Программно-вычислительное моделирование синхронных и вентильных машин Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Авионика и электротехника

УДК 629.735.064

ПРОГРАММНО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИНХРОННЫХ И ВЕНТИЛЬНЫХ МАШИН

С. Б. РЕЗНИКОВ

Статья представлена доктором технических наук, профессором Кривенцевым В. И.

Рассматриваются рациональные методики программно-вычислительного моделирования синхронных и вентильных машин, адекватного задачам управления в переходных режимах и анализа показателей качества электроэнергии в автономных системах электроснабжения.

Общая постановка задач моделирования. В последние годы в научно-исследовательских кругах иногда бытует мнение о том, что появление дорогостоящих иностранных программ компьютерного непосредственного ("квазианалогового") моделирования электротехнических и электронных схем с использованием библиотек для готовых моделей элементов и узлов позволяет отказаться от математического описания и аналитического исследования указанных схем. Такой тезис представляется глубоко ошибочным по следующим причинам:

- библиотечные модели узлов средней и повышенной сложности (например, электрических машин, импульсных статических преобразователей, линейных электромагнитных механизмов, коммутационной аппаратуры и др.), как правило, либо весьма приближенны по достоверности физических процессов, либо требуют знания многочисленных параметров устройства, либо должны быть выбраны среди перечня готовых иностранных изделий с малоизвестными параметрами (или не совпадающими с отечественными);

- стоимость указанных программ (в полных версиях) делает их недоступными для широкого круга научных и инженерных работников;

- многочисленные отказы в процессе моделирования могут происходить одновременно по нескольким трудно диагностируемым причинам: из-за взаимно несочетаемых начальных условий (например, с малейшим расхождением величин начальных токов в последовательно соединенных индуктивных цепях или напряжений на параллельных емкостях и т.п.); из-за несочетаемости идеализированных параметров и т. д., что может привести к неоправданным временным затратам на отладку, причем с помощью высококвалифицированного специалиста;

- практическая невозможность сочетания моделей с программами синтеза и оптимизации из-за высокой сложности и невозможности использования упрощающих допущений, например, о пренебрежении определенными параметрами или о их взаимном соотношении;

- невозможность получения аналитических решений, алгоритмов управления и их сочетания с программами оптимизации или ускоренных расчетов.

В качестве приемлемого компромиссного способа моделирования представляется разумное сочетание аналитических решений, программно-вычислительного и вышеуказанного "квазианалогового" моделирования, адекватных конкретным задачам, в частности: по

мгновенным значениям, по гладким огибающим, с различными уровнями упрощающих допущений и др.

1. Методика расчета переходных процессов вентильного генератора в трехфазных координатах по мгновенным значениям

Принципиальная схема вентильного генератора приведена на рис. 1. Модель синхронного генератора имеет статор с трехфазной обмоткой якоря (а, в, с) и явнополюсным ротором с тремя обмотками - обмоткой возбуждения / и демпферными обмотками по продольной оси с1 (П) и поперечной оси q (0).

Эту же модель с достаточной для инженерной практики точностью можно применить и для магнитоэлектрических вентильных генераторов (МЭГ-В). Для этого достаточно принять следующие значения параметров обмотки возбуждения: Xfs ® «, rf = 0, Uf = 0, if(0) Ф 0 (const).

Рис. 1. Принципиальная схема

Уравнения напряжений трехфазного синхронного генератора с соединением обмоток якоря в звезду без выведенной нулевой точки при симметричной нагрузке могут быть записаны в матричной форме в ортогональных осях ё, q [1, 3]:

Uf

-Ud

-uD= 0

-Uq= 0

pLf + rf 3pMaf/2 0 pMfD 0

pMaf pLd + r WLq pMaD -WMaQ

WMfd wLd pLq + Г WMaD pMaQ

pMfD 3pMaD /2 0 pLd + rD 0

0 0 3pMaQ /2 0 pLq + rQ

Ud

(id)

Uq

(iq)

f

Id

Id

1QL

Ua

(ia)

Ub

Uc

(ic)

Ua

(ia)

Ub

(ib)

Uc

(ic)

cosg -sing

cos[ g-1p j - sin( g- 2 p j

f 2 ) cosl g+~p j - sin[^ g+1 p j

Ud

(id)

Uq

(iq)

гдер - символ дифференцирования;

и, г - мгновенные значения напряжений и токов; Ь - коэффициенты самоиндукции;

М - коэффициенты взаимоиндукции; г - активные сопротивления;

U

У = У о + | ыё? - угол поворота ротора. о

Уравнение движения ротора имеет вид

Мм - Му = ^ы,

где Мм = Мдв - Мхх - момент механических сил (момент приводного двигателя генератора минус момент потерь холостого хода);

+ МаО^ )*ё + Ма/1/ + МаБ1Б ] - электромагнитный момент.

