CC BY
83. Степанянц С.А., Хахипов И.В. О взаимосвязях методов Вороного // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2014. № 1. 60-63.
4. Степанянц С. А. Теоремы тауберова типа и лакунарные условия для методов суммирования Чезаро и Рисса // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1996. № 4. 41-45.
Поступила в редакцию 14.06.2013
УДК 517.518
О РАВНОСХОДИМОСТИ РАЗЛОЖЕНИЙ В ТРОЙНОЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ С НЕКОТОРЫМ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ
Д. А. Графов1
В работе исследуется вопрос о равносходимости на Т3 = [—7г, 7г)3 разложений в тройной тригонометрический ряд и интеграл Фурье непрерывных функций с некоторым модулем непрерывности в случае "лакунарной последовательности частичных сумм".
Ключевые слова: кратные тригонометрические ряды Фурье, кратные интегралы Фурье, сходимость почти всюду, лакунарная последовательность.
We study the problem of equiconvergence on T3 = [—7г,7г)3 for expansions in a triple trigonometric Fourier series and a Fourier integral of continuous functions with a certain modulus of continuity in the case of a "lacunary sequence of partial sums".
Key words: multiple trigonometric Fourier series, multiple Fourier integrals, convergence almost everywhere, lacunary sequence.
1. Введение. Рассмотрим TV-мерное евклидово пространство элементы которого будем обозначать через х = (х\,... ,хм), и положим (пх) = П\Х\ + ... + 71n%n, \х\ = {х\ + ... + x2N)1/2. Введем множество М^ = {(х\, ... ,xn) € Mw : Xj ^ a, j = 1,..., N}, а € R1, и множество ZN С Mw всех векторов с целочисленными координатами. Положим = R^ П Z,N.
Пусть 2-/г-периодическая (по каждому аргументу) функция / € Li(Tw), где TN = {х € : —7Г ^ Xj < тт, j = 1,..., N}, разложена в кратный тригонометрический ряд Фурье: f(x) ~ ■
Для любого вектора п = (п ..., tin) € рассмотрим прямоугольную частичную сумму этого ряда Sn(x] /), которую можно представить в виде
Sn(x]f) = ^ü J f(x + и)Dn(u)du =J f (и)Dn(u,-x)du, (1)
qp дг qpAT
где Дг(£) = ВП1{и)... 0Пм(гм), ДгД^-) = ; п е — ядро Дирихле.
2 вт
Пусть функция д € ЬДМ^) разложена в кратный интеграл Фурье: д(х) ~ / "частичную
сумму" которого можно представить в виде
,1а(х-,д) = J g(u)Da(u-x)du, (2)
где Ъа{1) = Ъа1(и)... £>ам(1м), Д, .(*,■) = а3 € М*, - упрощенное ядро Дирихле.
Возникает следующий вопрос: если д{х) = /(ж) при х € Тм, а п = ([ск1 ],..., [сад]) € , где [<Х/]
кно сказать о разности
Ка(х; /) = Ка(х; /, д) = 5"га(ж; /) - ,1а(х] д)
целая часть <х/ € М1, то что можно сказать о разности
при х
<Е TN?
1 Графов Денис Александрович — аси. каф. математического анализа и геометрии физ.-мат. ф-та МГОУ, e-mail:
grafov.denQyandex.ru.
При решении этого вопроса будем предполагать, что
д(х) = 0 вне TN. (3)
В случае N = 1 для функции / € Li(T1) на любом отрезке, целиком лежащем внутри интервала (—7г,7г), разность Ra(x] /) равномерно стремится к нулю при а —> оо (см. [1, с. 362-364]). Таким образом, в одномерном случае имеет место равномерная равносходимость разложений в тригонометрический ряд и интеграл Фурье (при этом условие (3) для функции д(х) несущественно).
