Расчет установившегося периодического режима в нелинейных нестационарных электрических цепях на основе анализа взаимодействия дифференциальных и гармонических спектров реакций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теория сигналов

удк 621.3.049

Ю. А. Бычков, А. Ю. Хаймин

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет

"ЛЭТИ" С. В. Щербаков

Псковский государственный политехнический институт

Расчет установившегося периодического режима в нелинейных нестационарных электрических цепях на основе анализа взаимодействия дифференциальных и гармонических спектров реакций

Предлагается процедура расчета установившихся периодических режимов в нелинейных нестационарных электрических цепях. Процедура основана на аналитически-численном методе расчета динамических систем. Приведен пример такого расчета.

Нелинейные нестационарные цепи, уравнения динамики, шаг расчета, ряд Тейлора, ряд Фурье

Периодические режимы являются рабочими для широкого класса электротехнических систем, что и обусловливает актуальность задачи управления ими [1], [2].

Исследованием периодических режимов занимались многие ученые - А. Пуанкаре, Б. Ван-дер-Поль, А. Н. Крылов и др. Развитие классической теории колебаний привело к созданию многочисленных методов расчета периодических режимов. В зависимости от формы описания уравнения динамики цепи и способа получения его решения эти методы условно можно разделить на точные и приближенные. К группе точных методов относятся топологические, основанные на изучении фазового пространства. С помощью таких методов решен ряд конкретных задач, связанных с анализом периодических режимов в автономных электрических цепях. Однако данные методы в силу своей применимости только для узкого класса цепей широкого распространения не получили.

При практических исследованиях более широкое распространение получили приближенные методы [3]*. Основное достоинство приближенных методов состоит в их достаточно высокой степени формализации. Вместе с тем, используя эти методы, исследователь сталкивается с рядом дополнительных проблем, связанных с исследованием сущест-

* Особое место среди них занимает метод гармонической линеаризации, предложенный Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым.

16 © Ю. А. Бычков, А. Ю. Хаймин, С. В. Щербаков, 2005

вования и единственности искомых решений, а также с оценкой погрешностей расчета приближенных периодических решений.

В классе приближенных решений установившиеся режимы зависят от предначаль-ных условий. Так как исследуемые нелинейные нестационарные электрические цепи в общем случае не обладают свойством конвергентности, то при различных предначальных условиях в цепи устанавливаются различные по характеру режимы. С учетом этого обстоятельства расчет установившегося режима в общем случае в отрыве от предначальных условий невозможен [3]. Рассчитывая нелинейную нестационарную электрическую цепь при заданных предначальных условиях каким-либо численным методом, исследователь может с некоторой степенью вероятности определить факт установления периодического режима, например по устойчивой повторяемости характера поведения реакций исследуемой цепи [4], [5]. Если выбранный численный метод обладает строгой верхней оценкой абсолютной полной погрешности расчета, то исследователь может дополнительно получить информацию о верхней ю5ир и нижней ю^ оценках неизвестного точного значения

частоты ю искомого периодического решения.

Многошаговый расчет установившегося периодического процесса с увеличением номера шага приводит к снижению достоверности получаемой информации вследствие накопления погрешности расчета. Важно также заметить, что для получения периодического решения уравнения динамики наиболее целесообразно его описание не на каждом шаге расчета, а сразу на всем периоде, причем с помощью рядов Фурье. С учетом этого актуальна задача построения процедуры расчета установившегося периодического режима, с одной стороны, на основе расчетной схемы численного метода, а с другой - с возможностью последующего описания данного решения на периоде рядом Фурье.

В качестве основы для формируемой процедуры расчета выберем, например аналитически-численный метод, имеющий следующие необходимые свойства:

• наличие строгой оценки локальной и полной погрешностей расчета;

• обладание адаптивной процедурой выбора шага расчета [4].

