CC BY
40
ods and techniques for creating models of information systems]. http://www.studarhiv.ru/dir/cat32/subj45/file1381/view1381.html
Saraev, A. S. "Tekhnologiia razrabotki funktsionalnoy mod-eli arkhitektury organizatsionnykh sistem na osnove kontseptsii SADT" [Technology development of the functional architecture models of organizational systems based on the concept SADT]. Molodoy uchenyy, no. 1 (2011): 63-65.
Yachmenyov, le. F. "Zovnishni chynnyky formuvannia vymoh shchodo rozrobky informatsiino-analitychnoi systemy upravlinnia
vyshchym navchalnym zakladom" [External factors forming the requirements for the development of information-analytical system of higher education institution]. Ekonomyka Kryma, no. 3 (40) (2012): 75-78.
Yachmenyov, le. F. "Mistse, rol ta znachennia vyshchykh navchalnykh zakladiv v nautsi" [The place, role and importance of higher education in science]. Kultura narodov Prychernomoria, no. 235 (2012): 106-110.
УДК 330.46
МОДЕЛЮВАННЯ НЕСТАЦ1ОНАРНИХ ЧАСОВИХ РЯД1В ЕКОНОМ1ЧНО1 ДИНАМ1КИ НА ОСНОВ1
Р1ВНЯННЯ ФОККЕРА - ПЛАНКА
© 2014 кденко о. о.
УДК 330.46
каснко О. О. Моделювання нестацiонарних часових рядiв eK0H0Mi4H0i динамiки на 0CH0Bi ршняння Фоккера - Планка
Дослiджуeться актуальна проблема моделювання неста^онарних часових рядв eK0H0Mi4H0i динамки. Запропонований nidxid до моделювання часових ряд'т базуеться наметодолог!багатовимiрного аналiзу тар'тнянш нерозривностi, яке пов'язуе функщю щiльностi ймовiрностiзмiнниx стану системи з ix швидкостями. Р'юняння руху точки в багатовимiрному фазовому просторi змшних стану виводиться в припущенн, що в основi еволюцИекономiчно¡ системи лежить взаемодiя двох чинникiв - зростання i дисипацИ. Допускаеться, що швидксть зростання е детермiнованою фунщею, що означае наяв-нiсть причинно-на^дкових зв'язшв мiж змнними, а дифузiйна складова швидкостi пропорцйна градiенту ймовiрностi станiв улокальнiй точц фазового простору. У цьому випадку стан системи визначаеться багатовимiрним р'юнянням Фоккера - Планка. Одновимiрний часовий ряд розглядаеться разом з рядами його похдних як багатовимiрний нестацюнарний процес, який моделюеться двовимiрним р'внянням Фоккера - Планка за координатами i приростами. Модельюр'вняння фунтуються на припущеннi про лiнiйнiсть ряд'в сшнченних рiзниць iузгоджуються з результатами емпiричного фазового аналiзу. Будуеться адаптивна модель з пам'яттю неста^онарного часового ряду. Механзм адаптацй реалiзуеться через системурiвнянь еволюцп виб/'р-кових числових характеристик ряду i його рiзниць. Пам'ять часового ряду враховуеться через систему р/внянь еволюцИмоментних функщй координати. Прогноз ряду здйснюеться шляхом чисельного iнтегрування отриманих р/внянь еволюцп та Фоккера - Планка. Результати моделювання показують практичну придатнiсть моделей для прогнозу цнових показниюв фiнансового ринку на середньостроковий перюд. Ключовiслова: функщя стану, зм'шнi стани, р'вняння Фоккера - Планка, модель, прогноз, економiчний часовий ряд Рис.: 2. Формул: 18. Б'бл.: 12.
1саенко Олександр Олександрович - астрант, кафедра програмного забезпечення автоматизованих систем, Запорiзька державна iнженерна академ'т (пр. Ленiна, 226, Запор1'жжя, 69006, Украна) E-mail: sasha89@ukr.net
УДК 330.46
Исаенко А. А. Моделирование нестационарных временних рядов
экономической динамики на основе уравнений Фоккера - Планка
Исследуется актуальная проблема моделирования нестационарных временных рядов экономической динамики. Предложенный подход к моделированию временных рядов базируется на методологии многомерного анализа и уравнении неразрывности, которое связывает функцию плотности вероятности переменных состояния системы с их скоростями. Уравнение движения точки в многомерном фазовом пространстве переменных состояния выводится в предположении, что в основе эволюции экономической системы лежит взаимодействие двух факторов - роста и диссипации. Допускается, что скорость роста есть детерминированная функция, что означает наличие причинно-следственных связей между переменными, а диффузионная составляющая скорости пропорциональна градиенту вероятности состояний в локальной точке фазового пространства. В этом случае состояние системы определяется многомерным уравнением Фоккера - Планка. Одномерный временной ряд рассматривается вместе с рядами его производных как многомерный нестационарный процесс, который моделируется двумерным уравнением Фоккера - Планка по координатам и приращениям. Модельные уравнения основываются на допущении о линейности рядов конечных разностей и согласовываются с результатами эмпирического фазового анализа. Строится адаптивная модель с памятью нестационарного временного ряда. Механизм адаптации реализуется через систему уравнений эволюции выборочных числовых характеристик ряда и его разностей. Память временного ряда учитывается через систему уравнений эволюции моментных функций координаты. Прогноз ряда осуществляется путем численного интегрирования полученных уравнений эволюции и Фоккера - Планка. Результаты моделирования показывают практическую пригодность моделей для прогноза ценовых показателей финансового рынка на среднесрочный период. Ключевые слова: функция состояния, переменные состояния, уравнение Фоккера - Планка, модель, прогноз, экономический временной ряд. Рис.: 2. Формул: 18. Библ.: 12.
