Моделирование ромбоэдрической магнитострикции в сплавах Fe-Ga Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.61 Б01: 10.14529/mmp190214

МОДЕЛИРОВАНИЕ РОМБОЭДРИЧЕСКОЙ МАГНИТОСТРИКЦИИ В СПЛАВАХ Ее-Оа

М.В. Матюнина1, М.А. Загребин12, В.В. Соколовский1, В.Д. Бучельников1

1 Челябинский государственный университет, г. Челябинск, Российская Федерация 2Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, Российская Федерация

В данной работе представлены результаты моделирования ромбоэдрической маг-нитострикции сплавов Ее-Оа в кристаллических структурах кубической симметрии, полученные при помощи теории функционала плотности. Показано, что зависимость энергии магнитокристаллической анизотропии от степени малых деформаций является убывающей функцией в диапазоне концентраций от 3,125 до 25 ат.% и меняет знак при величине деформации более 1% сплавах с содержанием Оа 15,625, 21,875 и 25 ат.%. Константа ромбоэдрической магнитострикции в диапазоне концентрации Оа 12,5 - 18,75 ат.% хорошо согласуется с экспериментальными данными.

Ключевые слова: энергия магнитокристаллической анизотропии; вычисления из первых принципов; ромбоэдрическая магнитострикция.

Введение

Многофункциональные сплавы Feioo-xGax актуальны в технике в качестве маг-нитострикционных приводов, преобразователей энергии и датчиков микроэлектромеханических систем. Величина константы тетрагональной магнитострикции А001 в слабых магнитных полях достигает двух максимумов в диапазоне концентраций Ga 0 < x < 35 ат.% [1-3]. Согласно экспериментальным данным наибольшие значения А001 обнаружены для x =19 ат.% 180 х 10-6) и x = 27 ат.% 233 х 10-6) и связаны с наличием в сплавах однородных структур A2 и D03, в то время как уменьшение А001 в области около 25 ат.% Ga связано с сосуществованием нескольких фаз [3]. В то же время, величина константы ромбоэдрической магнитострикции А111 составляет порядка ~ 8, 5 х 10 6 и ^ 40, 7х 10 6 в области пиков А001 [1,2] и является отрицательной в области x < 19 ат.% [2]. Вопросам экспериментального и теоретического изучения ромбоэдрической магнитострикции в сплавах Fe-Ga посвящено значительно меньшее количество работ, в отличие от тетрагональной магнитострикции А001. Ресторфф (Restorff) и др. [2] провели исследование влияния изменения формы образца в магнитном поле на величину тетрагональной А001 и ромбоэдрической А111 магнитострик-ций, а также на константы магнитоупругого взаимодействия b1 и b2 в сплавах Fe-X (X = Al, Ga, Ge). Искажения формы образца снижают энергию размагничивания и оказываются существенными для низких и умеренных значений магнитострикции, а также для сплавов с высокой магнитострикцией и низкими модулями упругости. Авторы также пришли к выводу, что магнитострикция и магнитоупругое взаимодействие в этих сплавах обусловлены фазовым переходом <беспорядок-порядок>. С теоретической точки зрения влияние ближайшего окружения атомов Ga в структуре D03 на величину ромбоэдрической магнитострикции представлено в работе Жанга

(Zhang) с соавторами [4]. Показано, что важную роль в определении знака Ащ играет симметрия и наличие несвязанных состояний вблизи уровня Ферми.

В данной работе проведено исследование зависимости величины ромбоэдрической магнитострикции сплавов Feioo-xGax (0 < x < 28,125 ат.%) в структурных фазах A2, D03 и L12 в зависимости от концентрации атомов Ga методом теории функционала плотности.