В работе [2] И. Л. Блошанский доказал, что для N = 2 и р > 1 разность Ra(x] /) —> 0 при а —> оо почти всюду (п.в.) на Т2 (при этом условие (3) для функции д(х) несущественно). Там же установлена существенность вида сходимости Ra(x] f) и условий N = 2, р > 1. Так, в L\ приведен пример функции /1, такой, что lim \Ra(x~, /1)| = +оо в каждой точке х € TN, N ^ 2, и построены непрерывная функция
а—>оо
/2 € С(Т2), такая, что lim |Да(0;/2)| = +оо, и непрерывная функция /3 € C(TW), N > 2, такая, что
а—>оо
lim IRa(x] /з)| = +оо всюду внутри TN.
а—>оо
Таким образом, начиная с трехмерного случая равносходимость п.в. разложений в кратный тригонометрический ряд и интеграл Фурье отсутствует даже для непрерывных функций.
Однако если мы рассмотрим более "гладкие функции", например функции из класса
H"(TN) = \feC(TN):uj(S,f)= sup \f(x)-f(y)\=0(uj(ö))
I x — у I <5,
ч x,yeTN
то, как было установлено И. Л. Блошанским [3], для функций / € нш(Т3), где ш{5) = o(ujq(5)) при 6 —> +0, a oJo(S) = (log I log log log |)_1, имеем
Ra(x] f) = Sn(x] f) - Ja(x] f) 0 при a оо п.в. na TT3, (4)
где Ja(x] f) — так называемый (см. [3]) "усеченный интеграл Фурье", т.е. интеграл вида
Ja{x] /) = ~з J f(u)Da(u-x)du.
т3
Заметим, что класс функций НШ(Т2) с модулем непрерывности co(ó) = о(соо(6)) при S —> +0 впервые появился в работе К. И. Осколкова [4], где была доказана сходимость п.в. в этом классе двойных рядов Фурье (суммируемых по прямоугольникам).
Но уже в классе НШ2(Т3), определяемом модулем непрерывности ui2(ö) = A(á) • wi(á), где wi(á) = (log I) 1, а произвольная функция A(ó) удовлетворяет (при 6 —> +0) двум условиям: A(S) монотонно
стремится к +оо и A(S) ■ (log 1 стремится к +0 — оценка (4) несправедлива (доказательство этого факта было получено И. Л. Блошанским [3] с помощью оценок работы М. Бахбуха и Е. М. Никишина [5]).
Сформулированные выше результаты ставят вопрос о справедливости равносходимости п.в. разложений в тройной тригонометрический ряд и интеграл Фурье в классе функций более широком, чем НШ(Т3), где cu(ö) = o(u}q(5)) при ö —> +0, при дополнительных ограничениях на вектор а. В работе [6] введено следующее понятие.
Определение. Вещественная последовательность {а:^}, а^ € K¿, А = 1,2,..., называется ла-кунарной, если последовательность натуральных чисел {п^}, п^ = [а*-^], является лакупарпой, т.е.
пу
(1) = 1и^>?>1, А = 1,2,
nW
Заметим, что в классах Ьр(Т3), р > 1, имеет место равносходимость п.в. на некоторых подмножествах Т3 в случае "лакунарной последовательности частичных сумм", если накладывать дополнительные условия на функцию /(ж) (см. [6, теорема 4]). Рассмотрим следующий класс функций:
Нш (ТГ3) = <{ / € С(Т3) : U)*(S, f) = sup \/(х1,х2,хз)-Пх1,у2,уз)\=0(и(6))
(Х2-У2)2+(Х3-УЗ)2«>2>
Xj>Vj£ т1, j=l,2,3
где ш(5) = о(шо(5)) при 5 —> +0. Очевидно, что Нш(Т3) С Нш (Т3). В настоящей работе мы докажем следующий результат.
Теорема. Пусть {с//^}, с//^ € Мц, Лх = 1,2,..., — вещественная лакунарная последовательность
и
Я (-4) (ж;/) = <5 (лх) (ж;/) -.] (Л1) (ж;/), «х , «2, «3 Щ 1 , П2, газ «х , «2, «3
й(9е п1^ = [а:^1^], п.,- = [<Х/]; ] = 1,2. Тогда для любой функции / € Нш* (Т3)
lim Е (л,) (x]f)=0 п.в. Т3
Ai, «2, «3—I-OO «1 , «2 , «3
(5)
более того, существует такое число р = р(/) € М}6; что
SUP «2
^ С(р) [w*(l, /) + ||/||lp(T3)] , Р> 1,
LP(T3)
константа С(р) 2 не зависит, от, функции /(ж).