Краткое описание аналитически-численного метода. В общем случае динамику нелинейных нестационарных электрических цепей описывает следующее интегрально-дифференциальное уравнение:

А (б [X (г)]} = а (б [/(г)]} + н (X, /, г), (1)

где А - квадратная матрица порядка Ь с полиномиальными элементами; С - прямоугольная матрица с полиномиальными элементами; Б - оператор обобщенного дифференцирования по г; х (г) и / (г) - матрицы-столбцы реакций цепи и приложенных к ней внешних воздействий соответственно; Н (х, /, г) - матрица-столбец, строки которой

представляют собой суммы членов, в общем случае образованных произведениями времени, переменных во времени коэффициентов, реакций, воздействий, их обобщенных производных любого порядка в произвольных дробно-рациональных степенях, а также

интегралов от 0- до г любой кратности от указанных типов произведений.

При решении уравнения (1) с помощью аналитически-численного метода сначала унифицируют описание нелинейных свойств данного уравнения к виду, пригодному для последующих преобразований. Для этого регулярные составляющие искомых решений формально описывают степенными рядами с последующей подстановкой их в матрицу не-линейностей Н (х, /, 1). В указанном случае произвольное описание нелинейной части

Н (х, /, 1) уравнения (1) изменяется на унифицированное описание по целым степеням

времени I Подвергнув полученное уравнение преобразованию Лапласа, формируют изображения искомых реакций цепи. Для перевода изображения искомого решения во временную область его раскладывают в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.

Переводом правильной части ряда Лорана во временную область обусловливается получение описания регулярной составляющей искомого решения XI(;), / е [1, Ь] в виде степенного ряда

где Я/ I - коэффициенты степенного ряда в точках разложения с абсциссами 1 = ^, ^ е [0, Ти ]; Ти - заданный интервал исследования.

Далее выбирают шаг расчета И на основе исследований сходимости числовых мажорант степенных рядов для регулярных составляющих искомых решений хг (1), г = 1, 2, ..., Ь.

На практике ряд Тейлора (2) при t = И ограничивают полиномом Тейлора

где ¡/ - порядок полинома Тейлора, определяемый заданным уровнем 8/ (И) предельной абсолютной локальной погрешности расчета [4].

Как следует из изложенного, регулярную составляющую решения х/ (;) на каждом шаге расчета И можно вычислить только с локальной погрешностью Ъх/ (И, ¡/), обусловленной заменой ряда Тейлора (2) полиномом порядка ¡/. Так как процедура решения уравнения (1) аналитически-численным методом носит многошаговый характер, то имеет место накопление погрешности расчета 5х/ (V, ¡1). Для вычисления верхней оценки

| Ах/ (1, ¡/ )| абсолютной полной погрешности расчета в работе [4] получены необходимые формулы. Знание верхней оценки позволяет в любой момент времени t = ^, ^ е [0, ТИ ] построить область, содержащую неизвестное точное значение х/ (^) искомого периодического решения х/ (;). Указанная область описывается двойным неравенством

(2)

(3)

i=0

xi (h > h)- \Axi (tk, h )| ^ xi (h) ^ xi (h > h)+1 ¿x (h > h )|

(4)

Располагая двойным неравенством (4), с учетом свойства повторяемости можно определить необходимый для последующих построений временной интервал, содержащий неизвестное точное значение периода Т искомого периодического решения x (t) = xi (t + Т). Указанный временной интервал описывается двойным неравенством

Ti.inf - Tl - Ti.sup, (5)

где Ti if Ti sup - нижняя и верхняя оценки неизвестного точного значения T периода

искомого периодического решения соответственно.

Тогда верхняя ®isup и нижняя roi^f оценки неизвестного точного значения частоты искомого периодического решения:

®l.inf - ®l - ®l.sup, (6)

где ®l.inf = 2VTl.sup ; ®l = 2п/Tl ; ®l.sup = 2п/Ti.inf •

Итак, на каждом шаге расчета в пределах интервала исследования [0,ТИ ] могут быть вычислены коэффициенты Яц ряда Тейлора (2) для искомого периодического решения xi (t), построены области (4), и для этого решения определены соотношения (5), (6).

