Спектральный анализ полупроводниковых СВЧ-устройств методом функциональных рядов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Электроника СВЧ

УДК 621.382 82.001

В. П. Разинкин, С. Ю. Матвеев, М. Г. Рубанович, В. А. Хрусталев,

А. Ж. Абденов

Новосибирский государственный технический университет

Спектральный анализ полупроводниковых СВЧ-устройств методом функциональных рядов

Разработана методика расчета спектральных составляющих выходного сигнала в полупроводниковых управляемых СВЧ-устройствах на основе функционального ряда Тейлора с учетом режима автосмещения на сопротивлении нагрузки. Проведена оценка точности нахождения гармонических составляющих тока полупроводниковых диодов.

Полупроводниковые СВЧ-устройства, нелинейный анализ, ряд Тейлора, детекторный эффект

Устройства управления амплитудой и фазой высокочастотных колебаний содержат нелинейные полупроводниковые элементы: коммутационные диоды, варикапы, биполярные и полевые транзисторы. В общем случае эти элементы нельзя считать безынерционными, т. е. их нелинейность носит комплексный характер. При входном гармоническом высокочастотном сигнале в полупроводниковых устройствах возникают нелинейные искажения, проявляющиеся в возникновении новых спектральных составляющих. Количественно уровень нелинейных искажений определяется коэффициентом гармоник Кп = 201§ (1п/1\), где ¡\, 1п - амплитуды первой и п-й гармоник тока, протекающего через нелинейный элемент, соответственно.

На основе имеющейся классификации нелинейные элементы разделяются на элементы с существенной и с несущественной нелинейностями. Известно несколько критериев данного разделения, например по величине угла отсечки тока, обусловленного выбранным положением рабочей точки. Однако более универсальным подходом является классификация по коэффициенту гармоник Кп : при Кп < -20 дБ нелинейность является несущественной.

Для нахождения спектрального состава выходного сигнала в нелинейных устройствах применяются как численные, так и аналитические методы. Численные методы имеют сложные алгоритмы и не обладают физической наглядностью. Среди аналитических методов большое распространение получили метод гармонического баланса, основанный на спектральном подходе, и метод функциональных рядов Тейлора [1]. Метод гармонического баланса обеспечивает достаточно высокую точность при больших уровнях амплитуды входного сигнала, однако из-за большого объема вычислений предъявляет очень высокие требования к ресурсам и производительности компьютера. В режиме малого сигнала или при несущественной нелинейности для определения спектрального состава тока приме-

62

© В. П. Разинкин, С. Ю. Матвеев, М. Г. Рубанович, В. А. Хрусталев, А. Ж. Абденов, 2006

няют метод функциональных рядов. Этот метод характеризуется большой скоростью вычислений, что позволяет эффективно проводить оптимизацию параметров полупроводниковых устройств. Основным допущением данного метода является фиксированное напряжение смещения в рабочей точке нелинейного элемента. В результате этого допущения при уровне высокочастотного сигнала, соизмеримом с температурным потенциалом фт

(при комнатной температуре фт = 0.026 В), резко возрастает погрешность расчета. Этот

рост связан прежде всего с тем, что указанное допущение не позволяет учесть автосмещение на сопротивлении нагрузки, возникающее из-за проявления детекторного эффекта.

Целью настоящей статьи является представление методики расчета, учитывающей проявление детекторного эффекта и обеспечивающей повышение точности определения спектральных составляющих при описании нелинейных элементов с помощью функциональных рядов.

В первом приближении входную проводимость полупроводниковых элементов можно представить в виде параллельного соединения безынерционной активной проводимости и диффузионной емкости прямосмещенного р-и-перехода [1]. При обратном смещении следует учитывать барьерную емкость.

Для нелинейной безынерционной активной проводимости, имеющей вольт-амперную

характеристику I (и), разложение в ряд Тейлора в окрестности рабочей точки ио имеет вид

I (u) = I (u0) + [dI (U)/dUU u + [d2I (U)/2dU2 \ u2 + [d3I (U)/6dU3 \ u3 +..., (1)

где uo, u - соответственно, напряжение смещения и переменная составляющая напряжения, приложенные к нелинейному элементу; U = uo + u ; I (uo ) - постоянная составляющая тока в рабочей точке при u = 0 .

