Условия NP-полноты проверки совместности нескольких видов систем линейных диофантовых дизуравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 510.51

Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 3(61). 2016. Вып. 3

УСЛОВИЯ ^-ПОЛНОТЫ ПРОВЕРКИ СОВМЕСТНОСТИ НЕСКОЛЬКИХ ВИДОВ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИОФАНТОВЫХ ДИЗУРАВНЕНИЙ

Н. К. Косовский, Т. М. Косовская, Н. Н. Косовский

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

В статье предлагаются три серии теоретико-числовых задач с явно выделенными параметрами, касающиеся систем диофантовых дизуравнений с решениями из заданной области. Доказываются ограничения на параметры, при выполнении которых любая задача каждой серии КР-полна.

Доказывается, что при любых т и т' (т < т') задача проверки совместности на отрезке [т, т'\ системы линейных диофантовых дизуравнений, каждое из которых содержит ровно 3 переменные (даже если коэффициенты при них из {—1, 1}), КР-полна. Эта задача допускает также и простую геометрическую интерпретацию о КР-полноте задачи проверки наличия внутри многомерного куба целочисленной точки, не покрытой заданными гиперплоскостями, высекающими на произвольных трёх осях равные отрезки и параллельными всем остальным осям.

Если в системе линейных диофантовых дизуравнений каждое дизуравнение содержит ровно 2 переменные, задача остаётся КР-полной при условии, что справедливо неравенство т' — т > 2.

Также доказывается, что если решение системы линейных диофантовых дизуравнений, каждое из которых содержит ровно 3 переменные, ищется на области, заданной системой полиномиальных неравенств, содержащей га-мерный куб и содержащейся в га-мерном параллелепипеде, симметричном относительно начала координат, то задача проверки её совместности КР-полна. Библиогр. 15 назв.

Ключевые слова: система линейных диофантовых дизуравнений, принадлежность целочисленной точки из ограниченной области пересечению гиперплоскостей, КР-полнота.

Введение. Настоящая статья является продолжением статей [1, 2], опубликованных в предыдущих выпусках журнала и посвящённых условиям МР-полноты проверки совместности систем линейных диофантовых дизсравнений, сравнений и уравнений. Ниже предлагаются серии теоретико-числовых задач, связанных с системами линейных диофантовых дизуравнений, с явно выделенными параметрами, и доказываются условия на параметры, при выполнении которых каждая задача серии МР-полна.

Термин «дизуравнение» используется ниже для линейных соотношений, в которых левая часть не равна правой, в отличие от термина «неравенство», который традиционно предполагает в соотношениях знаки <, >, < или >. Это понятие тесно связано с понятием «уравнение» и в значительной степени является двойственным к нему.

Рассматриваемые задачи тесно связаны с задачами из [3-10].

1. Системы линейных дизуравнений. Пусть заданы целые числа т и т' такие, что выполняется т < т'. Сформулируем серию задач.

Система линейных 3-дизуравнений на отрезке целых чисел [т, т']

УСЛОВИЕ. Задана система, состоящая из попарно различных линейных дизуравнений вида Ь^ (х^ , х^з) = 0, в которой каждое дизуравнение содержит ровно

(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2016

3 различные переменные и все коэффициенты при переменных в уравнениях принадлежат { — 1,1}.

ВОПРОС. Совместна ли система в целых числах из отрезка [т, т']?

Теорема 1. Каковы бы ни были различные целые числа т и т' (т < т'), сужение задачи Система линейных 3-дизуравнений на отрезке целых чисел

[т, т'] на случай, когда все коэффициенты при переменных принадлежат множеству { — 1,1}, является NP-полным.

Доказательство. Принадлежность задачи классу NP очевидна, так как длина записи «претендента» на решение не превосходит полинома от длины записи системы, так же как и число шагов, требуемое на проверку того, действительно ли «претендент» является решением.

Сведём задачу 3-ВЫП из [10] к рассматриваемой задаче. Действительно, истинность ровно одного литерала в дизъюнкции Х1 V хч V хз (где х\, хч, хз —переменные или их отрицания) может быть записана с помощью дизуравнения Х1 + хч + хз = 3т при т > 2. Константа ложь кодируется числом т, константа истина кодируется числом т + 1. При этом вместо —щ подставляем 2т +1 — щ.

