О свойствах средних Чезаро двойных рядов Фурье Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 517.52

О СВОЙСТВАХ СРЕДНИХ ЧЕЗАРО ДВОЙНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ

А. М. Дьяченко1

Поведение в точке частичных сумм и средних Чезаро тригонометрических рядов Фурье исследовалось во многих работах. В настоящей статье изучается поведение в точке (жо,г/о) прямоугольных чезаровских средних для ограниченных на квадрате [—тг; vr]2 функций /(ж, у), удовлетворяющих условию | f(x0 + s, уо + t) - f(x0,yo)\ < p(Vs2 + t2)a при некотором a G (0,1) и для всех s и t.

Ключевые слова: средние Чезаро, ряды Фурье.

The pointwise behavior of partial sums and Chesaro means of trigonometric series were studied in many papers. This article deals with behavior of rectangular Chesaro means at a point (xo,yo) for functions f (x,y) bounded on square the —п; п]2 and satisfying the condition \f(xo + s, yo + t) — f(xo, yo)| ^ /э(а/s2 + t2)a, for some a G (0,1) and all s and t.

Key words: Chesaro means, Fourier series.

Поведение в точке частичных сумм и средних Чезаро тригонометрических рядов Фурье исследовалось во многих работах(см., например, [1-6]).

В настоящей работе изучается поведение в точке (xo,yo) прямоугольных чезаровских средних для ограниченных на квадрате [—п; п]2 функций f (x,y), удовлетворяющих условию

\fixo + 8,уо + 1)~ ¡(хо, у0)\ < +

при некотором а € (0,1) и для всех в и Ь.

1. Обозначения и определения. Обозначим ТЛ = [—п; п]а. Напомним, что тригонометрическим рядом Фурье для функции /(ж) € Ь00(Т'1) называют ряд ^ ((2^-)" / ?{х)е~гкхйх^егкх, где егкх (к =

(к\,..., к^), кг € Ъ,кх = к\Х\ + ... + к^х^) — элемент тригонометрической системы {вгкх} = I Л егкаХа

^ 8=1 >

п

в в П (в+1)

Определение 1. Пусть в > 0,А£ = 1,А п — 1 ,— при п € N и Оп{х) — ядро Дирихле по триго-

/ 'и \

нометрической системе {егкх}(0 о (ж) = = \ + ^ созтж), тогда ядром метода (С, 0) называют

V Т=1 )

выражение

и Ав-1 П (Ь)

Ш = Е у ■

у=0 Аи

Заметим также, что для чисел Аи выполнено асимптотическое равенство (см. [6, с. 131])

Ап = тши (1 + Ю)-

Определение 2. Пусть даны число в > 0 и ряд ^ пи, пусть ви — его частичные суммы, п € N и {0}, тогда чезаровским (С, в)-средним этого ряда называют

и лв-1 и лв

/3 _ \" п—и _ \" п—и

ап - А/з ^ - л/з и

и=0 Аи и=0 Аи

1 Дьяченко Александр Михайлович — асп. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:

dyak86@mail.ru.

Если ряд £пи является тригонометрическим рядом Фурье функции /(х) € Ь^([-п,п]), то чезаров-ское (С, в)-среднее этого ряда будем обозначать через аП(х; /). В книге А. Зигмунда (см. [6, с. 157]) было выведено

Предложение 1. Пусть функция /(Ь) € Ь^([-п,п]), тогда при п € N для чезаровских (С,в)-средних выполняется соотношение

П

= f(x + t)K%(t)dt.

П

— П

Предложение 2 (см. [6, с. 157]). Пусть 1 > в > 0, Кп(8) — ядро метода (С, в), тогда при п € N и{0},в € (0, п]

К (в)! <п + 1 < 2п; К (в)! < С (в )п-в з-(13+1),

где С (в) — константа, зависящая лишь от в.

Данные определения и предложения можно без труда обобщить на двумерный случай (см., например, [7]).

