Аналитически-численный расчет динамики моделей нелинейных цепей с распределенными параметрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

-

===========================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 3

Теория сигналов

УДК 681.511.4

А. В. Прикота

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет

"ЛЭТИ"

Аналитически-численный расчет динамики моделей нелинейных цепей с распределенными параметрами

Предлагается метод расчета переходных режимов в моделях нелинейных цепей с распределенными параметрами. Метод является расширением аналитически-численного метода расчета динамических систем на системы с распределенными параметрами.

Аналитически-численный расчет, распределенные параметры, ряд Тейлора, шаг расчета, системы квазилинейных уравнений

В настоящее время существует большое количество различных моделей цепей с распределенными параметрами (ЦРП) [1]-[3]. Большинство из них описываются системами дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа. В случае, когда первичные параметры моделей ЦРП зависят от тока и/или напряжения цепи, системы уравнений, описывающие эти модели, становятся квазилинейными. Таким образом, при расчете процессов в данных моделях необходимо получать решения систем квазилинейных дифференциальных уравнений гиперболического типа с двумя независимыми переменными, удовлетворяющих начальным условиям в цепи, а также определенным требованиям на границах ЦРП.

Система квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными может быть записана в следующем виде:

— + А— = Ь, (1)

дt дх

где w = w(7, х) = [(7, х), —2 (7, х), ..., (7, х)]т - вектор неизвестных (t - временная переменная); А = А (^х^) - матрица с размером п х п (х - пространственная переменная); Ь = Ь ) - вектор с размером 1х п.

Пусть G : > 0, а < х < Ь} - область, в которой строится решение системы (1). Отрезок [а; Ь] может быть неограниченным. Предполагается, что отрезок находится на положительной части оси х , в противном случае он переносится в эту часть после соответст-

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 3======================================

вующей замены переменной. Для выделения из бесконечного множества решений системы (1) единственного необходимо задать начальные условия:

wk (0,x) = w° (x) ; (k = 1, ..., n), a < x < b (2)

и, если это необходимо, граничные:

C [t,a,w(t,a)^ = 0; (i = 1, ..., ni), (3)

di [í,b, w{t,b)\ = 0, (i = 1, ..., n2) . (4)

Задача в соответствии с (1), (2) называется задачей Коши; в соответствии с формулами (1)-(4) - смешанной задачей.

Разрешимость задачи Коши в классе аналитических функций в настоящее время достаточно глубоко исследована. Доказаны существование, единственность и непрерывная зависимость от входных данных ее классического решения. Известно также, что область существования классического решения в общем случае ограничена, так как решения квазилинейных уравнений, в отличие от уравнений линейных, обладают свойством неограниченного роста производных. Данное свойство систем квазилинейных уравнений получило название градиентной катастрофы [4].

Условия разрешимости смешанной задачи в классе аналитических функций также хорошо исследованы и представляют собой условия согласования решения и его производных на границах. В случае, если условия согласования невыполнены, возникают особенности решения - движущиеся разрывы, центрированные волны разрежения и прочие [4]. Если же условия согласования выполнены, то в некоторой окрестности границ аналитическое решение задачи существует и является единственным.

Получить точное решение задачи Коши или смешанной задачи для данных систем уравнений можно только в некоторых частных случаях; в общем случае это невозможно. Для получения приближенных решений используются различные методы - разностные, аналитические, численно-аналитические. Наиболее распространенным методом интегрирования систем гиперболических уравнений является метод характеристик [4]. Этот метод является разностным и исходит из аппроксимации системы (1) разностными уравнениями на характеристической сетке.

В данной статье предлагается метод получения приближенных аналитических решений смешанной задачи для систем квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа в случае двух независимых переменных, основанный на аналитически-численном методе решения систем обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, изложенном в работах [5], [6].

Аналитически-численный метод состоит из двух частей: аналитической и численной. Аналитическая часть метода заключается в нахождении с помощью специальных преобразований исходной системы коэффициентов рядов Тейлора неизвестных точных решений и в определении области существования и единственности полученного решения. Численная часть содержит в себе процедуры выбора допустимого шага расчета и построения границ области, в которой ведется расчет.