Вывод необходимых соотношений. Построение области (4) на каждом шаге расчета возможно, по определению, до тех пор, пока существует искомое периодическое решение уравнения (1). Существующее периодическое решение, как известно [6], можно описать сходящимся тригонометрическим рядом, являющимся рядом Фурье для этого решения:

да

xi (t) = Ai.0 + Z Ai.m sin (m^it + ai.m ) , (7)

m=1

где Аю - постоянная составляющая; Aim, a¡m - амплитуда и начальная фаза т-й гармоники. Взаимосвязь между описаниями (2) и (7) очевидна:

ж

Ri.0 = Ai.0 + X Ai.m sin (m(dit + ai.m ) ;

m=1

t=ts

да

Rl.i = E Al.m (m®l) sin (m^lt + alm + inl2)

m=1

(8)

i e N,

t=t

где ts - дискретный момент времени в рамках периода Т/ искомого периодического решения X/ и), ts е [1, Т ]; N - множество всех натуральных чисел.

Знание коэффициентов ряда Тейлора (2) позволяет ввести в рассмотрение функции У/к ^):

У/к (0 = -Ъш/Ък ; к = 0, 1, 2, ...; I е [0,Т]. (9)

Как будет показано далее, функции У1 к 0) отражают взаимосвязь имеющегося дифференциального спектра Яц, / = 0, 1, 2, ..., и формируемого амплитудно-фазового спектра А/т, а/ т, т = 0, 1, 2, ..., для искомого периодического решения XI0).

Первый случай. Для исследования характера указанной ранее взаимосвязи рассмотрим сначала случай, когда искомое периодическое решение х/ (;) = х/ (; + Т) уравнения (1) в своем описании содержит ограниченное количество гармоник М/ ряда Фурье (7), т. е. описывается тригонометрическим многочленом

м1

х/ (1) = х/ (t,М/) = А0 + Е Аш ^ (+ Щ.ш ) . (10)

ш=1

Для функций (9), соответствующих искомому периодическому решению, описываемому тригонометрическим многочленом (10), характерны следующие особенности.

Функции у/ к (;) с малыми значениями порядкового номера к (к < 10) имеют, как правило, нерегулярный характер поведения в рамках рассматриваемого временного интервала 1 е [0, Т ]. С увеличением значений порядкового номера к (к > 10) начинает проявляться вполне определенная закономерность поведения. При М/ = 1 и к е N функции

(9) вырождаются в прямые линии, параллельные оси абсцисс. Для М/ = 2 функции у/к (1) при к > 6 имеют интервалы постоянства значений, разделенные разрывами второго рода, причем количество этих интервалов равно четырем. Для М1 = 3 число интервалов постоянства значений функции у/ к (1) при к > 11 равно шести и они также разделены разрывами второго рода. В общем случае при ш = М1 число таких интервалов, разделенных разрывами второго рода, на периоде Т/ искомого решения х/ (1) равно 2М/. Таким образом, для искомого периодического решения, описываемого тригонометрическим многочленом

(10), функции у/ к (1) всегда имеют интервалы постоянства значений, разделенные разрывами второго рода. Важно отметить, что длительность указанных интервалов с увеличением значения М1 в описании (10) уменьшается с одновременным возрастанием их количества в рамках периода искомого решения.

Итак, для функции (9) между разрывами второго рода, начиная с некоторого к = К, имеют место временные интервалы, на которых выполняются соотношения

У/.к О) = У/.к+2 (1) = м*; 1 е (1„, 1п +1); к > К; п е \ъ\, (11)

где 1п, 1п +1 - абсциссы точек разрыва второго рода для функций у/к (1); Z - множество всех целых чисел.

Важно отметить, что с ростом порядкового номера к длительность временных интервалов, в рамках которых выполняются соотношения (11), увеличивается.

Численное значение м/, определяемое первым равенством в (11), для периодического решения х/ (1) = х/ (1 + Т/), описываемого тригонометрическим многочленом (10), находится следующим образом:

м = Ит [у/.к)]= Ит (- К/.к+2 /К/.к ) =

к ^да к ^да

lim

к ^да

lim

к ^да

M,

S Al-m (m((l )к+2 sin [m((lt + аlm + (к + 2) ( V2)] m=1

M,

S Al.m (m((l )к sin \_m((lt + аlm + (кV2)] m=1

к+2'.

