CC BY
5
УДК 331.5.024.54:314.135
МОДЕЛЮВАННЯ СТАБ1ЛЬНОГО ФУНКЦ1ОНУВАННЯ МЕХАН1ЗМУ ПОПИТУ ТА ПРОПОЗИЦИ'
НА РИНКУ РОБОНО1 СИЛИ В УКРА1Н1
© 2015 ВАБИИЮК 0. I.
УДК 331.5.024.54:314.135
Бабинюк О. I. Моделювання стабiльного функцiонування MexaHi3My попиту та пропозици на ринку робочоТ сили в УкраТш
Мета cmammi полягае в досл'дженш ринку робочо!' сили та визначенш умов стаб'шьного функцонування мехашзму попиту та пропозицИ Для дотдження побудована модель з використанням математичного апарату рiзницевих рiвнянь i3 марковськими коеф^ентами. За допомогою метода моментних рiвнянь визначено умови стйкот в середньому ймовiрнiсниххарактеристик, що описуютьринок працi. Проанал'вовано модель структурних перетворень на ринку прац1 засновану на методi загально: ентропИ Дано порвняльну характеристику результат¡в для методу загально'1 ентропИ та методу моментних рвнянь, що запропонований у статт1 Отримано, що умови стiйкостi системи та умови стацонарних станiв при досл'дженш вищезгаданими методами ствпадають, але метод, запропонований у роботi, е б'льш зручним i дозволяе враховувати вплив випадкових факторiв на систему, що знаходиться у станi невизначеност1 Установлено, що стаб'шьний режим функцонування ринку праЦ спостергаеться при врiвноваженнi попиту i пропозицИ робочоi сили. Перспективою подальших доМжень у даному напрямi е застосування методу моментних рiвнянь для дослдження багатогалузевих економiчних моделей ринку прац1 що потребуе потужних математичних розрахунш Кпючов'1 слова: ринок робочоJ сили, рiзницевi рiвняння з марковськими коеф^ентами, метод моментних рвнянь, метод загальноJ ентропн, умови стiйкостi в середньому системи. Рис.: 11. Табл.: 6. Формул: 27. Шбл.: 11.
Бабинюк Олександра iBaHiBHa - асистент, кафедра комп'ютерноJ математики та iнформацiйноi безпеки, Ки/вський нацональний економ'нний утверситет ¡м. В. Гетьмана (пр. Перемоги, 54/1, Кшв, 03680, Украша) E-mail: a.babynuk@gmail.com
УДК 331.5.024.54:314.135 Бабинюк А. И. Моделирование стабильного функционирования механизма спроса и предложения на рынке рабочей силы в Украине
Цель статьи заключается в исследовании рынка рабочей силы и определении условий устойчивого функционирования механизма спроса и предложения. Для исследования построена модель с использованием математического аппарата разностных уравнений с марковскими коэффициентами. С помощью метода моментных уравнений определены условия устойчивости в среднем вероятностных характеристик, описывающих рынок труда. Проанализирована модель структурных преобразований на рынке труда, основанная на методе общей энтропии. Дана сравнительная характеристика результатов для метода общей энтропии и метода моментных уравнений, предложенного в статье. Получено, что условия устойчивости системы и условия стационарных состояний при исследовании вышеупомянутыми методами совпадают, но метод, предложенный в работе, является более удобным и позволяет учитывать влияние случайных факторов на систему, находящуюся в состоянии неопределенности. Установлено, что стационарный режим функционирования рынка труда наблюдается при уравновешенном спросе и предложении рабочей силы. Перспективами дальнейших исследований в данном направлении является применение метода моментных уравнений для исследования многоотраслевых экономических моделей рынка труда, что требует серьёзных математических расчетов.
Ключевые слова: рынок рабочей силы, разностные уравнения с марковскими коэффициентами, метод моментных уравнений, метод общей энтропии, условия устойчивости в среднем системы. Рис.: 11. Табл.: 6. Формул: 27. Библ.: 11.
Бабинюк Александра Ивановна - ассистент, кафедра компьютерной математики и информационной безопасности, Киевский национальный экономический университет им. В. Гетьмана (пр. Победы, 54/1, Киев, 03680, Украина) E-mail: a.babynuk@gmail.com
UDC 331.5.024.54:314.135 Babyniuk O. I. Simulation of Stable Functioning of the Mechanism of Supply and Demand in the Labor Market in Ukraine
The article is aimed at studying the labor market and the conditions for stable function of the mechanism of supply and demand. A model that has been built for the study purposes uses the mathematical tools of difference equations with Markov coefficients. Using the method of moments equations, stability conditions have been determined in the average of probabilistic characteristics that describe the labor market. A model of structural transformation in the labor market, based on the method of total entropy, has been analyzed. A comparative characterization of results has been accomplished for both the method of total entropy method and the method of moments equations, proposed in the article. It is obtained that the conditions of system stability and the conditions of stationary states in the study of the above methods are the same, but the method proposed in the publication is more convenient and allows to take into account the influence of random factors on the system in a state of uncertainty. It has been determined that stationary mode of functioning of labor market is observed with balanced supply and demand of labor. Prospects for further research in this area is application of the method of moments equations for the study of multidisciplinary economic models of labor market that requires serious mathematical calculations. Keywords: labor market, differential equation with Markov coefficients, method of moments equations, method of total entropy, stability conditions in the system's average. Fig.: 11. Tabl.: 6. Formulae: 27. Bibl.: 11.
Babyniuk Oleksandra I. - Assistant, Department of Mathematics, Computer and Information Security, Kyiv National Economic University named after V. Getman (pr. Peremogy, 54/1, Kyiv, 03680, Ukraine) E-mail: a.babynuk@gmail.com
Ринок робочо! сили - система економiчних вцно-син з приводу кушвльпродажу такого специфiч-ного товару, як робоча сила, - важлива сфера еко-номiчноl та сощально-полиичного життя сусшльства.
Як i будь-який товарний ринок, ринок пращ засно-ваний на попит та пропозицИ. Попит у даному випадку виступае у формi потреби на заняття вкьних робочих
мксць i виконання po6iT, а пропозицiя - у наявност не-зайнято! (потенцшно'1) робочо! сили або бажання змши-ти мксце роботи.
З боку попиту головним чинником, що впливае на динамжу зайнятосп, е стан економiчно1 кон'юнктури, фаза економiчного циклу. KpiM цього, серйозний вплив на потребу в робочш c^i надае науково-техшчний про-
грес. На попит i пропозицю робочо! сили впливае ряд факторiв: демографiчнi, мiграцiйнi, що характеризують економiчну актившсть рiзних груп населення - на пропозицю робочо! сили, а стан економжи - на попит.
