CC BY
171
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 1. С. 145-155 Механика
УДК 004.92:621.983.31.042
Моделирование процесса вытяжки с утонением цилиндрических осесимметричных деталей
Ха Хонг Куанг
Аннотация. Проведено численное моделирование с помощью ЭВМ больших пластических деформаций при обработке металлов давлением. Представлены результаты расчета напряженно-деформированного состояния в процессе вытяжки с утонением цилиндрических осесимметричных деталей на основе лагранжевого подхода.
Ключевые слова: лагранжевый подход, метод конечных
элементов, моделирование.
Введение
Современные теоретические исследования процессов обработки металлов давлением (ОМД) в значительной степени базируются на численных методах анализа [1-3], наиболее эффективным из которых является метод конечных элементов (МКЭ) [4, 5]. Как правило, исследование технологических процессов ОМД проводится на конечно-элементных моделях, описывающих движение сплошной среды на основе подхода Лагранжа. При этом объем деформируемой заготовки разбивается на элементарные объемы, образующие сетку лагранжевых конечных элементов (КЭ), узлы которой принадлежат материалу заготовки. При деформации заготовки лагранжевы КЭ деформируются и перемещаются вместе с материалом (рис. 1, а). В этом случае разрешающие уравнения сплошной среды записываются для узлов КЭ модели. Такая постановка задачи дает преимущества в исследовании изменения параметров модели во времени. Достаточно просто, например, можно учесть в лагранжевой модели изменение физических свойств материала в процессе ОМД.
1. Лагранжевый подход
Рассмотрим уравнения, лежащие в основе лагранжевого подхода. К их числу относятся уравнения сохранения массы, количества движения
Рис. 1. Моделирование деформации сплошной среды в лагранжевой постановках МКЭ: 1 — узел лагранжевой сетки КЭ; 2 — лагранжева сетка КЭ; 3 — деформируемая среда
и внутренней энергии, а также замыкающее эту систему определяющее соотношение. Затем рассмотрим особенности пространственно-временной дискретизации, используемой в программе ЬБ-БУМЛ версии 970 при решении перечисленных уравнений.
Уравнение сохранения массы:
р + р^у (у) = 0,
где р — плотность; V — скорость.
Уравнение сохранения количества движения:
рх = рд + &у (а),
(1)
(2)
где х — ускорение; а — тензор напряжений Коши; д — ускорение свободного падения.
Уравнение сохранения энергии:
ри = а : Б + рг — Чд,
(3)
где и — скорость изменения внутренней энергии; Б — тензор деформации скорости; г — интенсивность объемного теплового источника; д — тепловой поток; V — оператор Гамильтона; «•» — скалярное произведение; «:» — двойное скалярное произведение.
В основе используемой в ЛМБУБ ЬБ-БУМЛ пространственной дискретизации лежит метод конечных элементов, в основе временной дискретизации — центральная дифференциальная схема интегрирования второго порядка точности.
Пространственная дискретизация уравнения сохранения количества движения предполагает переход от решения дифференциального уравнения (2) к решению уравнения
(рх — рд — &у (а)) Фйу
(4)
с соответствующими граничными условиями. С использованием известных процедур метода конечных элементов решение уравнения (4) сводится к решению дифференциального уравнения
Мй = + Яе, (5)
где I — вектор узловых ускорений; М — матрица масс; Яе — векторы
внутренних и внешних сил.
Пространственная дискретизация уравнения сохранения энергии предполагает переход от решения дифференциального уравнении (3) к решению уравнения
У (рй — а : Б — рг + Уд) фйь. (6)
у
С использованием известных процедур метода конечных элементов решение уравнения (6) сводится к решению дифференциального уравнения
Ме 0 = + ¥°е, (7)
где 0 — температура; М® — матрица теплоемкостей; , Я® — векторы внутренних и внешних тепловых нагрузок.