2. Доказательство теоремы. Пусть {тг,^ та^ € Л1 — 1, 2,..., — лакунарная последовательность. Символом пх обозначим вектор пх = (ппз) € Справедлива следующая лемма. Лемма. Для любой функции / € Нш (Т3)
Snx(x-, /) = Л / f(u)Dnx(u - x)du + Inx(x, /),
TT
(6)
т3
й(9е /гал(ж,/) —>■ 0 при Х\, п2, пз —> оо п.в. на Т3; более того, существует такой номер в = 0(/) € Z
что
sup |/гал(ж,/)|
гЛей3
^ С(р) [w*(l, /) + ||/||lp(t3)] i Р>1,
16?
(7)
Lp(Т3)
константа С(р) не зависит, от, функции f{x).
Доказательство. Введем функцию Gr(t) = Dr(t) — Dr(t) = (p(t)s'mrt + ^cosrt, где <p(t) — 2tt-иериодическая функция, которая на [—тт, тт) определяется так:
= Д ctg § - ± при i € [-тт, 0) U (0, тг),
0 при £ = 0.
Распишем частичную сумму ¿>гал(ж;/) функции / следующим образом:
¿>гал(ж; /) = —т [/(и)Оп(\) (и — х)(1и\(1и2(1из = —т [ /(и)Оп(\)(и — х)(1и\(1и2(1из+
тт-
ТТ
Т3
т3
7Г"
н—Ч / Дч) -С - Ж1)Сга2Си2 - Х2)СПз(и3 - Хз) + Dn2(u2 - X2)G - xi)Gn3(u3 - х3)+
т3
+Dns(u3 - хз)G (ax>(ixi - х\)Gn2(u2 - х2)
du\du2du3+
TT
Н—ч / /(«) D (x1)(ui-xi)Dn2(u2-x2)Gn3(u3-X3) + D (x1)(ui-xi)Dn3(u3-X3)Gn2(u2-x2)
du\du2du3+
т3
+Д- [ f{v)Dn2(v,2 - x2)Dn3(u3 - хз)С (A!)(«i - Xi)du\du2du3+
TT
T3
2 В дальнейшем через С, С{р) будем обозначать константы, вообще говоря, разные.
14 ВМУ, математика, механика, № 1
+ Дт / /(и)С (А!) (гЛ1 - Х\)СП2(и2 - Х2)СПз(из - Хз)с1и1с1и2с1из = 7Г ] п1
т3
7Г
¡(и)Оп(х)(и - х)йи\йи2йиг + Д^
т3
+ Дт [ ¡(и)С (А!) (гЛ1 - Ж1)Сга2(и2 - Х2)СПз(из - Хз)с1и1с1и2с1из =
7Г 7 га1
т3
7Г
/(у)Оп(\)(и — х)(1и\(1и2(1,из + 1пх(х, /).
(8)
т3
Очевидно, что последний интеграл из 1п\(х,/) не превосходит СЦ/Ц^^з). Предложение 1. Для любой функции /
8пр
Л1,г12,гг,з> 0
^С(р)У\\Ьр{т3), р>1,
(9)
ьР(т3)
й(9е константа С(р) не зависит от, функции /.
Доказательство. Оценим ^^(ж,/) = для чего оценим каждый из интегралов, вхо-
п к= 1 ""
дящих в /), например
4л2) /) = Л / ¡(и)ПП2 («2 - (Л!) («1 - Ж1)Сгаз («3 - Жз) (1и2 (1из-
II 7Г° 7 га1
т3
Учитывая определение функции Сг(£), распишем интеграл А^х2\х,
^1л2)(ж,/) = Л [ ¡(и)0П2(и2 - х2)С (х^их-Х1)Опъ{из-хз)(1и1(1и2(1из-
п -д-о у
т3
7Г
}'(и)СП2(и2 — Х2)С (Л!)(«1 - Ж1)Сгаз(из - жз) йщ (1и2 йщ.