Для каждого литерала х записываем систему 3-дизуравнений вида

{х + т + т' = 3т + 2, х + V + т' = 3т + 3,

х + V + т' = 3т',

а также условие того, что все вспомогательные переменные удовлетворяют т = т' = т'' = 3т:

{т + т' + т'' = 3т + 1, т + т' + т'' = 3т + 2,

т + т' + т'' = 3т'.

Следствие теоремы 1. Каковы бы ни были различные целые числа т и т' (т < т'), задача Система линейных 3-дизуравнений на отрезке целых чисел

[т, т'] является NP-полной.

Теорему 1 можно интерпретировать и геометрическим образом, имеющим непосредственное отношение к задачам комбинаторной геометрии, связанным с покрытиями одного множества другими. А именно, можно сформулировать следующее утверждение.

Утверждение. Пусть заданы различные целые числа т и т', многомерный куб, каждая координата вершин которого принадлежит множеству {т, т'}, и гиперплоскости, высекающие на произвольных трех осях равные отрезки и параллельные всем остальным осям. Тогда задача проверки наличия внутри многомерного куба целочисленной точки, не покрытой этими гиперплоскостями, NP-полна.

Система линейных 2-дизуравнений на отрезке целых чисел [m, m']

УСЛОВИЕ. Задана система попарно различных линейных дизуравнений

L1(xi! ,Xq ) = О, Lk (xii ,xi2 ) = 0,

где Li(xii, xi2),..., Lk(xii, xi2 ) — линейные комбинации двух различных переменных.

ВОПРОС. Совместна ли в целых числах из отрезка [m, m'] система (1)?

Лемма 1. Каковы бы ни были числа m, m' (m' — m > 2), любое двухместное отношение P(x, y) на целых числах отрезка [m, m'] может быть задано системой линейных 2-дизуравнений, все коэффициенты в которых принадлежат множеству {1, 2}.

Для доказательства достаточно использовать систему всех дизуравнений вида x + 2y = с, где выполняется с = a + 2b для всех пар (a, b) с элементами из множества {0,1,..., m — 1}, не удовлетворяющих заданному отношению.

Теорема 2. Каковы бы ни были числа m, m' (m' — m > 2), задача Система линейных 2-дизуравнений на отрезке целых чисел [m, m'], все коэффициенты при переменных в которой принадлежат множеству {1, 2}, является NP-полной.

Доказательство этой теоремы совершенно аналогично доказательству теоремы 2 из [1] с заменой знака ф на знак =.

Следствие теоремы 2. Каковы бы ни были числа m, m' (m' — m > 2), задача Система линейных 2-дизуравнений на отрезке целых чисел [m, m'] является NP-полной.

Если справедливо P=NP, в теореме 2 и её следствии термин «2-дизуравнение» не может быть заменён на термин «1-дизуравнение», поскольку при этом она может быть решена с помощью алгоритма Гаусса исключения неизвестных.

Можно проверить, что следствие теоремы 2 по существу усиливает следствие теоремы 1 при m' — m = 2.

Это следствие дополняет теорему, доказанную в [11] и опубликованную также в [12], о NP-полноте задачи проверки совместности в целых числах системы нестрогих неравенств, каждое из которых имеет ровно две переменные.

Авторам не известно, справедливо ли утверждение теоремы 2 и её следствия при m' — m = 2.

Теорема 1 может быть обобщена с многомерного куба на ограниченную многомерную область, содержащую заданный куб той же размерности.

Система линейных 3-дизуравнений на ограниченной области с параметрами n, mi,..., mn, m, m'

УСЛОВИЕ. Задана система, состоящая из попарно различных линейных 3-дизуравнений с n переменными вида Lj(xii,xi2, xi3) = 0, в которой каждое дизуравнение содержит ровно 3 различные переменные.