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 3

Аналитическая часть решения. Запишем систему (1) в следующем виде:

A (Di ,D х ) w (tt,x) = G (Di ,D x ) F (t,x, w) + H (t,x, w, F), (5)

где Dt, Dx - операторы частного дифференцирования по t и x соответственно; A (Dt ,Dx ) и G (Dt ,Dx ) - матрицы с размерами n x n и n x m с полиномиальными коэффициентами (Dt ,Dx ) и gi k (Dt,Dx) соответственно; F (t, x, w) - вектор размерности 1x m, содержащий в себе искомые решения w (t, x) и приложенные внешние воздействия. В вектор H (t,x, w, F) попадают все оставшиеся члены уравнений, т. е. те, которые не попали в матрицы A (Dt ,Dx ) и G (D¿ ,Dx ) .

Полиномы aik (Dt,Dx) и g¡ k (D¿,Dx) имеют следующий вид:

ai,k (Dt ,D x ) = £ ¿ai?'91 (t, x) Df Dq ; gi,k (D ,D x ) = £ (t, x) Df D% .

P=-Pq=-Q Пусть область G0 - область определенности решения задачи Коши отрезка [a; b], тогда Gi, G2, G3 - области, имеющие своими границами крайние характеристики области G0 и концы цепи x = a, x = b (рис. 1).

В качестве аппарата аппроксимации неизвестного точного решения w(t,x) поставленной задачи в классе аналитических х функций используем аппарат рядов Тейлора по временной переменной t в области G0 :

p=-Pq=-Q

i i

G3 /

G2

f G0 \

Рис. 1

Wk (t,x)=i ^^, k=1,

n

i=0

i!

(6)

и по пространственной переменной x в областях G1, G2, G3 :

k = 1,

{+ \ V1 Rk,i (t) x

wk (t,x) = L"

n.

i=0

i!

(7)

В области Go в виде рядов Тейлора по переменной ^ представляются также все элементы вектора Н ^,х, w, Г), зависящие от ^. Аналогичные действия по переменной х производятся для областей Gl, G2, Gз .

Подставив все степенные ряды в матрицу-столбец Н (Х,х, w, Г) и выполнив требуемые алгебраические операции над ними, получим представление строки этой матрицы в виде следующих функционально-степенных рядов:

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 3======================================

• для области Gq

. ® Tki ( х) t1

strkH(t,x,w,f) = ^ ' , k = 1, ..., n ; (8)

j=0 j!

• для областей Gi, G2, G3

. ® Tkj (t) xj

strkH(t,x,w,f) = ^ klK) , k = 1, ..., n . (9)

i=0 l!

В результате этих преобразований систему (5) можно записать в виде

A (D, ,D х ) w (t,x) = G (D, ,Dx ) f {t,x) + T (t,x), (10)

где T (t,x) - матрица-столбец с размером 1x n, строки которой представляют выражения

(8), (9). Уравнения (5) и (10) тождественны друг другу.

Преобразуем систему (10), используя двойное преобразование Лапласа, и получим

A ( p, q) W ( p,q) = G ( p, q) F ( p,q) + T ( p, q) + Q ( p, q), (11)

где A (p, q), G (p, q) - матрицы, найденные из исходных матриц A (D, ,Dx ) , G (D, ,Dx ) заменой операторов D,, Dx на лапласовы переменные p, q соответственно; W (p,q), F (p,q) - векторы изображений искомых решений и воздействий; T (p, q) - вектор, элементы которого представляют собой преобразованные по Лапласу выражения (8), (9); Q (p, q) - вектор, содержащий преобразованные по Лапласу начальные и граничные условия.

Запишем решение уравнений (11) по правилу Крамера:

wk(p,q)=Ak(¡q; л(pqфo, k=1, ••■, n.

Приведя подобные члены, получим:

• для области Gq

да

X Bk,n+Jk - i (q) pN+Jk -1

Wk (p,q) = l=0-N-; k = 1, n ; (12)

X ci (q) pl

i=0

• для областей G1, G2, G3

да

X Bk,N+Jk - i (p) qN+Jk -1

Wk (p, q) = ^-N-, k = 1, ..., n , (13)

X Ci (p ) qi

i=0

где Bk j (q) и Ci (p) - некоторые функции; Jk = 1, 2, ....

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 3

Если начальные или граничные условия содержат сингулярные составляющие, то в

формулах (12), (13) Jk > 0 и решение wk (t, х) необходимо искать в классе обобщенных

функций.

Если же начальные и граничные условия являются аналитическими функциями и выполнены условия их согласования на границах, то Jk < 0, и, следовательно, решение

wk (t, х) также является аналитическим; тогда выражения (12), (13) можно переписать в

виде

X Bk, n-1 (q) p

Wk (p, q) = ^

N-1-i

N

X C (q) pi

i=0

k = 1,

n.