Исаенко Александр Александрович - аспирант, кафедра программного обеспечения автоматизированных систем, Запорожская государственная инженерная академия (пр. Ленина, 226, Запорожье, 69006, Украина) E-mail: sasha89@ukr.net
UDC 330.46
Isaienko Oleksandr O. Modelling Non-stationary Time Series of Economic Dynamics on the Basis of Fokker - Planck Equations
The article studies the topical issue of modelling non-stationary time series of economic dynamics. The proposed approach to modelling time series is based on the methodology of multidimensional analysis and continuity equation, which combines the system state variables probability density function with their rates. Equation of point motion in the multi-dimensional phase space of state variables is drawn in an assumption that interaction of two factors - growth and dissipation - lies in the basis of economic system evolution. The article assumes that the rate of growth is a deterministic function, which means availability of cause-effect relation between variables, and the diffusion component of the rate is proportional to the gradient of probability of states in a local point of the phase space. In this case the system state is determined by the Fokker - Plank multidimensional equation. One-dimensional time series is considered together with series of its derivatives as a multidimensional non-stationary process, which is modelled by the two-dimensional Fokker - Planck equation by coordinates and increments. Model equations are based on an assumption about linearity of series of finite differences and are co-ordinated with the results of empirical phase analysis. The article builds an adaptive model with the non-stationary time series memory. The adaptation mechanism is realised through the system of equations of evolution of selected numerical characteristics of the series and its differences. Time series memory is taken into account through the system of equations of evolution of the coordinate moment functions. Forecast of the series is carried out through numeric integration of the obtained evolution and Fokker - Planck equations. Results of modelling show practical suitability of the models for forecasting price indicators of the financial market for a middle-term period.
Key words: state function, state variables, Fokker - Planck equation, model, forecast,
economic time series.
Pic.: 2. Formulae: 18. Bibl.: 12.
Isaienko Oleksandr O.- Postgraduate Student, Department of software for automated systems, Zaporizhia State Engineering Academy (pr. Lenina, 226, Zaporizhia, 69006, Ukraine)
E-mail: sasha89@ukr.net
Предметом eK0H0Mi4H0'i динамки е моделювання поведшки економiчних систем пiд впливом фак-тор1в рiзноl природи з метою анамзу рiвноваги, управлiння i прогнозування еволюци економiчних систем. Математичнi моделi економiчноl динамiки е формальним в^ображенням безлiчi сценарпв розвитку економiки. Як правило, це казуальш або детермшоваш моделi з постш-ними параметрами, що вiдображають ткьки одну зi сторiн дiйсностi - стохастичну (ймовiрнiсну) або детермiновану. Пiд економiчною динамкою також розумiють динамiч-нi ряди - ряди чисел, яи характеризують змiну величини суспiльного або економiчного явища, тобто економiчнi ча-совi ряди (ЕЧР) [1]. Нестацiонарнiсть е фундаментальною властивютю ЕЧР, яка виражаеться в мшливост одше'1 або ккькох ix характеристик: математичного спод1вання, дис-персп, автокореляцшно! функци, функци щльносй ймо-вiрностi. У даний час розробка методш аналiзу нестащо-нарних процесш представляе велику практичну значимють i затребуванiсть в економiцi. Це викликано необх^шстю пiдвищення точностi прогнозiв i, зокрема, цiнових показ-никш фiнансових ринках.
Сучасна економiчна наука мае в своему арсеналi велику юльисть метод1в аналiзу ЕЧР i прогнозування сощально-економiчних показникш: статистичнi [2], детермiнованi [3], методи еконофiзики, фазового аналiзу, вейвлет-аналiзу, спектрального аналiзу [4 - 7], адаптивш методи прогнозування - нейронш мережi, генетичнi алгоритми, метод гру-пового облiку аргумент, метод «гусеш» [8, 9]. У бiльшостi свош перерахованi тдходи застосовуються тiльки для од-новимiрних i стацiонарних ЕЧР. Тому побудова статистично коректних моделей ЕЧР i методш '1х аналiзу е актуальним завданням. Теоретичною основою таких моделей може бути багатовимiрне ршняння Фоккера - Планка [10, 11].
Основною метою дано'1 статт е розробка математич-них моделей нестащонарних ЕЧР для '1х аналiзу, прогнозування та прийняття ршень на фiнансових ринках.
1. Взаемозв'язок мiж pieHMHHMMU Hep03puBH0cmi i Фоккера - Планка. Динамiчна система (ДС) характеризуемся змiнними стану x = (xp x2, ..., xm) - системою еконо-мiчних показниюв i функцiею стану фх = ф (xp x2, ..., xm) -функцiею щiльностi ймовiрностi (PDF - probability density function), що розглядаеться у фазовому просторi Г точок х.
m
Мiра dTm = p(x\,X2,■■■,xmdxj являе собою число ста-
i=1
н1в ЕЧР зазначених промiжкiв dx.. Змшш стану стандарти-зованi за способом:
= [0,1],
др( x, t) "t
= —div(p(x, t) ■ V(x, t)).
(1)
Р1вняння (1) в економ1чнш штерпретацп являе собою р1вняння балансу фшансових або матер1альних потоюв. Змкт даного р1вняння полягае в тому, що змша ймов1рнос-тей сташв в одинищ фазового простору за одиницю часу дор1внюе сумарному потоку, що проходить через замкнену довкьну поверхню в окол1 точки за цей час.