Определение 3. Пусть даны число в > 0 и ряд ^ пи, пусть 8п — его частичные суммы, п € N и {0}, т € N и {0}, тогда чезаровским (С, в)-средним двумерного ряда ^ ^ называют выражение

п т Л в—1 Д@—1 п т Л в Л в Р _ \ ^ \ ^ +г—г^+п—/1 _ \ ^ \ ^ +г—г^+п—/1

и=0 ц=0 ЛпЛт и=0 ц=0 ЛпЛт

Если ряд является тригонометрическим рядом Фурье функции двух переменных /(х,у) €

Lж([—п,п]2), то (С, в)-среднее этого ряда будем обозначать через ап,т(х,у; /).

Аналогично предложению 1 для в > 0, п € N и {0}, т € N и {0} и /(в, Ь) € Ь^([-п, п]2) чезаровское (С, в)-среднее можно вычислить по формуле

П П

1

= j f{x + s,y + t)K^s)K^t)dsdt. (1)

ж а

Поскольку ^ / Кп{Ь)(И = 1 при п € N и {0} и [3 > 0 (см. [6, с. 143, 144]), то ясно, что при п €

—п

2

N U {0}, m Е N U{0} для f (x, y) Е Ь^([-п, п]2) имеем

П П

<Гп,т&, У; /) - f(x, у) = J J(f(x + s,y + t)~ f(x, y))K^(s)K^(t)dsdt

Всюду ниже через С(•) будем обозначать положительные постоянные, зависящие лишь от (•). При этом эти постоянные могут быть различными в разных ситуациях.

2. Теорема о свойствах средних Чезаро двойных рядов Фурье.

Теорема 1 (см. [8]). Пусть даны р > 0,в > 0,к ^ 1 и а € (0,1). Пусть 2п-периодическая по каждому переменному функция / (х, у) измерима, ограничена, определена на квадрате Т2 ив некоторой точке (хо,уо) для всех в и Ь удовлетворяет условию

\f\xo + 5,2/0 + *) - ¡{хо,Уо)\ < рЫв2 + 12)а.

Пусть (Тп,т{х,у\$) — чезаровские (С, 0)-средние ряда Фурье функции ¡(х,у), такие, что ^ ^ ^ ^ к',п € N,m € N. Тогда существуют такие постоянные С\(а, в,к, р), С2(а, в, к, р) и Сз(а, в, к,р), что

1) если 0 <а< в, то а^т^о ,Уо; /) - / (хо,Уо)! ^ С\(а, в,к, р)п—а;

2) если 0 < в <а, то !аПт(хо ,Уо; /) - / (хо,Уо)! ^ С2(а, в, к, р)п—в;

3) если 0 < в = а, то !аП,,т(хо,Уо; /) - /(хо,Уо)! ^ Сз(а,в, к, р)п—в 1п(п + 1).

Доказательство. Без ограничения общности можно предположить, что (хо,Уо) = (0, 0) и /(0, 0) = 0.

Для удобства обозначим

ф = ф(0, 0,в,Ь) = (/(в,Ь) — /(хо,Уо))Кв(в)Кв(Ь).

Справедливо неравенство (см. (1)

п п

кп,т(^0,Уо;/) - ¡(Хо,Уо)\ < J / =

о о

0 п

п 0

п2

\ф\ (в(ь + у ! \ф\ (в(ь + у J \ф\ (в(ь + у у \ф\ (в(ь\ = 11 +/2 +/3 +/4.

п 0 0 п 0 0

Так как оценки для /1,/2,/з, /4 проводятся аналогичным образом, то достаточно привести оценку для /4. Имеем

(

п2

щ л-г

п т

— —

п т

ЕЕ

(1в(М +

1-2 ^.(г-1)

йвйЬ

\ (

1

п2

00

п т

И Л.Т

п т

\

Е

(в(Ь + ^

\ф\ (в(Ь

1) о

г-2 0 — (г-1)

т

/

1

— -^-(¿>1 + 5*2 + 5*3 + 6*4).