Проблеми ринку пращ передуйм пов'язаш з ви-соким рiвнем безробГття (iдеальним вважаеться рiвень безробiття не бГльше 5 %), яке виникае через розбалан-сування ринку: е велика ккьюсть вакансiй, що пропо-нуються рiзними кампанiями, i е величезна армiя без-робiтних, вмшня, професiйна освiта та досвiд яких не дозволяе !м скористатися цими вакансшми. Вiдсутнi можливостi забезпечення доступним житлом, що зни-жуе мобГльшсть гарних спецiалiстiв в iншi регюни кра!-ни. Рiвень продуктивностi пращ досить низький, порГв-нюючи з шшими кра!нами. Монополiзована економiка, що дозволяе працедавцю диктувати сво! умови пращ.
Проектш технологи, реалiзованi в шновацшному середовищi, орiентованi на мережеву структуру ринку робочо! сили. Взаемодш пращвника i роботодавця характеризують окремi аспекти розвит-ку професшно! дiяльностi, якi пiдтримуються шфор-мацшною iнфраструктурою i виробничими центрами корпоративных систем. Проектноорiентована дГяль-нiсть на ринку робочо! сили являе собою комплекс взаемопов'язаних шституцшних i доцГльних заходiв найму, технологiй управлiння знаннями, сощальними цiнностями квалiфiкованих працiвникiв з урахуванням використання принципiв iнвестицiйного проектування.
Предметом дослiдження в данiй робой е теоре-тичнi методичнi проблеми математичного моделюван-ня процесiв, що вГдбуваються на ринку працi, а також методи аналiзу i керування процесами вГдтворення робочо! сили як важливо! складово! ринку пращ.
Проблемам стшкост та стабiльностi процейв вГд-творення робочо! сили присвятили сво! дослiдження вченi Ж. Сей, А. СмГт, Т, Мальтус, Д. Ржардо, У. Петтi, Т. Шульц, Г. Беккер, М. Блауг, П. Самуельсон, Ф. Кене, Р. Оуен, К. Сен-Омон, Д. МГль, К. Маркс, А. М. Колот, А. В. Коротаев, В. Б. Колмановский, В. В. Лебедев, В. М. Пе-тюх, З. П. Бараник, Е. М. Лiбанова, А. М. Васильев, I. А. Джалладова, I. Г. Лук'яненко та шш1
Для опису змш на ринку пращ використовують системи диференщальних рiвнянь. У робот [1] було за-пропоновано модель, що дае можливкть показати по-точний рiвень зайнятостi та спрогнозувати очжуваний рiвень зайнятостi. Зроблено висновок про те, що спо-стерГгаеться тенденцГя руху робочо! сили до визначено-го рiвня, також чпго видно, що модель самооргашзащ! дуже швидко реагуе на бездiевiсть держави та наближуе рiвень зайнятостГ до природного, який мае мкце в тео-рГ! синергетичного шдходу до визначення розвитку ринку пращ. Проблеми стшкост ринку пращ розглядалися в працi [2], де для опису динамки змш на ринку пращ використовуеться економiчна модель самооргашзащ!, запропоноваш диференщальш рГвняння та проаналГзо-ванi основнГ властивостi його розв'язку Надалi модель аналiзуеться на стшюсть. У ро6отГ [3] за допомогою цiе! моделi побудовано системи диференщальних рГвнянь
г узагальнено результати для двох галузей. Визначено умови стащонарних сташв системи.
У роботГ [4] було запропоновано методику озна-чення стГйкостГ аграрного ринку пращ за допомогою побудови аналогично! динамГчно! моделГ. Отримано ма-тематичну модель прогнозування зайнятостГ сГльського населення, доведено !! стГйкГсть, що вказуе на те, що ри-нок пращ буде знаходитися в рГвновазЬ З економГчно! точки зору це означае, що вГдносно малГ вГдхилення вГд рГвня безробГття на кГнець перюду, що розглядаеться, та незначний перерозподГл структури зайнятостГ сГль-ських мешканщв у наступному перГодГ не призведуть до значного збГльшення темпГв зростання безробГття.
У роботГ [5] було побудовано модель для ощнки перюдГв коливань чисельностГ працГвникГв з урахуванням при формуванш ринку пращ такого фактора, як демографГчна шерц1я. Отримано, що тривале зниження рГвня безробГття обумовлено скороченням частки молодого населення. Сьогодншне зростання рГвня безробГття також пов'язано з вичерпанням ефекту змши структури населення. Тому для регулювання рГвня безробГття потрГбно змГнити структуру зайнятостГ. Таким чином, демографГчш процеси мають значну ГнерцГею Г проявля-ються не вГдразу, що обумовило в наших роботах [9, 10] використовувати для моделювання апарат диференщальних рГвнянь Гз зашзнюючим аргументом.
Автор роботи [6] проаналГзував динамГку рГвня безробГття в Укра!нГ. На основГ статистичних да-них розраховано параметри моделГ, яка описуе змГни цього рГвня. Запропоновано довгостроковий прогноз на перспективу. Обгрунтовано, що мГж коефщен-тами обороту робочо! сили та рГвнем безробГття Гснуе лшшна залежнГсть, прогноз рГвня безробГття сшвпадае з рГвнем природного безробГття, що узгоджуеться з прогнозами виконаними на основГ шших методик. Результати запропоновано! моделГ стшю, принаймш на якГсному рГвнГ, щодо варшвання базових припущень.
У роботГ [7] для опису моделГ структурних пере-творень на ринку працГ запропоновано застосовува-ти ентропГю як характеристику невизначеностГ стану системи, оскГльки будь-яке структурне перетворення незалежно вГд причини несе в собГ ГнформацГю про невизначеностГ майбутнГх перГодГв, що пов'язано з ймовГр-нГсним характером наслГдюв.
Метою запропоновано! статтГ, виходячи з недолГ-кГв Гснуючих моделей, е виршення таких завдань:
+ проаналГзувати стан ринку робочо! сили в Укра-!нГ;
+ побудувати та описати модель функщонування мехашзму попиту та пропозицГ! на ринку робочо! сили;
+ дослГдити характеристики ринку за допомогою математичного апарату рГзницевих рГвнянь з марковськими коефщентами; + дослГдити умови стшкосй та Гснування стащо-нарних сташв запропоновано! моделГ.
Стохастичш аспекти процеав вiдтворення робочо! сили. Зпдно з прогнозами ООН чисельнГсть населення планети неухильно зростае, Г до 2025 р. може
подолати позначку 8 млрд осГб. Однак серед кра!н свггу це зростання розподГляеться нерГвномГрно. У 2020 р. се-реднГй вГк населення бвропи прогнозуеться на рГвнГ 43 роив, у Кита! - 38 роив, а в Африщ - 20 роив.