Запишем степенной ряд (1) в более компактном виде:

I (u) = go + glu + g2u 2 + g3u3 + g4u 4 + - ■, (2)

где go = I(uo); gi = [dI(U)/dU]v=Uo gi =[d21(U)/2dU2=Uq ; ...

В выражении (2) третье и последующие слагаемые правой части описывают образование высших гармонических составляющих при одночастотном входном воздействии или комбинационных составляющих при многочастотном воздействии. Амплитуда первой гармоники тока диода определяется проводимостью, выражение для которой получим с помощью тригонометрических формул кратных углов и подстановки u = ud cos at в (2):

G (ud ) = gi + (3/4) g3ud[ + (5/8) g5ud +..., (3)

где ud - амплитуда высокочастотного сигнала на диоде; ю - частота высокочастотного сигнала.

Как видно из соотношения (3), gi представляет собой линейную, или малосигнальную составляющую активной проводимости нелинейного элемента. Следует отметить, что выражение (3) приведено в общем виде и справедливо для произвольной функции, описывающей вольт-амперную характеристику I (U) полупроводниковых приборов различного типа.

Вольт-амперная характеристика полупроводникового диода, выполненного на основе р-и-перехода, достаточно точно описывается экспоненциальной функцией:

I = /5 (еаи -1) . (4)

где /8 - ток насыщения; а - нормирующий множитель, обратно пропорциональный температурному потенциалу фт.

Подставив (4) в (2), получим

I (и) = гн (еаи° -1) + шнеам°и + (12)а2/неам°и2 + (1/6)а3/неам°и3 +.... (5)

Из соотношений (3) и (5) следует выражение для проводимости полупроводникового диода О (ид), имеющего экспоненциальную вольт-амперную характеристику:

О (ид ) = ш0еам° + (18)а3/0еам° и2 + (1192) а5/0еам° и4 + ... . (6)

Нелинейная емкость в общем случае определяется нелинейной зависимостью заряда от напряжения. Для этой нелинейной зависимости запишем степенной ряд, аналогичный (2):

0(и) = 0(и0) + \<0(и)1ёи\и и + (и)/2ёи2]и и2 +\dЪQ(ии)/6dU3]и= иЪ + ... .

Этот ряд можно представить в более компактном виде: 0 (и) = С0 + е^и + е^и2 + сзи3 + +е4и4 + ..., где с0 = 0 (и0 ) ; е1 = (и]| е2 = ^20 (и V2dU

1и—М0

и =И0

Продифференцировав это выражение по переменной и, получим формулу для нелинейной емкости:

е (и ) = С1 + 2е2и + 3е3и2 + 4с4и3 +... . (7)

При гармонической форме переменной составляющей напряжения из соотношения (7) с помощью тригонометрических формул кратных углов получим составляющую емкости, определяющую амплитуду первой гармоники проходящего через нее тока:

С (ид ) = С1 + (3/2) С3^ + (15/8) е5и4 +... . (8)

Первое слагаемое е^ в рядах (7) и (8) представляет собой линейную, или малосигнальную составляющую емкости. Соотношение (8) применимо для различных функций 0 (и), аппроксимирующих зависимость заряда от напряжения на нелинейной емкости.

Перейдем к конкретному случаю полупроводникового диода, для чего воспользуемся известным выражением для его диффузионной емкости [2]:

ед (и) = атр0 [еа(м° +и) -1] = а0 (и) = атр1 (и), (9)

где тр - время жизни дырок в базовой и-области.

С учетом соотношения (9) ряд (7) преобразуем к виду

ед (и) = атр0 (еам° -1) + а2тр10еаи0и + (1/2)а3тр10еаи0и2 + ... . После очевидных преобразований получим выражение

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2006. Вып. 3

сд (и) = с + (с + атро) [аи + (1/2) (аи)2 + (1/6) (аи)3 + (124) (аи)4 + ... ,

где с = ат(еа"0 -1) - диффузионная емкость в рабочей точке при и = 0 .