= (Ml( )2-

(Ml( l)

(Ml l)

к

(12)

Существование и численное значение предела (12) являются важными характеристиками искомого периодического решения. Прежде всего, результат (12) указывает на то, что искомое периодическое решение действительно может быть описано тригонометрическим многочленом (10), а повторяемость особенностей поведения характеристик у/к (V), к = 0, 1, 2, ..., на периодах указывает на устойчивость этого периодического решения X/0) = XI (V + Т/). Увеличение значения порядка тригонометрического многочлена (10) М1 приводит к тому, что выполнение условий (11) начинается при более высоком значении к = К, т. е. для определения предела (12) необходимо построение функций у1 к (V) с более высокими значениями порядкового номера к .

Знание предела м>* и оценочного соотношения (6) позволяет определить количество гармоник М/, необходимых для описания периодического решения уравнения (1) тригонометрическим многочленом (10). Из соотношения (12) с учетом (6) следует

М1 =»/.0, (13) где ш/ 0 - приближенное значение частоты ш/, принадлежащее диапазону ^ю/ ^ ,ю/ 5ир J.

Если количество гармоник М/, полученное согласно (13), окажется дробным, то необходимо округлить результат в большую сторону. Далее, зная приближенное значение частоты ш/0 периодической реакции цепи и располагая результатом (13), на основе соотношения (8) формируют 2М/ +1 уравнений, необходимых для нахождения амплитуд А/ т и начальных фаз а/т (т = 0, 1, ..., М/), входящих в описание этой реакции тригонометрическим многочленом (10). Указанная система имеет вид

Rl.0 = Al.0 + Z Al.m sin (m^lt + alm )

m=1

t=t„

Rli = Z Al.m (m™l) sin (malt + alm + inl2)

m=1

(14)

i e1, 2,

M,

t=t„

где ts - дискретный момент времени соответствующего временного интервала , 1п], п е N, в пределах которого выполняются соотношения (11).

Решив сформированную систему уравнений (14), вычисляют искомые значения амплитуд А/ш и начальных фаз а/ш (ш = 0, 1, ..., М1) описания (10).

Проверочным этапом полученных результатов А0ш, Агш, агш, г = 1, 2, ..., Ь , ш е [1,М/ ] является построение функций (9), сформированных сначала на основе описания

(2), а затем на основе последовательного дифференцирования полученного решения в виде тригонометрического многочлена (10). При несовпадении интервалов времени, где выполняются соотношения (11), необходимо выбрать другое приближенное значение частоты ш/1 из диапазона / ^ ,ю/ 5ир J и процедуру расчета повторить заново, начиная с вычисления количества гармоник согласно выражению (13). Индикатором направленной корректировки приближенного значения частоты, выбранного из найденного диапазона, служит условие совпадения указанных ранее изображений, построенных на двух периодах. В случае неправильного изменения приближенного значения частоты временные интервалы, где выполняются соотношения (11), будут расходиться, начиная со второго периода.

Если в указанных ранее изображениях совпадение количества интервалов постоянства функций (9) на периоде отсутствует, необходимо изменить число гармоник М/ в описании (10) искомого периодического решения на единицу и повторить процедуру расчета, начиная с формирования системы (14). Данную итерационную процедуру повторяют до тех пор, пока амплитуда вновь добавленной гармоники не будет равна нулю.

Необходимо отметить, что полученное описание искомого периодического решения уравнения (1) в виде тригонометрического многочлена на основе системы (14) справедливо на всем периоде, причем данное описание одно и то же в независимости как от выбранного интервала \1п, 1п+1 ], п е постоянства значений функций (9), так и от выбранного значения 1 = в рамках этого интервала.

Второй случай. Рассмотрим случай, когда искомое периодическое решение содержит в своем описании бесконечное количество гармоник, т. е. описывается рядом Фурье (7). В этом случае длительности временных интервалов, в рамках которых выполняются условия (11), сходятся к нулю, а сами интервалы вырождаются в точки.