Воснов1 еволюцн будь-яко! складно! економ1чно! сис-теми лежить взаемод1я двох фактор1в р1зно! природи - зростання 1 дисипацп. Модел1 зростання мо-жуть Грунтуватися на р1зних економ1чних концепщях, що в1дбивають мехашзми взаемоди сощально-економ1чних чинниюв: попиту 1 пропозицн, конкурентно! боротьби, по-зитивних зворотних зв'язк1в тощо. Д1я цих мехашзм1в при-зводить до локальних тимчасових 1 просторових неодно-р1дностей, збкьшенню штенсивност1 потоюв, перерозпо-дку кошпв м1ж галузями економки. Дисипащя ж, навпаки, супроводжуеться вир1внюванням концентрацш, зменшен-ням штенсивност потоив, збкьшенням невизначеност та ентропн, що в решт решт призводить до деградацп еконо-м1чно! системи. Природньо припустити, що величина потоку швидкост дисипацп в точщ обернено пропорцшна град1енту ймов1рностей стан1в у цш точщ. Тод1 еволющя ДС може бути представлена таким р1внянням:
1
= Ух- (Х, I) = и1 (Х' I) ~
2p (x, t)
д
(2)
x2v[bij-(x, typ(x, t)],
j=l"xJ
де ut(x, t), bj(x, t) - вимiрнi функци при кожному t e [0, T], а Т - перюд спостережень.
Пiдставляючи вираз (2) у рiвняння (1), одержимо р1в-няння Фоккера - Планка:
др(x, t) m д
+ (x, t)p(x, t)] —
i=1 ■2
"t
m m
i=1 J=1— r
"x,
(3)
-[bj (x, t)p(x, t)] = 0■
Р1вняння Фоккера - Планка (3) тюно пов'язане 1з системою стохастичних диференцшних р1внянь:
хг(t) = ul(x, t) +2 bj(x, t)ij(t),
(4)
J=1
де zmin, zmax - спостережуваш, мiнiмальнi, максимальнi значення рiвнiв економiчного ряду.
Враховуючи, що ЕЧР нестащонарш, зазначену функ-цiю стану необх^но розглядати з урахуванням залежностi в^ часу ф (х, t). Нехай тд дiею соцiально-економiчних чин-ник1в змiннi стану (рiвнi ряду) змшюються зi швидкiстю
\Vx1( xb Xl^ xm;t ),Vx2( xb xm;t V-l
V(x, t) = \ k
\Vxm (xh xm;t) J
Мiж функцiями ф (x, t) та V (x, t) кнуе взаемозв'язок у виглядi закону збереження речовини в його диференцшнш формi (р1вняння нерозривностi):
де u. , Ь^ - детермшстичш функцй; (t) - незалежнi випадковi процеси типу бкого шуму, тобто M^ (t) = 0, M^ (t) • (t + т) = = §(т), M ((t) • (t)) = 0 при i * j. Усереднюючи р1вняння (4) за множиною x, одержимо:
Uj(x, t) = m(x:t\xi,xi,■■■,xm;t) =
1 (5)
f xxiF(x, t^xidxi^dxnj,
p (x, t)
де F(x,x;t) = F(x^,xi,■■■,xm,x^xi,:,x:m;t) - PDF ро змiр-ностi 2m.
Останне пояснюе статистичний змкт функцй ut (x, t). За визначенням, вираз (5) - це умовне математичне сподь вання швидкосп, тобто функщя ut - компонента середньо'1 локально'' швидкостi руху поля. Р1вняння (3), яке доповне-не граничними i початковими умовами ф (0, t) = ф (1, t) = 0,
m
ф (x, 0) = ф0 (x) спкьно i3 системою инетичних р1внянь (2) повшстю визначають стан динам1чно'1 стохастично'1 систе-ми для кожного моменту часу t.
2. Реконструкщя функцш знесення на ocuoni фазового аналiзу. Будемо розглядати одновим1рний ЕЧР x(t)
разом з рядами його пох1дних x(t),x(t),...x(m\t) як бага-
товим1рний процес з функщею щкьносп ймов1рностей
<p(x,x,x,...,x(m\t). Шд пох1дними будемо розушти ïx скшченш р1знищ - прирости економ1чного показника в
посл1довш дискретш моменти часу:
x = A(t ) = x (t + l)-x(t ),
x = A2(t) = A(t + 1) - A(t) = x(t + 2) - 2x (t +1) - x (t ),
.. (6)
x(m)(t) = Am (t) = Am-1 (t + 1) - Am-1(t ) =
m
= 2 (-1)* Csmx(t - s + m),
s=0
де A(m)(t) - синченна р1зниця порядку m,
Csm - символ поеднання або коефщ1ент бшома Нью-
Piвняння першого порядку (4) описуе маркшський процес x(t). ДС порядку вище першого генеруе ви-хiдний процес, який вже не буде маркшським. Але вш може розглядатися як компонента багатовимiрно-го маркшського процесу у фазовому просторi змiнних
(m-1)
Xi = x, Xj = x, X3 = x,...,xm = xy ', що описуються ршнянням (4). У цьому полягае основна ^ея використання багатовимiрного ршняння Фоккера - Планка (3) для моделю-вання поведiнки одновимiрних ДС високого порядку. Даний тдид дозволяе найбкьш повно використовувати шформа-цiю, яка мiститься у тимчасових рядах скiнчених рiзниць.