т3
Очевидно, что последний интеграл из (10) не превосходит С||/||^ (трз). Далее, рассмотрим и оценим первый интеграл из (10). Имеем
7Г
/(«)Дг2(^2 ~ Х2)С (Л!)(«1 -Ж1)Сгаз(из - Жз) йщ (1112 с1из
т3
<
7Г 7Г 7Г
^ С J J ^ J f(Ul,U2,Uз)Dn2(U2-X2)dU2
йи\ йиз-
— 7Г —7Г —7Г
(10)
(П)
Выражение под знаком модуля в последнем интеграле для почти всех (и\,из) € Т2 можно рассматривать как одномерную частичную сумму ряда Фурье (1) функции /(ж) по переменной ж2- В свою очередь для одномерной частичной суммы ряда Фурье функции (р £ Ьр^Т1), р > 1, справедлива оценка Ханта [7], т.е. оценка вида
п> 0
ьр(11)
Применяя ее в интеграле (11), учитывая неравенство Гёльдера и равенство (10), а также то, что остальные интегралы из ^^(ж,/) оцениваются аналогично интегралу А^х2\х, /), получаем
8ПР ж,/)|
\1,П2,пз> 0
что и доказывает предложение 1.
Предложение 2. Для любой функции / € Ьр
^С(р)\\ДЬр{т з),
ьр( т3)
8Щ) Ж,/)|
Л1,гг,2,г1з> 0
(12)
ьр(т3)
й(9е константа С('р) не зависит от, функции /.
2
Доказательство. Оценим /) = ^ А^хк\х, для чего оценим каждый из интегралов, вхо-
дящих в А Л (ж, /), например
¿¡=1
А[*х\х, /) = — / /(«)£> (Л1) (и 1 - Ж1 )ВП2{и2 - х2)Спз(и3 - ж3) (1щ йи2 с1и3.
ТТ-
т3
Учитывая определение функции Gí.(í), распишем интеграл Л^х\х,
А^ (ж, /) = Л / /(«)£> (Л!) («1 - х{)0П2 (и2 - х2)Опз (и3 - ж3) ¿«1 (1и2 йиг+
п -д-о у
т3
+Дт [ ¡(и) —И - Ж1)Сга2(и2 - ж2) - 0П2(и2 - х2)С (а1)(м1-Ж1) Спз(из - ж3) (1и2 с1щ+
т3
7Г
I (М)(.и1 ~ х\)СП2(и2 - х2)СПз(из - жз) с1и\ <1и2 с1из =
7Г 7 га1
т3
! ¡{и)Бп(Х1){и 1 -Ж1 )0П2(и2 -х2)СПз(из -Хз)йи1 йи2 с1и3 + А^х1\ж,/)+
г3
+Д- [ ¡(и)С (^(их - Х1)СП2(и2 - х2)Опз(из - хз) (1и\(1и2(1из. (13)
7Г .} п1
т3
Очевидно, что последний интеграл из (13) не превосходит С||/||^ (трз).
Интегралы из оцениваются аналогично интегралам из суммы А^х(х,/), следовательно,
8Пр ^(ж,/)!
Л1,П2, газ> 0
(14)
ьр( т3)
Далее, оценим первый интеграл из (13). Имеем
7Г
¡(и)И (Л!)(и1 - Ж1 )0П2(и2 - х2)Спз(и3 — жз) йщ (1и2 с1и3
т3
7Г П П
^ С j ф J ! /(«1,«2,«з)-С>п(А1)(«1 - Х1)0П2(и2 - Х2)йи\ йи2
— 7Г —7Г —7Г
<
(Ыз.