Вектор внутренних сил, который входит в уравнение (5), определяется третьим членом подынтегрального выражения (4)
ё1у (а)Фйу =1 (ап)ФйЬ — ^ а(УФ)йу, в
Я = У а(УФ)йу.
у в V
и он равен
V
Вектор ¥г получается в результате суммирования внутренних сил для всех элементов, входящих в рассматриваемую систему. Для одного элемента вектор внутренних сил определяется следующим выражением
Г = I ВТайу,
V с
где В — производная от функций формы элемента; а — вектор, составленный из шести компонентов тензора напряжений.
Вектор внешних сил Яе, который входит в дифференциальное уравнение (5), учитывает распределенные по поверхности тела нагрузки, объемные силы, такие как силы тяжести, контактные силы, реакции связей и другие силы.
Узловые ускорения могут быть определены из уравнения (5) и записаны следующим образом:
й = М -1(Яг + Яе). (8)
Использование центральной дифференциальной схемы интегрирования по времени второго порядка точности позволяет определить значения ускорений, скоростей и перемещений:
йп = М -1(Яг + Яе); йп+1 = йп-1 + ¿„Д£; йп+1 = йп + йп+1 Aí, (9)
где индексы относят искомые величины к соответствующим временным слоям.
Центральная дифференциальная схема интегрирования по времени второго порядка точности устойчива в том случае, если шаг интегрирования по времени не превышает значения
2
Д1ср = ----, (10)
^шах
где шшах — максимальная собственная частота рассматриваемой системы.
Вычисление значения шшах сопряжено со значительными вычислительными трудностями, поэтому для ее вычисления используется следующая оценка:
2с
^шах ~ Д , (11)
Дхшт
где с — скорость звука в материале; Дхшщ — минимальный характерный
размер входящих в рассматриваемую систему элементов. Скорость
деформации определяется выражением
Де = БДг, (12)
где Б — тензор деформации скорости, компоненты которого определяются по зависимости
Aj = ^ ( ^ +
1 / йуг
2 \ dxj йхг
Для учета вращения среды как абсолютно жесткого тела при вычислении тензора напряжений Коши используется коротационная производная Яуманна:
а = Ь : Б + аW — Wа, (13)
где W — тензор-спин, компоненты которого равны
= 2 (Ц+ё
Центральная дифференциальная схема интегрирования по времени второго порядка точности обладает дисперсией. Высокочастотные волны распространяются через сетку медленнее, чем скорость звука. Это создает проблему в описании распространения фронта ударных волн. Эта проблема может быть решена путем введения искусственной объемной вязкости:
д = р1(ОсВ2кк + С1аБкк), (14)
где l = V з — характерный размер элемента; р — плотность; a — скорость звука; Dkk = trace (D); C0, C\ — константы.
2. Оценка деформационной повреждаемости металлов в процессе вытяжки с утонением цилиндрических осесимметричных деталей
На развитие повреждаемости материала микродефектами оказывает сильное влияние напряженно-деформированное состояние, возникающее в процессе его обработки. При выдавливании реализуется мягкая схема напряжённого состояния с показателем напряженного состояния а < 0, с преобладающими сжимающими напряжениями. Под действием сжимающих напряжений происходит «торможение» («захлопывание») микродефектов в обрабатываемом полуфабрикате. Однако при значительных операционных деформациях может происходить интенсивный рост микропор, их объединение и образование крупных полостных дефектов. Достоверное прогнозирование повреждаемости деформируемого материала с учетом влияния показателя напряженного состояния а позволяет осуществить кинетическое уравнение. В кинетическое уравнение входит предельная степень деформации сдвига Лпр, которая является функцией показателя а. Зависимости Лпр(а), устанавливаются диаграммами пластичности, определяемыми экспериментальным путем. Экспериментальное определение диаграмм пластичности является сложной задачей, так как трудно провести испытания таким образом, чтобы в зоне разрушения можно было бы определить точно накопленную деформацию и обеспечить постоянное значение показателя а.