Найважливiшим промiжним етапом моделювання ЕЧР на основi ршняння Фоккера - Планка е побудова мо-делi поля швидкостей економiчного показника i його рiз-ниць у фазовому просторi у виглядi функцп знесення (5). В даний час немае жодно'1 економiчноl концепцп, що дозволяе встановити структуру таких залежностей. Проте е можливють експериментально вiдновити вид функцш знесення на основi аналiзу фазових траекторiй рядiв скшче-них рiзниць. Принципову можливiсть тако'1 реконструкцп встановлюе теорема Такенса [12], яка стверджуе, що фазовi траекторп в^творюють динамiку системи, породжувано'1 часовим рядом, при виконанш умови: v > 2m +1,
де v - розмiрнiсть фазового простору, m - розмiрнiсть сис-теми.
На рис. 1 наведет стандартизован ряди миттево'1 при-бутковостi золота i скiнченних рiзниць цього показника. Ряди побудованi за щоденними даними цiн на золото на LBMA -бiржi за перюд з 02.01.09 по 09.01.13. Прибутковють фшан-
сового iнструменту визначаеться за формулою x = p/p, де p - цша, а cкiнченнi рiзницi - за формулами (6).
Незважаючи на те, що операщя диференцiювання поступово елiмiнуе детермiновану складову вихiдного ряду - тренд, ряди скшченних рiзниць не е стащонарними у вузькому сена, тобто у них змшюеться функщя щкьно-стi ймовiрностей. Це викликае необхiднiсть параметрично'1
адаптацп моделей ЕЧР. Лшшш структури фазових портре-TiB, представлених на цьому ж рисунку, вказують на часову подобу i близькiсть деяких сегментш траeкторiй. Досить висою значення коефiцieнтiв кореляцп мгж фазовими змш-ними вказують на практичну можливкть апроксимаци ре-альних ЕЧР лшшними процесами. В1дзначен1 особливост1 характерн1 також для ц1нових ряд1в фондового ринку.
3. Математична модель нестацюнарного ЕЧР. Не-хай одновим1рний ЕЧР породжуе двовим1рний процес з PDF p(x,x;t). Ця PDF задовольняе двовим1рному р1внян-ню Фоккера - Планка з координатами xt = x i Х2 = X:
dtp dt
-b
d
dx " d2p
d
dX ~ 2
bii d2p
— + V (u1 P) + ~ (u2P)--1--2 -
2 dx
i2
- b22 d_p=0
(7)
dxdX 2 dX
2
Будемо вважати, що розглянутий двовим1рний процес не е гетероскедастичним, тобто b.. = b.. (i), а мoделi ui мають вигляд лшшних Функц1й:
{щ = m( X X; t) = a0 + a-x
U2 = m{X/x, X;t) = Pq + ¡3-Х + /^x,
де a0 = a0(i), a: = a:(i), в0 = 00(i), в = ^(i), в2 = P2(i) параметри моделей.
Модельш ршняння Грунтуються на припущеннi про лшшшсть ряд1в скiнченних р1зниць A(i), A2(i), що узгоджу-еться з результатами емпiричних дoслiджень, у тому числ1 фазового аналiзу. Для ^ентифшацп параметрiв мoделi (7), (8) розглянемо числов! характеристики ЕЧР - математичш
oчiкування m (i), mx(t); дисперсй а2(t), а\(t); кoварiа-
ц!ю covx,x (t), що визначаються за формулами:
mx = f x<p-(x, t)dx, mx = f x<p2(x, t)dx,
а\ = f (x - mx)2Pi (x, t)dx а2 = f (x - mx)2P2(X, R = covxx = f (x — mx )(x — mx )p(x, x; t)dxdx,
де ф:(х, i), p2(x, t) - одновим1рш (часткoвi) PDF двовим1р-них процейв.
Побудуемо р1вняння евoлюцiй числових характеристик рядш. Оск1льки одновим1рн1 PDF в (9) виходять з p(x, x;t) за формулами
pi(x, t) = fp (x, x; t) dx, p2(x,t) = fp (x, x;t) dx,
то, штегруючи р1вняння (7) посл1довно за зм1нними x, x з урахуванням того, що на границях oбластi iнтегрування PDF доршнюють нулю, отримаемо два одновим1рних р1в-няння Фоккера - Планка:
2
^+d (uip) - b1 d-pi=0,
dt dx 2 dx2
dp2 d
+—( ap2)-dt dx
b22 d P2
(10)
dx2
де a(x,t) = ß0 + ß1x + ß2e(x,t), а e(x,t) = —f xp(x, x,t)dx.
P2
Рiвняння еволюцiй математичних 04iKyBaHb знайде-мо з урахуванням ïx визначень (9) i узгодженосп однови-мiрниx розподЬлш з рiвняннями Фоккера - Планка (10):
тона.
а) х
0, 0/ 0,4 0,2 0
б) А
0,8 0,6 0,4 0,2 0
в) А2
0,8 0,6 0,4 0,2 0
201
401
601
801
1001
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 миттева вщдача
11. . 1.1. . . . 1. 1 1 м
1,0
ё 0,8 ч х
& 0,6
0,4
0,2
д0,0
о
о г = -0,8670
|00о оо
' о ^ЖЭзЯйЗ
■ о Ъ4^
1
201
401
601
801
1001
1201 Дш
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 перша рвниця дохщносл
1 1
[[, . ] . 1 ,|| и Ни. , 1 .[ , .1 ii.lL 1 . 1. ii.il ||
1... , [, || 1.1 1А+ , . 1 1 Гш, Л^иЬ 1 1 . .
