Оценка погрешности расчета амплитудно-фазовых характеристик периодических реакций нелинейных неавтономных электрических цепей Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Теория сигналов

УДК 621.3.011.72

Ю. А. Бычков, А. Ю. Хаймин

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет

"ЛЭТИ" С. В. Щербаков

Псковский государственный педагогический университет им. С. М. Кирова

Оценка погрешности расчета амплитудно-фазовых характеристик периодических реакций нелинейных неавтономных электрических цепей

Предлагается подход к оценке погрешности описания искомых периодических решений уравнений динамики нелинейных неавтономных электрических цепей тригонометрическими многочленами. Описание формируется на основе анализа взаимосвязи дифференциальных и амплитудно-фазовых спектров реакций цепи. В качестве вычислительного базиса используется расчетная схема аналитически-численного метода. Приведен пример формирования описания.

Нелинейные неавтономные электрические цепи, уравнения динамики, оценка погрешности, амплитудно-фазовые характеристики, шаг расчета, ряд Тейлора, ряд Фурье

Периодические режимы являются рабочими для широкого класса электротехнических систем, что обусловливает актуальность задачи их исследования, а также разработки подходов к управлению и к направленному синтезу [1], [2].

Настоящая статья посвящена разработке подхода к оценке погрешности аппроксимации искомого периодического решения уравнения динамики нелинейной неавтономной электрической цепи тригонометрическим многочленом. Вводные теоретические положения сводятся к следующему. В рамках указанного класса цепей не выполняется свойство конвергентности, т. е. установившиеся (в том числе периодические) режимы зависят от заданных предначаль-ных условий [3]. Вместе с тем, рассчитывая численным методом динамику нелинейной нестационарной цепи при заданных предначальных условиях, исследователь сталкивается с накоплением погрешности по ходу расчета, и как следствие этого информативность результатов в виде получаемых приближенных решений уравнений динамики снижается. Руководствуясь такими результатами, лишь с некоторой степенью вероятности можно судить об установлении периодического режима и устойчивости его характера [4]-[5]. Конечно, если используемый численный метод обладает строгой верхней оценкой абсолютной полной погрешности расчета, то исследователь может дополнительно получить информацию о верхней ю/ 5ир и о

нижней ю/ ^ оценках неизвестного точного значения частоты ю/ искомого периодического решения, что значительно повышает степень достоверности результатов.

© Бычков Ю. А., Хаймин А. Ю., Щербаков С. В., 2006 3

Следующий важный момент состоит в том, что при пошаговом расчете динамики периодического характера фактически формируется ее описание на каждом шаге, причем, как правило, посредством степенных полиномов или подобных им по содержанию математических структур. С другой стороны, для периодического решения наиболее целесообразно и естественно указанное описание не на каждом шаге расчета, а сразу на всем периоде, причем с помощью аппарата тригонометрических рядов Фурье. Поскольку практическая реализация этого подхода потребует замены рядов соответствующими тригонометрическими многочленами, логична постановка вопроса об оценке возникающей при этом погрешности. С обобщением изложенного актуальна задача построения процедуры расчета установившегося периодического режима в нелинейных неавтономных электрических цепях со следующими характеристиками. Во-первых, в качестве исходной информации рассматриваются результаты пошагового расчета динамики на предполагаемом периоде ее повторения, что связано с требуемым сохранением взаимосвязи с заданными предна-чальными условиями. Во-вторых, по исходной информации направленно формируется описание искомого периодического решения на всем периоде в целом, с использованием для этого ряда Фурье, и оценивается погрешность при последующем вынужденном переходе от ряда к соответствующему ему тригонометрическому многочлену.

В качестве вычислительной основы для формируемой процедуры расчета выбран описанный в работе [4] аналитически-численный метод, обладающий необходимым для решения поставленных задач свойством наличия строгих верхних оценок локальной и полной погрешностей расчета, обеспечивающий получение аналитического описания искомого периодического решения в виде полинома Тейлора на каждом шаге.

Расчет амплитудно-фазовых характеристик периодических реакций цепи. Согласно расчетной схеме аналитически-численного метода [4] построение областей, содержащих точные значения решений, по ходу расчета возможно до тех пор, пока существует искомое решение. Если существующее решение носит периодический характер, то его можно описать сходящимся тригонометрическим рядом, причем этот ряд является рядом Фурье для этого решения [6]:

да

х/ ^) = А/0 + Е А1т ^ (тЩ1 + а/т ) , (!)