Как показали результаты исследования, при таком описании периодического решения функции (9) имеют локальные максимумы и минимумы, значения которых меняются с изменением порядкового номера к . Последние могут как совпадать по времени, так и иметь значительный временной разброс.

Для реализации расчета моменты времени, соответствующие локальным максимумам и минимумам функций (9), принимают в качестве дискретных моментов времени 1 = , для которых формируют системы уравнений (14). Если количество таких максимумов и минимумов на периоде достаточно велико, приходится использовать каждое из значений 1 = . Полученное при этом описание искомого периодического решения

х/ ) = х/ (1 + Т/) будет состоять из композиции тригонометрических многочленов (10),

каждый из которых будет описывать решение на определенном временном интервале: 22

V V

xl(t) Z xi (Mi.v)=Z

V=1 V=1

M.

l.v

Al.0.v + Z Al.m.v sin (m®lt + «i. m.v )

m=1

$1 (t - tv ) S2 (-t + tv+1), (15)

где V - количество участков описания искомого периодического решения на периоде; V -номер временного интервала, в пределах которого справедливо описание искомого периодического решения тригонометрическим многочленом (10) при М1 = М/ у.

Для того чтобы определить, в течение какого интервала времени справедливо описание х/ (1,М^), уе [1^] искомого периодического решения х/ (1), необходимо сравнить приближенное решение (3), полученное с помощью численного метода, и решение х/ (1,М/у), описываемое тригонометрическим многочленом (10), при М/ = М/у. В результате сравнения определяют абсолютную разность в/у (1), V е [1, V] этих решений:

е1у (0 = |х/ (1,11) - х/ (1,М1у ) . (16)

На основе полученных разностей (16) строят диаграмму сопряжения при V = 1, 2, ..., V, в рамках которой согласуют полученные разности в1 у (1) с заданным предельным уровнем е* (Т/) погрешности описания приближенного решения х/ (1,1/) композицией тригонометрических многочленов (15). Условие согласования описывается неравенством

в/у (1) <е* (Т/), 1 е [0, Т ]. (17)

Если построенная диаграмма сопряжения с полученным количеством гармоник М/ у не удовлетворяет требованиям неравенства (17), то количество гармоник увеличивают на единицу (М/ у = М/ у +1) и процедуру расчета повторяют. Таким образом действуют до

тех пор, пока не будет получен результат, отвечающий условию (17). Проверочным этапом полученных результатов являются построения функций (9), сформированных для искомого решения х/ (1), сначала на основе описания (2), а затем на основе описания (15). При несовпадении абсцисс локальных максимумов и минимумов выбирают другое приближенное значение частоты из диапазона / ^ ,ю/ 5ир J и процедуру повторяют.

Пример. Проведем исследование установившегося режима в нелинейной электрической цепи, динамику которой описывает уравнение

(18)

где /1.1=1; А2.1 =-1; ¿3.1 = 0.51.

Предначальные условия для анализа цепи таковы: х1 (0-) = 0, х2 (0-) = -1, х3 (0 ) = 1;

заданный уровень погрешности описания 8* (Тг ) = 1.5 • 10-3, г = 1, 2,3 .

В работе [1] в качестве тестового для предлагаемых расчетных схем анализа предложено уравнение динамики (18).

D 0 0" " x1 (t)" hX1x2 (t) x3 (t)

0 D 0 x2 (t) = h21x1 (t) x3 (t)

_ 0 0 D _ _x3 (t)_ h31x1 (t) x2 (t)

Преобразовав уравнения (18) в соответствии с аналитической частью аналитически-численного метода и переведя результат во временную область, получим степенные ряды для регулярных составляющих искомых решений:

да

xr (V) = ^ R2/ //!, г = 1,2,3, (19)

I =0

где ^.0 = ^(0-); R1.1 = ^.0%0; ^.2 = ^.1%0+^.0%ъ •••; R2.o = x2(0-);

R2.1 = -^.0%0 ^.1 = -R1.0R3.0 ; R2.2 =-^.1%0 -^.0%1; R3.1 = -05^2.0^.0;

R3.2 = -051(R2.1R1.0 + ^.0^.1) ; • •• .