1. Теоретическая модель

Явление магнитострикции, связанное с изменением внешней формы магнетика при его намагничивании, оказывается существенным при рассмотрении доменной структуры и механизма намагничивания [5]. Относительная деформация образца 5l/l0 (l0 длина образца в размагниченном состоянии) обычно очень мала в области малых магнитных полей (порядка 10-5 ^ 10-6) и возрастает с ростом напряженности магнитного поля, достигая состояния насыщения при некотором значении поля. В состоянии насыщения величину 5l/10 обычно обозначают Л, и относительное изменение длины при переходе из размагниченного состояния в состояние насыщения составляет [5]:

A--I m

Л 7 |насыщения i \размагничивания • v )

l0 l0

Как и в случае магнитной анизотропии, представляющей собой явление преимущественной ориентации спонтанной намагниченности магнетика вдоль характерных для него кристаллографических осей, анизотропная магнитострикция определяется энергией спин-орбитального взаимодействия. В отсутствии магнитострикционной деформации кристалла расстояние между спинами фиксировано, и изменения внутренней энергии кристалла не происходит. При деформации образца изменяются длина и направление оси каждой спиновой пары в зависимости от направления вектора спонтанной намагниченности. Для кристаллов кубической сингонии магнитострикция может быть определена через относительное растяжение Лш (постоянная ромбоэдрической магнитострикции) и Л001 (постоянная тетрагональной магнитострикции) вдоль направлений [111] и [001] соответственно, следующим образом [5]:

51 3 I 3 1 \

Y = 2^001 ai>$ ~ з J + (cki«2/5I/32 + а2а3р2Рз + а^з/Зфз), (2)

где аг и вг - направляющие косинусы намагниченности (M) и напряжения (S) относительно одной и той же кристаллографической оси. Направляющие косинусы намагниченности определяются как a1 = sin вм cos рм, a2 = sin вм sin рм, a3 = cos вм, и напряжения в1 = sin eS cos pS, в2 = sin eS sin pS, вз = cos eS.

Оценить ромбоэдрическую магнитострикцию Л111 можно в соответствии с выражением (1) путем определения 5l/l0 при повороте вектора намагниченности от оси [111] к оси [112] при напряжении, приложенном вдоль направления [111]. На рис. 1 показаны углы р и в, определяющие направления намагниченности и напряжения. Ромбоэдрическая магнитострикция выражается следующим соотношением:

_Alll = -^ {foU~fo |ш)-_^

Рис. 1. Углы ^ и в, определяющие направление вектора намагниченности вдоль осей [111] в^) и [112] ei). Напряжение параллельно оси [111]

51 51

Величины — |ш и — | Ц2 определяются в соответствии с соотношением (2): l0 l0

611 -A

"7— I in — Ain

l0

1 = в2 = вз =

), ai — a2 — аз — 1/v3

(4)

6l\ - \ To1112" 2Am

Pi = 02 = Рз = 1/л/З, аг = а2 = 1/л/б, а3 = -2/л/б

(5)

Энергия магнитокристаллической анизотропии определяется как разность энергий с ориентацией спинов вдоль направлений [иут] и Емин в соответствии с уравнением

ЕМКА — E[uvw ] — Емин 5

(6)

где Емин - энергия системы с наиболее стабильной ориентацией спинов. Для определения ЕМКА были вычислены энергии системы в направлениях [111] и [112] в зависимости от малых искажений г при постоянном объеме. Постоянную ромбоэдрической магнитострикции Ащ в рамках теории функционала плотности непосредственно можно рассчитать с помощью следующего выражения [4]:

ЫЕмка &2

Aiii —

3d2 £палн. / d2 г

3C

(7)

44

2 dEMKA /0ч

~h = W de ' (8)

Энергия кристаллической решетки при постоянном объеме может быть разложена в ряд по степеням малых деформаций г

6 Vo 6

Еполн. (V., е) = Еполн, (Vb, 0) + V0 + у Y1 Cii£i£i + 0 (£3)' (9)

i=1 i,j = 1

где е^ - упругие константы, Еполн. (У0, 0) - полная энергия недеформированной решетки объема У0, £г и а - тензоры деформации и напряжения соответственно.

Для расчета объемного модуля В = (Сц + 2С\2)/3 и модулей С' = (Сц — С^)/2 и С44 были использованы изотропный, орторомбический и моноклинный тензоры деформации О (е), представленные ниже, с шагом деформации 1% в диапазоне -3% < 5 < 3%.

