CC BY
51
УДК 621.314;621.314.57
МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ПЕРЕКЛЮЧАЮЩИХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ АНАЛИЗА ВЕНТИЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ ПРИ РАБОТЕ НА ПРОТИВО-ЭДС
А.Г. Гарганеев, С.А. Харитонов*
Томский политехнический университет Новосибирский государственный технический университет E-mail: garganeev@rambler.ru; kharit1@yandex.ru*
Расширены возможности метода переключающих функций для анализа устройств силовой электроники. Модифицированный метод ориентирован на аналитическое описание производных токов в индуктивностях электрической цепи с вентилями. Возможности метода иллюстрируются на примере анализа механотронной системы «синхронный генератор с возбуждением от постоянных магнитов-двухполупериодный выпрямитель с нулевым выводом» при работе преобразователя на противо-ЭДС.
Ключевые слова:
Переключающие функции, модификация, пульсации тока, противо-ЭДС.
Key words:
Switching functions, updating, current pulsations, counter-electromotive force.
Метод переключающих функций применяется при анализе различных схем в силовой электронике достаточно давно. В значительной степени его распространение связано с работами профессора Г.В. Грабовецкого [1].
Основным достоинством метода является возможность получения аналитических выражений для электрических величин схемы, однако допущением этого метода является то, что нагрузка вентильного преобразователя должна удовлетворять гипотезе фильтра низкой частоты, т. е. предполагается отсутствие пульсаций в выходном токе преобразователя. Данное допущение существенно ограничивало класс исследуемых систем силовой электроники.
В настоящей работе предпринята попытка расширить возможности метода на преобразователи электрической энергии, работающие на противо-ЭДС, при этом пульсации выходного тока могут иметь значительную величину, а анализ распространен вплоть до режима прерывистого тока.
Сущность метода иллюстрируется на примере системы «синхронный генератор с возбуждением от постоянных магнитов-двухполупериодный выпрямитель с нулевым выводом». Синхронный генератор (СГ) работает с переменной частотой вращения вала (п=уаг), выводы выпрямителя подключены к противо-ЭДС ин. Эквивалентная схема системы представлена на рис. 1. Данная схема получена при следующих допущениях:
• магнитная система СГ не насыщена и линейна;
• генератор явнополюсный, имеет систему успокоительных контуров по продольной и поперечной осям;
• выполняются условия теоремы о постоянстве потокосцеплений;
• вентили выпрямителя идеальны;
• Х - индуктивность фидера между СГ и выпрямителем.
При анализе используется система относительных единиц, в которой за базовые приняты следующие величины: иб=ин; п6=пшП - минимальная
частота вращения, при которой амплитуда ЭДС холостого хода СГ равна ин; соб=тшП=2жрппк/60 - минимальная циклическая частота напряжения СГ; Х^ю^Ь+Щ+Ц)/2], 16=ЩХ6, 8б=1биб - базовые величины сопротивлений, токов и мощностей
т п
", ц - сверхпереходные индуктивности обмоток статора СГ по продольной и поперечной осям соответственно. Относительное значение величины обозначается верхним индексом «звездочка», например, п*.
мпп1 V)
“cri
1/ “ПП 2 Vl
-Г>Г>ГЛ_____«
К
Рис. 1. Эквивалентная схема анализируемой системы
Для упрощения соотношений введено обозначение ц=2Ь//(Ь"+Ь").
С учетом принятых допущений, введенных относительных единиц и обозначений, поведение исследуемой системы можно описать следующей системой уравнений:
e n X iQ ^сг unn,
as
J=1
(1)
“ * - ■ .*
e1 с г
, *сг =
_e2_ с г
где e =
и токов СГ; X =
- векторы фазных ЭДС
1 X X* 1
матрица индуктив-
ных сопротивлении схемы; uпп =
- вектор
та с моментом времени 3=/ и определим переключающие функции следующим образом:
входных напряжений выпрямителя; в^път (3); е2*=-п*8т (3); ; Х/=-1/(1+?).
Здесь с целью определения напряжения на выходе СГ собственная индуктивность фазы представлена в виде двух индуктивных сопротивлений, а именно, собственного индуктивного сопротивления фазы СГ Х*=1/(1+ц) и внешней индуктивности Х/*=?/(1 + ?), причем Х+Х*^.