(14)

X Bk, n-1 (p) q

N-1-i

Wk (P, q) =

i=0

k = 1, ..., n .

(15)

N

X С (Р) 4

1=0

После деления числителя дробей (14), (15) на соответствующие знаменатели, получим:

• для области Оо

Wr

k (P,q) = X^, k = 1, ..., i=0 P

n.

(16)

для областей Gj, G2, G3

^ (Р,4) = £Щ1, к = 1, ••■, « • (17)

1=0 Ч

Для вычисления коэффициентов (ч) удобно использовать следующие формулы:

% (q)=Bk, n-1 (q )/ cn (q); % (q):

i-1

Bk, n-1-i (q)- X Rk, 1 (q Yn-i+1 (q)

1=0

Cn (q). (18)

Для коэффициентов 1 (р) формулы (18) переписываются с заменой лапласовой переменной 4 на р .

Применив обратное преобразование Лапласа к выражениям (16), (17), получим искомые решения в виде функционально-степенных рядов (6), (7):

«к (4х) = X ,(4х) = £ ^^, к = 1, „.

1=0 1 • 1=0 1 •

Коэффициенты 1 (х), Як> 1 (4) определяются рекуррентно. Если все они определяются единственным способом, то в силу единственности разложения функции в ряд Тей-

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 3======================================

лора полученное решение w (t,x) является единственным решением задачи (1)-(4) в классе аналитических функций.

Решение в области Gq однозначно определяется начальными условиями w0 (x), k = 1, ..., n [4], поэтому коэффициенты R^i (x) являются известными функциями от x .

Решение в областях Gi, G2, G3 должно принимать заданные значения на границе с областью Gq и удовлетворять граничным условиям (3), (4) на концах цепи [4]. Поэтому коэффициенты Rki (t) содержат неизвестные функции Wk (t,0), k е N, k < n. Для определения этих неизвестных функций используются условия равенства инвариантов на характеристиках:

rk (t, x)| w ч= г° (t, x) , k, l e N, k < n, l < n, (19)

kV' Jlt=f(x) kV' >t=fr(x)

где функции rk (t,x) = rk [w(t,x),t,x], k е N, k < n , являются инвариантами Римана системы (1); выражения t = f (x), l e N, l < n являются решениями уравнений характеристик той же системы:

— = ^k (t,x,w), k = 1, ..., n . (20)

dx

Система (19) является системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений относительно функций Wk (t,0) , k е N, k < n. Решив эту систему с помощью

аналитически-численного метода [5], [6], найдем неизвестные Wk (t,0) в виде рядов Тейлора:

да ti

Wk (t,0) = X Lkj-, k е N, k < n, (21)

i=0 i •

а также области t <%k, в которой эти ряды сходятся.

Подставив полученные функции (21) в коэффициенты Rk¡ (t), получим искомое решение (7).

Для определения области сходимости полученных рядов (6), (7) используется метод мажорант, для которого исследуются коэффициенты Rki (x), R^ (t). Если эти коэффициенты имеют разрывы первого или второго рода в некоторых точках рассматриваемого интервала, то полученное решение, очевидно, не является аналитическим в этих точках и принадлежит классу обобщенных функций. Если же они являются непрерывными функциями своего аргумента на всем интервале исследования, то находятся их максимумы Rkj max на этом отрезке и строятся мажорантные ряды:

R ■ \ti R ■ \xi

/л \ k,i max ' / \ sr^ \ k,i max Л tl Л \

WM k (t) = L-^^ , WM k (x) = L-, (k = 1, n) . (22)

i=0 i • i=0 i •

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 3

Радиусы сходимости рядов (6), (7) %k, Xk будут всегда больше радиусов сходимости

тм k, Хм k соответствующих мажорантных рядов (22), т. е.

Tk >Тм k, Xk >Хм k , k = 1 n . Верхние оценки радиусов сходимости мажорантых рядов (22) т'м k, хМ k производятся по формулам, предложенным в работах [5], [6].

Численная часть решения. Рассмотрим численную часть решения в различных областях.