Задана система полиномиальных неравенств с целыми коэффициентами, определяющая область в n-мерном (n > 3) пространстве, содержащая n-мерный куб [m, m']n, и содержащаяся в n-мерном параллелепипеде [—mi, mi] x ■ ■■ x [—mn, mn].

ВОПРОС. Совместна ли система в целочисленных точках области?

Теорема 3. Каковы бы ни были целые положительные числа п, тх, ..., тп, т, т' (т < т'), сужение задачи Система линейных 3-дизуравнений на ограниченной области с параметрами п, т\, . .., тп, т, т' на случай, когда все коэффициенты при переменных принадлежат множеству { — 1,1}, является NP-полным.

Доказательство. То, что задача принадлежит классу NP, очевидно, поскольку можно проверить все точки из параллелепипеда с целочисленными координатами.

Рассмотрим её сужение на системы, содержащие 3-дизуравнения:

хн + V + т = тI + 2т, хн + V + т = тI — 1 + 2т,

хн + V + т = т' + 1 + 2т, хн + V + т = —тI + 2т, хн + V + т = —тI + 1 + 2т,

хн + V + т = 3т — 1 для каждой переменной х\, ..., хп, a также 3-дизуравнения

u + v + w u + v + w

= =

3m + 1, 3m + 2,

u + v + w = 3m'.

Это сужение превратило её в задачу Система линейных 3-дизуравнений на отрезке целых чисел [т, т'] с коэффициентами при переменных из { — 1,1}. ■

Следствие теоремы 3. Каковы бы ни были положительные целые числа n, mi, ..., mn, m, m' (m < m'), задача Система линейных 3-дизуравнений на ограниченной области с параметрами n, mi, ..., mn, m, m' является NP-полной.

Заключение. Граница между полиномиальными (по числу шагов при реализации на машине Тьюринга) и сверхполиномиальными оценками в настоящее время является точкой роста доказательства новых математических теорем. Такие теоремы представляют непосредственный практический интерес для разработчиков программ, реализующих разнообразные математические алгоритмы.

Полученные результаты дополняют результаты, полученные в [13].

Сформулированная в следствии теоремы 3 NP-полная задача является одной из наиболее простых теоретико-числовых NP-полных задач, поскольку исключение из неё всех сравнений по модулю 2 (или всех сравнений по модулю 3) обеспечивает её решение полиномиальным по времени алгоритмом (методом исключения неизвестных). Речь идёт об одной и той же системе, проверяемой на наличие общего решения как по модулю 2, так и по модулю 3.

Отметим, что NP-полнота каждой задачи серии задач Система линейных 3-дизуравнений [m, m'] (при m' > m) имеет практическое значение. Поскольку множество значений переменной компьютерного типа integer может рассматриваться как целочисленные значения отрезка, теорема 3 доказывает неполиномиальность

любого алгоритма решения таких систем в множестве чисел типа integer, если справедливо P=NP. Тем не менее, если средства программирования имеют встроенные операции со сколь угодно длинными целыми числами, имеется полиномиальный алгоритм решения рассматриваемых систем в таких целых числах. Подобными средствами обладают все диалекты языка рефал (см., например, [14]). Таким образом, можно сформулировать следующую рекомендацию разработчикам программного продукта: не надеяться на приемлемое время нахождения точного решения системы из описанных множеств систем линейных уравнений при решении их в числах типа integer, а использовать представления сколь угодно длинных натуральных чисел или языки, в которых встроены операции с такими числами (при этом, естественно, время, затрачиваемое на выполнение одной арифметической операции увеличивается полиномиально от длины записи аргументов).

Каждая задача серий как Система линейных 3-дизуравнений на отрезке целых чисел [m,m'], так и 2-дизуравнений (при m' > m + 2) имеет простую теоретико-числовую формулировку, позволяющую её использовать для доказательства NP-полноты почти всех NP-полных задач.

Если справедливо P=NP, формулировки теорем 1-3 не могут быть изменены путём замены терминов «2-дизуравнение» и «3-дизуравнение» на термины «1-дизуравнение» и «2-дизуравнение» соответственно.

Теоремы 1 и 3 анонсированы в [15].

