CC BY
58
А5,%
А8,%
Р и с. 1. Зависимости погрешности вычис- Р и с. 2. Зависимости погрешности вы-
ления декремента колебаний от периода числения декремента колебаний от объема
дискретизации выборки
Очевидно, что применение предлагаемого метода позволяет существенно, в несколько десятков раз уменьшить погрешность вычисления динамических характеристик диссипативных систем с турбулентным трением.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Зотеев В.Е. Разработка и исследование линейных дискретных моделей колебаний диссипативных систем // Вестник СамГТУ. Серия: Физ.-мат. науки. Вып. 7. 1999. № 7. С. 170-177.
2. ВучковИ., БояджиеваЛ., СолаковЕ. Прикладной линейный регрессионный анализ. М.: Финансы и статистика, 1987. 362 с.
3. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. М.: Мир, 1980. 320 с.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Ученого совета СамГТУ
Поступила 5.09.2004 г.
УДК 621.313 П.Ю. Грачев
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ И ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ДИСКРЕТНОГО АРГУМЕНТА ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ СИСТЕМ С НЕСКОЛЬКИМИ ВЕНТИЛЬНЫМИ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯМИ
Рассмотрены особенности математического моделирования асинхронных машин с вентильным возбуждением и выпрямителем в цепи ротора, а также многообмоточных электрических машин и трансформаторов при питании первичных обмоток от нескольких вентильных преобразователей.
В малой энергетике и на транспорте используются электромеханические преобразователи - электродвигатели и генераторы, обмотки которых подключены, с целью управления или преобразования электроэнергии, к вентильным преобразователям - выпрямителям и инверторам, включающим диоды, тиристорные или транзисторные ключи [1,2,3]. Кроме того, в таких электротехнических автономных системах применяют электромагнитные преобразователи - трансформаторы с пульсирующим или вращающимся магнитным полем [4,5], первичные обмотки которых подключены к нескольким вентильным преобразователям с несинусоидальной, в большинстве случаев ступенчатой, формой выходного напряжения.
Свойства таких систем существенно отличаются от свойств систем с одним вентильным преобразователем. Например, возникает естественная ШИМ тока ротора в асинхронных машинах с выпрямителем в цепи фазного ротора [6], появляются существенно несинусоидальные уравнительные токи.
Особенностью математического моделирования таких систем является невозможность, или существенные погрешности, при прямом применении метода первой гармонической составляющей, из-за проявления описанных выше свойств этих систем. Моделирование с помощью пакета МаІІаЬ, широко применяемое в последнее время для исследования машинно-вентильных систем, не всегда выявляет особенности протекания электромагнитных процессов в системах с несколькими вентильными преобразователями. В настоящей работе показана целесообразность математического моделирования для выявления специфических свойств рассмотренных систем на основе аналитических выражений, включающих функции дискретного аргумента.
Рассмотрим несколько частных случаев, отражающих особенности работы и моделирования таких систем.
1. Моделирование автономных систем, включающих асинхронные машины с выпрямителем в цепи фазного ротора. Выпрямитель в цепи фазного ротора находит широкое применение в промышленности - это основная часть асинхронных вентильных, вентильномашинных электрических и электромеханических каскадов, а также асинхронных машин с импульсным регулированием тока в цепи ротора [7].
Наиболее распространен для автономных систем случай, когда трехфазная обмотка статора АМ подключена к вентильному источнику реактивной мощности (ИРМ), выполненному по схеме автономного инвертора напряжения (АИН) со 180 градусным законом управления вентилями, а после выпрямителя ротора включен индуктивный фильтр. Автором в работе [6] показано, что в таких системах роторный диодный выпрямитель при частотах вращения ротора, отличных от нуля, работает в режиме широтно-импульсного модулятора тока ротора с несущей частотой, определяемой переключениями вентилей в цепи статора, и частотой модуляции, равной частоте скольжения. Это связано с тем, что ЭДС фаз ротора существенно отличаются от синусоидальных.