При увеличении частоты вращения вала СГ (п*), начиная с пб=пш1п=1, в системе возможны три режима работы в зависимости от величин п* и Эти режимы различаются числом одновременно работающих вентилей. Кривые токов генератора (/1СГ, /2СГ) для них приведены на рис. 2.
Первый режим характеризуется прерывистым током в цепи нагрузки (рис. 2, а), во втором режиме работы устанавливается предельно-непрерывный ток с длительностью протекания Х=п (рис. 2, б). Третий режим работы возможен при наличии внешнего индуктивного сопротивления Х и характеризуется непрерывным током в нагрузке, при этом длительность протекания тока через вентиль больше половины периода ЭДС СГ (А>п) (рис. 2, в). Для описания процессов введем угол вынужденного зажигания /, который определяется моментом включения неуправляемого вентиля. Он может быть найден из равенства
е*(/) = и; = 1.
Для случая управляемого выпрямителя необходимо угол р заменить на угол регулирования а с учетом выражения
а, если а >/,
/, если / >а.
Предлагаемая модификация метода переключающих функций предполагает, что зависимости р(п*) и А(п*) определены с помощью системы уравнений (1) [2].
Введем переключающие функции первого /1(3) и второго /2(3) вентилей. Совместим начало отсче-
ЗД =
ад =
|1 при i*CT(3) ф 0,
[о при i*cr($) = 0,
J1 при i2*cr (3) ф о,
|о при /2СГ(3) = о
или
F1(3) = F2{3-n):
,V2
=-------+ V —yjl — cos(kX) sin[k3 + (pk ],
2n k=1 kn
(2)
где
Vk = arctg
sin( kX)
1 - cos( kX)
Напряжение на входе вентильного преобразователя (учтено, что ин*=1) с их помощью определится как
= f2 + (1—F2)
d3
d*
d3
После подстановки данных соотношений в основное уравнение системы получим
^ (в* -1) = п ^+^и*X* ; (3)
d3
di*
d3
+ Fn X * ^
(4)
d3 2 s d3
где e\=-e2=nsm(3+y).
С целью определения структуры реактивной мощности, отбираемой от СГ, воспользуемся представлением уравнений системы в a/3-осях и методом симметричных составляющих. Для этого введем оператор поворота a = exp [ j — | (^=V—1,
V m J
m - количество фаз СГ), тогда изображающий вектор фазных токов СГ при m=2 запишется в виде
0,6|-------------г-
п* = 1,6
0,8
i
0,6
0,4
0,2
n* = 1,862 Л
* ? •* i'icr i2cr
S
1,5
i
0,5
1 * , 1 П* = 6
pad 0 2 4 6 8 pad 0 2
6
s
6 pad
Рис. 2. Режимы работы схемы: а) первый; б) второй; в) третий
4
. (5)
Из соотношения (5) очевидно, что ^*=0. Нулевая последовательность этих токов определится следующим образом:
.* 1 , .* .* ч
10 = 2(/1СГ + г2СГ/-
Суммируя (3) и (4) получим уравнение для і0* и, применяя оператор «а» к (4) с последующим суммированием результата с (3), получим уравнение для а После выполнения указанных операций будем иметь
п*(1 - X* Гу) = и*в,
«*(1+К ру) ^=и°, (6)
аЗ
где
Гу = р + р2 -1, Ае*в = ГА* - Г2е2* = е* (Г + Г),
Гав = Г1 - Г2>
и**в = Ае*в- рав; Ае* =1 е*(р1- р2);
ав ав
* * * п 7-і Г + Г
ио = Аео -Го; Го = 2 '
(7)
где
■1с 2 ^ав , 12с 2 ^ав
(9)
- симметричные составляющие фазных токов СГ Обобщенный вектор напряжения синхронного генератора вычисляется согласно выражению
* __ о Гу
исГав = еав - 2
* Л
п аіав
(10)
1 + д (С3
где е*?(9=е1*-е2*=2е1*. При выводе (10) учтено соотно шение Х*=-1/(1+ц).
Из системы уравнений (6) получим
аі,
ав
1 + д
аіп
1+д
^3 и*(1 + д + Гу) ав С3 и*(1 + д - Гу) Подставив (11) в (10), запишем
* * 2 *
МсГав= в“в- 1 + д + Гу ^ .