Литература

1. Косовский Н. К., Косовская Т. М., Косовский Н. Н. Условия NP-полноты проверки совместности нескольких видов систем линейных дизсравнений // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2016. Т. 3(61). Вып. 1. С. 25—31.

2. Косовский Н. К., Косовская Т. М., Косовский Н. Н. Условия NP-полноты проверки совместности нескольких видов систем линейных диофантовых сравнений и уравнений // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2016. Т. 3(61). Вып. 2. С. 196—201.

3. Clausen M., Fortenbacher A. Efficient Solution of Linear Diophantine Equations //J. Symbolic Computation. 1989. Vol.8, issue 1-2. P. 201-216.

4. Вялый М. Н. Сложность вычислительных задач // Математическое просвещение. Сер. 3. Вып. 4. С. 81-114.

5. Aardal K., Hurkens C.A.J., Lenstra A.K. Solving a system of linear Diophantine equations with lower and upper bounds of the variables // Mathematics of operations research. 2000. Vol.25, N3. P. 427-442.

6. Шара,я И. А. Строение допустимого множества решений интервальной линейной системы // Вычислительные технологии. 2005. Т. 10, №5. С. 103-119.

7. Шарая И. А. Метод граничных интервалов для визуализации полиэдральных множеств решений // Вычислительные технологии. 2015. Т. 20, №1. С. 75-103.

8. Lechner A., Ouaknine J., Worrell J. On the Complexity of Linear Arithmetic with Divisibility // Proceedings of the 30th Annual ACM/IEEE Symposium on Logic in Computer Science (LICS). 2015. P. 667-676.

9. Кривий С. Л. Лшшш дiофантовi обмеження та 1х застосування. Ки1в: Видавничий дiм «Букрек», 2015. 224 с.

10. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.: Мир, 1982.

11. Lagaris J. C. The computational complexity of simultaneous Diophantine approximation problems // SIAM Journal on Computing. 1985. Vol. 14. P. 196-209.

12. Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программирования. Т. 2. М.: Мир, 1991.

13. Косовская Т.М., Косовский Н. К. О числе шагов получения булевого решения у полиномиальных сравнений и у систем из них // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. 2007. Вып. 3. С. 82-90.

14. Турчин В. Ф. Рефал-5. Руководство по программированию и справочник. URL: http://www.refal.net/rf5_frm.htm (дата обращения: 05.06.2016).

15. Косовский Н.К., Косовский Н.Н. NP-полнота задачи проверки совместности в отрезке целых чисел системы целочисленных линейных уравнений и дизуравнений // Дискретные модели в теории управляющих систем: IX Международная конференция, Москва и Подмосковье, 20— 22 мая 2015 г.: Труды / отв. ред. В. Б. Алексеев, Д. С. Романов, Б. Р. Данилов. М.: МАКС-Пресс, 2015. С. 123-125.

Статья поступила в редколлегию 13 июля 2015 г. Сведения об авторах

Косовский Николай Кириллович —доктор физико-математических наук, профессор; [email protected]

Косовская Татьяна Матвеевна — доктор физико-математических наук, доцент; [email protected] Косовский Николай Николаевич — кандидат физико-математических наук; [email protected]

NP-COMPLETENESS CONDITIONS FOR SOME TYPES OF SYSTEMS OF LINEAR DIOPHANTINE DIS-EQUATIONS CONSISTENCY CHECKING

Nikolai K. Kosovskii, Tatiana M. Kosovskaya, Nikolai N. Kosovskii

St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7-9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation; [email protected], [email protected], [email protected]

Three series of number-theoretic problems concerning systems of Diophantine linear dis-equations with explicitly pointed out parameters are proposed in this part of the paper. Conditions upon the parameters implying that every problem of a series is an NP-complete one are proved.

It is proved that for every m and m' (m < m') the consistency problem for a system of Diophantine linear dis-equations every of which contains exactly 3 variables (even if every coefficient belongs to {—1, 1}) is NP-complete. This problem also admits a simple geometrical interpretation concerning NP-completeness of the checking whether inside a many-dimensional cube there exists an integer-valued point which does not belong to any of the given hyperplanes which cut off equal segments of three axes and are parallel to the other ones.