(15)
Выражение под знаком модуля в правой части (15) для почти всех из € Т1 можно рассматривать как двойную частичную сумму ряда Фурье (1) функции /(ж) по переменным х\,х2- Так как последовательность {та^1^} является лакунарной, то для оценки внутреннего интеграла в (15) можно применить мажорантную оценку П. Шелина [8]
вир (А-П (х-,<р)\
\ ^ п п-1 >п2
А1,П2>0 1
Ьр(Т2),
(16)
ьр(Т2)
где <р € Ьр(Т2), р > 1.
Применяя последнюю оценку в интеграле (15) и учитывая неравенство Гёльдера, оценки (13) и (14),
(2) * (2 1) а также то, что другой интеграл из А л (ж, /) оценивается аналогично А Л (ж, /), будем иметь
8ир Ж,/)|
Л1,г12,гг,з>0
<С-(р)||/||ьр(т 3).
ьр( т3)
Предложение 2 доказано.
Предложение 3. Для любой функции / € Нш (Т3) существует номер в = 0(/) € Z}6; при котором
8ир ж,/)|
гЛ€й3
<С(р)[ш*( 1,/) + ||/||МтЗ)], Р> 1,
(17)
ьр(Т3)
где константа С(р) не зависит от, функции /. Доказательство. Оценим ж,/):
/) = / ¡{и)ВП2{и,2 - х2)Опз(из - ж3)С (Л!)(и1) (1щ йи2 йиз =
7Г
т3
= Дт [ ¡{и)0П2(и2 - х2)Опз(из - хз)С (^(щ - х\) с1и1(1и2с1из+
7Г .} п1
т3
+Л- [ ¡(и) -0П2(и2 - х2)Спз(из - ж3) - Опз(из - хз)СП2(и2 - х2) С (^(щ - хг) йи\ йи2
т3
+Дт [ ¡(и)С (Аз_) - Ж1)Сга2(и2 - х2)СПз(из - жз) с1щ <1и2 йиз = 7Г 7 га1
т3
7Г
= Гз / ¡(и)0П2(и2 - х2)1)пз(из - хз)Сп(х1)(и1 - Х1) йих йи2 йи3 + (ж, /) +
т3
+ Дт [ ¡(и)С (^(их - Х1)СП2(и2 - Х2)СПз(из - Хз) (1и,1(1и2(1из. 7Г .} п1
т3
Очевидно, что последний интеграл из (18) не превосходит СЦ/Ц^ ^з).
Интегралы из Ад ж,/) оцениваются аналогично интегралу (11), следовательно,
(18)
8ир ^(ж,/)! Л1,г12,гг,з> 0
Далее, оценим первый интеграл из (18). Имеем
^адн/н^огз).
Ьр(Т3)
7Г
/ }'(и)ВП2(и2 — х2)ВПз(и3 — х3)С (Л!)(их - Ж1) с1и\ (1и2 с1и3 .) га1
<
< с
7Г
Ж Ж
J ! /(«Ъ«2,«з)Аг2(и2 - Ж2)Дг3(иЗ - Ж3)
йил .
(20)
Выражение под знаком модуля в правой части (20) для почти всех «1 € Т1 можно рассматривать как двойную частичную сумму ряда Фурье (1) функции /(ж) по переменным ж2,жз. Тогда для оценки внутреннего интеграла в (20) можно применить мажорантную оценку из работы И. Л. Блошанского и Т. А. Мацеевич [9]
вир |5п(ж;ф)\
п&?0
<С(р)[и( 1,^) + |М1мт2)], р>1, (21)
Ьр{т2)
где <р € Нш(Т2), = о(и0(5)) при 6 ->■ +0, 0 = 0(/) €
Применяя оценку (21) в интеграле (20) и учитывая неравенство Гёльдера, а также оценки (18) и (19), получим
8ПР ж,/)|
гал€Е?
< С(р) [^*(1,/) + ||/||ьр(ТЗ)]-
ьр(ТЗ)
Предложение 3 доказано.
В силу оценок (8), (9), (12) и (17) существует номер в = в(/) € такой, что
вир |/гал(ж,/)|
^ С(р) [^*(1, /) + ||/||ьр(т3)] •
ьр(ТЗ)
Используя последнюю оценку, а также рассуждения из доказательства предложения 5 работы [9], заключаем, что 1пх(ж, /) —> 0 при Х\, п2, пз —> оо п.в. на Т3. Лемма доказана.