Принимая во внимание, что сопротивление дросселя Ь/ в относительных единицах равно
и0.(11)
пп —д—, определим соотношение для обобщенно-1 + д
го вектора напряжений на нем, а также напряжений нулевой последовательности:
и/ав =
д
П д ав
1 + д аз 1 + д + Гу
ав '
и/ 0
під аг0
д
V (12)
1 + дс13 1 + д + Гу 0 4 '
Учитывая (6) и (11), можем получить аналогичные составляющие напряжений на входе выпрямителя:
иппав Єав «
2 + д
ав
1+д аз
еав
2 + д
1 + д + Гу
иав
Первое соотношение в системе уравнений (6) позволяет определить симметричные составляющие фазных токов СГ, т. е. гармоники с порядковыми номерами 2к-1, а второе - нулевую последовательность, содержащую гармоники порядка 2к. Очевидно, что ток нагрузки системы /н*=2/0*, а токи фаз генератора через обобщенный вектор (г^) и ток нулевой последовательности определяются соотношениями
■ * ■ * 1 ■ * ■ * ■ * ■ * ■ * 1 ■ * ■ * ■ *
г1СГ = г0 + ~2 ^а/З = г0 + г1с , г2СГ = ^0 — ^а0 = ^0 + ?2с , (°)
(13)
Таким образом, напряжение нулевой последовательности, генерируемое противо-ЭДС посредством полупроводникового преобразователя, в цепи СГ уравновешивается напряжением на внешнем дросселе.
Учитывая, что относительное значение индуктивного сопротивления рассеяния СГ равно
=7^, да=—гЧ^2, (Ь - индуктивность
1+д ц+ц
рассеяния), получим выражение для обобщенного вектора напряжения СГ до индуктивности рассеяния:
* * О 1 — д5 *
их а = в а — 2--------и о .
оав ав ч т~I ав
1 + д + Гу
Из соотношения (13) следует, что токи симметричных составляющих ограничиваются во входной цепи полупроводникового преобразователя индуктивным сопротивлением:
V* __* 2 + д
X = и --------,
зкс , ’
1 + д
причем выходное сопротивление СГ для них определяется выражением
2
1 + д
Эквивалентное сопротивление для токов нуле-
Ч
вой последовательности X 0 = п
1 + д
Обобщенные векторы полного потокосцепле-ния и потокосцепления в зазоре СГ определятся соотношениями:
^'ав = 2с°^(З +¥) + "-------Св >
1 + д
^ав = 2с08(З+^) + 2
1 - д а ,а 1 + д
ав
(14)
Переход в естественные координаты для каждого из определенных выше напряжений и потокос-цеплений осуществляется с помощью соотношения, аналогичного (8):
ип = ир + 2и^ар = и]0 + и 1с ,
и., =—и. „, и0 =—и. „,
7 1с 2 7 ав 7 2с 2 7 ав
где и*1с, и*,. - симметричные составляющие фазных напряжений.
Расчет мгновенных значений токов и напряжений по найденным соотношениям может быть произведен несколькими способами. С нашей точки зрения наиболее оптимально использовать стандартную процедуру дискретного быстрого преобразования Фурье (БПФ). Действительно, учитывая, что во временной области переключающие функции /1 и В2 определены, не составляет труда найти Ы=2к значений любого из напряжений, включая производные токов (к - целое число). При этом определяется значение М=1+2(к+1) гармоник, амплитуды которых рассчитываются согласно соотношению [3]:
г = 1 ^ 2пг (7'/а)к
7 =7м 5“кв ■
где ик=и(3к), 3к=2ж/Ык, и(3) - мгновенное значение рассчитываемой координаты.
Полученные соотношения не исключают возможности аналитического определения спектральных составляющих искомых координат, что можно сделать путем непосредственного интегрирования найденных соотношений на соответствующих временных интервалах. Наиболее простой способ аналитического определения гармоник можно получить, если во всех выражениях переключающую функцию Ту, там, где она встречается в знаменателе, заменить на ее среднее значение, т. е. ¥уъВу0=Х/п-1, а во всех остальных случаях воспользоваться представлением /1, В2 и ¥у в виде ряда Фурье согласно соотношениям (2) и (7). Независимо от используемого способа расчета необходимо иметь в виду, что полученные соотношения не позволяют восстановить среднее значение тока нулевой последовательности ¡0*=/н*/2, его необходимо определить по результатам расчетов во временной области [2].