При математическом моделировании электромагнитных процессов в роторе мгновенные значения ЭДС фаз ротора могут быть представлены в виде алгебраической суммы синусоидальной ЭДС вращения (вквр) и несинусоидальной трансформаторной ЭДС (ектр):
Достаточно простые выражения для ЭДС ротора можно получить, если пренебречь падениями напряжений в активных сопротивлениях и индуктивных сопротивлениях рассеяния обмотки статора АМ, к которой подключен ИРМ. Для трехфазной асинхронной машины с мостовым трехфазным ИРМ при этих допущениях получаем следующие выражения для ЭДС фаз ротора, записанные с использованием тригонометрических функций дискретного аргумента: еКа=2/3ыИРМ Со$[кп/3- (1- - иЯ0]- 2/п(1- 5) иИРМ Со8[5Ю;Ґ - п/6 - иК0]',
екъ=2/3иИРМ Со$[кп/3-(1 - 5)т1ґ - ик0га]- 2/п(1- 5) иИРМ Со8[5«1ґ - к/6-ик0-а]; (2)
екс=2/3иИРМ Со$[кп/3- (1- 5)т1ґ - ик0+а]- 2/п(1-5) иИРМ Со8[5«1ґ - к/6-ик0+а], где: n=integer[ю1t/(к/3)] - целочисленная функция, определяемая моментами скачкообразного напряжения статора АМ; ик0 - сдвиг фазы обмотки ротора, относительно одноименной фазы обмотки статора при ол^ = 0, или, - в установившемся режиме, - в момент скачкообразного изменении напряжения статора АМ;иИРМ - напряжение постоянного тока ИРМ; 5 - скольжение асинхронной машины.
Из уравнений (2) следует, что форма ЭДС ротора зависит не только от скольжения асинхронной машины , но и от положения фаз обмотки ротора ик0. Фазные токи ротора, без учета коммутационных процессов в роторном выпрямителе, можно описать следующими уравнениями:
(1)
iRa = iRD/2 [Sign eRab - Sign eRca]; iRb = iRD/2 [Sign eRbc - Sign eR ab]; iRc = iRD/2 [Sign eRca - Sign eR bc],
(З)
где іІіо - мгновенное значение тока на выходе выпрямителя;
'1, при x > Q;
Q, при x = Q.
Следовательно, форма тока ротора также зависит от положения фаз обмотки ротора ик0.
На рис. 1 приведены соответствующие выражениям (2) и (3) формы токов и ЭДС. Описанная математическая модель дает хорошее качественное совпадение форм ЭДС и токов ротора с экспериментальными данными [6].
Коммутационные процессы в выпрямителе ротора удобно учитывать введением усредненного коммутационного сопротивления, учитывающего трех - (к1) и четырех - (к2) вентильную коммутацию:
К-кср. = (к1 + 2к2) Хк / 2ж, (4)
В отличие от систем с синусоидальным напряжением на статоре АМ это коммутационное сопротивление увеличивается с уменьшением модуля скольжения. Выпрямленная ЭДС ротора вка, в отличие от АМ с синусоидальном напряжением на статоре, не пропорциональна скольжению.
Описанная естественная ШИМ тока ротора приводит к увеличению потерь в цепи ротора при уменьшении модуля скольжения.
Для устранения этого недостатка предложен способ управления роторным выпрямителем [8], когда переключение вентилей происходит 6 раз за период первой гармонической составляющей ЭДС ротора. Возможно также улучшить коэффициент мощности такой системы. Для этого необходимо производить переключения управляемых вентилей в цепи ротора с опережающими углами, что возможно из-за несинусоидальной формы ЭДС ротора. Этот способ дополняет перечень способов улучшения коэффициента мощности, описанных в [9], и не требует специальной конструкции асинхронной машины или применения дополнительных электромеханических компенсаторов.
2. Моделирование систем с многообмоточными асинхронными машинами с короткозамкнутым ротором. Под многообмоточными машинами будем понимать машины, имеющие несколько трехфазных обмоток на статоре. К двум или более обмоткам таких машин могут быть подключены вентильные преобразователи со ступенчатой формой напряжения.
Если трехфазные обмотки имеют сдвиг в пространстве и соответствующий временной сдвиг ступенчатых трехфазных напряжений, - уменьшается пульсации электромагнитного момента в двигательном режиме, а с помощью дополнительной трехфазной обмотки, расположенной несоосно упомянутым обмоткам, можно получить напряжение в генераторном режиме со значительным числом ступеней, близкое к синусоидальному [10].
