CC BY
8
УДК 004.6(31)
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА РАЗЛОЖЕНИЯ КВАДРАТНОЙ
ФУНКЦИИ В РЯД ФУРЬЕ
Н.С. Азимов
Приведено математическое моделирование разложения квадратной функции в тригонометрический ряд. Составлена программа для вычисления коэффгщиентов Фурье для любых квадратных функций в произвольном интервале. Результат работы позволит применить данную программу при решении многих технических задач.
Ключевые слова: квадратная функция, тригонометрический ряд, ряд Фурье, коэффгщиенты Фурье, моделирование, периодичность, интервал.
Для повышения качества образования важную роль играет математическое моделирование процессов.
В данной статье приведено математическое моделирование процесса разложения квадратной функции в тригонометрический ряд, т.е. в ряд Фурье.
Известно, что любую периодическую функцию с периодом 211 можно разложить в ряд Фурье [1]:
/О) = у + (ак со+
Для разложения периодической функции в ряд Фурье достаточно найти значение коэффициентов разложения, т.е. коэффициентов Фурье.
В данной работе содержится программное вычисление коэффициентов Фурье при любых значениях коэффициентов квадратной функции у = Ах2 + Вх + С.
Программа создана на языке программирования VB.NET [2].
Приведем общий вид программы (рис. 1).
■И Ряд Фурье - X
аШ вп СО !_□ К\и
Рис. 1. Общий вид программы
Для получения разложения функции в ряд Фурье в данном интервале с помощью этой программы достаточно задать коэффициенты квадратной функции и данный интервал в соответствующие ячейки. Задавая значение К в указанную ячейку, получим количество членов разложения.
189
После ввода коэффициентов, нажимая кнопку «Вычислить» получим разложение данной функции в ряд.
Например, разложим функцию у = х2 в ряд Фурье в интервале
(-1; !)•
Введем в программу А=1, В=0, С=0, Ь=1 и К=4 и нажимаем кнопку «Вычислить» и получим разложение данной функции в ряд, содержащий четыре членов (рис. 2).
"9 Ряд Фурье - X
АГП вй си Iки
Вычислить |
АО = 0,6667 Ак = 0,0253 Вк = О
х2 = 0,3333+ (-0,4053Соз(3,1416)х+ 0,101 ЗСоэ(6,2832)х+ -0,045Соэ(9,4248)х+ 0,0253Соэ( 12,5664)х)
Рис. 2. Результат вычисления
Отметим, что после задавания коэффициентов квадратной функции в ячейки программа вычисляет значения каждых из коэффициентов разложения и выводит готовое разложение заданной функции, содержащее указанное количество членов разложения.
Приводим код вычисления коэффициентов Фурье для разложения квадратной функции в тригонометрический ряд.
Код программы:
Private Sub Buttonl_Click(sender As Object, e As EventArgs) Handles Button 1. Click
Dim a, b, с, k, 1 As Double Dim a_0, a_k, b_k As Double Dim k cos, k sin As Double Dim A text, B text, C text As String
If Not IsNumeric(TextBoxl.Text) Or Not IsNumer-ic(TextBox2.Text) Or _
Not IsNumeric(TextBox3.Text) Or Not IsNumer-ic(TextBox4 .Text) Or _
Not IsNumeric(TextBox5.Text) Then MsgBox("HeBepHbifi ввод данных!") Exit Sub End If
a = Double.Parse(TextBoxl.Text) b = Double.Parse(TextBox2.Text)
190
c = Double.Parse(TextBox5.Text) l = Double.Parse(TextBox3.Text) k = Double.Parse(TextBox4.Text) Label6.Text = "" If a < 0 Or a > 1 Then
A_text = a & "x" & ChrW(&HB2) ElseIf a = 1 Then
A_text = "x" & ChrW(&HB2) Else
MsgBox("Коэффициент А не должен равнятся нулю!") Exit Sub End If
If b < -1 Or b > 1 Then
B_text = b & "x" ElseIf b = 1 Then
B_text = "x" Else
B_text = "" End If
If c < 0 Or c > 0 Then
C_text = c Else
C_text = "" End If
a_0 = Math.Round(2 * (a * Math.Pow(l, 2) / 3 + c), 4) a_k = Math.Round((Math.Pow(-1, k) * 4 * a * Math.Pow(l, 2)) / (Math.Pow(k, 2) * Math.Pow(Math.PI, 2)), 4)
b_k = Math.Round((Math.Pow(-1, k + 1) * 2 * b * l) / (k *
Math.PI), 4)
Label5.Text = "A0 = " & a_0 & vbCrLf & "Ak = " & a_k & vbCrLf & "Bk = " & b_k
Label6.Text = A_text If b < 0 Then
Label6.Text = Label6.Text & B_text ElseIf b > 0 Then
Label6.Text = Label6.Text & "+" & B_text End If If c < 0 Then
Label6.Text = Label6.Text & C_text ElseIf c > 0 Then
Label6.Text = Label6.Text & "+" & C_text End If
Label6.Text = Label6.Text & " = " & Math.Round((a * Math.Pow(l, 2) / 3) + c, 4) & "+" & vbCrLf & "(" For i = 1 To k