У багатьох дослГдженнях отримано результати, як узгоджуються з практикою (та мГж собою) Г вГдповГда-ють реалшм економГчно! ситуацГ! в УкраМ. Але певним недолГком Гснуючих пГдходГв е неточна штерпретацш даних в умовах невизначеностГ.
ЧисельнГсть населення працездатного вжу (15-64 роки) безпосередньо залежить вГд тенденцГй де-мографГчного розвитку свГтового ствтовари-ства. Зокрема, впродовж найближчих 20 рокГв юльюсть економГчно активного населення 1ндГ! буде щомГсяця зростати на один мкьйон чоловГк. Цей показник на сьо-годнГ досяг свого максимуму в Кита! та Швденнш Коре!. Водночас вш стрГмко знижуеться в бврош, наприклад, у НГмеччинГ.
1нтенсивна урбашзацш, у результатГ яко! в наступ-нГ чотири десятилГття ккьюсть мГських жителГв ЗемлГ зросте на 72 %, також вГдчутно вплине на бГзнес. Концен-трацш велико! юлькосй людей Г ресурсГв у компактно-
му просторг е найсильнгшою передумовою соцгально-економГчного прогресу. На даний момент мГста вироб-ляють близько 80 % всГе! кГнцево! продукцГ!, що випуска-еться у свт. Разом з тим, неконтрольована урбашзацш може перерости в перенаселешсть, бГдшсть Г погану освГту - умови, яю не сприяють професГйному розвитку Г, вГдповГдно, продуктивнГй дшльностЬ
ПолГтична та економГчна ситуацш в УкраМ вГдби-лася Г на ринку робочо! сили: компанГ! скорочують зар-плати спГвробГтникам, вГдправляють !х у вГдпустку за свГй рахунок, звкьняють. Особливо збкьшення числа безробГтних було помГтно в лютому 2015 р.: за даними Держкомстату, у порГвнянш Гз сГчнем 2015 р. !х стало бкьше на 11 200 чоловж.
У березнГ 2015 р. юльюсть безробГтних скороти-лася, але данГ кар'ерних порталГв показують: ситуацш, може, поки й не критична, але непроста. Вакансш стало менше, а ккьюсть резюме Г вГдгуюв на них зростае. Зараз рГвень безробГття - 7,8 %, але, якщо ситуацш посилиться, вш може вирости до 15-17 % .
У табл. 1 - табл. 3 представлеш даш по безро-бГттю та попиту Г пропозицГ! робочо! сили в УкраМ за останш 5 роюв.
Таблиця 1
Безробiтне населення в УкраТж (за методолопею МОП) за тривалiстю незайнятостi у 2010-2014 рр.
Нк Безробiтне населення у вiцi 15-70 роюв, усього, тис. оаб З них л, хто мав роботу ражше Середня тривалкть незайнятосл, мкящв
усього, тис. оаб у % до вах безробгших
2010 1 713,9 1 359,2 79,3 13
2011 1 661,9 1 272,1 76,5 11
2012 1 589,8 1 233,3 77,6 11
2013 1 510,4 1 148,2 76,0 11
2014 1 847,6 1 411,1 76,4 9
<
т 2
о
=Т
о
о
<
о
Ш
Таблиця 2
Попит i пропозищя робочо'' сили в Украi'нi у 2010-1015 рр.
Р!к Кiлькiсть зареестрованих безробiтних, тис. оаб Потреба працедавщв у пращвниках, тис. осiб Навантаження на одне вакантне мкце, осiб
2010 473,23 76,1 6,2
2011 520,78 82,73 6,4
2012 487,67 72,75 6,8
2013 486,78 71,17 7
2014 460,37 50,83 9.3
2015 483,07 46,26 10,4
Таблиця 3
Сшввщношення кiлькостi безробiтних, зайнятих у промисловому та аграрному сект^ в Укра'ш у 2010-1015 рр.
Нк Кмьккть зареестрованих безробггних, тис. оаб Кмьккть працюючих у промисловосл, тис. осiб Кшьккть працюючих в аграрному секторi, тис. оаб
2010 473,23 3461,5 3115,6
2011 520,78 3352,7 3410,3
2012 487,67 3236,7 3308,5
2013 486,78 3170,0 3389,0
2014 460,37 2898,2 3091,2
2015 483,07
Проблема узгодження й ефективного використан-ня факторiв виробництва особливо актуальна в даний час. II виршення мае сприяти забезпеченню зайнятостi населення кра!ни, яке характеризуеться вШовгднктю мiж попитом на робочу силу та и пропозицкю, демогра-фiчним розвитком, ефективним використанням працi.
Постановка задачi. Для узгодження попиту галу-зей на робочу силу з и пропозищею i побудови моделi функцiонування мехашзму попиту та пропозици на ринку робочо! сили Укра!ни скористаемося математичним апаратом звичайних рiзницевих рiвнянь з марковськи-ми коефiцiентами. Постановка задач iз використанням саме такого апарату для побудови моделей, яю опису-ють рiзноманiтнi економiчнi процеси еволюци, е новою.
Основний математичний апарат.
Iнструментарiем для опису запропоновано! моделi оберемо рiзницеве рiвняння першого порядку [11]:
Хи+1 = «(§ п)х„, (1)
де (п = 0,1,2,...) - марковський ланцюг, який може
набувати [ рiзних значень 01,02,...,0д з в1дпов1дними ймовiрностями р^п), р2(п), ..., р?(п):
Рк(п) = Р(п) = 0*), (к = 1,2,...,д; п = 0,1,2,...). (2) Якщо ймовiрностi рк (п + 1) (к = 1, 2, ..., [) виража-ються через ймовiрностi рк (п) (к = 1, 2, ..., [) лiнiйними рiвняннями
Р1(п +1 = ^11 Р1(п) + ^12Р2(п) +. . + Ж1дРд (n),
Р2 (п +1) = Я21Р1(п) + Я22Р2 (п) +. . + Ж2дРд (п)
(3)
Рд (п + 1) = Жд1 Р1(п) + ЖдР2(п) + . . + ^
дд
Рд (n),
жъ
■Р(Кп + 1) = 0к\ кп) = 0,),
при цьому
ЖЪ + ж2^: +... + Я.
д^
■ 1.
(4)
(5)
Розглянемо можливi гiпотези. Випадкова величина Еп може перебувати в першому станi Е = 0р i при цьому величина хп може мати частинну щiльнiсть розпод1лу/1 (п, х). З iмовiрнiстю 1 - X величина Еп+1 та-кож перебуватиме в сташ Е = 0р i при цьому випадкова
х 1
величина х , матиме щ1льшсть розпод1лу /х(п,—)—.