5 0 0

Di(e) = ( 0 5 0 | , D(е) = 005

50 05

V

00

0 0

52

\

i 52

Ds(e)

V

1-* ' ° 5 0 0 0 0 0

\

/

1 — б2 /

Упругие константы были определены путем аппроксимации изменения полной энергии ДЕ полиномами второго и четвертого порядков в соответствии со следующими уравнениями:

AE

9У0В 2

52 + O (54)

(10)

AE = 2VqC/52 + O (54) , (11)

AE = 2V0C4452 + O (54) . (12)

Расчеты всех необходимых характеристик были выполнены в рамках теории функционала плотности, реализованной в программном пакете VASP [6, 7]. Обменно-корреляционное взаимодействие учитывалось в приближении обобщенного градиента в формулировке Пердью, Бурка и Эрнзерхофа (Perdew, Burke and Ernzerhof) [8]. Электрон-ионное взаимодействие описывалось методом проекционно-присоединенных волн (projector-augmented wave, PAW) [7] со следующей валентной конфигурацией атомов: Fe(3p63d74s1) и Ga(3d104s24p1). Величина отсечения энергии плоских волн составляла 400 эВ. Для интегрирования по зоне Бриллюэна использовалась сетка Монхорст - Пака [9] размером 8 х 8 х 8 k-точек.

В недавней работе [10] было проведено исследование из первых принципов свойств пяти структурных состояний A2, D03, B2, L12 и D019 сплавов Fe100-xGax (x = 0 — 31, 25 ат.%). Полученная зависимость разности энергий кристаллических структур от концентрации атомов Ga показала, что наиболее устойчивыми являются фазы A2, D03 и L12. Фаза A2 энергетически выгодна в области 0 < x < 6, 25 ат.% в то время как состояние D03 устойчиво в диапазоне 6, 25 < x < 21, 875 ат.% и фаза L12 обладает наименьшей энергией в области концентрации атомов Ga 21, 875 < x < 31, 25 ат.%.

В данной работе рассмотрены следующие устойчивые структурные состояния: A2 (пространственная группа симметрии Im3m № 229, со структурой типа a-Fe) со случайно распределенными атомами Fe и Ga; D03 (пространственная группа симметрии Fm3m № 225, со структурой типа BiF3) с частично или полностью упорядоченными атомами Fe и Ga; L12 (пространственная группа симметрии Pm3m № 221, со структурой типа Cu3Au) с частично или полностью упорядоченными атомами Fe и Ga.

Моделирование было выполнено для 32-х атомных суперъячеек. Различные концентрационные конфигурации задавались путем замещения атомов одного сорта другим, при этом замена одного атома Fe/Ga соответствует изменению концентрации 3,125 ат.%. Расчетные суперъячейки показаны на рис. 2.

a)

в)

Рис. 2. Расчетные 32-атомные суперячейки Fe24Ga8 (соответствует сплаву Fe75Ga25) с кристаллическими структурами: а) A2, б) D03 и в) L12 и соответствующие им элементарные ячейки. Суперячейки получены транслированием элементарных ячеек вдоль кристаллографических осей в соответствии с формулами: 4 х 2 х 2 для фазы A2 и 2 х 2 х 2 для фаз D03 и L12

2. Результаты моделирования

На рис. 3 представлены результаты исследования энергии магнитокристалличе-ской анизотропии ЕМКА кристаллических структур A2, D03 и L12 в зависимости от степени малых деформаций г в сплавах Fe100-xGax.

Видно, что в фазе A2 для чистого железа (a-Fe, объемно-центрированная кубическая решетка) наблюдается увеличение Емка с увеличением степени искажения, и происходит смена знака с отрицательного на положительный. В дальнейшем, с увеличением концентрации атомов Ga в кристаллических структурах вплоть до x — 28,125 ат.% энергия магнитокристаллической анизотропии характеризуется отрицательным наклоном. В диапазоне концентраций 3,125 < x < 12, 5 ат.% и при x — 18, 75 ат.% ЕМКА для структур A2 и D03 является положительной. В области значений 21,875 < x < 28,125 ат.% и при x — 15,625 ат.% ЕМКА меняет знак с положительного на отрицательный при г > 1%.