k_cos = Math.Round((Math.Pow(-1, i) * 4 * a * Math.Pow(l, 2)) / (Math.Pow(i, 2) * Math.Pow(Math.PI, 2)), 4)
k_sin = Math.Round(2 * b * l / (i * Math.PI), 4) If k_cos <> 0 Then Label6.Text = Label6.Text & k_cos & "Cos(" & Math.Round(i
* Math.PI / l, 4) & ")x"
End If
If k_sin <> 0 Then If i Mod 2 = 1 Then
Label6.Text = Label6.Text & "+" Else
Label6.Text = Label6.Text & "-" End If
Label6.Text = Label6.Text & k_sin & "Sin(" & Math.Round(i
* Math.PI / l, 4) & ")x"
End If
If i < k Then Label6.Text = Label6.Text & "+" & vbCrLf Next
Label6.Text = Label6.Text & ")" End Sub
Данная программа позволит в короткое время получить разложение линейной функции в тригонометрический ряд. Удобно применять данную программу для проверки самостоятельной работы студентов и проверки правильности решения ими задач. Программа может быть применена для решения задач электротехники, электроники и других технических дисциплин. Может быть применена для дистанционной формы обучения.
Список литературы
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1978. Т. II. 576 с.
2. Дейтел Х.М., Дейтел П.Дж. Как программировать на Visual Basic.NET: Книга 1. Основы программирования. М.: ООО «Бином-Пресс» 2003. 768 с.
Азимов Наби Саидович, старший преподаватель, azimov-nabi@mail. ru, Таджикистан, Худжанд, Худжандский политехнический институт таджикского техничесого университета имени академика М. С. Осими
MODELING THE PROCESS OF DECOMPOSITION OF A SQUARE FUNCTION INTO
A FOURIER SRIES
N.S. Azimov
This paper presents a mathematical simulation of the decomposition of a square function into a trigonometric series. The program for calculation of Fourier coefficients for any square functions in an arbitrary interval is made. The result of the work will allow to apply this program in solving many technical problems.
192
Key words: square function, trigonometric series, Fourier series, Fourier coefficients, modeling, periodicity, interval.
Azimov Nabi Saidovich, senior lecturer, azimov-nabi@mail. ru, Tajikistan, Khujand, Khujand Polytechnic Institute of the Tajik Technical University named after academician M.S. Osimi
УДК 519.8
КОЭФФИЦИЕНТ И ОЦЕНИВАНИЕ СБАЛАНСИРОВАННОСТИ ИНТЕНСИВНОСТЕЙ ПЕРЕХОДОВ МЕЖДУ СОСТОЯНИЯМИ СИСТЕМЫ В ДИФФУЗНЫХ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССАХ
Е.П. Минаков, М.А. Александров, В.В. Кравцов
Рассматривается оценивание сбалансированности интенсивностей вероятностей переходов между состояниями системы, а также вводится коэффициент сбалансированности системы по интенсивностям вероятностей переходов. Приведены примеры оценивания коэффициентов сбалансированности интенсивностей вероятностей переходов между состояниями процессов.
Ключевые слова: оценивание сбалансированности, коэффициент сбалансированности системы.
Для моделирования функционирования технических и организационно-технических систем широкое применение нашел математический аппарат теории диффузных (непрерывных) марковских процессов. Подход к прогнозированию и оцениванию вероятностей наступления случайных событий в нем базируется на способе, разработанном А.Н. Колмогоровым и состоит в применении графовых и дифференциальных моделей, одной из основных характеристик которых являются интенсивности изменения вероятностей переходов между состояниями процессов функционирования систем. При этом в работах отсутствуют указания на то, как задавать эти интенсивности, для чего, как правило, их значения определяются либо эмпирически, либо путем вербальных рассуждений.
Одновременно с этим оценивание прогнозных вероятностей нахождения процессов функционирования систем в возможных (случайных) состояниях при определении их с использованием непрерывных марковских моделей показывает на отсутствие взаимно однозначного соответствия в изменении указанных вероятностей и этих интенсивностей.
Совокупность указанных обстоятельств делает актуальным решение задачи поиска значений интенсивностей изменения вероятностей переходов между состояниями в диффузных марковских моделях и, в частности, поиска их оптимальных значений, обеспечивающих максимальные значения некоторых (определенных) вероятностей состояний процесса функционирования систем.