М у= 2 У 3

Для обобщения математической модели удобно выражать параметры и переменные в относительных единицах. Наиболее удобна система относительных единиц, при которой все взаимные индуктивности по оси ё или q получаются равными. Это достигается [2, 3] надлежащим выбором масштаба приведения роторных величин к якорным. В относительной системе "равных взаимоиндуктивностей" уравнения напряжений синхронного генератора в ортогональных осях ё, q имеют вид

и

ё, q Ру ё, q + q, ё + Г^ё,

и/ =// + РУ /;

0 = РУ бо + Г

О + ГБ,О • 1Б,О

ч

где yad,aq + xsid,q;

= yad,ad,aq + Х/$,В$,<^$1/,0,Я;

Уа,ё = Xad(if + + *д);

ya,q xaq(iq + г2);

Хц - индуктивное сопротивление рассеяния якорной обмотки (в относительных единицах); х^, Хэц, Хдц - индуктивное сопротивление рассеяния обмотки возбуждения, продольной и поперечной демпферных обмоток (для МЭГ Х-[-з ® ¥); ха,ё, Хщ - индуктивное сопротивление взаимоиндукции (продольной и поперечной реакции якоря);

г,г^ гп, гд - активные сопротивления якорной обмотки, обмотки возбуждения и демпферных обмоток, приведенные к якорной цепи (для МЭГ ^ = 0). Уравнение моментов в относительных единицах принимает следующий вид:

Мм = Ир® + (уqid - У^),

®б

где И у = л------- - инерционная постоянная (рад).

рб

На рис. 2 представлена расчетная схема, содержащая существенно нелинейные элементы -выпрямительные вентили г1 ...г6.

Рис. 2. Расчетная схема

С учетом указанных на схеме обозначений, дифференциальные уравнения системы можно представить в виде

- иа,Ъ = РУ а,Ъ + г • га,Ъ ; - и! (*, ин, гн )= РУ f + Гf ' if ;

0 = руп,д + гп,; Рин = Хс (гв - гн); МмМ -Му = Ир®;

1 1

® = РТ, где Хс = —^—.

2б

Используя формулы линейных преобразований [1, 3] и раскрыв выражения для потокосцеплений, получаем системы из восьми нелинейных дифференциальных уравнений:

/ _ ^.Л / _ ^.Л

и

Х

мР1/ + ХаБРІБ )соб

Р , Р

у---±-

а,Ь Х'^аи* / аБ ± б / • 3 3

Хл + Х„ Хл + Х„ Хл - Х Ґ

У

ХаОР^О Б1П

V

Р , Р

у—± — 33

+

У

+

+

4

4

л/3

Хё + Хч Хё + Хч Хё - хч

■ +--------¡=-^- Б1П

4

+

4

л/3

2у ± — 3

РІа +

о Р . Р

2у---± —

33

у

РгЬ

-Ы(Хаёг'/ + ХаБІБ )б1п

V

Р , Р

у—± 33

У

- ЫХаО1О СОБ

РР

у—± 33

+

+ 2ы

Хё - хч

л/3

¿а С°Б

^ ±РЛ

2у± —

3

+ ІЬ СОБ

Р±РЛ 2у — ± —

3 3 у

V -V

+ ГІа,Ь ;

2

и/(, ин, Ін ) ^3 Хаё

Ґ

РІа Б1П

у +

Р

3

+ РІЬ Б1П у + ЮІа СОБ

V -V + Х/РІ/ + Х/бРІб + Г/І/;

у+

Р

+ ЮІЬ СОБ у

+

3

0 = -^ х

-Л'

аВ

ріа БІП

у +

р

3

+ рІь БІП у + Юіа СОБ

у + -

р

+ Юіь СОБ у

+

+

0=43Хав

Х/вР1/ + ХвРІв + гвІв;

РІа СОБ

у + -

р

У +

р

3

+ ріь СОБ у - Юіа БІП

V 3 У

риу = хе[ів - іу(01;

ю = ру;

Юіь БІП у

+

Хдрід + геіе;

мм(ю)-Яур©= 3-

— Х - Хл ) с БІП

д Хй Л іа

—

2у + —р 3

+ іаіЬ БІП

2у + р 3

•2 • 2 + іь БІП у

+

2 . ( р ^

^13 Хадід іа БІП у+ — И 3 У + іь БІП у

2 (

^У3 \Хайі/~г ХаВіВ

Х^іґ + Х„тлів )х (1)