На рис. 4 а) приведены результаты расчетов ромбоэдрической магнитострикции A111 в зависимости от концентрации атомов Ga. В диапазоне 0 < x < 12, 5 ат.% A111 уменьшается с увеличением содержания атомов Ga, достигая минимума при x — 12, 5 ат.%. При содержании Ga более 12, 5 ат.% в сплавах Fe100-xGax наблюдается увеличение ромбоэдрической магнитострикции в кристаллической структуре D03. Для структуры L12 магнитострикция A111 также увеличивается. В сплаве Fe71,875Ga28,125 A111 принимает положительное значение. Для сравнения на рис. 4 а) приведены экспериментальные значения A111, взятые из работы [2]. Можно отметить хорошее согласие полученных теоретических значений для фазы D03 с экспериментальными данными.

Полученные значения модуля упругости C44, представленные на рисунке 4 б) хорошо согласуются с экспериментом при концентрации атомов Ga x > 12, 5 ат.%. Имеющиеся различия могут быть объяснены тем фактом, что вычисления выполнялись при T — 0 K, в то время как экспериментальные значения получены при комнатной

О

е(%)

а)

0,45

0,30

/-ч 0'15

П

о,оо

-0,15 -0,30

1,25 1,00

И

% 0,50 0,25 0,00 -0,25

0

Е(%)

б)

в)

Рис. 3. Зависимость энергии магнитокристаллической анизотропии Емка от степени малых деформаций е в сплавах Ееюо-хСаж для кристаллических структур: а) А2, б) Б03 и в) Ь12

температуре. Кроме того, экспериментальные образцы могут быть многофазными, в то время как расчеты выполнены для случая однофазных монокристаллов.

Заключение

В настоящей работе проведено моделирование из первых принципов ромбоэдрической магнитострикции в сплавах Ее100-ХОах (0 < х < 28,125) для кристаллических структур А2, В03 и Ь12. Показано, что зависимость Емка (е) имеет отрицательный наклон в диапазоне концентраций 3,125 < х < 25 ат.% и достигает максимального значения в фазе В03 при х = 12, 5 ат.%и е = —2%. Рассчитанные значения модуля упругости имеют хорошее согласие с экспериментальными данными для сплавов с содержанием Оа х > 12, 5 ат.%. Постоянная ромбоэдрической магнитострикции Л111 в диапазоне 3,125 < х < 25 ат.% имеет отрицательные значения. При концентрации атомов Оа х = 12, 5 ат.% ромбоэдрическая магнитострикция достигает максимально-

20

10

о

X

-10

-20

■ • A2 □

- • D03

▲ ы2 i

- — □-- Эксперимент /

;

.□..........□ ^ -

5 10 15 20 Ga ( , ат.%)

25

at

К

I—I

130 125 120 115 110

Г I-

105 100 95

' / / " Ф " I 1 ! . 1 N \ ; *

_ 1 1 ■ ' • 1 - 1 # 1 К > * . V i ' > ; - A2 \ ' D03 ^ " - -- Эксперимент

0

10 15 20 Ga ( , ат.%)

25

а) б)

Рис. 4. Зависимость а) ромбоэдрической магнитострикции и б) модуля упругости сплавов Ееюо-хСах для кристаллических структур А2, В03 и Ь12 от концентрации атомов Оа

го (по модулю) значения. В фазе Ь12 при х = 28,125 ат.% Аш становится положительной. В фазе В03, полученные значения магнитострикции хорошо согласуются с экспериментальными данными

Работа проводилась при финансовой поддержке Российского научного фонда, гранты № 18-12-00283 (расчеты модулей упругости), № 17-72-20022 (расчеты ромбоэдрической магнитострикции).

Литература / References

1. Clark A.E., Hathaway K.B., Wun-Fogle M. Extraordinary Magnetoelasticity and Lattice Softening in Bcc Fe-Ga Alloys. Journal of Applied Physics, 2003, vol. 93, pp. 8621-8623. DOI: 10.1063/1.1540130

2. Restorff J.B., Wun-Fogle M., Hathaway K.B. et al. Tetragonal Magnetostriction and Magnetoelastic Coupling in Fe-Al, Fe-Ga, Fe-Ge, Fe-Si, Fe-Ga-Al, and Fe-Ga-Ge Alloys. Journal of Applied Physics, 2012, vol. 111, p. 023905. DOI: 10.1063/1.3674318