т=1

где А1 о - постоянная составляющая; А/т, а/т - амплитуда и начальная фаза т-й гармоники соответственно; ю/ - частота искомого периодического решения.

Взаимосвязь между описаниями решения в виде ряда Тейлора и ряда Фурье (1) очевидна:

да

К/0 = А/0 + Е А/т ^ (т®1* + а/т ) ;

т=1

t

К/1 = Е А/т (тЩ ) ^ (т™11 + а/т +1V2)

т=1

(2)

I = 0, 1, 2.....

где ts - абсцисса начала текущего шага расчета в пределах периода Т/ искомого периодического решения х/ ).

4

Знание коэффициентов Щ ряда Тейлора в моменты времени, соответствующие абсциссам начал шагов расчета динамики цепи, позволяет ввести в рассмотрение функции У/к (I) следующего смыслового содержания:

(к+2) /,.

У (г Л = XI_ш

/ (Г. 1/)_ Я/к+2

х)к' (Г; 1,) Я/к

к = 0, 1, 2, ...; I е [0;Т/], (3)

Ч) Я

где х(к^ (V. 1/) - к-я производная искомого решения X/ (1/) ; 1/ - порядок полиномов

Тейлора, которыми на /-м шаге расчета заменялся ряд Тейлора.

На основе функциональных зависимостей (3) разработан алгоритм расчета амплитудно-фазовых характеристик А/0; А/т ; а/т , т = 0, 1, 2, ... описания (1) искомого периодического решения. При практической реализации алгоритма искомое периодическое решение описывается не рядом Фурье, а соответствующим ему тригонометрическим многочленом. Указанный вычислительный алгоритм подробно описан в работах [7], [8]. Совокупность функциональных зависимостей (3), составляя основу разработанного алгоритма, образует своеобразный обобщенный портрет динамики рассматриваемой нелинейной неавтономной цепи в аспекте отражения внутренней причинно-следственной взаимосвязи известного дифференциального спектра Яц, i = 0, 1, 2, ... и формируемого амплитудно-фазового

спектра А/0; А/т ; а/т , т = 0, 1, 2, ... для искомого периодического решения X/ 0).

Вывод оценочных соотношений. При расчете динамики нелинейной неавтономной электрической цепи с заданным уровнем предельной абсолютной локальной погрешности расчета 8/ (И) на каждом шаге осуществляется построение области, содержащей неизвестное

точное значение искомого периодического решения х/ 0). Геометрическая площадь плоской фигуры, ограниченной в пределах каждого шага подобными областями, сформированными на предыдущем и на текущем шагах расчета, может рассматриваться как некоторый оценочный показатель, соответствующий заданному уровню 8/ (И). Вычисление точного значения

указанной площади невозможно, поскольку в интервале между абсциссами начала и конца шага расчета положение границ области неизвестно. Однако знание верхней оценки полной абсолютной погрешности расчета позволяет на каждом шаге вычислить верхнюю и нижнюю оценки неизвестного точного значения площади рассматриваемой плоской фигуры.

Нижняя оценка значения площади, выделенной в пределах текущего шага расчета плоской фигуры, вычисляется как произведение удвоенного значения верхней оценки полной абсолютной погрешности расчета после выполнения предыдущего шага на длину текущего шага расчета. Согласно этому правилу и в соответствии с особенностями оценочной процедуры аналитически-численного метода нижняя оценка указанной площади в рамках первого шага будет равна нулю [4]. Верхняя оценка значения площади плоской фигуры, выделенной в пределах текущего шага расчета границами соответствующих областей, вычисляется как произведение удвоенного значения верхней оценки полной абсолютной погрешности реализованного расчета на длину текущего шага. На основании изложен-

ного верхней оценок неизвестного точного значения площади рассматриваемой плоской фигуры на каждом шаге расчета используется прием левых и правых прямоугольников соответственно. Суммируя далее в пределах приближенного значения периода полученные отдельно нижние и верхние оценки значений площадей соответствующих плоских фигур на каждом шаге расчета, вычисляют нижнюю Si ^ и верхнюю Si sup оценки геометрической площади плоской фигуры, выделяемой на периоде по ходу расчета границами областей, содержащих неизвестные точные значения искомого периодического решения xi (t). Усреднив на периоде полученные значения оценок в области, содержащей точное значение периода, получим оценку:

* * *

Sl inf ^ Sl T ^ Sl sup, (4)

где Sl inf = Sl inf ITl sup ; Si*sup = Sl sup ITl inf (T sup ; Tl inf - верхняя и нижняя °ценки неизвестного точного значения периода искомого периодического решения соответственно).