а^ ах
Якщо випадкова величина Еп перебувала в другому станi Е = 92, то величина Хп мала частинну щкьшсть розпод1-лу(п, х). З ймов1рн1стю V величина Еп+1 перейде у стан Е = 0р i при цьому випадкова величина Хп+1 матиме щкь-х 1
н1сть розподку /2(п,—)—. Аналопчно за формулою а2 а;
повно! ймов1рност1 отримаемо ршняння
/1 п +1, х ) =
1-1
-л
+ — /2
^ у
Аналопчно знайдемо друге р!вняння
/2( п +1, х) = — /
+ -
1 —V
-/2
л\ у
2 У
^2 У
(7)
(8)
Система функцюнальних р!внянь (7), (8) визначае зм1ну частинних щкьностей розподку. Введемо частин-ш моменти першого порядку:
+ да
т(п) = / х/k(n,х)сСх.
—да
Помножимо р1вняння (7) на х ! зiнтегруемо по всш ос1 х. Використовуючи лшшш замiни змшно! штегру-вання, дктанемо:
+ да
/ х/]_{п +1, х)с1х = т 1 п +1),
або у векторнш Форм1 ^ (п + 1) = ПР(п), то говорять що задано марковський ланцюг з1 скiнченою к1льк1стю [ стан1в 1 дискретним часом (п = 0, 1, 2, ...). Коефщенти п^. л1н1йного перетворення (3) е умовними ймов1рностями набуття випадковою величиною Е(п + 1) значення 0к за умови, що випадкова величина Е(п ) набуде значень 0^., тобто
+ да
/ х/
— да + да
/ х/2
а1
сх а1
= ат1 (и),
сх
: а2т2(п).
V "2 У
Якщо для елемент1в матриц1 П виконуються р1вност1 (5), тобто сума елемент1в у кожному стовпц1 дор1внюе одинищ, 1 при цьому вс1 елементи матриц нев1д'емн1, то матриця П називаеться стохастичною.
Виведемо функц1ональн1 р1вняння для моментних р1внянь системи лшшних р1зницевих р1внянь (1), коеф1-щенти яко! залежать в1д марк1вського ланцюга.
Для двох стан1в система (3) набувае вигляд Р\(п + 1) = (1 — 1) Рх(п) + УР2(п), (6)
Р2(п + 1) = 1рх(п) + (1 —г) Р2(п), 0 <1< 1,0 <г< 1.
Узявши а(01) = а1, а(02) = а2, припустимо для
спрощення висновк1в, що а1 > 0, а2 > 0.
Позначимо через (п, х), к = 1, 2, частинш щ1ль-ност1 розпод1лу випадково! величини Хп задано! р1зни-цевим р1внянням (1).
Проекц1я р1вняння (7) набирае вигляду
(п + 1) = (1 — 1) ахту (п) + уа2 т2 (п). (9) Пояснимо ймов1ршсний зм1ст р1вняння (9). Не-хай Еп= 0Х. Тод1 з ймов1ршстю 1 - X випадкова величина Еп+1= 0Х. При л1н1йному перетворенн1 хп+1 = а:хп перший частинний момент (п + 1) випадково! величини хп+1 утворюеться з першого частинного моменту шх (п) випадково! величини хп множенням на а1. Якщо Еп= 02, Еп+1= 01, то при л1н1йному перетворенн1 хп+1 = а2хп перший частинний момент шх (п + 1) випадково! величини хп+1 утворюеться з першого частинного моменту ш2 (п) випадково! величини Хп множенням на а2. За формулою математичного спод1вання отримаемо р1вняння (9). Аналог1чно знаходимо друге р1вняння
т2(п + 1) = 1a(m((n) + (1 — г) а2 т2(п). (10) Система лшшних р1зницевих р1внянь (9), (10) опи-суе повед1нку перших частинних момент1в випадкових величин хп, хп+1.
Ст1йк1сть у середньому розв'язюв р1зницевого р1вняння (1) р1вносильна стшкост1 розв'язк1в системи л1н1йних р1зницевих р1внянь (9), (10).
да
— да
Складемо характеристичне рГвняння для мульти-плжаторГв при X = v:
г — (1 — А) а-1 2
= г — г(1 — А)( а1 + а2) +
Аа2 2 — С1 — А) а2 (11)
+ (1 — 2 А) а1а2 = 0.
РГвняння (11) мае дшсш коренГ, причому найбкь-ший за модулем корГнь при X = V
_(1 — АХа1 + а2) , п (а1 — а2)2 , ,2
2тах =-2-+ ^ (1 ^ -4-+ А а1а2 <1;
якщо виконуеться нерГвнГсть
(ах + а2)(1 — А) <1 + аха2(1 — 2А). (12)
Умова (12) визначае область стшкосп у середньому розв'язкГв рГзницевого рГвняння (1). Аналопчна умова
(а2 + а|)(1 — А) < 1 + а2а2 (1 — 2А) визначатиме область стГйкостГ у середньому квадратичному розв'язкГв рГвняння (1).
Припустивши, що 0 < a1 < a2, легко довести нерГв-
нГсть
аа 2тах ^ а
Отже, якщо 0 < ak < 1, к = 1, 2, то нульовий розв'язок системи моментних рГвнянь асимптотично стшкий, осккьки 2тах < 1. При виконанш умов ак > 1, к = 1, 2 нульовий розв'язок моментних рГвнянь нестшкий. Най-бкьш цГкавий випадок, коли 0 < ак < 1 < а2. На рис. 1 однократнно заштриховано найбкьш широку область стГйкостГ при X = 1, коли рГвняння (1) стае детермшова-ним Г приводить до рГвняння хи+2 = а1а2хи.
Дворазово заштрихована область стГйкостГ в середньому розв'язкГв рГвняння (1), задана нерГвшстю (12) при X / 1.
а2п
1-Я
знайти роботу (тобто ймовГршсть переходу з1 стану без-робГття в стан зайнятостГ); X - ймовГрнГсть бути звкьне-ним у момент часу Ь, тобто ймовГршсть переходу зГ стану зайнятостГ у стан безробГття). Нехай Хп - випадковий процес, що описуе ильюсть осГб, що працюють через п штервалГв часу, Г задовольняе рГзницеве рГвняння (1).
ПоведГнку першого моменту випадкового роз-в'язку
(Х^! = т(п) = т1 (п) + т2 (п)
(13)
визначае система рГзницевих рГвнянь
т^ (п + 1) = (1 — А ) а^т^ (п) + уа2 т2 (п), т2 (п + 1) = Аат (п) + (1 — V) а2 т2 (п), де X - ймовГршсть працюючого бути звкьненим в момент часу Ь, V - ГмовГрнГсть безробГтного знайти роботу, т1 - середня ккьюсть осГб, якГ мають роботу в даний час, т2 - середня ккьюсть потенцГйних робГтникГв, якГ на даний час е безробГтними, а1, а2 - випадковГ вели-чини, що пов'язанГ з ГмовГрнГсними характеристиками системи в станах Г 02, т - середнеочжувана емнГсть ринку працГ.