X

( р 'І

іа СОБ у + — 3 V 3 У + іь СОБ у

Величины паЪ и ¡н являются функциями ¡а, ¡ъ и ин, определяемыми нелинейной системой из шестнадцати алгебраических уравнений, выражающих собой законы Кирхгофа для трехфазной двухполупериодной схемы выпрямления:

иь,с - иа = и1 - и3,5; и1,3,5 + и2,4,6 + ин = 0; иа + иь + ис = 0

В = і1,2 + і3,4 + і5,6; іа,ь + і1,3 = і2,4; ик

і~ и + іі

к (і„), к = 1,2, 3,4, 5, 6

(2)

где ик = ик(ік) = ік ■ гк(ік) - выражение вольт-амперной характеристики вентиля выпрямителя.

Неизвестными величинами в системе (1) являются: ин, іа, іь, і/, ів, ід, у, ю; начальными условиями принимаются: і/ = і/(—0); у = у0; ю = ю(-0); ин = іа =

= іь = ів = ід = 0.

Алгоритм расчета коммутационных процессов выпрямителя сводится к выражению фазовых напряжений генератора иа и иь и выпрямленного тока ів через фазовые токи іа, іь и напряжение ин посредством решения алгебраической системы (2).

Вольтамперная характеристика вентиля достаточно точно аппроксимируется уравнением

и* =

і і'-1

— + —

V ік п у

где п - постоянный параметр аппроксимации.

С учетом п^к) решение алгебраической системы (2) можно представить в виде

иа,ь = 0 (и3,1 + и5 2и1,3 }> іВ = і1 + і3 + і5 =

где

3

3

п • I-

и

1,3,5

Ь1,3,5 + Л/ Ь1Л5 4(2п + ин )с1.

3,5

1,3,5

*1,3,5 + П

1,3,5

Ь1,3 = 2п(ин + ¡а,Ь + п)+ ин1аЪ ;

2(2п + ин)

Ь5 = 2п(ин

г - *Ь + п)- ин (*а + ¡Ь ); с1,3 = п[п(ин + ¡а,Ь ) + ин*а,Ь ]; с5 = п[п(ин - ¡а - ¡Ь ) - ин (*а + ¡Ь )]

(3)

Удовлетворительную точность при расчете коммутационных процессов дает также более простой алгоритм. Идеализация вольт-амперной характеристики вентиля и представление ее в виде релейной функции гк = 0 при ¡к > 0;

гк ® ¥ при ¡к < 0 позволяет записать соотношения:

и

иа,Ь =(а

= (а, Ь )• — •

¡в=0,5(і ¡а+ы+¡с її

(4)

где коэффициенты а и Ь могут принимать в зависимости от состояния фазовых токов одно из значений, указанных в таблице.

Таблица

Если ^ V то: ¡а ^ 0 ¡Ь ^ 0 ¡а ^ 0 ¡Ь < 0 ¡а + ¡Ь ^ 0 ¡а ^ 0 ¡Ь < 0 ¡а + ¡Ь <0 ¡а < 0 ¡ь ^ 0 ¡а + ¡Ь ^ 0 ¡а < 0 ¡ь ^ 0 ¡а + ¡Ь <0 ¡а < 0 ¡Ь < 0,

а 1 2 1 -1 -2 -1

Ь 1 -1 -2 2 1 1

¡н ¡а + ¡Ь ¡а - ¡Ь ¡Ь - ¡а -( ¡а + ¡Ь)

Из таблицы следует, что алгоритм (4) линеаризует функции иа, иЬ и /н на интервалах неизменной проводимости выпрямителя. Это позволяет линеаризовать систему уравнений (1) при постоянной скорости вращения и без учета насыщения магнитной цепи.

Расчет переходного или коммутационного процесса на основе изложенной математической модели осуществляется численными методами на цифровых вычислительных машинах.

Для применения стандартных методов исходная система или (1) представляется в канонической форме Коши

Шук = /(г, У1...У8)> (5)

ш

где к = 1, 2, 3...8.

Правые части уравнений (5) находят из исходной системы, которая рассматривается как

Шук

система алгебраических уравнений относительно ----------. При этом приходится решать систему

Шг

только из четырех алгебраических уравнений, так как три уравнения уже представлены в канонической форме, а остальные пять легко сводятся подстановкой к четырем.

Исходными данными для модели являются: і/(0-); х8; хф Хас; Хад; Хао; Хр; х/, хп; хд хс; г; гу

Тв'; Гд; ин тах и параметры функции Пут.