Составляющая диффузионной емкости, определяющая амплитуду первой гармоники тока, протекающего через нее, при гармонической форме переменной составляющей напряжения определяется как

2 4

Сд (ид ) = с л- (с + ахр10) (14) (аид ) + (1/64) (аид ) + ... . (10)

Выражения (6) и (10) являются основой для определения рабочей точки нелинейного элемента в различных схемах полупроводниковых управляемых СВЧ-устройств не только при условии малого сигнала аид << 1, но и для случая аид « 1. При строгом выполнении

условия малого сигнала аид << 1 (ид <<фт) из (6) и (10) следуют известные выражения [3]: О = а/5еам°; Сд = с = атр/8 (еа"0 -1). При достаточно большом прямом смещении (аи0 > 1) малосигнальная проводимость О и емкость Сд связаны между собой соотношением Сд = От р.

Комплексная проводимость прямосмещенного полупроводникового диода, определяющая амплитуду первой гармоники тока, описывается выражением У (ид ) = О (ид ) + 'ю С (ид ). Наряду с диффузионной емкостью в дециметровом и сантиметровом диапазонах необходимо учитывать межэлектродную емкость диода С0: У (ид ) = О (ид ) + у'ю [С (ид ) + С0 ] .

На рис. 1, а приведена однодиодная схема управления амплитудой высокочастотных колебаний с последовательным включением полупроводникового диода УБ1 и резистив-ной нагрузки Ян. Инерционность нагрузки учтена включением емкости Сн параллельно

Ян 1. Генератор входного гармонического сигнала ивх имеет внутреннее сопротивление . Рабочую точку диода УБ1 задает источник постоянного напряжения смещения Е0. На рис. 1, б приведена эквивалентная схема на переменном токе для расчета спектральных составляющих методом ряда Тейлора. Генераторы тока 1п (п = 2, 3, ..., т), подключенные параллельно нелинейному элементу (диоду У01), учитывают высшие

Рис. 1

б

а

1 В полупроводниковых управляемых устройствах (модуляторах) эта емкость должна быть сведена к минимуму.

65

гармоники, максимальный номер которых равен m [3]. Методика расчета In с учетом режима автосмещения для случая auд < 1...3 приведена далее.

Аналитический расчет схемы на рис. 1, б сводится к схемотехническому анализу цепей с несколькими источниками тока, имеющими частоты mœ, в частотной области.

Амплитуды гармоник тока, обусловленные нелинейностью вольт-амперной характеристики I (U) в схеме на рис. 1, б, для значения m = 5 определим с помощью ряда (5) и тригонометрических формул кратных углов:

I'= iseau0 (aud + a3ud/8 + a5ud/192);

I'l= iseau° (a2ud /4 + a4u4/48);

< I3 = fseau° (a3ud/24 + 5a5ud/384); (11)

I4= iseau° (a4u4/192);

I5 = iseau° (a5u5/1920).

Постоянная составляющая тока через полупроводниковый диод

I0 = is (eau0 -1) + i0eauo (a2u^/4 + а4u^/64) . (12)

С помощью соотношения (10) и тригонометрических формул кратных углов для m = 5 получим выражения для комплексных амплитуд первой и высших гармонических составляющих тока, обусловленных диффузионной емкостью:

îî = j® {с + (с + ат pis ) _(1/ 4 ) ( aud )2 + (1/64 ) ( aud )4 _} ud;

I2= j 2> (

с + ат pis )

3

ud; 4

(1/8 ) (a ud ) + ( 5/192 ) (a ud )

3

ud;

(13)

(12 )а ид + (112 ) (а ид )3

13 = '3ю (с ■ 4 ( )2

14 = '' 4ю (с + ат ) (148 ) ( аид )3 ид; ¡'5 = '5ю (с + ат рг$) (1384) ( аид )4 ид.