Складемо характеристичне рГвняння системи (14): г — (1 — А) —V а2
-А а--,
■(1 — )) а 2
■г ((1 — А) а1 +
(14)
+ (1 — V) а2) + (1 — А — V) а1а2 = 0. РГвняння (14) мае дГйснГ коренГ: (1 — А) ах + (1 — )) а2
+
'(1 — А)а! — (1 — )) а2
2
+ А)аа < 1,
0 1 а
1-Я Рис. 1.
Модельна задача.
Припустимо, що будь яка особа працездатного вжу може знаходитися у двох станах: у сташ безробГтного та в сташ працюючого. При цьому ймовГрностГ переходу Гз одного стану в шший за п штервалГв описуються такими рГзницевими рГвняннями:
Р\(п +1) = (1 — А) Р\(п) + )Р 2 (п),
Р 2 (п +1) = АР1 (п) + (1 — )) Р 2 (п X де р(п) = Р (£п = 05), (я = 1, 2; п = 0, 1, 2), V - ймовГршсть
причому найбкьший за модулем коршь буде при умовГ виконання нерГвностГ, яка е умовою стГйкостГ в серед-ньому:
(1 — А)а1 + (1 — ))а2 < 1 + (1 — А — ))а1а2. (15)
Ця умова виконуеться для
1 1 —А —V
а, <- Г а2 <-.
1 1 —А 2 (1 — ))(1 — А)
Тобто зГ збкьшенням ГмовГрностей X та V вплив параметрГв а11 а2 зменшуеться. КрГм того, при X + V = 1 стшюсть системи спостерГгаеться при наявностГ одного стану.
На рис. 2 представлен областГ, що вГдповГдають умовГ стГйкостГ в середньому (15) для рГзних значень ймовГрностей.
З рГвняння (14) можна отримати, що у випадку,
коли а! = а2, то ^тах = аг
У табл. 4 представлено значення zmаx залежно вГд ГмовГрностей V та X при рГзних значення параметрГв а11 а2.
1з табл. 4 випливае, що при X = V значення zmаx набувае найбГльше значення. АналГзуючи данГ табл. 4, можна зробити висновок, що при збкьшенш факторГв, що негативно впливають на ринок працГ (пГдвищення ймовГрностГ бути звГльненим, що пов'язане з кризовим станом економжи - зменшення робочих мкць, знижен-ня ГнвестицГй, незважена державна полГтика зайнятостГ) значення zmax збкьшуеться, що говорить про нестГйкий
02
1,2
1
0,80,60,4' 0,2'
10-
8-
02
6-
4-
0 -I-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-—г
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
0
0 0,5
01
= 0,1
Рис. 2. Обласп, що вщповщають умовi спйкосп в середньому
1 01
Х = 0,5 V = 0,9
1,5
Таблиця 4
V Л а1 а2 ^тах V Л а1 а2 ^тах
0,1 0,1 1 0,7 0,5 0,8 0,98 0,9 0,9 0,6 0,99 0,84 0,83 0,74 0,4 0,4 1,5 1 0,2 0,2 0,2 0,4 0,95 0,66 0,34
1,5 0,8 0,98 1,3 0,3 0,99
0,1 0,5 1,2 0,7 0,8 0,8 0,88 0,78 0,6 0,3 1 0,1 0,3 0,3 0,78 0,17
0,5 0,7 0,67 0,1 2 0,84
4 0,1 0,8 1 0,5 0,5 0,5 0,2 4 0,94
1,8 0,5 0,98 0,8 0,77
0,1 0,8 1,4 0,5 0,8 0,8 0,1 0,3 0,32
0,3 0,5 0,47 0,5 0,46
0,8 0,2 0,43 0,1 0,84
стан системи. Стшюсть ринку пращ спостериаеться у випадках, коли ймовiрностi знайти роботу i бути звкь-неним вiдрiзняються несуттево.
Графiк залежност zmax вiд X для рiзних значень V представлений на рис. 3.
Як видно iз графшв, стiйкiсть системи залежить вiд випадкових величин, що характеризують стан системи.
Вплив iмовiрностей X та V на значення zmax графiч-но представлений на рис. 4.
Узагальнимо отриманий результат:
Розглянемо систему лшшних рiзницевих рiвнянь Хп+1 = А„ )Хп + В„ ), ёе1 А „ ) * 0, (16) де £,п - маркiвський ланцюг, який набувае q рiзних значень 0р 02, ... 0q з iмовiрностями вигляду (3):
рк(п) = Р {§ „=0 к}.
Уведемо позначення
А(0к) = Ак, Б(0к) = Бк,ЛеХ АА * 0.
Iмовiрностiр1(п),р2(п), ...,Pq(и) задовольняють систему рiзницевих рiвнянь
ч
рк п+1) = 2 /к (п *) к=1
Частиннi щiльностi розподку/ (п, х), к = 1, 2, ..., q задовольняють систему лшшних функщональних рiвнянь
ч
/к (п + 1, X ) = 2 я к,/, (п, А- 2 (х - Б, )) ае! А-1,
,=1 (17)
к = 1,2,...,ч, п = 0,1,2,....
Уведемо вектори частинних моменпв 1-го порядку
т(п) = / х/к(.П х)
Е
^т
Помножимо рiвняння (17) на х i зiнтегруемо по m-вимiрному фазовому простору. Дштанемо систему лЬ-
нiйних рiзницевих рiвнянь з постшними коефiцiентами:
ч
Мк (п + 1) = 2 Я )г (А,М, (п) + Б,р, (п)). (18) ,=1
У частинному випадку для одноркно! системи рiзницевих рiвнянь iз випадковими маркiвськими кое-фщентами
Хп+! = А (£„ )Хп ,,(£„ ) * 0 (19)
дiстанемо систему лшшних рiзницевих рiвнянь:
ч
Мк (п +1) = 2Я кЛМ, (п). (20)
,=1
2
2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
V
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
V
а) б)
Рис. 3. Графш залежносл гтах в1д V для р1зних значень Л при а) а, = 1,2, а2 = 0,9; б) а2 = 0,8, а2 = 1,2
а) а, = 0,4; а2 = 0,8
О 0,2 0,4 0,6 0,3 1 0'8 ' V б) а, = 4; а2 = 0,3
0,3 1 1,: 2 а,
в) V = 0,2; X = 0,1
г) V = 0,9; X = 0,1
Рис. 4. Графш залежносл 7тах вщ V та Л при рiзних значеннях а,, а2 та вщ а,, а2 при рiзних значеннях V та Л
<С т
2
о
=Г
о
о
<
о
Ш
г
г
г
Метод загально! ентропи.