1. В области G0. Численная часть построения решения задачи (1)-(4) в этой области начинается с выбора величины шага расчета hi по переменной t, не выходящего за пределы области сходимости рядов Тейлора (6). В конце выбранного шага расчета полученные числовые ряды

(h . ® Rkl (х) h¡ k 1 wk (hi,x) = -, k =1, n

■ n i!

i =0

заменяют соответствующими суммами

I

П Т ) ^kRk,i (Х)hi , ,

wk(hi'x,Ik) = ъ , , k =1, n, (23)

■ n i!

i =0

где - порядок полинома. В результате этой замены возникает погрешность расчета

Ъ«к х 1к) = «к х)-«к (Ь,х 1к) = X Кк'1 (Х^И , к =1 , п • (24)

1=¡к +1 1!

Обозначим верхнюю оценку погрешности (24) символом |Д« (1к )|, тогда

|5«к (ht,x,¡к)| АА«к (Иг,1к)| •

Для формирования оценки |Д« (^^к ) используются мажорантные ряды (22):

да Я к^ Ъ\

\ъ«к (¡к)| < ^ 1 1 = ¡к 1 •

и формулы, предложенные в [5], [6].

Функции «к (И^х, ¡к) представляют собой очень сложные, громоздкие выражения.

Для их использования в качестве начальных условий на следующем шаге расчета необходимо придать им более простой вид. Для этого в конце текущего шага расчета производится аппроксимация функций «к (И,х,¡к) простыми функциями «к ап (И{,х,¡к) (например, тригонометрическими, степенными полиномами и пр.). В результате такой аппроксимации возникает еще одна погрешность расчета - погрешность аппроксимации:

5«к ап ¡к) = «к (ht,x,¡к)-«к ап (ht,x,¡к). (25)

Обозначим верхнюю оценку погрешности (25) символом А« ап (ht,¡к) , тогда

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 3======================================

\Awk ап (ht'¡k )| = max {IS wk ап (htX¡k )|}, a ^ x ^ b •

Таким образом можно определить локальную погрешность расчета, т. е. погрешность, которая возникает на каждом шаге расчета и не зависит от результатов, полученных на предыдущих шагах расчета. Модуль величины этой погрешности определяется следующим образом:

8 wk полн (hf'X¡k)| = |8wk (htX¡k)| +18wk ап (htX¡k)| • Пусть |Д Wk полн (hf'X, ¡k )| - верхняя оценка локальной погрешности,

|8 wk полы (ht' X ¡k )| ^ |Awk полы (ht' X ¡k )|, тогда

\L^Wk полн (¡k)| = |Awk (ht'X¡k)| + |Awk полн (ht'X,¡k) • Величина накопленной за несколько шагов расчета погрешности определяется величиной погрешности на каждом шаге расчета, а также чувствительностью системы (1) к изменениям начальных условий.

Таким образом, в конце текущего шага расчета оценивается локальная погрешность и в случае, если верхняя оценка локальной погрешности удовлетворяет требованиям к точности расчета, то функции wk ап (¡k), k = 1, ..., n, становятся начальными условиями на следующем шаге расчета и процедура аналитически-численного решения повторяется. Если же верхняя оценка локальной погрешности не удовлетворяет требованиям к точности расчета, то для снижения ее величины либо уменьшается шаг расчета ht, либо увеличивается степень полинома (23) ¡k.

2. В областях Gi, G2, G3. Области Gi, G2 разбиваются на подобласти G10, G11, G12, •••, G20, G21, G22, •••, границы которых являются характеристиками

исходной системы (рис. 2). Решение задачи строится в этих областях последовательно, т. е. на нулевом шаге расчета находится решение в областях Gi 0, G2 0, на первом шаге -

в областях Gi 1, G2 1 и т. д.

Аналитическое решение находится в виде рядов Тейлора (7) в окрестностях расчетных точек O, O1, O2, ..., O', O\, O2, ...;

при этом на прямых x = 0, X1, X2, ..., L, X1, X2, • ••, где X1, X2, •••, X1, x2, ... - координаты по оси x точек O1, O2, • ••, O1, O2, ... соответственно, решение найдено из системы (19) в виде рядов (21) с помощью аналитически-численно-

O

O'

Рис. 2

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 3

го метода решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений [4], [5]. Эти ряды заменяются конечными суммами:

I0,k Л

wk (t, 0) = X Rk,i -, (k e N) , (k < n) (26)

i=0 i •

с верхней оценкой локальной погрешности |Awk (htJk )|. Границы областей Gю, Gn, G12, • ••, G2o, G21, G22, ••• строятся с помощью разложения в ряд Тейлора уравнений характеристик (20) в конце выбранного шага по t :

да i

t = ZKk,1^7, k = 1 n , t\ i • i =0

при этом ряды заменяются соответствующими суммами:

¡t'k xi

t = É Kki-, k = 1, ..., n , (27)

i=0 , i•

где Kk i - коэффициенты разложения.