Для прямосмещенного р-п-перехода, шунтированного диффузионной емкостью, комплексные амплитуды гармоник тока находятся суммированием соответствующих выражений (11)—(13):

1п = Гп+ 1Щп. (14)

При одночастотном входном сигнале в схеме на рис. 1, а напряжение в рабочей точке и0 определяется не только источником постоянного напряжения смещения Е0 , но и амплитудой источника входного высокочастотного сигнала ивх. Данная схема кроме полупроводникового диода содержит реактивные и резистивные элементы, поэтому на высоких частотах напряжение на диоде будет иметь фазовый сдвиг фд. С учетом изложенного определить рабочую точку и0 , амплитуду переменной составляющей на диоде ид и его начальную фазу фд можно с помощью системы трех нелинейных уравнений, составленной на основе законов Кирхгофа: 66

"о + (Яг + Ян) /о ("о, "а)=Ео;

< Яе({Яг +[Я^/(1 + ]ьЯнСн)] + Л ("о,"а)в^ + Щв^ ) = ивх; (15)

1т ({Яг +[ Ян/(1+)]+/1 ("о, "а) в]ф + ) = о.

Анализ уравнений (15) показал, что в рамках сделанных приближений эта система имеет единственное решение, которое с высокой точностью может быть найдено численно. При инициализации расчетов в качестве начального приближения искомых переменных рекомендуется взять значения: "о = Ео; "а = ивх; ф^ = о. Если схема полупроводникового управляющего устройства будет отличаться от приведенной на рис. 1, а, то, пользуясь законами Кирхгофа, необходимо составить другую систему уравнений, аналогичную (15). Это означает, что предложенный подход применим, в частности и для устройств, содержащих несколько управляющих элементов.

Из рассмотрения схемы на рис. 1, а, описываемой системой уравнений (15), следует, что входной высокочастотный сигнал с амплитудой ивх вызывает изменение исходного положения рабочей точки за счет возникновения на суммарном резисторе Я = Яг + Ян напряжения

автосмещения, что соответствует проявлению детекторного эффекта. Отметим, что детекторный эффект в схемах управления амплитудой высокочастотных колебаний, а также в модуляторах, представляет собой зависимость постоянной составляющей тока через нелинейный элемент /о от амплитуды входного высокочастотного сигнала ивх, изменяющей уровень регулируемого сигнала на выходе и увеличивающей нелинейные искажения.

На рис. 2 приведены рассчитанные среде МаШСаё для схемы на рис. 1, а зависимости нормированных постоянных составляющих тока и напряжения диода УБ1: /о (ивх )/ /о (о); "о (ивх )/ "о (о). Система нелинейных уравнений (15) решалась численно в среде МаШСаё для экспоненциальной вольт-амперной характеристики диода

i = is Ie - \). Значения параметров is =\0-9 А и a = 38.46 В взяты из типовой

модели,

входящей в библиотеку стандартных элементов САПР "Microwave Office 2002" [3]. При расчете были приняты следующие значения параметров: Ео = 0.5 B; R = \00 Ом; юЯнСн = 0.2; ют p = 0.2.

Как видно из зависимостей на рис. 2, рост постоянной составляющей тока ¡0

вследствие детекторного эффекта вызывает существенное изменение положения рабочей точки U0 за счет автосмещения на суммарном сопротивлении нагрузки.

¡0(0)'

0.2 0.4

Рис. 2

0.6

U,„, В

0

Рис. 3 Рис. 4

На рис. 3 приведены графики зависимости амплитуды первой гармоники тока через диод УБ1 ¡1, рассчитанные по выражениям (11)-(14) с учетом режима автосмещения (число учитываемых гармоник т = 5, кривая 1) в сравнении с полученными при фиксированном напряжении смещения (кривая 2) и методом гармонического баланса (кривая 3) [3].

На рис. 4 приведен график зависимости амплитуды второй гармоники тока через диод УБ1 ¡2, рассчитанный с учетом режима автосмещения, от уровня входного сигнала (кривая 1) в сравнении с аналогичной зависимостью, полученной методом гармонического баланса (кривая 2).