Для анал1зу стшкосп ринку пращ застосуемо по-няття ентропи системи (аналгтичш результати було отримано в [7]). Зпдно з теоршми шформаци у випадку дискретно! випадково! величини ентроп1я визначаеться за формулою Больцмана [8]:
Е1п =— 2 Р ()1п Р (Чп), (21)
£п
де Еп - випадкова величина, що описуе стан ринку пращ, Р (Еп) - !! розпод1л ймов1рностей для в1дпов1дного стану. Для середн1х ентропш маемо
Е = Е
11+и =11? 1-11+и £ 1+и =11? 1+и"
Дискретний марковський процес називаеться ста-цюнарним, якщо ймов1рност1 переходу жк (£к, £к+1) не залежать в1д параметра к 1 якщо вс1 однократш розпод1-ли Р (Ек) однаков11 дор1внюють Рст (£).
Стацюнаршсть однократного розпод1лу Рт (Ек) означае, що виконуеться умова
2 Рст (£ к ) Ж к (£ к, £ к+1) = к+1)- (22)
Ик
Введемо поняття питомо! ентропи, що розрахована на один елемент посл1довност1 {£к} та гранично! ентропи, що визначае ентропш кожного кшця в1др1зку стацюнарного процесу в границ [9]:
Е = lim Е;
%k\%k—1-%k—1 '
E г = E%
■E =
(26)
формулами (23) i (25). PiBHHHHH (22) однозначно визначае стащонарний розпод1л Рст (якщо маркiвський процес е ергодичним, тобто якщо власне число, що дорiвнюе 1, е невиродженим власним значенням матрицi (24). Зпдно з теоремою про розкладання визначниюв з рiвняння det(n — 1) = 0 випливае (22), якщо вважати, що
Рст (% k ) :
A
'% k % k +1
2 A%k+2%к +1 %k+2
де A% % +1 - алгебра!чне доповнення елементу ^k+i
матрицi ||a%k%k+i II=lh (%k, %*—<5% k%k+i I=n—i.
Для найпростiшого маркiвського процесу ш двома станами отримано таю сшввцношення. Якщо матриця перехiдних ймовiрностей мае вигляд
Л—А А х
тодi \\a
%k % k+1
Тодi Рст (1)
П =
П — 1:
1 — V А —V/
i А11 = -V, А22 =
v
v + а Крiм того,
i Рст (2) :
v
+ а'
рт
' + А
v —av ^ av
Av А —av
Для стацiонарного марювського процесу питома ентропiя спiвпадае з ентротею, що вiдповiдае ймовiр-ностям переходу жк (%к, %,к+1) при стацiонарному роз-подiлi ймовiрностей
E = —ЕРст(%k) 2 жк(%k,%k+i)lnжк(%k,%k+i). (23) % к % к+1 У [9] отримано рiвняння гранично! ентропш Eг = lim lim(Е% % + E% % — E% % ),
г n^, m^V %1'...'%n %l,-,%m %1,...,%n+m7'
i при Er = lim(Es 1 ... p — nE) загальна ентропiя ви-
n-»^ n
значаеться рiвнянням:
E|1,...,|n = nE + Er + o„ (1), (24)
де ои(1) - нескiнченно мала величина вищого порядку.
Усереднюючи формулу (16) з1 стацiонарними ймо-вiрностями, отримаемо:
%...,%n = + (n —(25)
Порiвнюючи (24) i (25), видно, що в стащонарному режимi
Згiдно з формулою (23) питома ентропш обчислю-еться за формулою:
А
V + A
е (А) +
A + V
е( v),
де е(х) = —х In £ — (1 — X)ln(1 — х), Х- ймовiрнiсть стану системи, е(х) - ентропш вцповцного стану системи. Гранична ентропш зпдно з формулою (26): А 1 ve (А) + ve (А)
Er = е
А + 1
А+г
Загальна ентропш, що визначае ентропш промiж-ку часу Т, обчислюеться за наближеною формулою
-г =
= 2 Рст (%k )жк (%k > %k+l)lnжk (%k = %k+l)=
% k >% k+1
i on (1) = 0, тобто для загально! ентропи точно виконуеться сшввцношення E% % = nE + Er.
Отже, якщо задана матриця ймовiрностей переходу П = |Ь (%k, %k+1)|, (27)
потрiбно знайти стацiонарний розподк i скористатися
E = TE1 + Er.
Стан ринку пращ в одногалузевш економ1чн1й модел1 можна описати дискретним випадковим процесом Еп, який набувае два значення: 0: -стан зайнятост1, 02 - стан безроб1ття з 1мов1рностями V (1мов1рн1сть знайти роботу, тобто ймов1ршсть переходу з1 стану безробгття в стан зайнятост1) та X (1мов1ршсть бути зв1льненим у момент часу и тобто ймов1ршсть переходу з1 стану зайнятост1 у стан безроб1ття).
Нехай в кожний момент часу 1мов1ршсть бути зв1льненим дор1внюе 0,15, а ймов1рн1сть знайти роботу для безроб1тного дор1внюе 0,1. Матриця перех1дних 1мов1рностей мае вигляд:
0,15 ^ 0,9
П =
0,85
0,1
У цьому випадку питома ентропш набувае значень 0,3642, а гранична ентропш - 0,3088. Загальна ентропш
обчислюеться за формулою Е = ТЕ1 + ЕГ i дорiвнюе 0,673. У табл. 5 представлеш даш щодо величини загально! ентропГ! для рiзних значень параметрiв X, V i Т.
Таблиця 5
т Л V Е1 ЕГ Е
1 0,15 0,1 0,3642 0,3088 0,673
0,15 0,2 0,4559 0,2269 0,6828
0,15 0,15 0,4226 0,2705 0,6931
2 0,15 0,1 0,3642 0,3088 1,037
0,15 0,2 0,4559 0,2269 1,139
0,15 0,15 0,4226 0,2705 1,116
ФГчну залежнiсть загально! ентропГ! вГд юлькост перю-дГв для рГзних значень параметра (рис. 5).
З графжа видно, що при невеликих значеннях Гмо-вГрностГ знайти роботу зГ збГльшенням ГмовГрностГ за-гальна ентропш з кожним новим перГодом збГльшуеть-ся, тодГ як при значеннях ГмовГрностГ бГльших за 0,5, по-чинаючи з другого перГоду, значення загально! ентропГ! для бГльшого значення ймовГрностГ - менше.