Управление такими машинами в двигательном и генераторном режимах, при накоплении кинетической энергии, описано в [3,11].
Основной особенностью работы таких систем с многообмоточными машинами является возникновение уравнительного тока в фазах обмоток, связанное с существенным различием фазных ЭДС, наведенных результирующим основным магнитным потоком, и ступенчатых фазных напряжений, формируемых вентильными преобразователями. Уравнительные токи загружают фазы обмотки статора и полупроводниковые ключи вентильных преобразователей, создают дополнительные потери в системе.
Выражения для уравнительного тока фазы статора с т обмотками можно записать в виде уравнения, включающего кусочно-экспоненциальные функции:
DU,
1У (к+1)
(к+1)
RS
-Jn / wt I
1 - e Д 1 )+-
1 - e ~Тд/ Wt
1 - e
DUK - ^ DU(K+1) е(-Тд/wtXN-L)
RS
L=1
RS
-&Д / ЩТ
;(5)
"
ид = «i[t - Тд (ni + П2 + ... + nj] . (6)
Здесь: ид - дискретный аргумент, преобразующий экспоненциальную функцию в кусочноэкспоненциальную; ni, n2, ... nm - целочисленные функции, используемые для описания ступенчатых напряжений вентильных преобразователей; К - номер интервала дискретности; N - число интервалов дискретности за период фазного напряжения вентильного преобразователя; L - текущий интервал дискретности; Тд - длительность интервала дискретности преобразователя; AU - разность одноименных фазных напряжений обмотки статора в единой системе координат; RS - активное сопротивление фазы обмотки статора машины; т - постоянная времени цепи
статора.
В частности, для электрической машины переменного тока с двумя трехфазными обмотками, сдвинутыми на 30 электрических градусов, и двумя мостовыми вентильными преобразователями типа «Автономный инвертор напряжения», AU в тригонометрических функциях дискретного аргумента имеет ni = integer 3rnit/n и n2 = integer 3(rnit+n/6)/n.
При этом напряжение может быть записано в следующем виде:
AU = UD/3 [ Cos nni/3 - Cos (nni/3 - n/6)], (7)
где: UD - напряжение постоянного тока вентильных преобразователей.
Форма уравнительных токов для этого случая при ненасыщенной магнитной цепи электрической машины представлена на рис.2. Максимальные значения токов, как следует из (5), определяются соотношением активного и индуктивного сопротивлений фаз статора машины, а также максимальными значениями A U.
С целью уменьшения этих токов предложен способ управления вентильной электрической машиной [12], который предлагает производить дополнительные выключения элементов вентильных преобразователей, соединенных с трехфазными обмотками статора электрической машины.
3. Моделирование систем с многообмоточными трансформаторами с вращающимся магнитным полем. Трансформаторы с вращающимся магнитным полем представляют собой АМ с фазным заторможенным ротором. Такие трансформаторы позволяют достичь значительной экономии электротехнической стали [4] и повысить качество электроэнергии [5].
Рассмотрим систему с трансформатором, две трехфазные первичные обмотки статора которого питаются от двух трехфазных мостовых инверторов напряжения, а вторичная трехфазная обмотка, расположенная на заторможенном роторе, может сдвигаться в пространстве относительно первичных обмоток, при этом взаимное расположение первичных обмоток также может изменяться.
Применяя координатное преобразование тригонометрических функций дискретного аргумента, с помощью которых описаны ступенчатые напряжения инверторов, удалось показать, что форма фазных и линейных напряжений вторичной обмотки трансформатора зависит от числа ступеней напряжения статорных обмоток, пространственного сдвига этих обмоток и положения выходной обмотки. Доказано, что волна ЭДС выходной обмотки симметрична, если сдвиг этой обмотки в электрических градусах относительно одной из первичных обмоток кратен четверти интервала дискретности фазных напряжений автономных инверторов.