3. Qingsong Xing, Yingzhou Du, McQueeney R.J., Lograsso T.A. Structural Investigations of Fe-Ga Alloys: Phase Relations and Magnetostrictive Behavior. Acta Materialia, 2008, vol. 56, pp. 4536-4546. DOI: 10.1016/j.actamat.2008.05.011

4. Yanning Zhang, Hui Wang, Ruqian Wu. First Principles Determination of the Rhombohedral Magnetostriction of Fe100-xAlx and Fe100-xGax Alloys. Physical Review B, 2012, vol. 86, p. 224410. DOI: 10.1103/PhysRevB.86.224410

5. Chikazumi S. Physics of Ferromagnetism. New York, Oxford University Press, 1997.

6. Kresse G., Furthmuller J. Efficient Iterative Schemes for Initio Total-Energy Calculations Using a Plane-Wave Basis Set. Physical Review, 1996, vol. 54, pp. 11169-11186. DOI: 10.1103/PhysRevB.54.11169

7. Kresse G., Joubert D. From Ultrasoft Pseudopotentials to the Projector Augmented-Wave Method. Physical Review, 1999, vol. 59, pp. 1758-1775. DOI: 10.1103/PhysRevB.59.1758

8. Perdew J.P., Burke K., Enzerhof M. Generalized Gradient Approximation Made Simple.

Physical Review Letters, 1996, vol. 77, pp. 3865-3868. DOI: 10.1103/PhysRevLett.77.3865

9. Monkhorst H.J., Pack J.D. Special Points for Brillouin-Zone Integrations. Physical Review,

1976, vol. 13, pp. 5188-5192. DOI: 10.1103/PhysRevB.13.5188

10. Matyunina M.V., Zagrebin M.A., Sokolovskiy V.V., Pavlukhina O.O., Buchelnikov V.D.,

Balagurov A.M., Golovin I.S. Phase Diagram of Magnetostrictive Fe-Ga Alloys:

Insights from Theory and Experiment. Phase Transitions, 2019, vol. 92, pp. 101-116.

DOI: 10.1080/01411594.2018.1556268

Мария Викторовна Матюнина, аспирант, кафедра физики конденсированного состояния, Челябинский государственный университет (г. Челябинск, Российская Федерация), matunins.fam@mail.ru.

Михаил Александрович Загребин, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра радиофизики и электроники, Челябинский государственный университет (г. Челябинск, Российская Федерация); кафедра уравнений математической физики, Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск, Российская Федерация), miczag@mail.ru.

Владимир Владимирович Соколовский, доктор физико-математических наук, доцент, кафедра физики конденсированного состояния, Челябинский государственный университет (г. Челябинск, Российская Федерация), vsokolovsky84@mail.ru.

Василий Дмитриевич Бучельников, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой физики конденсированного состояния, Челябинский государственный университет (г. Челябинск, Российская Федерация), buche@csu.ru.

Поступила в редакцию 28 марта 2019 г.

MSC 65Z05 DOI: 10.14529/mmp190214

MODELLING OF RHOMBOHEDRAL MAGNETOSTRICTION

IN Fe-Ga ALLOYS

M.V. Matyunina1, M.A. Zagrebin1,2, V.V. Sokolovskiy1, V.D. Buchelnikov1

1 Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russian Federation

2South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation

E-mails: matunins.fam@mail.ru, miczag@mail.ru, vsokolovsky84@mail.ru, buche@csu.ru

The paper presents the results of modelling of rhombohedral magnetostriction for Fe-Ga alloys in the cubic crystal structures. The results are obtained with the help of the theory of density functional. We show that the energy of magnetic crystalline anisotropy is a decreasing function of the small deformation in the concentration range from 3,125 to 25 at.%. Magnetic crystalline anisotropy changes the sign, if the deformation is more than 1% for alloys with Ga 15,625, 21,875 and 25 at.%. Rhombohedral magnetostriction constant agrees well with the experiment results for alloys with Ga concentration at 12,5 - 18,75 at.%.

Keywords: magnetocrystalline anisotropy energy; ab intio calculations; rhobohedral magnetostriction.

Received March 28, 2019