит, содержит весь симплекс в силу выпуклости). В общем случае таких охватывающих множеств из данного семейства Ф может быть несколько.

Определение 1. Рассмотрим произвольную триангуляцию конечного множества точек Р С Мга. Будем говорить, что эта триангуляция является Ф-триангуляцией, если для любого симплекса Б этой триангуляции внутренность любого охватывающего множества В не содержит вершин других симплексов.

Заметим, что если семейство Ф представляет собой семейство всех шаров в Мга, то вышеприведенное определение совпадает с определением триангуляции Делоне. В работе [4] было доказано существование Ф-триангуляции конечного множества точек при условии, что семейство Ф обладает следующим свойством: для любого невырожденного симплекса Б в семействе Ф существует и притом только одно охватывающее множество В (Б).

В дальнейшем мы будем предполагать, что это условие на семейство выпуклых множеств является выполненным. В таком случае охватывающее множество будем обозначать через В(в).

Пример 1. Рассмотрим гладкую, строго выпуклую вниз функцию хп+1 = Ф(ж), определенную во всем пространстве Мга и такую, что

Ф(ж)

——:--> + Ж при X ^ Ж. (6)

N

При выполнении этого условия пересечение графика функции Ф(ж) с произвольной не вертикальной плоскостью П представляет собой выпуклую компактную (п — 1)-мерную поверхность в Мга+1. Положим для любых х € М.п,г > 0

Фф(х,г) = {у € Мга : Ф(у) < Ф(х) + (ЧФ(х),у — х) + г2}.

В силу свойства (6) и выпуклости Ф(ж) множества Фф(ж,г) образуют семейство выпуклых компактных множеств. В работе [4] было показано, что для всякого невырожденного симплекса Б можно построить единственное охватывающее множество из этого семейства. Геометрически это множество совпадает с проекцией компактной части графика функции Ф(ж), срезаемой подходящей плоскостью. Триангуляции, соответствующие такого рода семействам выпуклых множеств, называются регулярными триангуляциями [2;3]. Совпадает ли класс всех Ф-триангуляций с классом регулярных триангуляций, автору не известно. Классическая триангуляция Делоне получается, если в качестве функции Ф(ж) взять функцию Ф(ж) = |ж|2. Это следует из того, что неравенство

эквивалентно неравенству

< |ж|2 + 2(х,у — х) + г2

22 1у — х1 < г

которое задает шар с центром в точке х и радиуса г.

Пример 2. Для строго выпуклой функции Ф(ж) можно также построить и такое семейство

СФ(х, г) = {у : Ф(у) + (ЧФ(у),х — у) > г}, (7)

2

для всякого г < Ф(ж). Геометрически это множество есть проекция точек графика функции Ф(ж), видимых из точки (х,г). Из строгой выпуклости функции Ф(ж) следует, что С^(х,г) — выпуклое множество. Как и в примере 1, несложно показать, что для каждого семейства так же выполнено свойство существования и единственности охватывающего множества для всякого треугольника. Заметим, что как и в этом случае, классическая триангуляция Делоне получается, если Ф(ж) = |ж|2. Это следует из того, что неравенство

Ы2 + 2(У,% — у) > г

эквивалентно неравенству

1у — %12 < М2 — г, г < Ixl2,

которое задает шар с центром в точке х и радиуса \JIxl2 — г.

Введем обозначение х = G(h) для отображения, обратного к отображению

Ь = УФ(ж).

В силу строгой выпуклости функции Ф это отображение однозначно определено.

3. Основной результат

Основным результатом работы является следующая теорема. Теорема 1. Пусть Т — триангуляция множества точек Ц\,...,пм G R2 c треугольниками Ai,...,AN такими, что цР(Aj) = фi,i = 1,...,N. Положим h = С(п) и если триангуляция Т' множества точек {h}, соответствующая триангуляции Т, является Ф-триангуляцией для семейства вида (7), то найдется кусочно-линейная функция, удовлетворяющая равенствам (5).