Двойное неравенство (4) представляет собой интегральный и усредненный на периоде оценочный аналог системы взаимосвязанных друг с другом областей, содержащих точные значения решений, получаемых по ходу расчета в пределах периода. С этой точки зрения, двойное неравенство (4) - усредненная интегральная оценка погрешности расчета периодического решения xi (t) пошаговым образом и описанием данного решения на каждом шаге соответствующим полиномом Тейлора.

Сформированная интегральная оценка (4) в отличие от области, содержащей точные значения решений, может быть использована для оценки погрешности описания на периоде искомого периодического решения тригонометрическим многочленом. Для этого, располагая приближенным решением xi (t; Il), полученным с помощью аналитически-численного метода в рамках пошагового расчета, и амплитудно-фазовым спектром тригонометрического многочлена xi (t;Mi) порядка Mi, можно вычислить усредненную на периоде интегральную погрешность S*tm описания приближенного решения xi (t; Ii)

сформированным тригонометрическим многочленом. Усредненная интегральная погреш-

*

ность Sl T подобного описания на периоде определяется следующим образом:

1 Tl p

S* TM = — J \xi (t; Ii) - xi (t;Mi)| dt, (5)

T P 0

где Tl p - приближенное значение периода, выбранное на основе области, содержащей его точное значение, используемое при решении системы уравнений (2) в рамках расчета амплитудно-фазовых показателей тригонометрического многочлена xi (t; Mi) порядка Mi.

*

Величина усредненной интегральной погрешности Si tm существенно зависит от порядка Mi тригонометрического многочлена xi (t;Mi). Обобщив результаты (4) и (5), полу-

чим, что для удовлетворения требованию соответствия по уровням погрешности исходного приближенного решения xi (t;11) и его дифференциального спектра Щ , i = 0, 1, 2, ... формируемому амплитудно-фазовому спектру Л/о; Aim ; a/m , m = 0, 1, 2, ... тригонометрического многочлена х/ (t; Mi) необходимо выбор порядка этого многочлена Mi подчинить

условию выполнения двойного неравенства:

* * *

Sl inf ^ Sl ТМ ^ Sl sup . (6)

Согласно процедуре расчета амплитудно-фазового спектра тригонометрического многочлена [7], [8] выбор порядка Mi этого многочлена может быть реализован отдельно для правой или для левой части двойного неравенства (6). Вследствие этого для порядка тригонометрического многочлена Mi можно получить два определяющих его выбор условия: М/ > Mi nf и Mi < Mi sup. Логическое обобщение этих двух автономных по схеме расчета условий выбора порядка Mi с учетом их естественной взаимосвязи в рамках

двойного неравенства (6) обусловливает получение для оценки необходимых значений порядка двойного неравенства

Mt inf <Mt <Mt sup. (7)

Как уже отмечалось, усредненный интегральный оценочный показатель (4) соответствует расчету динамики цепи аналитически-численным методом с заданным уровнем предельной абсолютной локальной погрешности расчета si (h). Вследствие этого полученный на основе двойных неравенств (4) и (6) результат (7) также соответствует предельному уровню данной локальной погрешности. Таким образом, двойное неравенство (6) регламентирует выбор порядка Mi тригонометрического многочлена xi (t; Mi), амплитудно-фазовый спектр

которого описывает искомое периодическое решение xi (t) = xi (t + T) с усредненной интегральной погрешностью (5). При этом вследствие логической взаимосвязи областей, содержащих точные значения решений (4) и достигнутый уровень усредненной интегральной погрешности, (5) однозначно соответствует предельному уровню локальной погрешности расчета si (h). Отсюда справедливо утверждение, что интегральная оценка (6) сформированного тригонометрического многочлена xi (t;Mi) порядка Mi соответствует расчету динамики

цепи с предельным уровнем локальной погрешности si (h).