Для визначення максимального значення ентропГ! залежно вГд ймовГрностГ знайти роботу побудуемо графж залежностГ загально! ентропГ! в1д параметра V (рис. 6).
X = 0,5
Як видно з табл. 5, при збГльшенш ймовГрностГ знайти роботу в два рази загальна невизначешсть зро-стае на 1 % через 1 перюд Г на 8 % через два перюди.
У табл. 6 представлеш даш щодо величини загально! ентропГ! для рГзних значень параметрГв X, V для першого перюду Т = 1.
Таблиця 6
Л V Е1 ЕГ Е
0,1 0,3252 0,3680 0,6932
0,1 0,5 0,3866 0,0642 0,4508
0,9 0,2352 0 0,3252
0,1 0,3866 0,0642 0,4508
0,5 0,5 0,6932 0 0,6932
0,9 0,5618 0,0900 0,6518
0,1 0,3252 0 0,3252
0,9 0,5 0,5618 0,0900 0,6518
0,9 0,3252 0,3680 0,6932
Як видно з табл. 6, сумарна ентротя практично не змшюеться, тодГ як питома та гранична ентропГ! змГ-нюються суттево. Для того, щоб проаналГзувати змГну ентропГ! при бГльших значеннях перГоду, побудуемо гра-
Рис. 6. Графiк залежност загально! ентропп вiд параметра V для рiзних значень Л
Як видно з рис. 6, найбГльша невизначешсть виникае у випадку, коли ймовГршсть безробГтного знайти роботу дорГвнюе ймовГрностГ працюючого бути звГльненим.
На наступних двох графГках подано залежностГ питомо! та гранично! ентропГй залежно вГд ймовГрностГ
4
.¡^ 3
1
—I-1-1-1-1-1-1-1-г
2 4 6 8
Т
1-1-1-1-1-1-1-1-1—
2468 Т
10
а) б)
Рис. 5. Графк залежносп загально! ентропГ! вщ кшькосп пер^в для рiзних значень параметра V при а) Л = 0,1; б) Л = 0,9
<С т
2
о
=г
о
о
<
о
ш
2
знайти роботу для рГзних значень ймовГрностей бути звкьненим (рис. 7).
ГрафГчна залежнГсть загально! ентропГ! вГд ймо-вГрностГ знайти роботу та ймовГрностГ бути звкьненим представлена на рис. 8.
З графку видно, що максимальне значення загаль-на ентропш набувае при умовГ рГвностГ вищезгаданих ймовГрностей X = V, як Г в запропонованш нами модел1
отримае роботу в скьському господарствГ Г т. д. ТодГ ма-триця перехГдних ГмовГрностей мае вигляд:
' 0,9 0,04 0,06^ П = 0,04 0,9 0,06 Д06 0,04 0,9,
Матриця мае симетричний вигляд, Г дГагональш елементи набагато бкьшГ за недГагональнГ. Це означае,
V V
а) б)
Рис. 7. Графшзалежносп питомоТ(а) та гранично'! (б) ентропГ! вщ параметра удля р1зних значень Л (X = 0,1,Х = 0,5, Л = 0,9)
що ГмовГрностГ переходу з одного стану в шший Г навпаки ршш, а ГмовГрнГсть залишитися в тому ж самому сташ набагато бкьшГ нГж ГмовГрностГ переходу в шший стан. Пи-тома ентропш для такого стану системи доргвнюе 0,39.
ПроаналГзуемо, як змшиться стан системи в за-лежностГ вГд змГни ГмовГрностГ переходу Гз стану безро-бГття в стан зайнятостГ у промисловостГ (рис. 9).
0,44-
0,42'
к
Ё 0,40.
о
а
1 1
Рис. 8. Графш залежносп загально'! ентропГ! вщ параметрiв V та Л
Модель структурних особливостей на ринку пращ.
Розглянемо задачу, коли випадковий процес може набувати три стани: 0: - стан безробггтя, 02 - стан зайнятостГ у промисловостГ, 03 - стан зайнятостГ у скь-ському господарствГ. ТодГ: пп - ГмовГрнГсть того, що безробГтний залишиться безробГтним, п12 - безробГт-ний отримае роботу в промисловостГ, п13- безробГтний
I
ф
ш
г 12 г с
0,38 0,36' 0,340,32
0
0,2
0,4 0,6
л12
0,8
Рис. 9. Графш залежностi питомо! ентропГ! вщ ймовiрностi переходу зы стану безроб^тя в стан зайнятостi у промисловост
З рис. 9 видно, що найб1льше значення питомо! ентропи в1дпов1дае ймов1рност1 переходу зы стану без-роб1ття в стан роботи в промисловост1 при значенш приблизно 0,05.
Знайдемо оптимальш значення ймов1рностей переходу зы стану безробггтя. Побудуемо графж залежно-ст1 питомо! ентропи в1д !мов1рностей пр I п13 (рис. 10).
Рис. 10. Залежностч питомо! ентропи вщ ¡мов1рностей
Як видно з рис. 10, максимальна питома ентроп1я в цьому випадку практично не змшюеться 1 залишаеться на р1вн1 0,39. Тобто одночасна змша ймов1рност1 переходу з1 стану безробтття в стан зайнятост1 у промислово-ст1 та з1 стану безробтття в стан зайнятост1 в с1льському господарств1 не призводить до б1льш стшких сташв.
Порiвняння результаив.
Пор1вняемо результати, отримаш методом загально! ентропи та методом моментних р1внянь. На рис. 11 наведено графжи залежност1 загально! ентропи та zmax в1д ймов1рност1 знайти роботу при р1зних значення ймов1рност1 бути зв1льненим. Як у метод1 загально! ен-
тропи, так 1 в метод1 моментних р1внянь найстшюший стан системи спостер1гаеться при умов1 р1вност1 ймо-в1рностей X = V, що означае доцкьшсть використання запропонованих метод1в для оцшювання ступеня узго-дженосй попиту I пропозици на ринку пращ. Перевага метода, запропонованого в стати, полягае в тому, що стан економида нашо! крайш на сучасному еташ розвит-ку характеризуеться ефектом невизначеност1, що дуже добре описуеться за допомогою марювських коефиден-т1в р1зницевих р1внянь.