В.Л. Колмогоровым разработана методика определения предельной степени деформации сдвига в момент образования трещины при испытаниях на растяжение, кручение, изгиб и осадку. При решении технологических задач удобно пользоваться аналитической аппроксимацией диаграмм пластичности. Диаграммы пластичности вполне удовлетворительно аппроксимируются следующей функцией:
Лпр = X ехр(Ла), (15)
где коэффициенты X и Л определяются методом наименьших квадратов и зависят от химического состава и структуры металла.
В настоящие время из современной физической концепции повреждаемости, связанной с пластическим разрыхлением металла (пластической дилатансией ец). С моментом образования макротрещины связывается достижение величиной пластического разрыхления критического значения ецкр, зависящего от условий деформирования, структуры и химического состава металла. Приведенные представления позволяют ввести меру
повреждаемости и следующим дифференциальным соотношением:
¿е ■ ■
¿и = , (16)
еггкр
где ¿и — приращение характеристики повреждаемости материала в
л ДК- ДР0
результате приращения аегг пластического разрыхления; = —дро—0
разрыхление металла; АУо = АУМо + АУко — начальный объем металла,
который складывается из начального объема металла — АУМо и начальный
объем микропор — АУпо; АУк = АУМк + АУпк — конечный объем металла,
который складывается из конечного объема металла — АУМк и конечного
объема микропор — АУпк; еггкр — критическая дилатансия.
Мера поврежденности и за путь нагружения 5 находится интегрированием дифференциального уравнения (16)
и = / . (17)
J егг кр
Величина поврежденности находится в диапазоне 0 ^ и ^ 1, где значение и = 1 соответствует моменту разрушения. Экспериментальные исследования показали, что существует стадия образования микродефектов, когда поврежденность, полученная при деформировании, оказывает заметное влияние на эксплуатационные характеристики изделий (усталостное разрушение, несущую способность, жесткость конструкции).
В современных инженерных расчетах при решении технологических задач пользуются степенной зависимостью между пластическим разрыхлением егг и накапливаемой деформацией Л (рис.2.) [7].
Степенная модель пластического разрыхления имеет следующий вид:
ец = ЬЛа, (18)
где Ь — модуль, а — степенной показатель пластического разрыхления.
В зависимости от величины степенного показателя различают: линейную модель (а = 1) и нелинейную модель (а < 1) для процессов с мягкой схемой напряженного состояния. Согласно степенной зависимости (18) предельная степень деформации Лпр связана с критической величиной пластического разрыхления еггкр соотношением
еггкр = ЬЛПр, (19)
а приращение пластического разрыхления
аегг = ЬаЛа-1 ¿Л. (20)
Подставляя величины еггкр и dегг из зависимостей (17) и (18) в
дифференциальное соотношение для меры повреждаемости (15), получаем
аЛа- 1
аи = —к— ал (21)
Лапр
пр
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
ж
/ / / / / /
/ / / / / / ' / / / / / / /
/ / / / > ' / / / уА.— V
1 // / У / уу у, ///V /// у/ • О \з
Лк г / О1^ //
Рис. 2. Зависимость величины пластического разрыхления ец от степени деформации сдвига Л малоуглеродистой конструкционной стали с
содержанием углерода, %: 1) 0,07 - 0,14; 2) 0,17 - 0,24; 3) 0,27 - 0,35;-
— линейная модель зависимости;---------степенная модель зависимости
или в интегральной форме
и =
л
/
аЛа
-1
Ла
^пр
1.Л =
Ла
пр
(22)
где Лпр = Лпр(а) устанавливается по диаграмме пластичности.
Проведем анализ повреждаемости материала при вытяжке с утонением стенки полой осесимметричной цилиндрической детали. При вытяжке реализуется жесткая схема напряженного состояния с преобладающим действием меридиональных растягивающих напряжений, при которой показатель напряженного состояния а = а/Т > 0, где Т — интенсивность касательных напряжений [8]. Под действием растягивающих меридиональных напряжений происходит интенсивное развитие («раскрытие») микротрещин в окружном направлении обрабатываемого полуфабриката.