Оценим 51:

п2

2-1 iг

п т

* = ЕЕ

1=2 г=2

/ (в,Ь)Кв (в)Кв (Ь)

-(1-1) -(г-1)

пт

Щ г

п т

п т

<

ЕЕ

1=2 г=2

\ф\ (ем+ ^2^2

йвйЬ ^

йв(М = Е1 + Е2.

-(1-1) -(г-1)

пт

г=2 1=2

-(1-1) -(г-1)

пт

Поскольку оба слагаемых оцениваются одинаково, проведем доказательство для К1. Имеем (см. предложение 2)

2-1 ¿г

п т

* = ЕЕ

1=2 г=2

/(в,Ь)Кв(в)Кв (Ь)

-(1-1) -(г-1)

пт

2-1 ^Г

п т

«ЕЕ / /

1=2 г=2 ^ л, п / ^ \ /

-(1-1) -(г-1)

пт

{птУ{1{1-1)У+1 (£(г-1))

\в+1

<

1=2 г=2

< ^ж2{пт)~1С{13, р) ( ^+ к2 [^¡У ) (пт)^(пт)"+1 ((/ - 1)(г - <

п

< сщ,к,Р)^2Е [п) «1 - ^ -< к>Е ([зтр+гЕ^-тр+т

I—2 г—2 I—2 г—2

<

<

С(13, к, р)п-а £ {1 _ 1)/3+1 £ (г _ 1)/3+1 = С(Р, к, р)п~а £ _ 1)/3+1 = Если 0 < а < в, то

г=2

1=2

/1 < С(в,к,р)п-а

1=2

(I — 1)в-»+1

^ С (в, а, к, р)п

пп

1

а

а

а

а

1

Если же 0 < в < а, то

п

У" „ '..4*4-1 ^ 2" У -—т^—гТ < 2" / -з^-т < С(Р, а, к, р

п п

1а ^ 1 г (х

1 - та ^ оа '

1=2 1=2

1

откуда I' ^ С(в,а,к,р)п апа в = С(в,а,к,р)п в. В случае же 0 < в = а

;а п 1

Е а _ 1У?-1 < Е 731 ^ а> к> Р) 1п(п + 1=2 ( ) 1=2

откуда I' ^ С (в, а, к, р)п а 1п(п + 1). Совершенно аналогично получаем

С (к, в, а, р)т—а при в > а, ^ { С (к, в, а, р)т—а 1п(т + 1) при в = а, С (к, в, а, р)т—в при 0 < в < а.

Но так как ^ ^ ^ ^ к , то

С (к, в, а, р)п—а при в > а, £1 ^ { С (к, в, а, р)п—а 1п(п + 1) при в = а, С (к, в, а, р)п—в при 0 < в < а.

Перейдем к оценке $2. Пользуясь предложением 2, получим

п т п т / I-\ Ос

11 сЫ* < 11с(р,а,р) | у ] 4

о о о о

^ С (к, в, а, р)(пт) 1 п а(пт) = С (к,в,а,р)п Теперь перейдем к оценке £3:

7Г ^ 7Г 7Г ^ 7Г г^ п т г^ п т / ,-\ (X

1 = 2 Х/71\П 1 = 2 /

< Е ад«> р) ©2)*(г -1)_ (/?+1) <

п 1а п 1а

, а, /3, р) V —а - 1Г(/3+1) < С(к, а, в, р)п~а ^

< С(к, а, А р) £ - 1)"(/3+1) < ССЛ, а, /3, р)п"« £ _ (/3+1) 1=2 1=2 ^ ' Последний член мы уже рассматривали, когда оценивали К1. Итак,

С (к, в, а, р)п—а при в > а, ^ ^ С (к, в, а, р)п—а 1п(п + 1) при в = а, С (к, в, а, р)п—в при 0 < в < а.