В результате расчета на вычислительной машине получают ин(г); ів; іа,Ь,с(г); иаЬс(г); іс,д(г);

иС,д(І).

2. Методика расчета статических характеристик и переходных процессов вентильного генератора в синхронных d-q-координатах по огибающим

Введение некоторых допущений, касающихся процессов в выпрямителе, позволяет с достаточной точностью описать переходный процесс в ортогональных координатах С, ц.

Применение С, ц-преобразования является наиболее распространенным методом описания переходных и установившихся режимов работы электрических машин системой уравнений, в общем случае нелинейной, но без периодических коэффициентов [1, 4]. Однако теория С, ц преобразования на вентильные генераторы непосредственно не распространяется, так как специфика работы выпрямителя приводит к генерации спектра высших гармоник в фазных токах и напряжениях генератора.

Тем не менее, при отказе от непосредственного анализа гармонического состава фазных токов и напряжений вентильный генератор приближенно можно описать в ортогональных координатах С, ц. При этом применяется метод гармонической линеаризации, заключающийся в замене реальных токов и напряжений вентильного генератора эквивалентными с энергетической точки зрения квазисинусоидальными величинами, монотонно меняющимися по амплитуде в зарядном процессе.

Связь между действующими значениями эквивалентных квазисинусоидальных фазных токов и напряжений с реальным зарядным током и напряжением на выходе выпрямителя выражается через коэффициенты преобразования выпрямителя.

В общем случае

г+Т

к =—• і т

II

г+Т

кі = — • і т

г+т и

г

Т

л г+Т

1 \ и

Т

иа,Ь,сСг

где к* - коэффициент преобразования выпрямителя по току;

ки - коэффициент преобразования выпрямителя по напряжению;

Т = —,/н - номинальная частота генератора; ін, ин, іа,Ь,с, иа,Ь,с - мгновенные значения токов /н

и напряжений.

Коэффициенты к* и ки при этом учитывают наличие высших гармоник в реальных фазных токах и напряжениях.

В общем случае значения коэффициентов к* и ки изменяются в переходном процессе, однако с достаточной для практики точностью можно пользоваться "средневзвешенными" за процесс значениями коэффициентов.

При этом для схемы, показанной на рис. 1,

к* = 1,35; ки = 2,45.

Таким образом:

¡н к* ¡; ин ки и,

г

г

. I и

где I = ^=; и = ^= - эквивалентные действующие значения квазисинусоидальных фазных токов и напряжений.

Основным допущением при выводе уравнений вентильной нагрузки генератора в координатах ё, q является пренебрежение углом сдвига фаз между основными гармониками фазных токов и напряжений; справедливость такого допущения доказана [5].

Допущение синфазности напряжения и тока равносильно соотношению

иё = ё Uq iq

Г

с учетом которого уравнение напряжения нагрузки ин = Xс | [¿в _ ¿н )]ё запишется в виде

0

эквивалентной системы нелинейных уравнений

I V I

иё = уХС 11ё; ид = уХС 11ё ; 1 = л! ^ + % - ін ), (6)

о о

' кі

где Хс = Хс — - относительное сопротивление конденсатора фильтра, приведенное к фазе ки

генератора.

Система (6), дополненная уравнениями синхронного генератора в координатах ё, q, составит математическую модель вентильного генератора в ортогональных координатах ё, q. При этом уравнения генератора имеют вид:

- Ud,q = РУ d,q + <W q,d + rid,q

0 = py D,Q + rD,QiD,Q ;

U f = rif + py f,

где потокосцепления:

У d, q, D, Q, f =y ad , aq, ad, aq, ad + Xsd, sq, Ds, Qs, fs id, q, D, Q, f

yad = xad (if + id + iD yaq = xaq(iq + ^ )•

(7)

Напомним, что для МЭГ: Xfs ®«, r/ = 0, Uf = 0, //(0) Ф 0 (const).

Так как уравнения в осях d, q записываются для проекций изображающих векторов тока и напряжения I, U, то при моделировании процессов с помощью ЭВМ отсутствуют не только периодические коэффициенты, но и осцилляции переменных при расчете переключений выпрямительных вентилей. Это обстоятельство позволяет значительно (в 5...15 раз) сократить машинное время при расчете переходного процесса за счет увеличения шага интегрирования.

Наличие всего лишь одного нелинейного соотношения I = id + iq — /н (t) значительно

облегчает использование при исследованиях на аналоговых моделях. При введении некоторых упрощений представляется возможным использование приведенных уравнений в координатах d, q для проведения непосредственного интегрирования с целью получения решений в общем виде.