Р'1ТГП гИП^Т 1 1 ицрм-тп
1 ' 1
1
201
401
601
801
1001
1201 Дш
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 друга рвниця дохщносл
Рис. 1. Динамiчнi ряди доходносп золота, скiнченних рiзниць доходностi золота та Ух 2Э фазовi портрети:
а)митт£ва доходнiсть; б) перша скшченна рiзниця доходностi; в) друга скшченна рiзниця доходностi
т =5 х ^МхО ¿х = 5 х Л дг
'ъп д2<р1 д
2 дх
2 дх (ит)
т = 1 х ¿х =
Сг дг
= 1 х
2
Ъ22 д <2 д ,п ч
- ,.2--Т7 (С1<Р2)
2 дх2 дх
сх,
прискоренню поля. У цьому полягае статистичний змiст Сх, рiвняння (11), яке визначае швидкiсть дрейфу одновимiр-них розподшв <1(х,/) 1 <2(х, г)-
Для замикання системи (11) вiдносно невiдомих а0, а1, р0, в та р2 обчислимо коварiацii:
К(г) = С°У х,х (г) = соу х,щ(г) = = I х( а0 +а!хур 1 х,г)ёх — тхтх = а^х(г),
яи пiсля штетрута^ частинами 3 урахуванням нульових Соух,х(г) = соух,„2(г) = Iх($0 + $1х + $2х) р(х,х;г)сЬсх-граничних умов для РОБ перетворюються в ршняння:
—х = Iи\(х,г) <р\ (х,г)Сх = а0 + а^х =(и1) = и(г) С г
-тхтх = $1ох(г) + $2 Стх,х(г)
(12)
Стх
(11)
сочх х(г) = сочх и2 (г) = 1 х(+ $\х + $2х) р(х,х,г)СхСх —
—х = 1 а(х,г) р2(х,г)Сх = $0 + $\тх + $2тх = (а)г = А(г)- — тхтх = $2о2Х(г) + $2 сочх х(г).
Розглядаючи пох^ну вiд математичного сподiван-
Розв'язуючи систему рiвнянь (11), (12), отримаемо
ня як синченну рiзницю (прирiст середнього ршня ЕЧР), статистичнi оЦiнки нешд°мих параметр1в модельних рш-
а математичне сподшання як середне рiвнiв ЕЧР, неважко нянь (8), Що визначаються за вибiрковими даними ряд1в
„ . ,,,, показника i його перших двох рiзниць: переконатися, що тх = тх, тх = тх. iодi з (11) випливае,
що швидисть змiни середнiх значень показниив ЕЧР до-ршнюе середнiй швидкост руху поля, а швидкiсть змши середнк значень перших рiзниць дорiвнюе середньому
Сочх,х Сотх,х а0 = тх--Г" тх, а1 =-22
$0 = тх — $1тх — $2тх,
ßl=■
2 2 2
axax - covx,x
(13)
ß2■
2
axcovx
-CQVr i-COVi.
2 2 a xa x -
Ршняння еволюцп дисперсiй знайдемо з урахуванням ïx визначень (9) i узгодженост одновимiрниx розподь лш з рiвняннями Фоккера - Планка (10):
M = f (x - mx)2 dx =
dt
= f ( x - mx )2
dt
'bi iïL-± um) 2 dx2 dx wv
dx,
M = f ( x - mx J2 ^xA dx = dt x t
' Ь22 d2p2 n , „ x
7"!—TT (aP2)
2 x 2 x
= f( x - mx У
dx,
як пiсля iнтегрyвання перетворюються у вирази:
d a
2
dt dt
- = 2(f xuipidx - mx f uipidx) + Ьц = 2covx x+ b
11
- = 2(f xap2dx - mx f ap2dx) + b22 = 2covx x+b
(14)
22
Вирази (14) розкривають статистичний смисл параметров b11 та b22. Параметр b11 дорiвнюe рiзницi мiж швид-кiстю змiни дисперсп i подвоеною коварiацieю мiж по-казником i його першо'1 рiзницею, а параметр b22 дор1внюе рiзницi м1ж швидкiстю змiни дисперсп першо'1 рiзницi та подвоеною коварiацiею м1ж рядами перших двох рiзниць.
Ршняння еволюцп коварiацiï R визначимо з виразу: dR_ dt
r dp(x, x;t) J (x -mx)(x -mx)-:-dxdx =
■f (x-mx)(x-mx)
'jrnÉSL+
2 dx2 Л2
t
d2p
+■
Ь22 d2P 2 dx2'
' dxdx ¿1
dxdx ,
dP\ 'dp. bu d2pi
+ (а о +ai x)-^ - ^ -f± = -ai p i, dt dx 2 dx
x — ai x — ао '
dP2
b i dPi 2pi dx '
2
dP2 b22 d P2
-j-2 + (ßo +ßix)-^2 -dt
2
= -ßiP2 -ß2
dx
n - О , о b22 dP2 x-ßi x = ß0+ß2e-^--—,
dx 2 dx2
h
2<P2 dx
де E = e(x,t) <p2(x,t), pi = pi(x,t), <2 = <2(x,t) , а fj = = ф1(л, t), p2 = <2(x,t) - одновимiрнi функцп розподiлу координат i швидкость
npaBi частини рiвнянь (16) в^ображають зовнiшнi впливи на одновимiрнi процеси x(t), x(t). У правш части-Hi третього i четвертого р1вняння (16) мiститься невiдома функщя e(x, t). За сво'1м статистичним змiстом - це щкь-нiсть моменту першого порядку або умовне математич-не сподiвання координати х по двовимiрному розподку p(x,x;t). Ця функщя задаеться незалежно вiд рiвнянь (16) i може бути обчислена в^пов^но з ïï визначенням (10) за вибiркою {x(i), A(i)}, i = l,2,...t — 1, сформованою до моменту часу t. Осккьки до цього моменту часу прирощення Д(£) ще невiдомо, то ця функщя стае визначеною тiльки на момент часу t - 1. Для того, щоб спрогнозувати функцiю e (x,t) на наступш моменти часу, скористуемося методом побудови зачшляючих ршнянь еволюцп моментш [11]. Ево-люцiю моменту першого порядку визначимо з виразу:
d(e<2) r dp(x, x; t)
-= I x-dx,
dt dt
тсля постановки в який dp/dt з ршняння (7) i наступного штегрування з урахуванням граничних умов отримаемо:
dE b
~ -^'—т + (ßo + ßix)— + (ßi - ai)E
d2E
dE
dt 2 dx ' a0P2 - b
dx
dP2 ß dE2 i2 ... ß2 ... , dx dx
(17)
який тсля штегрування з урахуванням граничних умов для PDF приймае вигляд:
— = Ьц + f xuip dx dx +
+fxu2p dx dx -mx fuip dx dx - (15)
-mxfu2p dxdx =bi2 +covx,x+covxx.