3. Моделирование процесса вытяжки с утонением в программе ANSYS LY-DYNA
Параметры моделирования следующие: тип элемента — Solid 164, модель материала: для заготовки — билинейная изотропная модель (*MAT_PLASTIC_KINEMATIC) (табл.). Пуассон и матрица задавались как абсолютно жесткие (Rigid) тела, тип элемента Solid 164. Тип контактного элемента: заготовка — пуассон - Forming surface - to - surface contact (FSTS), заготовка — матрица - Automatic surface - to - surface contact (ASTS).
Таблица 1
Характеристики материала заготовки (сталь 08 кп)
Плотность, кг/м3 7850 a 1,45
Модуль Юнга, Па 2е11 b 0,605
Коэффициент Пуассона 0,3 X 3,550
Предел текучести, Па 250e6 Л -0,546
Касательный модуль, Па 420e6
^ 0,99
V J
011,01
Рис. 3. Полуфабрикат в процессе вытяжки с утонением
Результаты расчета
Построение значений напряженно-деформированного состояния, распределения значений накопленной степени деформации сдвига Л, предельной пластичности Лр и накопленной поврежденности в заготовке в тот же момент времени (TIME = 0, 002s). При построении данных графиков использован макрос, написанный на языке APDL. Соответствующие распределения представлены на рис. 5 и 6.
Рис
. 4. Конечно-элементная модель вытяжки: 1 — пуансон; 2 — матрица;
3 — заготовка
Рис. 5. Распределение значений напряженно-деформированного состояния в заготовке
Рис. 6. Распределение накопленной поврежденности в заготовке
Заключение
Разработана АМБУБ-модель процесса вытяжки с утонением, произведен расчет напряженно-деформированного состояния, а также накопленной
поврежденности металла. При проведении расчетов применялись пользовательские процедуры для расчета накопленной поврежденности и построения образа упругопластического процесса, реализованные в виде макросов.
Список литературы
1. Малинин Н.Н. Технологические задачи пластичности и ползучести. М.: Высшая школа, 1979. 118 с.
2. Целиков А.И., Белянинов В.К., Калмыков В.В. Объемные задачи теории прокатки // Машины и агрегаты металлургического производства. Труды МВТУ. 1984. №412. С. 8-24.
3. Калмыков В.В., Ананьев И.Н., Байрамов О.Ф. Расчет энергосиловых параметров и формоизменения при прокатке в черновых клетях широкополосных станов методом конечных элементов // Машины и агрегаты металлургического производства. Труды МВТУ. 1984. №412. С. 57-67.
4. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 542 с.
5. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. 480 с.
6. Муйземнек А.Ю., Богач А.А. Математическое моделирование процессов удара и взрыва в прогрмме LS-Dyna: учебное пособие. Пенза: ПГУ, 2005. 106 с.
7. Кулешова Н. В. Прогнозирование деформационной повреждаемости металлов при вытяжке с утонением цилиндрических осесимметричных деталей // Вестник машиностроения. 2007. №12. С.73-76.
8. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. 312 с.
Ха Хонг Куанг (hhq82vn@mail.ru), аспирант, кафедра стрелковопушечного вооружения, Тульский государственный университет.
The modeling process extension of axisymmetric hollow cylinders, with thinning of the wall
Ha Hong Quang
Abstract. There are considered the suggestions on computer-aided numerical simulation of large plastic deformations. The results of the calculation of the stress-strain state in process extension of axisymmetric hollow cylinders, with thinning of the wall on the Lagrangian approach.
Keywords: lagrangian approach, finite-elements method, modeling.
Ha Hong Quang (hhq82vn@mail.ru), postgraduate student, department of small arms and cannon armament, Tula State University.
Поступила 10.01.2011