Из рассмотрения зависимостей на рис. 3 видно, что погрешность определения амплитуды первой гармоники тока ¡1 предложенным методом, учитывающим режим автосмещения, не превышала 10% для значений амплитуды входного высокочастотного сигнала ивх < 0.4 В. При ивх = 0.4 В нормированная амплитуда высокочастотного напряжения на диоде составила = 3.18. При выполнении условия < 1 точность определения гармонических составляющих тока не превышала десятых долей процента. При расчетах без учета режима автосмещения (кривая 2) погрешность при ивх = 0.4 В составляла 23.3%. Сопоставление кривых 1-3 на рис. 3 позволяет сделать вывод о том, что предложенный метод для указанных значений амплитуд ивх имеет в несколько раз меньшую погрешность при сохранении высокого быстродействия по сравнению с традиционным способом использования ряда Тейлора. Анализ показывает, что в широком диапазоне изменения напряжения смещения £0 точность расчета значений первой гармоники предложенным методом повышается на 4.. .6 дБ. Предлагаемый метод также повышает точность расчета амплитуд высших гармоник тока.

Соотношения (11), описывающие гармонические составляющие тока как функцию амплитуды высокочастотного напряжения на диоде , представляют собой степенные ряды. Для исследования сходимости степенного ряда, описывающего первую гармонику тока, воспользуемся признаком Коши: тхт < 1.

На рис. 5 приведен результат расчета нормированной амплитуды , соответствующей радиусу сходимости согласно признаку Коши, в зависимости от количества учи-68

аы^

2.4

1.6

0.8

0.2

0.4

0.6

Е>, В

-5

-10 -

-15 -

_1_

_1_

3 4 Рис. 5

Къ дБ

Рис. 6

тываемых членов степенного ряда т . Поскольку зависимость, показанная на рис. 5, имеет тенденцию к насыщению, достаточное число учитываемых членов степенного ряда составляет т < 7. При гармоническом сигнале число учитываемых членов степенного ряда равно числу учитываемых высших гармоник.

Если использовать для оценки сходимости более чувствительный к числу учитываемых членов ряда признак Бертрана 1п(т-1)[(т-1)(хт-ц/хт-1)-1] > 1, то при т = 5 получим значение радиуса сходимости ам^ < 3.83 . Поскольку тригонометрические формулы кратных углов не позволяют перейти в признаках сходимости к предельной форме, т. е. обеспечить выполнение условия т ^ да, соответствие полученных радиусов сходимости можно считать вполне удовлетворительным. Таким образом, учет режима автосмещения дает возможность использовать функциональный ряд Тейлора для достаточно точного спектрального анализа полупроводниковых устройств при ограничении ам^ < 3. Это ограничение на порядок больше, чем известное условие режима малого сигнала ам^ << 1, используемое во многих методиках [3].

Соотношения (11) и система уравнений (15) также позволяют рассчитать зависимость коэффициента гармоник от значения напряжения источника смещения Е0. На рис. 6 показана зависимость коэффициента второй гармоники К2 от напряжения смещения Е0, рассчитанная для устройства управления амплитудой высокочастотных колебаний по эквивалентной схеме на рис. 1, б. Положение рабочей точки диода м0 для каждого значения

Е0 определялось по схеме на рис. 1, а. Из рис. 6 следует, что с уменьшением напряжения смещения Е0 нелинейные искажения

по второй гармонике возрастают, что обусловлено снижением коэффициента передачи схемы на рис. 1, б.

На рис. 7 приведена рассчитанная с помощью системы уравнений (15) частотная

0.80 0.75

0

0.2

0.4

Рис. 7

0.6

ют,

0

0

1

2

5

6

т

характеристика детекторного эффекта, проявляющегося в схеме управления амплитудой высокочастотных колебаний (см. рис. 1, а). Как видно из этой характеристики, в области высоких частот диффузионная и межэлектродная емкости диода УБ1 заметно подавляют детекторный эффект в исследуемой схеме управления амплитудой высокочастотных колебаний, что объясняется снижением уровня высокочастотного напряжения на диоде.