Пример. Исследуем периодический режим в нелинейной электрической цепи, которая описывается нелинейным дифференциальным уравнением

x" (t) + x (t) = - x3 (t) (8)

при предначальных условиях анализа динамики цепи: x (0- ) = 0; x' (0- ) = 1.

Выполнив преобразования уравнения (8) в соответствии с аналитической частью аналитически-численного метода и переведя результат во временную область, получим степенной ряд для регулярной составляющей искомого решения x (t):

Таблица 1

г И I х (г; I) Лх (г; I) -102

0 0 0

1.1 0.8356 1.5451

2.2 0.5 19 0.3235 3.1368

3.3 - 0.68435 5.9306

4.4 - 0.60814 7.45669

5.5 0.42499 12.0372

X 0.45 0

- 0.45

- 0.90

0

2

Рис. 1

X

(Г) = ^ Яг'/г!,

(9)

где Я = х(0-); Я = X(0-); Я2 -....

Результаты решения уравнения (8) аналитически-численным методом на интервале исследования [0; 5.5] с заданным уровнем предельной абсолютной локальной погрешности расчета е (И) = 1-10-3 приведены в табл. 1 (г - абсцисса начала шага расчета И; х (г; I) - приближенное решение, полученное с помощью аналитически-численного метода; |Дх (г; I )| - верхняя оценка абсолютной полной погрешности расчета приближенного решения х (г; I) (9)).

Вид полученного приближенного решения х (г; I) уравнения (8) приведен на рис. 1. Из полученных результатов следует, что неизвестное точное значение периода Т для предполагаемого периодического решения уравнения (8) х (г) лежит в пределах

Тм = 5.0617 -1.22-10-2 < Т < 5.0617 +1.22-10"2 = Т5ир.

Построенный согласно процедуре, изложенной в работах [7], [8], обобщенный портрет дифференциального и амплитудно-фазового спектров приближенного решения х (г; I) на предполагаемом периоде его повторения изображен на рис. 2. Как видно из приведенного портрета, функции (г), к = 0; 1; 2; 3 имеют на предполагаемом периоде четыре локальных экстремума, которые соответствуют моментам времени ^ = 0, ^ = 1 2654, г3 = 2.5308, г4 = 3.7962.

Для расчета амплитудно-фазовых характеристик периодического решения согласно процедуре, изложенной в работах [7], [8], выполнены расчеты амплитуд и начальных фаз искомого периодического решения на основе показателей обобщенного портрета, соот-

Таблица 2

-2

5.5

0

- 5.5 8

2

Рис. 2

т А лт (Хт

0 0 -

1 0.842723 0

3 0.012685 П

5 0.000188 0

49 2.30655 -10-44 -п

г

4

1=0

0

1

3

4

г

ветствующих указанным моментам времени. Как показали результаты расчета, полученные численные значения амплитуд и начальных фаз одинаковы для всех моментов времени. Амплитудно-фазовые характеристики приближенного решения х (t; I) до 49-й гармоники включительно приведены в табл. 2 (где m - номер гармоники). Исследования показали, что приближенное решение содержит только нечетные гармоники.

Периодическое приближенное решение х (t; I) уравнения (8) может быть описано тригонометрическим многочленом

м

х (t; M ) = Aq + ^ Am sin (тШ + аm ), (10)

m=1

где Am; аm - амплитуды и начальные фазы тригонометрического многочлена соответственно (см. табл. 2); M - порядок тригонометрического многочлена, выбираемый в соответствии с двойным неравенством (7).

Для оценки расчета амплитудно-фазовых характеристик необходимо вычислить на периоде искомого периодического решения верхнюю и нижнюю оценки геометрической площади плоской фигуры, входящие в двойное неравенство (4). При заданном уровне

предельной абсолютной локальной погрешности расчета s (h) = 1-10-3 указанные оценки

* —3 * —3

составляют: Ssup = 12-10 ; S^ = 9.5 -10 . Вычисленная согласно равенству (5) усредненная интегральная погрешность описания на периоде приближенного решения х (t; I) с

* —3

помощью тригонометрического многочлена порядка M = 1 такова, что S^ = 8.1-10 .