Оценка суммы ¿>4 выполняется аналогично, при этом ядра оцениваются через 2п и (^(г — 1)) " ' ' ' т,

т

соответственно.

Окончательно получаем

1) /4 = ¿(>§1 + + + Б4) < С(к, а, (3, р)п~а при 0 <а</3;

2) /4 = + + + 54) < С(к, а, ¡3, р)п_/? при 0 < ¡3 < а;

7Г П

7Г П

з) и = ^(Si + S2 + S3 + Si) < С (к, а, /3, р)п~а In (п + 1) при 0 < /3 = а. Теорема 1 доказана.

3. Неулучшаемость оценок теоремы 1.

Лемма 1. Пусть в £ (0,1), натуральное число n ^ 3 и Кв. — ядро метода (C, в). Тогда j КЩ,(t)dt ^

7Г

8 п

C(в), где положительная постоянная C(в) зависит лишь от в.

Доказательство. По определению Kn(t) = ¿ A^^D^it). Отметим, что при 0 О ^ в и t €

An k=0

[§?г> In] имеем Dk(t) = I + cos t + ... + cos kt ^ + 1). Поэтому, учитывая неотрицательность чисел An при в > —1, имеем

+ ± Atl(k + l)>^n ± С(13)п^ > С(13)п,

ЛР n-k ^ ' ЛР ^ n-k" ' n

п ь-п fc=[f]+l

4 п

к=0 ^ к=[ n] + 1 fc=[f] + l

в/

где постоянные C(j3) зависят лишь от ¡3. Но тогда f K%(t)dt ^ = C(f3).

П V

8ñ

Лемма 2. Пусть в € (0,1). Тогда существует такая положительная постоянная С (в), зависящая лишь от /3, что при любом натуральном числе п ^ 8 для функции ¡п(х, у) = sgn Кп(х)Хщ^(у) при (х,у) € Т2, где Хе(и) — характеристическая функция множества Е, справедлива оценка

Доказательство. Имеем

7Г

4 п 7Г

<п((0,0);/га) = ¿// fn(s,t)K%(s)K%(t)dsdt = ^ J K%(t)dt J\K%(s)\ds = ¿JiJ2

_ZL 2L

(2)

Согласно лемме 1,

Ji > C(в).

Далее, для КЩ(s) справедливо представление (см. [6, с. 159])

Кв (s) =

1 sin [{п + \ + Щ s - \к/3]

2вв

Ав

An

(2

• 1 чв+1 sin js)

+ . \ 2, где Щ < 1.

п (2 sin т

Отметим, что

2вв

п (2 sin ^s)'

2 п п

ds <--= -.

n 2 n

(3)

(4)

(5)

Кроме того,

|sin((n + i + i/3)S-Í7T/3)l 1

/о • 1 \в+1

(2 sin is)

2 ' 2А2"Н; I |gin ( I + 1/5 ) S _ lyr/3 ) |dS

/sin2 ((" ■+ ¡+- Hds=^ / - c°s (2 ((n+^+-

ds =

7

2

7Г

7

2

2

7

7

1

2

7Г 1 sin(2(n + 1 + f3),S — тг/3) 16 ~ 8 2п + 1 + (3

1

С учетом (5) и (6) получаем

1 (п

■h ^ — I--

16 4(2n + 1+в)

16 4(2n + 1+ в)'

_ I >

n

ne

(6)

(7)

при достаточно больших n . Уменьшая C(в), можно добиться того, чтобы неравенство (7) выполнялось при всех n ^ 8. Тогда утверждение леммы 2 будет следовать из формул (2), (3) и (7).

Лемма 3. Пусть в Е (0,1). Тогда существует такая постоянная C(в) > 0, что при любом натуральном числе п ^ 8 для функции fn(x,y) = x^sgnпри (х,у) G Т2 справедлива оценка

<„((0,0);/n)>^lnn.