Точки пересечения крайних из этих характеристик с границами области, определенных на предыдущих шагах, полностью определяют границы текущих областей расчета

G1,i, G2,i.

Для следующих шагов расчета наряду с уравнениями границ расчетных областей на-

ходятся также и инварианты на них: r0 (t, x)

, k, l e N, k < n, l < n.

t=fl (x )

Погрешность расчета в областях О^, О2 зависит от порядков полиномов (6), (26), (27): ¡к, /0£, ¡1 к, к е N, к < п, и шага расчета Ъг.

После того как получено решение в областях О^, 02 тем же способом находится

решение в области О3.

Пример. Рассмотрим задачу подключения обесточенной двухпроводной нелинейной длинной линии к источнику синусоидального напряжения.

Уравнения выбранной модели длинной линии имеют следующий вид:

, X)

di (t, x) du (t, x) , ч ^ ' > = сд—+ G0u (t, x),

dx A dt

du (t, x) di (t, x) , ч —= L0 +R0i (t, x),

dx 0 dt ^ v '

Сд = С0 + Ciu (t, x) .

где и(¿,х), Щ,х) - напряжение и ток в линии соответственно; Сд,Од,Ь0,Яо - погонные

динамическая емкость, проводимость, индуктивность и сопротивление линии соответственно.

Начальные условия и (0, х) = 0, / (0, х) = 0 . Условия на границе х = 0 : и (¿,0) = gl (^). Необходимо найти ток и напряжение в линии.

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 3==============================

1. Аналитическая часть решения. Запишем исходные уравнения в виде (3):

A ( Dt ,D x ) w (t,x) = G (Dt ,D x ) F (t,x, w ) + H (t,x, w, F )

где w (t, x ) = [u (t, x ), i (t, x )]T; A ( Dt ,D x ) =

<Dx Lq Dt + Rq ^ V CqD/ + Gq D

Q ^ x

; G(Dt,Dx) =

' Q Q ^ VQ Qy

H (t, x, w, F ) =

— i

^ QuD^4 Q

Решение ищем в виде рядов Тейлора: wk (t, x) = ^

Rk ,i (t) x

i =0

i!

k = i, 2. Тогда

D/Ry (t) x

Dtu = ^^^ ^ , H(t,x,w,F) = -CiuDtu = ^^''i"" = S-

Rl,i (t) xi ® DtR',i (t) xi ® T',i (t) x

i!

i!

i!

i!

I=0 I=0 I=0 I=0

Преобразуем полученные уравнения по Лапласу с учетом выражения для

H(t,x, w,F) : Dt ^ p, Dx ^ q ; A(p,q)W(p,q) = T(p,q) + Q(p),

где A ( p, q ) =

q LQ p+ro

cq p+gq q) Найдем U (p, q) и I (p, q) :

; T (p, q) =

$ TiiM

^ J+1

V

i =q q

Q

; Q (p) = [u ( p ), I ( P )]T.

U (p, q) =

да T ( p)

qU (p) - (Lqp + Rq ) I (p) - (Lqp + Rq ) X

i=0 q

I (p, q) =

q2 - ( Lq p + Rq )( Cq p + Gq )

qI ( p ) - ( Cq p + Gq )U ( p ) + q £ Ц^

i=0 q

q2 - ( Lq p + Rq )( Cq p + Gq )

После деления числителей дробей на соответствующие знаменатели имеем:

и(Р д) = ЧЫ_ (¿0Р + Яр)I(Р) _ (¿0Р + Я)Т0 (Р)-(¿0Р + Щ)(С0р + Go)и(р) +

q

q

q

и ) _ I(p) (Соp + Go) I (p) - Tq (p) T (p) - (Lop + RQ }(CQP + Go) I (p) +

Дp, q) _ —---2-+-3-+•

q q q

Выполнив обратное преобразование Лапласа, получим искомые решения: ( LqD + RQ ) I (t)

[(t, x) = U (t)--

-x —

(LqD/ + Rq ) Tq (t) - (LqD/ + Rq ) (CqD/ + Gq )U (t) x2

- + ... =

£ R'ii (t) xi

i=0

i!