**

Сравнив полученные оценки Ssup; S^f и усредненную интегральную погрешность опи-

*

сания Sj , а также руководствуясь требованиями двойного неравенства (6), приходим к выводу, что для соответствия заданному уровню предельной абсолютной локальной погрешности расчета s (h) = 1-10-3 достаточно порядка тригонометрического многочлена M = 1. При этом порядке имеет место выполнение как правой, так и левой частей двойного неравенства (7), что указывает на трансформацию в рамках рассматриваемого уравнения (8) двойного неравенства (7) в равенство M = 1. Итак, описание искомого периодического решения х (t) уравнения (8) тригонометрическим многочленом (10) порядка M = 1 равноценно по уровню погрешности результатам расчета динамики рассматриваемой цепи с заданным уровнем предельной абсолютной локальной погрешности расчета s (h) = 1-10-3 .

Библиографический список

1. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи / Пер. с англ. И. А. Кульчицкой; Под ред. С. С. Филиппова. М.: Мир,1990. 512 с.

2. Данилов Л. В., Матханов П. Н., Фидиппов Е. С. Теория нелинейных электрических цепей. Л.: Энер-гоатомиздат, 1990. 251 с.

3. Матханов П. М. Основы анализа электрических цепей. Нелинейные цепи. М.: Высш. шк., 1977. 272 с.

4. Бычков Ю. А, Щербаков С. В Аналитически-численный метод расчета динамических систем. СПб.: Энергоатомиздат, 2002. 367 с.

5. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 598 с.

6. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961. 936 с.

7. Щербаков С. В., Хаймин А. Ю. О подходе к анализу периодических режимов в нелинейных неавтономных электрических цепях на основе взаимосвязи дифференциальных и гармонических спектров // Тр. Псковск. политехн. ин-та. 2003. № 7. 3. С. 310-323.

8. Бычков Ю. А., Хаймин А. Ю., Щербаков С. В. Расчет установившегося периодического режима в нелинейных нестационарных электрических цепях на основе анализа взаимодействия дифференциальных и гармонических спектров реакций // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2005. № 4. С. 16-28.

Ju. A. Bychkov, A. Ju. Khaimin

Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI"

S. V. Scherbakov

Pskov state polytechnic institute

The estimation of the error of calculation of peak- phase characteristics of periodic reactions of nonlinear on-line electric circuits

The approach to estimation of an error of description of required periodic decisions of the equations of nonlinear nonautonomous electric circuits dynamics by trigonometrically multinomi-nals is offered. The description of decisions is carried out on the basis of the analysis of interrelation of differential and peak-phase spectra of circuit reactions. The analytically-numerical method calculating scheme is put as a computing basis. The example of description estimation is adduced.

Nonlinear nonautonomous electric circuits, dynamical equation, estimation of an error, peak-phase characteristics, calculation step, Taylor series, Fourier series

Статья поступила в редакцию 30 июня 2006 г.

621.372:519.72

В. В. Савченко, Д. Ю. Акатьев, С. Н. Шерстнев

Нижегородский государственный лингвистический университет

Метод оптимального обучающего словаря в задаче распознавания речевых сигналов по критерию минимального информационного рассогласования

Рассмотрена задача повышения эффективности автоматического распознавания речи (АРР) в виде изолированных слов на основе применения метода оптимального обучающего словаря. Для отбора в обучающий словарь наиболее информативных реализаций каждого слова предложен критерий минимума суммы информационных рассогласований по Кульбаку-Лейблеру. На примере распознавания десяти числительных показано, что достигаемый эффект состоит в существенном (в несколько раз) уменьшении вероятности ошибки, причем этот эффект распространяется на самые разные методы АРР.

Автоматическое распознавание речи, метод оптимального обучающего словаря, синтез алгоритма, информационное рассогласование, вероятность распознавания

На протяжении последних лет распознавание речи относится к числу наиболее актуальных задач теоретической и прикладной информатики, что объясняется закономерно возрастающей потребностью общества в автоматизации различных сфер своей деятельно-

10

© Савченко В. В., Акатьев Д. Ю., Шерстнев С. Н., 2006