Отже, якщо до моменту часу здшснити статистичну
оцiнкy коварiацiй covx x, covx x i лiвиx частин рiвнянь
(14) i (15) за вибiрковими даними, то коефiцiенти дифузй bn, b12, b22 двовимiрного р1вняння Фокера - Планка (7) бу-дуть повшстю визначень
4. Прогнозна модель ЕЧР. Прогнозування економiчно-го показника можна здшснити, безпосередньо розв'язуючи двовимiрне ршняння Фоккера - Планка (7) сшльно з рiв-нянням еволюцп (2). Спростити процедуру розв'язку i шд-готовку даних до прогнозування можна шляхом переходу до схеми, яка заснована на одновимiрниx р1вняннях Фоккера - Планка (9) i в^пов^них 1м рiвнянняx еволюцй:
i
де E2 = e2(x,t)p2(x,t), а e2(x,t) =—f x2p(x,x;t)dx -
p 2
щьльшсть моменту другого порядку.
Функцй ф2 та E2 в правш частиш (17) вiдомi на момент часу t - 1, що дозволяе спрогнозувати момент першого порядку на один крок вперед, тобто на момент часу t. Анало-пчно (17) отримуемо ршняння еволюцп моменпв другого, третього i т. д. порядив. Якщо тепер, незалежно в^ (16), задати на момент часу t - 1 ряд моментш e, e2, ek, то можна в^новити момент першого порядку на k - 1 кроив вперед. Виходить замкнена к^внева модель ЕЧР з пам'яттю.
Нижче наведено двокрокову схему для розв'язання задачi (16), (17), яка базуеться на явнш рiзницевоï сxемi для еволюцй за часом i стандартному шаблош л1во'1 рiзницевоï пох^нок
a : x(t) = ß0(t - 2) + (i + ßi(t - 2))x{t - i) + b22(t - 2)
+ß2(t - 2) e (x, t-i)--P2( x t -i)),
2P2(x,t -i)
(p2(x + i,t ^^^^
b: p2(x,t) = (1-fa(t - 2))<p2(x,t -1) - (p0(t - 2) +
t - 2) x( t -1))( ¡22 x + 1, t -1) -¡22 x, t -1)) + b22(t- 2),
+
-(p2{ x + 2, t-1) -2 p2{ x + 1, t-1) +
+ p2( (t -1)) -ji2(t - 2)(E( x + 1, t -1) - E( x ,t -1)), с: E (x, t) = a0(t -1) p2( x, t -1) - bl2(t - 2)( p2( x +1, t -1) --p2{ x, t -1)) + (1 -P11 -2) + ax{ t - 1))E( (t -1) + b22(t- 2)
2— x + 2't -1) - 2 E{ ( +1, t -1) + E{ x, t -1)) -
- ft2(t -2)( E2( x + 1,t -1) - E2( x , t -1)), d : x(t + 1) = a0(t) + (1 + aj(t))x(t) -bn(t)
(18)
2p}_( x, t)
(pr( x + 1t) -pr( ^t %
е : <р 1 х, ^ +1) = (1 — а,1^)) <р1х, ^) — — ( а 0(( ) + а1 (г ) х ^ ))(( х + 1, г ) — (1 ( х, ^ )) + Ь( ((О
+—<Р 1 х + 2,г) - 2(р((х +1,^) - (р((х, ^)).
На першому кроцi (р1вняння a, Ь, c) прогнозуеться швидксть хс, 11 розподiл (2 i функцiя Ё. Параметри р0, рр р2, Ь22, Ь12, що визначаються з часового ряду, вiдомi з попереднього кроку t - 2. На другому крощ прогнозують-
ся координата х та и розподiл (1. Схема (18) може бути запропонована для прогнозування на довЬльну кiлькiсть кроив вперед. При цьому кожне знайдене ршення на на-ступному крощ приеднуеться до ковзаючого вiкна вибiрки, за якою будуеться рiвняння Фоккера - Планка. Початковi умови задачi ставляться на момент початку прогнозування, а граничш умови приймаються нульовими. До функ-цй Е2 застосовуеться концепцiя на'вного прогнозу, тобто
Ё2( х, г) = Ё2( х, г — 1).