Доказательство. Построим функцию, как результат преобразования типа преобразования Лежандра

f (х) = min {Ф(У + ^Ф(£г),х — £г)}. (8)

i=1,M

Ясно, что f (х) — кусочно-линейная функция. Покажем, что для этой функции выполняется (5). Для каждого треугольника А1,...,А^ существует единственное его охватывающее множество В (Aj) = C^(pi,Ti) для некоторых Pi G R2 и Гг < Ф(Рг). Поскольку Т' является Ф-триангуляцией множества точек £i,i = 1,...,М, то С^(рг,Гг) не содержит внутри точек £1,..., . Это значит, что имеют место неравенства

Ф(£) + (ЪФ(£г),рг — h) < П, г = 1, ...,N. (9)

Поскольку каждое Сц,(рг,Гг) на границе содержит вершины треугольника Aj, то в (9) для каждой точки р^ для трех векторов h имеет место равенство. Тогда, учитывая (8), получаем, что f (pi) = гi, г = 1,N. Определим для каждого k = 1,N многоугольник

Мк = nt и?, (10)

где П — полуплоскость, определяемая неравенством

Ф(^) + (УФ(£г),х — h) > Ф(Ь) + ),х — £к),

а номера I в (10) берутся только те, которые определяют ребро ^^ триангуляции Т'.

Ясно, что по построению Мк — выпуклый многоугольник, причем его вершины — это некоторые точки из набора р1,...,ри. Более того, для каждой точки рг ровно три многоугольника Мк имеют рг в качестве вершины. Этот многоугольник задает область определения функции вида (3) для кусочно-линейной функции $ (х1,х2). Несложно видеть, что в каждом этом многоугольнике Мк имеет место равенство

V/(х) = vФ(í,k )= Пк.

Рассмотрим точку рг и пусть М^, Мк, М1 — многоугольники, имеющие Рг в качестве вершины. Этим трем многоугольникам соответствуют точки Пз,щ, Ль образующие треугольник Аг триангуляции Т. Это значит, что

Ц^ (Рг) = Ц^ (Аг) = фг, I = 1,М.

Тем самым теорема доказана.

Как следствие доказанной теоремы, мы получаем следующий результат.

Теорема 2. Пусть Т — классическая триангуляция Делоне множества точек п1,..., Пм € М2 c треугольниками А]^,..., Ам такими, что цр (Аг) = ф»,г = 1,...,М. Тогда найдется кусочно-линейная функция, удовлетворяющая равенствам (5). При этом требуемое решение /(х) определяется равенством

f (х) = ш^!1 |2 + (цг,х - 1 п 1=1,м [4 \ 2

Доказательство. Как было указано выше, классическая триангуляция для множеств вида (7) соответствует случаю Ф(ж) = |ж|2. Поэтому VФ(ж) = 2х и С(^) = 1 ¿,. Подставляя эти значения в (8), приходим к требуемому.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров, А. Д. Задача Дирихле для уравнения ИеЩг^|| = = ф(г1, ...,гп,г,х1, ...,хп). I / А. Д. Александров // Вестн. ЛГУ. Сер.: Математика, механика и астрономия. — 1958. — Т. 1, № 1. — С. 5-24.

2. Гельфанд, И. М. Дискриминанты многочленов от многих переменных и триангуляции многогранников Ньютона / И. М. Гельфанд, А. В. Зелевинский, М. М. Капранов // Алгебра и анализ. — 1990. — Т. 2, № 3. — С. 1-62.

3. Гельфанд, И.М. Уравнения гипергеометрического типа и торические многообразия / И.М. Гельфанд, А.В. Зелевинский, М.М. Капранов // Функцион. анализ и его прил. — 1989. — Т. 23, № 2. — С. 12-26.

4. Клячин, В. А. Алгоритм триангуляции, основанный на условии пустого выпуклого множества / В. А. Клячин // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Математика. Физика. — 2015. — Т. 28, № 3. — С. 27-33.

5. Клячин, В. А. О разрешимости дискретного аналога многомерной задачи Минков-ского — Александрова / В.А. Клячин // Изв. Сарат. ун-та. Новая сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. — 2016. — Т. 16, № 3. — С. 281-288.

6. Шабловский, О. Н. Параметрические решения уравнения Монжа — Ампера и течения газа с переменной энтропией / О.Н. Шабловский // Вестн. Том. гос. ун-та. Мат. и механика. — 2015. — Т. 1, № 33. — С. 105-118.