3. Определение показателей качества электроэнергии автономной сети переменного тока при работе ВИП

При разработке и проектировании ВИП для правильного выбора структуры силовой съемы ВИП необходимо знать, какое действие будет оказывать работа ВИП на показатели качества электроэнергии питающей сети.

Как указывалось выше, показателями качества электроэнергии питающей сети являются: коэффициент модуляции напряжения (Км); коэффициент нелинейных искажений (Кни); коэффициент модуляции активной мощности (активного тока) - КР (а.т.).

Рассмотрим кратко методы расчета показателей качества электроэнергии питающей сети при работе ВИП.

Наиболее универсальным и точным методом определения формы напряжения является моделирование магистрального синхронного генератора на ЭВМ по уравнениям Парка-Г орева, записанным для ортогональных координат ё, q относительно потокосцеплений.

Эти уравнения составляют основную расчетную систему.

Дополнительными соотношениями являются: уравнение для скорости генератора

1

рю

Мм (ю)-(У«Ч -У)]; (8)

ні

формулы линейных преобразований [1, 4]

иё,« иа,Ь,с ; іё,« іа,Ь,с ;

уравнение регулятора возбуждения;

уравнение связи стационарной и импульсной нагрузок

іё,« = iё,«(СН) + iё,«(ИН); иё,« = р(iё,«(ИН) } иё,« = ГСН ' iё,«(СН) + ХСНР ' iё,«(СН) ± xСНiё,«(СН)

(9)

Искомыми величинами в перечисленных уравнениях являются мгновенные значения фазных токов ¡а,Ь,с(0 и напряжений иа,Ь,с(£). Одновременно с вычислением этих величин можно производить гармонический анализ. Коэффициенты ряда Фурье могут быть определены по формулам Бесселя

1 2П-1 1 2П-1 к • т • р , 1 2П-1 . к • т • р

а0 =- X ик; ат =- X ик ------------; Ьт =- X ик Б1п-------------------- , (I0)

П к=0 Пк=0 п П к=0 п

где 2п - количество шагов в рассматриваемом периоде; к = 1, 2, ... 2п - номер шага; т = 1, 2, ... п - номер гармоники.

При этом ряд Фурье для напряжения может быть записан в виде а

и(?) = + и б1и(ю? + Ф1) + и 2 б1и(2ю? + ф2) +... + ит Б1п(тю? + фт) +..., (11)

где ит =л1 а2т + Ьт ; tg Фт = 0^ . (12)

Ьт

Мгновенная активная мощность вычисляется по первой гармонике в соответствии с выражением

>

P(t) = i/i/icos(jitf - ф1/). (13)

Описанный метод моделирования на ЭВМ позволяет с высокой точностью вычислить все три показателя качества электроэнергии (Км, Кни., KP).

Во многих практических случаях требуется определение только одного показателя -коэффициента модуляции напряжения. Поэтому может быть использован аналитический метод [6], основанный на замене ВИП дискретно-переключаемой активно-индуктивной нагрузкой.

ЛИТЕРАТУРА

1. Важнов А.И. Основы теории переходных процессов синхронной машины. - М.: Госэнергоиздат, 1960.

2. Уайт Д., Вудсон Г. Электромеханическое преобразование энергии. -М.: Энергия, 1964.

3. Бочаров В.В., Мизюрин С.Р., Резников С.Б., Сериков В.А. Расчет синхронных генераторов и трансформаторов при импульсной нагрузке на емкостный накопитель энергии: Учебное пособие. - М.: Изд-во МАИ, 1974.

4. Бочаров В.В., Князев А.П., Мизюрин С.Р., Резников С.Б., Сериков В.А., Чорба В.Р. Автономные и вторичные импульсные источники электроэнергии: Учебное пособие. - М.: Изд-во МАИ, 1977.

5. Бертинов А.И., Мизюрин С.Р., Резников С.Б., Чорба В.Р. Уравнения импульсного электромашинного источника с емкостным накопителем в ортогональных осях // Электротехника. 1971. № 4. С. 20-23.

6. Лейкин В.С. Методы расчета измерения напряжения судовых синхронных генераторов. -М.: Судпромгиз, 1958.

COMPUTING MODEL OPERATION OF SYNCHRONOUS AND VALVE MACHINES

Reznikov S. B.

Rational procedures of computing model operation of the synchronous and valve machines adequate to problems of guidance{management} in the transition modes and the analysis of exponents of quality of the electric power in independent electrical power systems are considered.

Сведения об авторе

Резников Станислав Борисович, окончил МАИ (1965), доктор технических наук, доцент МАИ (государственного технического университета), автор более 200 научных работ, область научных интересов - транспортная электротехника.