Далее, по аналогии с вектором пх € Ж^ обозначим ах = (с//^, а2, аз) € Мд и рассмотрим следующую разность:
Яод(ж;/) = 5"гал(ж;/) - ,]ах{х]д). (22)
С учетом равенства (1) и (2), определения функций /(ж) и д(х) и леммы для частичной суммы ¿>гал(ж;/) (см. (6)) распишем разность (22) следующим образом:
Еах(х] /) = I /(и)Оп\(и — х)йи—^ [/(и)Оах(и — х)йи + /гал(ж, /) =
7Г"
7Г"
т3
т3
7Г
7Г
т2 ~Ж
+-
7Г
1 71"
Т2 —7Г
7Г
7Г
1- 7Г
Т2 ~Ж
Оп2(и2 - х2) - Д*2('и2 - ж2) |сЬ2 £>а1(Л1)(и1 - Ж1 )Дг3(«з - ж3)^1 (£и3+ Опз(из - ж3) - Ъаз(из - ж3) [сг«3 5а1(Л!)(гл - Ж1 )Ъа2(и2 - х2)<1и1 <1и2 + /гал(ж, /) =
^Е2(ж;/)+/гал(ж,/).
(23)
г=1
Оценим интеграл (ж;/). Сделав замену переменных «1 — Ж1 = и расписав упрощенные ядра Дирихле, а также применив вторую теорему о среднем, представим (ж; /) следующим образом:
1
1
ж —xi
О^х^^г-хг) - Б ^(щ-хг) = - J ¡(х1+и1,и2,и3)\ О^х^^^-Б ^(иг) \rlui =
— Ж — Ж — XI
7Т — Х1
- / /(Ж1 + и1,и2,и3)—
7Г .1 П1(А1) _ а'
[(л1)_а(А1)2 8т{
2
П\
— 7Г —Ж1
¿2
7Г
¡(х\ +и1,и2,из)со8(п1(-х^ + а^)^- йи\,
-&1
где 0 ^ ¿1, ¿2 < 27г. Имеем
" 7Г
¿2
-¿1
7Г
/(Ж1 +и1,и2,из)БП2(и2 - Ж2)-С,газ(Мз - Ж3) йи2йпз
х со8(п1(-Л1-) + а^1-1)^- (1и\,
откуда заключаем, что
1^а(ж;/)|^С J 1^2 ! ¡{и1,и2,из)0П2(и2-Х2)ВПз(из-хз)йи2йиз\йи1.
-Ж Т2
(24)
Далее, принимая во внимание мажорантную оценку для разности Ка1,а2{х] <р)> ^Р £ ¿зэ(Т2), р > 1 (см. [2, теорема 4]):
вир |Е«Ь«2(Ж;^)| 0!1,0!2> 0
Ьр(Т2)
(25)
(при условии, что ф(х) € Ьр(М2), р > 1, ^(ж) = <£>(ж) при ж € Т2), а также оценку (21), получаем мажорантную оценку для собственного интеграла Фурье (2) ,1а(х]ф) (-/V = 2) функции ф:
йир \.1аъа2(х,ф)\ (аьа2)еК 2
(26)
Ьр(Т2)
(при условии, что ф(х) = <£>(ж) при ж € Т2, (р(ж) € ЯШ(Т2), и)(6) = о(шо(£)) при 5 —>• +0, р = р(/) € М}6).
Поскольку выражение под знаком модуля в (24) для почти всех и\ € Т1 можно рассматривать как собственный интеграл Фурье (2) функции д(ж) по переменным Жз, то для оценки внутреннего интеграла в (24) можно применить мажорантную оценку (26). С учетом неравенства Гёльдера получим мажорантную
оценку для Д^д (ж; /):
8ир |д2(я;/)1
*Л€К3
<С(р)И1,/) + 11/11Ьр(ТЗ)].