Доказательство. Как и при доказательстве леммы 2, имеем

7Г

4 п 71"

<п((0,0 );/„) = ¿У K%(t)dt J s^\K^s)\ds = J3J4

J > C(в).

Далее, если функция в определена формулой (4), то

(8) (9)

2вв

п (2 sin|)2

ds <

2ТГ2

п 4

se"2ds <

n(1 - в) 4 \nJ

7Г2 (П\ 1-/3 _ С(/3)

(10)

Оценим следующий интеграл:

П

0\sm((n + ± + ±/3)s-±ir/3)\ds> [\sm((n + ± + ±/3)s-±ir/3)\

(2 sin ^s)

1^/3+1 2'

-ds >

>

sin2 {{n + \ + \f3)s- \nf3) 1

ds = -

\n

ds s

cos(2((n + i + i/5)s - ±тг/3))

ds

/

тг(2(п+1+|/3))

1, 1

-Inn--

2 2

cos(u — пв) 1 1 , 1 -du^ - Inn — - sup

u 22 1<A<B

B

cos(u — пв)

du

u

A

^ - In n-C. 2

(11)

Из формул (10) и (11) вытекает, что для для достаточно больших п имеем

J21 >

An

2 ) пР пР

(12)

Уменьшая положительную постоянную С (в), можно добиться того, чтобы оценка (12) выполнялась для всех п. Тогда лемма 3 будет следовать из формул (8), (9) и (12).

Лемма 4. Пусть в € (0,1), число 5 € (0,п), /(в,Ь) — измеримая на Т2 функция, ограниченная постоянной и (supp/) Р| Т2 С [5,п]2, тогда существует такая постоянная С(£, 5; в), что при любом, натуральном п справедлива оценка

П

2

1

n

и

П

П

2

в

s

n

n

П

s

s

n

n

П

П

П

s

s

n

n

n

1

Доказательство. Используем неравенство (см. предложение 2) \Кв(в)\ < С(в)п-вв-(1+в при 8 е (0, п]. Тогда

п п

Кп((о,о ^ 11 штк%тк%(т*<и < | /1^)1«

Т2 6 6

п п

С(СЛД) о _2/3 сМ С(£,5-,/3)

- 71"2 * У У ¿1+/3 - п2/3 ' 6 6

что и требовалось доказать.

Лемма 5. Пуст,ь в е (0,1), число ^ > 0, f (в,Ь) — измеримая на Т2 функция, ограниченная постоянной С/, и ^(8ирр^Р|Т2) ^ Тогда существует такая постоянная С(С/), что при п е N справедлива оценка

Кп((0,0); f )\ < С (С/ )(п + 1)2 г

Доказательство. Оценка сразу вытекает из того, что (см. предложение 2) \КШ(Ь)\ ^ п + 1 для всех п и в.

Теорема 2. Пусть 0 < в < 1- Тогда существуют положительная постоянная С (в) и функция f (в,Ь), измеримая, ограниченная на Т2 и равная нулю в некоторой окрестности точки (0, 0), такие, что для некоторой последовательности натуральных чисел {пк где пк ^ ж при к ^ ж, справедлива

оценка

пк

<х

Доказательство. Положим f (в,Ь) = ^ }'пк, где функции fj(в,Ь) были определены в лемме 2, а

к=1

последовательность {пк}^=1 подберем позже. Вначале возьмем п1 ^ 8 произвольным образом. Теперь предположим, что уже выбраны числа п1 < п2 < ■ ■■ < пк-1, где к ^ 2. Тогда выберем пк > 10пк-1 так, чтобы (см. лемму 4) выполнялось неравенство

к1

^ , ,0 0,

г I V") )

г=1

е'п, и (0,0);£ ^

< ^ (13)

при п ^ пк, где Со (в) — постоянная из леммы 2.