REFERENCES

1. Aleksandrov A.D. Zadacha Dirikhle dlya uravneniya DetHzij|| = = v(zi,..., zn, z,x\, ...,xn). I [The Dirichlet Problem for the Equation DetHzij|| = = <$(Zi,..., zn, z,x\, ...,xn). I]. Vestn. LGU. Ser.: Matematika, mekhanika i astronomiya, 1958, vol. 1, no. 1, pp. 5-24.

2. Gelfand I.M., Zelevinskiy A.V., Kapranov M.M. Diskriminanty mnogochlenov ot mnogikh peremennykh i triangulyatsii mnogogrannikov Nyutona [Discriminants of Polynomials in Several Variables and Triangulations of Newton Polyhedra]. Algebra i analiz [Leningrad Mathematical Journal], 1990, vol. 2, no. 3, pp. 1-62.

3. Gelfand I.M., Zelevinskiy A.V., Kapranov M.M. Uravneniya gipergeometricheskogo tipa i toricheskie mnogoobraziya [Hypergeometric Functions and Toral Manifolds]. Funktsion. analiz i ego pril. [Functional Analysis and Its Applications], 1989, vol. 23, no. 2, pp. 12-26.

4. Klyachin V.A. Algoritm triangulyatsii, osnovannyy na uslovii pustogo vypuklogo mnozhestva [Triangulation Algorithm Based on Empty Convex Set Condition]. Vestnik Volgogradskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya 1, Matematika. Fizika [Science Journal of Volgograd State University. Mathematics. Physics], 2015, vol. 28, no. 3, pp. 27-33.

5. Klyachin V.A. O razreshimosti diskretnogo analoga mnogomernoy zadachi Minkovskogo — Alexanderova [On the Solvability of the Discrete Analogue of the Minkowski — Alexandrov Problem]. Izv. Sarat. un-ta. Novaya ser. Ser.: Matematika. Mekhanika. Informatika, 2016, vol. 16, no. 3, pp. 281-288.

6. Shablovskiy O.N. Parametricheskie resheniya uravneniya Monzha — Ampera i techeniya gaza s peremennoy entropiey [Parametric Solutions for the Monge — Ampere Equation and Gas Flow with Variable Entropy]. Vestn. Tom. gos. un-ta. Mat. i mekhanika, 2015, vol. 1, no. 33, pp. 105-118.

CONSTRUCTION OF THE SOLUTIONS OF THE MONGE - AMPERE TYPE EQUATION BASED ON O-TRIANGULATION

Vladimir Aleksandrovich Klyachin

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Head of Department of Computer Science and Experimental Mathematics, Volgograd State University

[email protected], [email protected], [email protected]

Prosp. Universitetsky, 100, 400062 Volgograd, Russian Federation

Mikhail Igorevich Kazanin

Postgraduate Student, Department of Computer Science and Experimental Mathematics, Volgograd State University [email protected], [email protected]

Prosp. Universitetsky, 100, 400062 Volgograd, Russian Federation

Abstract. In the article we considered the method of geometric construction of piecewise linear analog solutions discrete form of the equation

^xixi 1^X2X2 ^xix2 ^,'U'X2

The idea of the method is based on the approach suggested by A.D. Aleksandrov to prove the existence of a classical solution of the above equation. Note that the

geometric analog of the problem being solved in this article is the problem of A.D. Aleksandrov on the existence of a polyhedron with prescribed curvatures of vertices. For piecewise linear convex function we defined curvature mesuare ц(рг) of vertex pi in terms of function F(£,1, £2). The solution is defined as piecewise linear convex function with prescribed values ц(рг) = = 1,...,N. The relation Ф-triangulations of given set of points £i,i = 1, ...,M with piecewise linear solutions is obtained. The construction of solution is based on analog of Legendre transformation of kind

As a corollary we proved the following result.

Theorem 2. Let T — classical Delaunay triangulation of a set of points "Hi,...,n« ^ R2 with triangles Ai,...,AN such that hf(Aj) = cp^,i = 1,...,^. Then there is a piecewise linear function satisfying the equations

Key words: convex polygonal surface, piecewise linear function, triangulation, convex set, Monge — Ampere equation.

f (x) = min {Ф(^) + <УФ(^),ж - E*)}.

i=l,M

Ц(Рг) = <Pi,i = 1,...,N. Morever, the required solution f (x) defined by