(27)
ьр(т3)
Теперь оценим интеграл К 1{х] /). Сделав замену переменных и2 — Х2 = и'2 и расписав упрощенные
(2),
ядра Дирихле, а также применив вторую теорему о среднем, представим (ж; /) следующим образом:
6:
П2 - (Х2
7Г
-Я
1
7Г
/(«1,Ж2 + «2, (*!)(«! —Х1)Оп3(из - Жз) йщйиз
^2
М2
со$(п2 + скг)— (1и2
где 0 ^ ¿2 < 2-/Г. Тогда будем иметь
7Г
/(«1, «2, «з)-С>а1 (*!)(«! - Ж1 )Дг3(из - Жз) йи\йиз
(Ни 2-
(28)
Далее, принимая во внимание мажорантную оценку (25) и мажорантную оценку П.Шелина (16), получаем интегральный аналог неравенства П. Шелипа (для собственного интеграла Фурье (2) при N = 2), т.е. оценку вида
SUP \J (*!) (х]ф)\
\l,a2>0 al >а2
V(A i)-, (Ai) „i
(29)
LV(J2)
(здесь функция ф € ЬР(Ш ), р > 1, {а^ }, € М.5, Ах = 1,2,..., — вещественная лакунарная последовательность).
Применим в (28) интегральный аналог неравенства П. Шелипа (29). Используя неравенство Гёльдера,
—(2)
получаем следующую мажорантную оценку для В, л (ж; /):
sup |Я$(ж;/)1
Ai, «2, «з> 0
<C-(p)||/||Lp(T 3).
Lp(TT3)
Поскольку интеграл (ж; /) оценивается аналогично интегралу R>1 (ж; /), то
(30)
sup \R^l(x-f)\
Ai, «2, «з> 0
<C-(p)||/||Lp(T 3).
Lp(T3)
(31)
Из оценок (7), (23), (27), (30) и (31) следует существование числа р = p(j) € М}6, такого, что
sup \Rax(x]f)\
< °(р) [w*(i,/) + ||/||Lp(T3)].
Lp( ТЗ)
Из последней оценки получаем равенство (5), т.е. Дал(ж;/) 0 при Х\, а2, скз —> оо п.в. на Т3. Теорема доказана.
Автор приносит глубокую благодарность научному руководителю профессору И. Л. Блошанскому за постановку задачи и постоянное внимание к работе, а также к.ф.-м.н. О. В. Лифанцевой за полезные обсуждения и ценные замечания.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-00321).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 2. М.: Мир, 1965.
2. Блошанский И.Л. О равносходимости разложений в кратный тригонометрический ряд Фурье и интеграл Фурье // Матем. заметки. 1975. 18, № 2. 153-168.
3. Блошанский И.Л. О сходимости и локализации кратных рядов и интегралов Фурье: Канд. дис. М., 1978.
4. Осколков К.И. Оценка скорости приближения непрерывной функции и ее сопряженной суммами Фурье на множестве полной меры // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1974. 38, № 6. 1373-1407.
5. Бахбух М., Никишин Е.М. О сходимости двойных рядов Фурье от непрерывных функций // Сиб. матем. журн. 1973. 14, № 1. 1189-1199.
6. Блошанский И.Л., Графов Д.А. Равносходимость разложений в кратный тригонометрический ряд и интеграл Фурье в случае "лакунарной последовательности частичных сумм" // Докл. РАН. 2013. 450, № 3. 260-263.
7. Hunt R. On the convergence of Fourier series // Orthogonal expansions and their continuous analogues. Carbondale, Illinois: SIU Press, 1968. 235-255.
8. Sjölin P. Convergence almost everywhere of certain singular integrals and multiple Fourier series // Ark. Mai. 1971. 9, N 1. 65-90.
9. Блошанский И.Л., Мацеевич Т.А. Слабая обобщенная локализация для кратных рядов Фурье непрерывных функций с некоторым модулем непрерывности / / Метрическая теория функций и смежные вопросы анализа: Сб. статей. М.: АФЦ, 1999. 37-56.
Поступила в редакцию 20.09.2013