Стшисть рiшень, якi отриманi рiзницевою апроксь мацiею рiвнянь (16), (17) параболiчного виду, забезпечу-
еться за виконання умов: Ах > ^ЬцАг, Ах > ^Ь^А, де Ах, Ах - штервали дискретизаци координати i швидкость У схемi (18) Аг = 1, Ах = 1, Ах = 1, а Ь11 <<\, Ь22 <<1. Тому стшисть ршення (18) забезпечуеться автоматич-
но. У схемг (18) прогнозуеться практична частина PDF px(x,t), p2(x,t) для x e [0,1] та x e [0,1]. Частина PDF у вузлах x > 1 приймаеться ргвною нулю, тобто pl(x,t) = 0, p2(x,t) = 0.
5. Результати моделювання часового ряду. Верифг-кацгя прогнозно! моделi (18) проводилася за динамiчними рядами цгн, утвореними добовими даними торив цгнними паперами на ПФТС i дорогоцiнними металами на LBMA. Наведемо лише результати моделювання ряду дохгдностг золота, який показаний на рис. 1. Загальна кгльисть спо-стережень для цього ряду N = 1204. Обчисленг значення показника Херста для ряду прибутковостг i перших двох рiзниць склали 0,51; 0,30; 0,30. Автокореляцшш функцп до-хiдностi та перших двох ргзниць представлен на рис. 2.
ДобовГ корелограми Г значення показника Херста показують, що часовий ряд дохГдностГ е чисто випадковим з вГдсутнГстю кореляцГ! мГж рГвнями ряду. ТимчасовГ ряди перших двох ргзниць антиперсгстентнг та характеризують-ся властивгстю повернення до середнього. Середньоква-дратичне вгдхилення нормованих величин x, x, x склали 0,089; 0,091; 0,095. Тодг, вгдповгдно з оцгнкою s> 2r/n [11], прогноз фр ф2 можна гарантувати з точнгстю е « 0,1 на т = 10 крокгв вперед, якщо обсяг вибгрки буде n = 200. Кглькгсть гнтервалГв ггстограм ф:, ф2 обиралася вгдповгдно до реко-мендацгй за формулою Стерджеса k = 1 + 3.32lg n i склало k = 10. Прогнозування дохгдностг золота здгйснювалося за схемою (18) на 10 - 30 крокгв вперед. При цьому точнгсть прогнозу за критергем MAPE ( вгдносна величина помилки) не перевищила 5%.
ВИСНОВКИ
На основг методологй моделювання багатовимгрних динамгчних систем отримано таи науковг результати:
^ побудовано адаптивну двовимгрну модель не-стацгонарного ЕЧР, яка враховуе гнформацгю, що мгститься в рядах кгнцевих ргзниць. Адаптацгя моделг реалгзуеться через низку ргвнянь еволюцй числових характеристик ряду г його ргзниць в ков-зному вгкнг вибгрки; ^ отримано дворгвневу модель ЕЧР з пам'яттю для аналгзу фгнансових часових рядгв. Врахування
Автокореляцмна функц1я
миттева в1ддача
(Стандарты помилки - оц1нки б1лого шуму)
Лаг 1 Кор. -,043 СтПом ,0288 ■
2 -,037 ,0288
3 -,005 ,0288 -
4 -,020 ,0287 -—
5 +,069 ,0287 ■—
6 -,046 ,0287
7 -,034 ,0287 -
8 +,023 ,0287 -—
9 +,064 ,0287 -
10 -,038 ,0287
11 -,012 ,0287
12 -,035 ,0287 -—
13 -,001 ,0286 ._
14 -,015 ,0286
15 -,018 ,0286 0 1,0 -0,5
Автокореляцшна функц1я
перша р1зниця дохщносп
(Стандартн1 помилки - оц1нки бшого шуму)
Автокореляц1йна функц1я
друга р1зниця дох1дност1
(Стандартн1 помилки - оцшки б1лого шуму)
■ Лаг Кор. СтПом Лаг Кор. СтПом
1 -,503 ,0288 ■ ША\ — 1 -,663 ,0288
2 -,011 ,0288 ■ '1' — 2 +,152 ,0288
3 +,021 ,0288 — 3 +,034 ,0288
4 -,048 ,0288 — 4 -,070 ,0288
5 +,096 ,0287 ■ 10 — 5 +,099 ,0288
6 -,061 ,0287 ■ Р1 ----- 6 -,065 ,0287
-- 7 -,019 ,0287 ■ 1' — 7 +,005 ,0287
------- 8 +,006 ,0287 1 ■ 1 - ili — 8 -,013 ,0287
-- 9 +,070 ,0287 - |0 ■ Р! — 9 +,065 ,0287
6 10 -,061 ,0287 — 10 -,072 ,0287
11 +,022 ,0287 ......ftl. ......|Т| — 11 +,045 ,0287
------- 12 -,027 ,0287 - ili — 12 -,034 ,0287
J__ 13 +,022 ,0287 - >l< — 13 +,025 ,0287
14 -,003 ,0286 ■ ¡1! — 14 -,008 ,0287
_ 15 -,001 ,0286 ■ 1 15 +,008 ,0286
шж т
-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0
-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0
Рис. 2. Автокореляцшш функцм процеав
0
0
властивост пам'ят ЕЧР реалiзуеться через систему рiвнянь еволюцп моментiв; + отримана багатовимiрна прогнозна модель ЕЧР. Результати моделювання показують ïï практичну придатшсть для прогнозу цiнових показникш фь нансового ринку на середньостроковий перюд.