ВИСНОВКИ
У результат! проведеного дооидження було отримано умови стшкосп в середньому для модел1 функцю-нування мехашзму попиту I пропозици на ринку пращ. Наведен! розрахунки показують, що р1вноважний стан не буде спостерпатися при умов! вр1вноваження попиту та пропозици робочо! сили, тобто коли ймов1ршсть бути звкьненим дор1внюе ймов!рност1 знайти роботу. На стшюсть розв'язюв р1зницевого р1вняння (1), що описуе запропоновану модель, суттевий вплив виявля-ють випадков! величини, що повязан! з !мов1ршсними характеристиками системи, яка може знаходитися в р1з-них станах. Отже, при дооидженш ринку пращ в умовах нестаб1льно! економ1ки метод моментних р1внянь 1з ви-падковими марк1вськими коеф1ц1ентами дозволяе вра-ховувати вплив фактор1в, як1 характеризують стан неви-значеност1 досл1джувано! системи. ■
Л1ТЕРАТУРА
1. Яковенко О. Г. Моделювання самоорганiзацií ринку працi в Украпн / О. Г. Яковенко, О. О. Бажан // Вкник Днтро-петровського унiверситету. Серiя «Економiка». - 2011. - Т. 19. -№ 10/1. - С. 135-142.
2. Васильев А. Н. Модель самоорганизации рынка труда / А. Н. Васильев // Экономика и математические методы. - 2001. -Том 37, № 2. - С. 123-127.
0,7
.0,6
0
&0,5
1
ф ш
10,4 г
ш ^
ш
00 0,3
0,2'
0,1
X = 0,5
—I-1-1-1-1-1-1-1-1-1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
V
а)
1,1
1,0-
0,9
0 0,2 0,4 0,6 0,8
V
б)
Рис. 11. Графши залежносл загально!ентропи (а) та г (б) вщ ймовiрностi Vпри Л = 0,1, Л = 0,5, Л = 0,9
12 13
г
3. Семенчин Е. А. Математическая модель самоорганизации рынка труда для двух отраслей экономики / Е. А. Семен-чин, И. В. Зайцева // Экономика и математические методы. -2004. - Т. 40, № 4. - С. 137-139.
4. Xлiвна I. В. Моделi аналiзу та прогнозування зайнято-ст населення / I. В. Хлiвна // Агросвгг. - 2013. - № 11. - С. 28-33.
5. Помазкин Д. В. Влияние на рынок труда изменений половозрастной структуры / Д. В. Помазкин // Научный интернет-журнал «Семья и демография». - 2014 [Электронный ресурс]. -Режим доступа : http://riss.ru/demography/demography-science-]оита!/5283/
6. Васильев О. Прогнозування рiвня безробггтя в УкраМ / О. Васильев // Економка УкраГни. - 2012. - № 4. - С. 41-46.
7. Саргсян Г. Аналитическая модель структурных преобразований на рынке труда / Г. Саргсян, Р. Геворгян, Н. Саргсян // ЕГУ. - 2011. - С. 26 -35 [Элек-тронный ресурс]. - Режим доступа : http://www.ysu.am/files/03H_Sargsyan_R_Gevorgyan_N_ Sargsyan.pdf
8. Стратанович Р. Л. Теория информации / Р. Л. Стратано-вич. - М. : Сов. радио, 1975. - 424 с.
9. Джалладова I. А. Дошдження стшкосп моделi вщ-творення робочо''' сили в умовах невизначеносп / I. А. Джалладова, О. I. Бабинюк // XVII Мiжнародна конферен^я Р0М11 -2011 (23-27 травня, м. Ки'в). - 2011. - С. 65-66.
10. Джалладова I. А. Критерш спйкосп розв'язюв систе-ми лшшних рiзницевих рiвнянь з випадковими кусково-сталими коефрентами / I. А. Джалладова, О. I. Бабинюк // Мiжнародна конферен^я Р0М11 (4-6 жовтня, м. Ялта). - 2010. - С. 22-26.
11. Валеев К. Г. Теорiя ймовiрностей та теорiя випадкових процеав / К. Г. Валеев, I. А. Джалладова. - К. : КНЕУ, 2009. - 378 с.
Stratanovich, R. L. Teoriya informatsii [Information theory]. Moscow: Sovetskoe radio, 1975.
Vasyliev, O. "Prohnozuvannia rivnia bezrobittia v Ukraini" [Predicting the level of unemployment in Ukraine]. Ekonomika Ukrainy, no. 4 (2012): 41-46.
Vasilyev, A. N. "Model samoorganizatsii rynka truda" [The model of self-organization of the labor market]. Ekonomika i matematicheskie metody, vol. 37, no. 2 (2001): 123-127.
Valieiev, K. H., and Dzhalladova, I. A. Teoriia imovirnostei ta teoriia vypadkovykh protsesiv [Probability theory and the theory of random processes]. Kyiv: KNEU, 2009.
Yakovenko, O. H., and Bazhan, O. O. "Modeliuvannia samo-orhanizatsii rynku pratsi v Ukraini" [Modeling self labor market in Ukraine]. Visnyk Dnipropetrovskoho universytetu. Seriia «Ekonomika», vol. 19, no. 10/1 (2011): 135-142.
Науковий керiвник - Джалладова I. А., доктор ф1з.-мат. наук, професор, завщувачка кафедри комп'ютерно! математики та шформацмно! безпеки факультету шформацмних систем i технологш ДВНЗ «Ки!вський нацюнальний економiчний ушверситет iM. Вадима Гетьмана»
REFERENCES
Dzhalladova, I. A., and Babyniuk, O. I. "Doslidzhennia stiikosti modeli vidtvorennia robochoi syly v umovakh nevyznachenosti" [Research resistance model reproduction of labor under uncertainty]. XVII Mizhnarodna konferentsiia PDMU. Kyiv, 2011. 65-66.
Dzhalladova, I. A., and Babyniuk, O. I. "Kryterii stiikosti roz-viazkiv systemy liniinykh riznytsevykh rivnian z vypadkovymy kuskovo-stalymy koefitsiientamy" [The criterion of sustainability solutions of linear difference equations with random piecewise constant coefficients]. Mizhnarodna konferentsiia PDMU. Yalta, 2010. 22-26.
Khlivna, I. V. "Modeli analizu ta prohnozuvannia zainiatosti naselennia" [Models of analysis and forecasting employment]. Ah-rosvit, no. 11 (2013): 28-33.
Pomazkin, D. V. "Vliyanie na rynok truda izmeneniy polo-vozrastnoy struktury" [Impact on the labor market changes in the age and sex structure]. http://riss.ru/demography/demography-science-journal/5283/
Semenchin, E. A., and Zaytseva, I. V. "Matematicheskaya model samoorganizatsii rynka truda dlya dvukh otrasley ekonomi-ki" [Mathematical model of self-organization of the labor market for the two sectors of the economy]. Ekonomika i matematicheskie metody, vol. 40, no. 4 (2004): 137-139.
Sargsian, G., Gevorgian, R., and Sargsian, N. "Analiticheskaya model strukturnykh preobrazovaniy na rynke truda" [Analytical model of structural reforms in the labor market]. http://www.ysu. am/files/03H_Sargsyan_R_Gevorgyan_N_Sargsyan.pdf