If every dis-equation of a system of Diophantine linear dis-equations contains exactly 2 variables then the problem remains an NP-complete one under the condition that m' — m > 2.

It is also proved that if a solution of a system of Diophantine linear dis-equations every of which contains exactly 3 variables must belong to a domain, which is defined by a system of polynomial inequalities, contains an ra-dimentional cube and is contained in an ra-dimentional parallelogramm, then it is an NP-complete one. Refs 15.

Keywords: system of linear Diophantine dis-equations, belonging of a integer-valued point from a bounded domain to the intersection of hyperplanes, NP-completeness.

References

1. Kosovskii N. K., Kosovskaya T. M., Kosovskii N. N., "NP-completeness conditions for veryfying the consistency of several kinds of systems of linear Diophantine discongruences", Vestnik St. Petersburg Univ.: Math. 49, Issue 1, 18-22 (2016).

2. Kosovskii N. K., Kosovskaya T. M., Kosovskii N. N., "NP-completeness conditions for veryfying the consistency of several kinds of systems of linear Diophantine congruences and equations", Vestnik St. Petersburg Univ.: Math. 49, Issue 2, 111-114 (2016).

3. Clausen M., Fortenbacher A., "Efficient Solution of Linear Diophantine Equations", J. Symbolic Computation 8, Issue 1-2, 201-216 (1989).

4. Vialyi M.N., "Complexity of computational problems", Mathematical education. Ser. 3 Issue 4, 81-114 [in Russian].

5. Aardal K., Hurkens C. A. J., Lenstra A. K., "Solving a system of linear Diophantine equations with lower and upper bounds of the variables", Mathematics of operations research 25(3), 427-442 (2000).

6. Sharaia I. A., "Construction of admissible set for solutions to interval linear system", Computational technologies 10(5), 103-119 (2005) [in Russian].

7. Sharaia I. A., "Method of boundary intervals for polyhedral set of solutions viewing", Computational technologies 20(1), 75-103 (2005) [in Russian].

8. Lechner A., Ouaknine J., Worrell J., "On the Complexity of Linear Arithmetic with Divisibility", Proceedings of the 30th Annual ACM/IEEE Symposium on Logic in Computer Science (LICS), 667—676 (2015).

9. Kryvyi S. L., Linear Diophantine Equations and Their Applications (Bukrek, Kiev, 2015) [in Ukrainian].

10. Garey M.R., Johnson D.S., Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness (Freeman, New York, 1979).

11. Lagaris J.C., "The computational complexity of simultaneous Diophantine approximation problems", SIAM Journal on Computing 14, 196-209 (1985).

12. Schrijver A., Theory of Linear and Integer Programming (A Wiley-Interscience Publication, John Wiley & Sons, New York, 1986).

13. Kossovsky N. K., Kossovskaya T. M., "About the number of steps for construction a boolean solution of a polynomial comparison and of a system of them", Vestnik St. Petersburg Univ. Math. 40, Issue 3, 82-90 (2007).

14. Turchin V. F., Refal-5. Guide-book for programming and reference book. Available at: http://www.refal.net/rf5_frm.htm (accessed 05.06.2016).

15. Kosovskii N. K., Kosovskii N. N., "NP-completeness of the problem of consistency in integers from a closed interval checking for a system of linear equations and dis-equations", Discrete models in the theory of control systems: IX International conference, Moscow and Moscow region, May 20-22 2015: Proceedings (Moscow, MAKS-Press, 123-125, 2015) [in Russian].

Для цитирования: Косовский Н. К., Косовская Т. М., Косовский Н.Н. Условия NP-полноты проверки совместности нескольких видов систем линейных диофантовых дизуравнений // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия. 2016. Т. 3(61). Вып. 3. С. 408-414. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2016.308

For citation: Kosovskii N. K., Kosovskaya T. M., Kosovskii N. N. NP-completeness conditions for some types of systems of linear diophantine dis-equations consistency checking. Vestnik of Saint Petersburg University. Series 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2016, vol. 3(61), issue 3, pp. 408-414. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2016.308