Алгоритм расчета с применением БПФ можно представить в виде последовательности операций:
• Рассчитываются в дискретных временных точках производные токов симметричных составляющих и нулевой последовательности по соотношению (11)
Квк = (а (3к))' = *„. 1+д ив (3 )■
1 N—1
В соответствии с выражением С 7 = — 5икв
2 пг( 7'/п )к
М к=0
54 = ))' =
и [1 + д + Гу(3к)] 1 + д
и*[1 + д - Гу(3к)]
определяется комплексный массив синусных и косинусных составляющих гармоник производных токов 1ар и ¡0 и рассчитываются амплитуды и фазы отдельных гармоник:
8ГаР= гт^}, 8К = г*тз4}■
81°в = 1ш(5^), 81'авс = Ъ-еЗЪ )■
5/*, = 1ш(5/0*), 5/0с = Яе(5/0),
8^7=V (з^)2+з4с/ )2 ■
5Рав = аГС1В( 5/,*всу /З/*в,7 ^
м
(3) = 55/*> (27-1) ^К2./ -1)3 +5Pав(27•-1)]■
7=1
5/0*7 = >/(5/*,7 )2 + (З/**7 )2 ■ ЗР07 = аГСг§( 54 /54' ^
м
З0 (3) = 5З/*2у + Р’ ]
=1
где Ffft{...} - оператор БПФ, определенный, например, в среде МШкеай.
• Определяются выражения для токов (^ и ¡0*:
м
(3) = 5 (27-1) 8^п[(27'- 1)3+рв(27 -1)],
=1
м
¿0* (3) = 5 /027' вШ^'3 + Р027- ] + /*; /2 ■
=1
-8/*
и*(3).
27-1
Рав(2у-1) =ЗРав(27'-1) - ■' /027 = З/027 ■
Р7'27' = Зр027' -"2.
• По соотношениям (10), (12)—(14) вычисляются все необходимые величины, в том числе заряд цепи, гильбертов образ тока симметричной составляющей.
• По спектральным составляющим рассчитываются действующие значения (модули) электрических величин.
На рис. 3 в качестве примера приведены спектральный состав тока (а, б), напряжения (в, г) и по-токосцепления (д, е) СГ, рассчитанные по предложенной методике для режима с ц=0, Х/=0,558 и частот вращения п*=1,1, п*=5.
Из рис. 3 следует, что при малых частотах вращения вала СГ напряжение генератора искажено незначительно, ток генератора существенно несинусоидален. С ростом п* ситуация изменяется на противоположную. Как следует из проведенных авторами расчетов, начиная с п*=1,862, напряжение СГ становится прямоугольным и не изменяется ни по форме,
'СГ(к)
0,6
0,4
п * = 5, д = 0
0,2
п _
X | = 0,558
!СГ (к) 0,03 '
п * = 1,1; д = 0
10
15 20
а
1,5
*
11С Г (к
0,5
Пл.
Я
XI_______□_______ш_______□_______□.
1,5
иСГ(к)
1
10
15
¥
0,5
10
15
20
б
- 1
10
10
10 >5
15
15
к
20
0
0
0
5
0
5
Рис. 3. Спектральный состав а, б) тока; в, г) напряжения; д, е) потокосцепления СГ
ни по величине, при условии постоянства противо-ЭДС. В этом диапазоне изменения п* потокосцепле-ние в зазоре СГ по форме близко к синусоидальному.
Выводы
Предложена модификация метода переключающих функций, которая применима для анализа устройств силовой электроники, в частности, работы вентильного преобразователя в режиме противо-ЭДС, когда пульсации выходного тока имеют значительную величину, а сам ток может носить прерывистый характер.
Исследования электромагнитных процессов в мехатронной системе «синхронный генератор
с переменной частотой вращения-управляемый выпрямитель» при работе на противо-ЭДС доказали эффективность предложенного метода. Расширение возможностей метода за счет использования модифицированного метода симметричных составляющих позволяет детально рассмотреть поведение токов и неактивной мощности, потребляемой от синхронного генератора. Подобная детализация открывает возможности синтеза алгоритмов управления, минимизирующих перетоки неактивной мощности от генератора к выпрямителю.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта № 1 G36.31.0010 от 22.10.2010 г.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 2.
1. Грабовецкий Г.В. Некоторые вопросы динамики вентильных преобразователей частоты с непосредственной связью и естественной коммутацией при совместном и раздельном управлении // Электричество. - 1975. - № 2. - С. 58-60.
Харитонов С.А. Электромагнитные процессы в системах генерирования электрической энергии для автономных объектов. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2011. - 536 с.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). - М.: Наука, 1974. - 832 с.
Поступила 05.03.2012 г.