Наименьший коэффициент гармоник выходного напряжения трансформатора (на холостом ходу - 0.78) достигается при двенадцатиступенчатой форме фазных напряжений инверторов. При этом сдвиг первичных обмоток - 15 электрических градусов, сдвиг вторичной обмотки -37,5 электрических градусов относительно первой первичной обмотки. Напряжение этой первичной обмотки опережает на 15 градусов напряжение второй первичной обмотки. Под нагрузкой коэффициент гармоник выходного напряжения уменьшается, - выходное напряжение
Р и с. 2
трансформатора приближается к синусоидальному. На рис.3 приведены экспериментальные осциллограммы фазного (иф) и линейного (ил) напряжений вторичной обмотки трансформатора мощностью 4 кВА, использующего статор асинхронной машины 4А90Ь2У3, при работе под нагрузкой, близкой к половине номинальной.
Таким образом, математическое моделирование электромеханических и электромагнитных систем с несколькими вентильными преобразователями с использованием тригонометрических и экспоненциальных функций дискретного аргумента позволяют получить аналитические зависимости, вскрывающие специфические особенности работы таких систем.
БИБЛИОГРЛФИЧЕСКИИ СПИСОК
10.
11.
12.
Загорский А.Е.,. Шакарян Ю.Г. Управление переходными процессами в электрических машинах переменного тока. М.: Энергоатомидат, 1986. 176 с.
Грачев П.Ю., Дружков А.А., Mягков Ф.Н. Перспективы применения многообмоточных асинхронных генераторов в ветроэнергетике и на малых ГЭС // Использование возобновляемых источников энергии в практике народного хозяйства: Тез. докл. республиканской научно-практической конф. Фрунзе, 1988. C.I47-I48.
Патент №2173020 Российской Федерации. МКИ Н 02 Р 9/44, F 02 N 11/04. Электрическая система с асинхронным стартер-генератором / B.M. Анисимов, П.Ю. Грачев, А.И. Скороспешкин, В.Н Кудояров. // Самарский государственный технический университет / 27. 08. 2001, Бюл. №24.
Кузнецов Н.Е. Машинно-вентильные комплексы // Тезисы докладов науч.-техн. конференции Электротехнические комплексы автономных объектов (ЭКЛО - 97), Москва 14-15 октября 1997 г. С 21-22.
Л.с. 1741242 Способ формирования квазикругового магнитного поля / П.Ю. Грачев, M.Л. Костырев, И.И. Токарь и др. Опубл. I992, Бюл. №22.
Костырев M..Л., Скороспешкин А.И., Грачев П.Ю. Электромагнитные процессы в асинхронных машинах с выпрямителем при ступенчатом напряжении на статоре // Электротехника, 1982, №7. С 18 - 21.
Довганюк И.Я., Лабунец И.А., Плотникова Т.В. Лсинхронный вентильный каскад с улучшенными характеристиками // Электромеханические и электромагнитные преобразователи энергии и управляемые электромеханические системы, ч.1 / Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2003. С. 239-242.
Л.с. 610277 СССР, H 02 P 7/42. Способ управления автономным асинхронным генератором / П.Ю.Грачев, M^. Костырев, А.И.Скороспешкин. Опубл. I978, Бюл. №21.
Беспалов В.Я. Методы компенсации реактивной мощности в асинхронных двигателях// Электромеханические и электромагнитные преобразователи энергии и управляемые электромеханические системы. Ч.2 / Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2003. С. 9-11.
Л.с. 1821884 СССР, МКИ Н02 M 7/72. Способ формирования выходного напряжения преобразователя электроэнергии / П.Ю. Грачев, M.Л. Костырев, Ф.Н. Mягков и др. Опубл. I993, Бюл. №22.
Anisimov V.M., Grachev P.Y., Kudoyarov V.N. Starter - generators system with accumulation of kinetic energy. Proc. Of the 4-th Intern. Conf. on Unconventional Electromechanical and Electrical Systems UEES’99. St. Petersburg, Russia, 21-24 June 1999, pp. 289-294.
Л.с. 1568192 СССР, МКИ H02 Р 6/02. Способ управления вентильной электрической машиной / П.Ю. Грачев, M.Л. Костырев, Ф.Н. Mягков. Опубл. I990, Бюл. №20.
Поступила 4.10.2004 г.