Пусть, кроме того, число пк удовлетворяет соотношению

+ (14)

пк 10пк

где С (С/) — постоянная из леммы 5.

Заметим, что так как пк > 10пк-1, то носители функций }'пк (в, Ь) не пересекаются. Для произвольного к ^ 2 оценим

к1

\<,ик((0,0); п\ > \авк,пк((0,0); П)\-\<^((0,0);£ П)\-\<^((0,0); £ П)\ = ^ -^-(15)

По лемме 2

Шг) \ пк ^ ¿Пг)

г=1 г=к+1

с ^ Ср((3)

5*1 ^ ——. (16)

пк

Согласно (13), имеем

* < ^ ™

10 п!

к

Наконец, поскольку /i(supp( ^ /Пг)) ^ —7Г ^ ^2 , то, применяя лемму 5 и оценку (14),

^ V=k+l '' Пк+1 Uk+1

получим

^ £Ш <:

lß Ik+1

ß -

k

(18)

Теперь утверждение теоремы 2 вытекает из формул (15)—(18).

Если в определении функции /(в,Ь) взять функции /ик(в,Ь) из леммы 3, то, дословно повторяя доказательство теоремы 2, получим, что справедливо следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть 0 < в < 1- Тогда существуют положительные постоянные С1(в),С2(в) и измеримая на Т2 функция /(в,Ь), такие, что для всех в € Т и Ь € Т функция /(в,Ь) удовлетворяет

условию ^ С\((3) в2 + и для некоторой последовательности натуральных чисел {пк\^=1,

где Пк оо при к оо, справедлива оценка \(Тпк,пк{{^, 0); /)| ^ 1пПк-

ик

Далее докажем следующую теорему.

Теорема 4. Пусть 0 < а < 1 и в > 0. Тогда существуют положительные постоянные С1 (а), С2(а) и измеримая на Т2 функция /(в,Ь), такие, что для всех в € Т и Ь € Т функция /(в,Ь) удовлетворяет

условию — /(0,0)| ^ С\(а) з2 + и при всех п € N справедлива оценка \ап>п((0, 0); /) —

/(0, 0)\ ^ С2(а)п-а.

ж

Доказательство. Определим функцию / (в,Ь) = ^ 2-та сов2т в со$,2тЬ. Оценим величину

т=1

оо

оо

\f (0, 0) - f (s,t)\ ^22 2-ma\1 - cos2m s cos 2mt\ ^22 2-ma |1 - cos2ms\ + \ cos2m s\\1 - cos2mt\ <

m=1

m=l

m s\ 1 ^ ~~ r,—ma \ r,m, m=1

[log2 ±]

00

[log2 |]

^22 2-ma\1 - cos2ms\ + 22 2-ma\1 - cos2ms\ + 22 2-ma\ cos2ms\\1 - cos2mt\ +

m= 1 m=[log2 i] + l m=1

ж

+ 22 2-ma\ cos 2ms\\1 - cos2mt\ = Si,i + Si,2 + £2,1 + £2,2-

(19)

Имеем

m=llog2 i]+i

[log2 7]

[log2 7]

[log2 i]

S1,1 2-ma2sin2(2m-1s) ^22 2-ma22m-1 s2 < s2 22 2m(2-a) <

m=1

m=1

m=1

Оценим S1 2:

Аналогично

< C(a)s22llog2 -К2"«) <; C(a)s2sa~2 < C(a)sa.

ж

Sh2 ^2 22 2~ma ^ 2~([lDg2 < C(a)sc

m=[log2 i]+l

£2,1 < C(a)ta

(20) (21)

(22) (23)

S2,2 < с(a)ta.