Результаты решения уравнения (18) аналитически-численным методом на интервале исследования [0; 7.4997] приведены в табл. 1.

Используя результаты анализа динамики цепи, можно определить верхние юг 5ир и нижние юг ^ оценки неизвестных точных значений частот юг для решений xr (t), г = 1,2,3 : 0.8433-0.02 = ю2 < 0.8433 + 0.02; 1.6866-0.02 <ю3 < 1.6866 + 0.02. Полученные приближенные решения xr (V, /г ) приведены на рис. 1.

Для формирования описания периодического решения уравнения (18) в виде композиции тригонометрических многочленов (15) согласно предлагаемому подходу построим портреты взаимодействия дифференциальных и амплитудно-фазовых спектров для рассматриваемых реакций xr (V), г = 1,2,3 . На рис. 2 в качестве примера приведено изображение для реакции x1 (V) на предполагаемом периоде повторения этой реакции.

Таблица 1

Параметр Значение

tH 0 0.872440 1.862024 3.725459 5.584374 7.499700

h-102 9.6418 9.0975 10.7513 7.8451 10.4657 7.6458

I1 6 6 6 4 6 4

x (^ /1) 0 -0.734138 -0.999999 0.000170 0.999999 -0.049100

Ax1 (t, I1) -102 0 0.5924 0.8165 1.5964 2.3163 3.0745

I2 2 6 4 6 4 6

x2 (и h) -1 -0.678999 -0.000431 0.999999 0.002483 -0.998798

Д*2 (t, 12 ) -102 0 0.2250 0.7414 1.4673 2.2942 3.1493

/3 6 6 6 6 6 6

x (t, /3) 1 0.851545 0.700000 0.999999 0.700002 0.999387

Д3 (t, I3 ) -102 0 1.5314 1.7210 2.1264 2.5349 2.9583

В таблице приняты обозначения: 1н - момент начала шага расчета И ; /г - порядки полиномов Тейлора, которыми на каждом шаге расчета заменялись ряды Тейлора (19); Xl (V, /г) - приближенные решения, полученные с помощью аналитически-численного метода; (V, /1 )| - верхние оценки абсолютных полных погрешностей расчета указанных ранее приближенных решений; г = 1,2,3.

xl 0.5 0

-0.5 -1.0

Kk(t)

0

-5 -10

1.5

Рис. 1

3.0 4.5

Рис. 2

6.0

Как видно из приведенного на рис. 2 изображения, функции у- £ (^), к = 0,1,2,3, имеют четыре локальных экстремума на периоде в моменты времени ^ = 0, t = 1.86264, ^ = 3.72528, t = 5.58485. Функции у-о ^), у-- (^), у-2 0) непрерывны в течение исследуемого интервала, а функция у- 3 (I) имеет точки разрыва второго рода. В качестве характеристики для определения необходимого количества гармоник М- у, V = - 2,3,4, возьмем, например функцию у- 3 (t). Тогда необходимое количество гармоник для каждого момента времени можно определить следующим образом:

Мы=0 = М-.3=3 72528 = 4Л.3 (0)/0), ^75:^/0.8433 = 2.8 ^ 3; М-.2= М-.4^=5 58485 = 4Л.3 (- 86264Vо- = 7^0.8433 = 2.4 ^ 3, где о- = 0.8433 - приближенное значение частоты реакции х- 0) из диапазона е [0.842-, 0.8445].

Так как количества гармоник на всех участках V = ! 2,3,4 равны М- у = 3, то в дальнейшем будем обозначать число гармоник, относящихся к решению х- (t) уравнения динамики (-7), символом М-. Формированием системы уравнений (14) для дискретных моментов времени t = 0, t = -.86264, I = 3.72528, t = 5.58485 с количеством гармоник на участках М- = 3 найдем амплитуды и начальные фазы гармоник искомого периодического решения х- (t). Полученные значения амплитуд и начальных фаз представлены в табл. 2. Номеру V =! соответствует момент времени t = 0, а номеру V = 4 - момент t = 5.58485 .