2

c

2

2

c

=Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 3

i (,. x) _ I (t) - (C0Dt + G0 )/ (' )- 70 (t ) „

c2

7 (t) - (LA + R ) (CA + G0 )I (t) x2 + _ " R2,i (t) x1

c2 2 +"' _ % i!

u i =0

Инварианты системы

, ч / ч I— 2 ГС + C1u (t, x)]3/2 - c0/2

r (t, x)=i (t, x )jL0+310 11 с ——;

3 С

r2 (t, x) = i (t, x )>Д0

2 ГС + C1u (t, x)]3/2 - с03/2

3 С1

Уравнения характеристик

= [С0 + С1и ^, х)]. (28)

Проинтегрировав уравнения (28) с помощью рядов Тейлора в окрестности расчетной точки, получим:

® л ,--x

t = Е ~ТТ\0 [С + Qu (t, x)] , - = f (x); (29)

xi

i=0 dx 't=0, x=0

i •

^ dl

t = X ТГ i=0

í . \

dxi

^0 [C^ c\u[t, x I

i=0 dx 't=0,x=0

x ■

xi

^ = f 2 (x) . (3°)

В областях, примыкающих к границе цепи х = 0, напряжение и (V) = gl (V) задано, ток I (V) находится из условия непрерывности инварианта Г2 (V, х) на характеристике (30): г2 (¿, х) = Г2 (V, х), V = /1 (х). В остальных областях и (V) и I (V) неизвестны и определяются из условия непрерывности инварианта г (V, х) на характеристике (29) и инварианта Г2 (V, х) на характеристике (30).

2. Численная часть построения решения. Исходя из заданного уровня локальной погрешности расчета в(к{) = [б(\в(\^^ в узлах расчетной сетки О, Оу, О2, ..., выбирается порядок полиномов Тейлора I = [¡у,¡2]т, 10 =[¡01,¡02]Т, I/ =[¡М,¡/2]Т и шаг расчета Ъг.

Выборочные результаты аналитически-численного решения задачи с заданным уровнем локальной погрешности расчета е () = [10000, 50]Т на линии х = 0 приведены в таблице, где: X (^'¡к )| - сумма верхних оценок локальных погрешностей с первого

шага расчета до текущего включительно.

На рис. 3 приведен график тока на линии в сечении х = 0 .

Задача решалась при следующих численных значениях параметров системы:

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 3=

t, ht, Aw2 (ht,Ik) ' Z Aw2 (ht,Ik) , t, ht, Aw2 (ht,Ik) ' Z Aw2 (ht,Ik) ,

мс мс А А мс мс А А

0.25 0.25 3.81 3.81 1.31 0.28 1.05 10.21

0.55 0.30 2.42 6.23 1.58 0.27 0.86 11.07

0.77 0.22 1.62 7.85 1.83 0.25 0.72 11.79

1.03 0.26 1.31 9.16

I, кА 2.0 1.5 1.0 0.5

С0 = 8.46998 -10-12 [Ф/м],

0

0.5

1.0 1.5 Рис. 3

2.0

t, мс

C = 0.104 -ю-15 [о/ ( в • м)], L0 = 0.131182-10-5 [Гн/м], R0 = 5.4-10-3 [Ом/м], G0 = 4.1-10-10 [См/м], u (t, 0) = g1 (t) = 240000 [1 + cos (314t)] [В].

Таким образом, предложенный аналитически-численный метод решения смешанной задачи для систем квазилинейных уравнений гиперболического типа позволяет получать приблизительные аналитические решения задачи с заданным уровнем локальной погрешности.

Библиографический список

1. Караев Р. И. Переходные процессы в линиях большой протяженности. М.: Энергия, 1978. 191 с.

2. Каганов З. Г. Электрические цепи с распределенными параметрами и цепные схемы. М.: Энерго-атомиздат, 1990. 248 с.

3. Костенко М. В. Техника высоких напряжений. М.: Высш. шк., 1973. 528 с.

4. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1978. 687 с.

5. Бычков Ю. А. Аналитически-численный расчет динамики нелинейных систем / ИПЦ ГЭТУ. СПб., 1997. 368 с.

6. Бычков Ю. А., Щербаков С. В. Аналитически-численный метод расчета динамических систем. СПб.: Энергоатомиздат, 2001. 344 с.

A. V. Prikota

The Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI"

Analytical-Numerical Solution of a Cauchy Problem for Systems of Quasilinear Differential Partial Equations of a Hyperbolic Type

The method of a Cauchy problem solution for systems of the quasilinear equations of a hyperbolic type with two explanatory variables is offered. The method is expansion analytically-numerical method of a solution of the ordinary nonlinear nonautonomous differential equations systems on a set of equations in partial derivatives..