Из неравенств (19)-(23) вытекает, что \f(s,t) - /(0,0)| < C(a) (\s\a + \t\a) < C(a) (\/s2 +t2^ Теперь для произвольного натурального n подберем натуральное m, такое, что 2m ^ n < 2m+l. Тогда,

m ж

учитывая, что f (0, 0) — а'п,п((0, 0); f) = ^k2-ka + 2-ka, где все Xk ^ 0 в окрестности (x0,y0) (так

k=l k=m+l

как коэффициенты чезаровского среднего все меньше либо равны единице), имеем f (0, 0)—аП,п((0, 0); f) ^ 2-(m+l)a ^ C(a)n-a, ч.т.д.

и

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 08-01-00302а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: ГИФМЛ, 1961.

2. Herriot I.G. Norlung summability of double Fourier series // Trans. Amer. Math. Soc. 1942. 52, N 1. 72-94.

3. Ильин В.А. Условия локализации прямоугольных частичных сумм кратного тригонометрического ряда Фурье в классах С.М. Никольского // Матем. заметки. 1970. 8, № 5. 595-606.

4. Крутицкая Н.Ч. Локализация при ограниченном суммировании методами Чезаро, Рисса и Абеля кратных рядов Фурье // Матем. заметки. 1972. 12, № 4. 355-364.

5. Крутицкая Н.Ч. Окончательные условия локализации прямоугольных чезаровских средних и средних Абеля при ограниченном суммировании кратного тригонометрического ряда Фурье в классах Лиувилля // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1973. 37, № 3. 593-602.

6. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: Мир, 1965.

7. Жижиашвили Л.В. Некоторые вопросы многомерного гармонического анализа. Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та, 1983.

8. Дьяченко А.М. Об одном свойстве средних Чезаро двойных рядов Фурье // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 14-й Саратов. зимней школы, посвященной памяти академика П.Л. Ульянова. 28 января - 4 февраля 2008 г. Саратов: Изд-во Саратов. ун-та, 2008.

Поступила в редакцию 08.10.2008

УДК 514.177.2 + 514.114

МОЩНОСТЬ ОТДЕЛЯЕМОГО МНОЖЕСТВА ВЕРШИН МНОГОМЕРНОГО КУБА

И. Н. Шнурников 1

Рассмотрим n-мерный куб и вписанную в него сферу. Гипотеза А. Бен-Тала, А. С. Не-мировского, К. Роса утверждает, что любая касательная гиперплоскость к сфере строго отделяет от центра сферы не более чем 2n-2 вершин куба. В работе доказана эта гипотеза для n ^ 6. Построена серия примеров гиперплоскостей, строго отделяющих ровно 2n-2 вершин n-мерного куба для любого n. Доказано, что гиперплоскости, ортогональные радиус-векторам вершин куба, строго отделяют менее чем 2n-2 вершин куба при n ^ 3.

Ключевые слова: пороговые функции, отделяемые множества вершин куба.

An n-dimensinal cube and a sphere inscribed into it are considered. The conjecture of A. Ben-Tal, A. Nemirovskii, C. Roos states that each tangent hyperplane to the sphere strictly separates not more than 2n-2 cube vertices. In this paper this conjecture is proved for n ^ 6. New examples of hyperplanes separating exactly 2n-2 cube vertices are constructed for any n. It is proved that hyperplanes orthogonal to radius vectors of cube vertices separate less than 2n-2 cube vertices for n ^ 3.

Key words: threshold functions, separated vertices of cube.

Введение. Рассмотрим n-мерный куб и вписанную в него n — 1-мерную сферу и. Будем говорить, что касательная гиперплоскость а к сфере и отделяет вершину куба A, если вершина A и центр сферы и находятся строго по разные стороны от гиперплоскости а.

Гипотеза (А. Бен-Тал, А.С. Немировский, К. Рос [1, гипотеза А.2]). Любая касательная гиперплоскость к вписанной сфере отделяет не более чем 2n-2 вершин n-мерного куба.

1 Шнурников Игорь Николаевич — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: shnurnikov@yandex .ru.