Зная решение х- (t, I-), полученное с помощью аналитически-численного метода, и 4

решение х- (t, М-) = ^ х- (t, М-у ), полученное на основе предлагаемого подхода, построим диаграмму сопряжения Е- (Т-) = 0.0-5 с предельным уровнем погрешности описания приближенного решения х- (t, I-) (рис. 3).

5

0

t

Таблица 2

Параметр V

1 2 3 4

Значение

Аг.0.у 0 0.272 0 0.272

А/.1.у 1.235 1.472 1.233 1.472

0.173 0.207 0.172 0.207

Аъ.у 0.098 0.003 0.098 0.003

а/.1.у 3.141 3.141 3.141 3.141

а/.2.у 0 1.570 0 1.570

а/.3.у 3.141 0 3.141 0

В таблице приняты обозначения V - номер участка; Аг.т.у , а¡.тл, - амплитуды и начальные фазы периодического решения х^ + Т) соответственно.

е 0) X (*, ¡1 )

0.01

-1.0

Рис. 3

Как видно из диаграммы сопряжения, полученная разность еу (1) = X (V, ¡1) -- XI (V, М1 у )| меньше заданного предельного уровня погрешности описания приближенного решения Х1 (¿, ¡1), который в исследуемом примере равен Е* (Т) = 1.5 -10-3. Число интервалов для искомого решения равно 5. С учетом табл. 2 и построенной диаграммы сопряжения (рис. 3) определим участок описания периодического решения:

3

Х1 (г,М1.1) = А01 + X ^1.ш.1 (то1 + а1.т.1); г е [0,0.795];

т=1

3

Х1 (1,М1.2) = А0.2 + X А1.т.281п(+ «1.т.2); г е [0.795,2.932];

т=1

3

х1 (г, М13 ) = А03 + X А1т38т (тю^ + а1т3 ); г е [2.932,4.518];

т=1 3

Х1 (г,М1.4 ) = А0.4 + X А1.т.4в1и (тю^ + а1.т.4 ); г е [4.518,6.66];

т=1

3

Х1 (*, М1.5 ) = Х1 М1.1) = А0.1 + X А1.т ^ (тю1 + а1.т.1); г е [6 66, Т1 ].

т=1

Тогда периодическое решение Х1 (I, М1), полученное на основе диаграммы сопряжения, приведенное на рис. 3, имеет следующий вид:

Х1 ) = X

У=1

А1.0.у + X А1.т.у ^ (т®1* + а1.т.у )

т=1

51 ((- 1У ) 52 ((- ^у+1):

(20)

где = 0; г2 = 0.795; Ц = 2.932; Г4 = 4.518; Г5 = 6.66; Г6 = Т1 = 2л/ю1; А1т5 = А1т1; а1.т.5 =«1.т.1; т = Ъ2,3; 1 е [0, Т1 ].

Таблица 3

Параметр l

1 2 3

V

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2

Значение

Al.0.v 0 0.272 0 0.272 0.708 0 0.708 0 0.843 0.843

Al.1.v 1.235 1.472 1.233 1.472 2.051 1.053 2.051 1.053 0.15 0.15

Al.2.v 0.173 0.207 0.172 0.207 0.488 093 0.488 093 007 006

Al.3.v 098 003 098 003 0.145 012 0.145 012 3 -10-4 2 -10-4

al.1.v 3.141 3.141 3.141 3.141 -1.57 -1.55 -1.57 -1.55 1.566 1.571

al.2.v 0 1.570 0 1.570 1.570 0 1.570 0 1.576 1.571

al.3.v 3.141 0 3.141 0 -1.57 -1.57 -1.57 -1.57 1.917 1.571

Используя аналогичную процедуру для формирования описаний периодических решений Х2 (^), Х3 и) уравнения (18), получим следующие результаты. Периодические решения Х2 (t, М2) и Х3 (t, М3 ) имеют вид:

х2 (t) = X

v=1

A2.0.v + X A2.m.v sin (m®2t + a2.m.v ) m=1

81 (t - tv ) 82 (t - tv+1) , (21)

где t1 = 0, t2 = 0.886, t3 = 2.847, t4 = 4.62, t5 = 6.569, t6 = T2 = 2я/ю2 , A2m5 = A2m1, a2.m.5 = a2.m.1, m = 1,2,3, t e [0, T2 ];

X3 (t) = X v=1

A3.0.v + X A3.m.v sin(mro3t + a3.m.v ) m=1

81 ) 82 ), (22)

Здесь 11 = 0, t2 = 1.376, ^ = 3.292, ^ = Тз = 2я/юз , Аз.т.з = Аз.т.1, а3.т.3 = а3.т.Ъ да = 1,2,3, t е [0,Т3 ].

Результаты расчета амплитуд и начальных фаз искомых периодических решений уравнения (18) по участкам представлены в табл. 3.

Проведены проверочные этапы полученных результатов А)т , Агт, агт , г = 1, 2,3,

т е [1,3]. Построены функции (9), сформированные на основе описания (19) и на основе последовательного дифференцирования полученных решений в виде композиции тригонометрических многочленов (20)-(22). В построенных портретах совпали интервалы времени, где выполняются соотношения (11), что свидетельствует о правильном выборе приближенных значений частот юг о, г = 1, 2, 3, искомых периодических решений, а также согласованы разности вгу (t), г = 1, 2,3, с заданным предельным уровнем Е* (Тг ), г = 1,2,3 , что свидетельствует о правильном выборе количества гармоник Мг у, г = 1, 2, 3, в искомых периодических решениях.

Библиографический список

1. Хайрер Э., Нерсетт С, Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи / Пер. с англ. И. А. Кульчицкой, С. С. Филиппова. М.: Мир, 1990. 512 с.

2. Данилов Л., Матханов П. Филиппов Е. Теория нелинейных электрических цепей. Л.: Энергоатомиз-дат, 1990. 256 с.

3. Матханов П. М. Основы анализа электрических цепей. Нелинейные цепи. М.: Высш. шк. 1977. 272 с.

4. Бычков Ю., Щербаков С. Аналитически-численный метод расчета динамических систем. СПб.: Энер-гоатомиздат, 2001. 344 с.

5. Бахвалов А., Жидков Н., Кобельков Г. Численные методы. М.: Наука, 1987. 624 с.

6. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М.: Гл. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1961. 936 с.

Ju. A. Bychkov, A. Ju. Khaimin

Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI"

S. V. Scherbakov

Pskov state polytechnic institute

Calculation of the established periodic mode in nonlinear non-stationary electric circuits on the basis of the analysis of interaction of differential and harmonious spectra of reactions

The account procedure of the established periodic modes in nonlinear non-stationary electric circuits is offered. The procedure is based on an analytically-numerical account method of dynamic systems. The example is adduced.

Nonlinear non-stationary models, dynamical equation, calculation step, Taylor series, Fourier series

Статья поступила в редакцию 29 марта 2005 г.

удк 315.6.61

Н. В. Силин, М. А. Кац, А. А. Хазанов

Дальневосточный государственный технический университет

Моделирование процессов развития сигналов от частичных разрядов

Приведено описание математической модели для анализа процессов развития частичных разрядов в изоляции высоковольтного оборудования. Представлены результаты компьютерного моделирования разрядных процессов в теле диэлектрика.

Частичные разряды, компьютерное моделирование, диэлектрик, сигнал

Использование характеристик спектров сигналов от частичных разрядов (ЧР), возникающих во внутренней изоляции высоковольтного оборудования, для оценки степени ее деградации [1] требует углубленного анализа физических процессов формирования этих импульсов. Скоротечность процессов, связанных с ЧР (длительность искры составляет единицы наносекунд), предопределила использование схемы замещения диэлектрика (рис. 1) [2], учитывающей поляризационные процессы, интенсивность которых зависит от многих факторов, в том числе и от частоты. Математическая

Рис. 1

28

© Н. В. Силин, М. А. Кац, А. А. Хазанов, 2005