Передбачаеться, що в подальшим цi результати бу-дуть використаш при розробцi iнформацiйноï моделi при-йняття iнвестицiйних рiшень на фшансових ринках. ■
Л1ТЕРАТУРА
1. EKOHOMi4Ha енциклопедiя: у трьох томах. Т. 1. / [ред-кол. : С. В. Мочерний (вщп. ред.) та iH.]. - К. : Видавничий центр «Академiя», 2000. - 864 с.
2. Моделi i методи соцiально-економiчного прогнозу-вання : [пщручник] / В. М. Геець, Т. С. Клебанова, О. I. Черняк, В. В. 1ванов, Н. А. Дубровша, А. В. Ставицький. - Х. : ВД «1НЖЕК», 2005. - 396 с.
3. Сергеева Л. Н. Нелинейная экономика: модели и методы : монография / Л. Н. Сергеева. - Запорожье : Полиграф, 2003. - 218 с.
4. Мантенья Р. Н. Введение в эконофизику: Корреляции и сложность в фшансах / Р. Н. Мантенья, Г. Ю. Стенли ; пер.с англ. - М. : Мир, 2009. - 192 с.
5. Максишко Н. К. Моделювання економки методами дискретно!' нелшшноТ динамки : монографiя / Н. К. Максишко. -Запорiжжя : Полиграф, 2009. -415 с.
6. Вязьмин С. А. Применение вейвлет-анализа в анализе и прогнозировании финансовых рынков / С. А. Вязьмин, В. С. Ки-реев // Научная сессия МИФИ - 2004. - Том В: Экономика и управление. - С. 69 - 70.
7. Прентер Р. Р. Волновой принцип Эллиота. Ключ к пониманию рынка / Р. Р. Прентер, А. Дж. Фрост / Пер. с англ. - М. : Изд. Дом «Альпина», 2001. - 268 с.
8. Сергеева Л. Н. Современные методы анализа экономических временных рядов и построения прогнозных моделей / Л. Н. Сергеева, Н. К. Максишко // Економiчна к^ернети-ка. - 2005. - № 1-2 (31-32). - С. 73 - 79.
9. Ивахненко А. Г. Самоорганизация прогнозирующих моделей / А. Г. Ивахненко, И. А. Мюллер. - К. : Техшка, 1984. -222 с.
10. Frank D. Nonlinear Fokker-Planck equations fundamentals and applications / D. Frank. - N. J.,London: Springr-Velag, 2005. - 407 p.
11. Босов А. Д. Эмпирическое уравнение Фоккера - Планка для прогнозирования нестационарных временных рядов / А. Д. Босов, Ю. Н. Орлов // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. -2013. - № 3. - 30 с. [Электронный ресурс]. - Режим доступа : http://library.keldysh.ru/ pre print.asp?id =2013-3
12. Takens F. Detecting Strange attractors in turbulence / F. Takens // Dynamical Systems and turbulence, eds. P. Pand, L. Young. Berlin: Springer - Verlag. - P. 366 - 382.
methods of social and economic forecasting]. Kharkiv: INZhEK, 2005.
Maksyshko, N. K. Modeliuvannia ekonomiky metodamy dys-kretnoi neliniinoi dynamiky [Modeling techniques economy discrete nonlinear dynamics]. Zaporizhzhia: Polyhraf, 2009.
Mantenia, R. N., and Stenli, G. Yu. Vvedenie v ekonofiziku: Kor-reliatsii i slozhnost v finansakh [Introduction to Econophysics: Correlations and complexity in finance]. Moscow: Mir, 2009.
Prenter, R. R., and Frost, A. Dzh. Volnovoy printsip Elliota. Kliuch kponimaniiu rynka [Elliott Wave Principle. The key to understanding the market]. Moscow: Alpina, 2001.
Serheeva, L. N., and Maksyshko, N. K. "Sovremennye metody analiza ekonomicheskikh vremennykh riadov i postroenyia prog-noznykh modelei" [Modern methods of analyzing economic time series and build predictive models]. Ekonomichna kibernetyka, no. 1-2 (31-32) (2005): 73-79.
Sergeeva, L. N. Nelineynaia ekonomika: modeli i metody [Nonlinear economy: models and methods]. Zaporozhe: Poligraf, 2003.
Takens, F. "Detecting Strange attractors in turbulence" In Dynamical Systems and turbulence, 366-382. Berlin: Springer - Verlag.
Viazmin, S. A., and Kireev, V. S. "Primenenie veyvlet-analiza v analize i prognozirovanii finansovykh rynkov" [Application of wavelet analysis in analyzing and forecasting the financial markets]. In Nauchnaia sessiia MIFI. Ekonomika i upravlenie, 69-70, 2004.
Yvakhnenko, A. H., and Miuller, Y. A. Samoorganizatsiya prog-noziruiushchikh modelei [Self-organization of predictive models]. Kyiv: Tekhnika, 1984.
REFERENCES
Bosov, A. D., and Orlov, Yu. N. "Empiricheskoe uravnenie Fok-kera-Planka dlia prognozirovaniia nestatsionarnykh vremennykh ri-adov" [Empirical Fokker-Planck equation for predicting non-stationary time series]. http://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2013-3
Ekonomichna entsyklopediia [Economic Encyclopedia]. Kyiv: Akademiia, 2000.
Frank, D. Nonlinear Fokker-Planck equations fundamentals and applications. New York; London: Springr-Velag, 2005. ^^
Heets, V. M., Klebanova, T. S., and Cherniak, O. I. Modeli i ^
metody sotsialno-ekonomichnoho prohnozuvannia [Models and