В области низких частот при выполнении условий ютр << 1 и юКнСн << 1, в схеме

на рис. 1, а влиянием реактивных элементов можно пренебречь и считать, что « 0. В этом случае определить положение рабочей точки щ и амплитуду переменной составляющей на диоде и^ можно с помощью системы двух нелинейных уравнений, составленной на основе законов Кирхгофа:

1^0+¡0 (щ) к = £0;

К + ¡1 (^ иА ) К = ивх.

При гармоническом входном сигнале в области низких частот появляется возможность точно определять ¡0 и ¡^ с помощью разложения в ряд Фурье:

¡0 (и0, пА ) = — 2П /0 [еа(м0 +и^С05 ) -1] а (Ш) = г0 \ваи0 В0 (аиА ) -1

/ ТГ —

0 2п

¡1 (и0, ий ) = — } /0 [еа(и° +и*С05 ю *) -1] С08 (Ш) а (ш) = 2г0ваи0 Вх (аий ),

0

где В0 (аид ), В^ (аид) - модифицированные функции Бесселя нулевого и первого порядков соответственно.

Составляющие ¡0 и ¡^ можно также определять по выражениям (11) и (12), представляющим собой степенные ряды. Однако при этом возникает погрешность за счет ограниченного числа членов степенного ряда.

Система уравнений (16) позволяет проводить расчет режима работы низкочастотных управляющих устройств либо использовать найденные значения и0 и и^ в качестве начального приближения при решении системы уравнений (15), описывающей режим работы управляемых устройств в области высоких частот.

На основании проведенного анализа можно сделать следующие выводы.

При определении спектральных составляющих в полупроводниковых управляемых СВЧ-устройствах с помощью функциональных рядов Тейлора в условиях режима малого сигнала необходимо учитывать детекторный эффект, проявляющийся в зависимости напряжения автосмещения на сопротивлении нагрузки от величины амплитуды входного высокочастотного сигнала. Этот учет обеспечивает повышение точности расчета спектральных составляющих на 4.6 дБ и снижение требований к условию режима малого сигнала на 10 дБ.

Нахождение рабочей точки по предложенной в статье методике позволяет при заданном уровне входного гармонического сигнала определять коэффициенты для описания

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2006. Вып. 3

нелинейных элементов, используемых во многих системах автоматизированного проектирования электронных схем.

Разработанная методика предназначена для проведения спектрального анализа в широкополосных устройствах различного назначения, содержащих полупроводниковые элементы, в которых на высоких частотах существенно проявляются диффузионная емкость, межэлектродная емкость и индуктивность выводов.

Библиографический список

1. Maas S. A. Analysis and optimization of nonlinear microwave circuits by volterra series // Microwave J. 1990. Vol. 33, № 4. P. 245-251.

2. Каганов В. И. Радиотехника + компьютер + MATHCAD М.: Горячая линия - Телеком, 2001. 416 с.

3. Разевиг В. Д., Потапов Ю. В., Курушин А. А. Проектирование СВЧ-устройств помощью Microwave Office / Под ред. В. Д. Разевига. М.: СОЛОН-Пресс, 2003. 496 с.

V. P. Razinkin, S. J. Matvejev, M. G. Rubanovitch, V. A. Khrustalev, A. G. Abdenov Novosibirsk state technical university

Spectral analysis of semiconductor microwave devices by a functional series method

The technique of calculation of spectral component of an output signal in a semiconductor microwave devices on the basis of Tailor functional series with regards to a condition of an auto displacement on load resistance is developed. The evaluation of exactitude of a current harmonics determination formed in semiconductor diodes is carried out. The association of admissible magnitude of a high frequency signal amplitude from number of taken terms of a functional series circumscribing a current through the diode is defined.

Semiconductor microwave device, nonlinear analysis, Tailor series, detection effects

Статья поступила в редакцию 21 октября 2005 г.