CC BY
74
УДК 658.562.012.7
И.С. Картавцев, асп., (4872) 23-95-39, ivan [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПОДНАЛАДКИ СТАНКА С ЧПУ
Рассмотрена математическая модель процесса подналадки станка с ЧПУ, учитывающая величину линейного износа режущего инструмента, а также включающая в себя два типа производимых подналадок оборудования и позволяющая добиться нахождения более близкого к глобальному локального минимума функции затрат на контроль и производство продукции.
Ключевые слова: размер партии, тип подналадки, линейный износ, критерий оптимальности, контрольная карта.
При обработке деталей на станке с ЧПУ токарного типа, с использованием контрольных карт (КК) для улучшения качества продукции, в качестве показателя качества является диаметр обрабатываемой детали X(t), где t — номер обрабатываемой детали (наработка) с момента последней подналадки станка. Получаемый размер должен находиться в пределах поля допуска, то есть [5]:
X- < X(t) < X + ,
где Х - нижняя граница поля допуска; Х+ — верхняя граница поля допуска.
Выход X(t) за границы поля допуска означает брак первого типа, если X(t)<X или второго типа, если X(t)>X+.
Из-за износа резца диаметр каждой следующей обработанной детали изменяется на величину At, а размер, получаемый в процессе обработки, можно представить в виде нелинейной функции:
X (t ) = a0 + c1 'Ф^ ' с2) + А, (1)
где y(t) - неубывающая функция, равная 0 при t=0, характеризующая в среднем изменение размера получаемого на станке при обработке; а0 - начальный уровень настройки станка на обработку, мм; А - случайная компонента; cj - коэффициент, характеризующий изменение стойкости твердосплавной инструментальной пластинки при её замене во время подналадки станка; с2 - коэффициент, характеризующий изменение механических свойств обрабатываемого материала.
Функция y(t) может быть представлена в виде полинома соответствующей степени, то есть [1]
Ф^) = ait + а212 + ... + amtm, где a0,...,am - коэффициенты полинома, оцениваемые по методу наименьших квадратов в результате обработки предварительно собранной статистической информации.
Кроме тренда размерной настройки станка необходимо оценка разброса значений контролируемого параметра, которая также может быть представлена в виде полиномиальной модели:
282
dX(<) = Ь0 + Ь\1 + Ь2<2 + ... + Ь^, (2)
Для её определения используется статистика разности межу экспе-
риментальными данными и данными, полученными по модели показателя качества Х(х}\
|ЛХ(<) |=| X(<) - X |, (3)
Оценку параметров с\ и с2 можно найти из формулы математической дисперсии:
1 N
................ (4)
D (сЪ с 2 ) = —Е^ 1 - С1 ‘Ф(с2 <1)) ,
ы1=1
где N - количество деталей в рассматриваемой партии продукции, шт. дифференцируя её по С1 и с2:
Ю(!Ь С2) = N Е (Х 1 - С1 -Ф(с2<1 ))[-Ф(с2<1)],
дС1
NJ=1
до (с1,с 2) = 2 Е (X1
дс
2
Nj=1
С1 -Ф(с 2 <1)) - С1
о [-
дФ(с 2 <1) дс 2
и приравнивая к нулю каждую производную:
ао (с1,с 2)
дет
= О
д0 (с1, с2)
дс-
=О
Откуда
С1 =
N
Е Х1 -Ф(с 2 <1) 1=1
N 2
Еф (с2<1) 1 =1
С1 =
X1
дФ(с 2 <1) дс 2
Ф(с 2 <1)
дФ(с 2 <1)
дс
2
(5)
Приравнивая оба выражения для с\, можно найти функцию у(с2) по выражению
N
Е X1 -Ф(с 2 <1) 1=1
X1
дФ(с 2 <1) дс 2
N 2 Еф (с2<1) 1=1
N
Е
1=1
Ф(с 2 <1)
дФ(с 2 <1)
дс
2
(6)
численное решение которого даст значение с2, а подставляя получившееся значение с2 в любую формулу из (5), можно определить С}.
Математические ожидания величин с\ и с2 равны единице, что отчетливо показывает, что в обобщенной партии размерной настройки на обработку станка с ЧПУ будет только одна партия.
Особый интерес представляет определение законов распределения величин с\ и с2 т.к. они по определению не могут быть отрицательными (а следовательно, распределенными по нормальному закону, а также по лю-
бому другому закону, имеющему отрицательную ветвь) и определяются изменением стойкости инструмента и механических свойств обрабатываемого материала. Кроме этого между величинами с1 и с2 должна существовать взаимосвязь, т.к. нельзя однозначно судить, какая величина отвечает за изменение стойкости инструмента, а какая за изменение механических свойств обрабатываемого материала.
Исходя из этого, резонно предположить, что для описания величины с1 можно использовать распределение Вейбула, применяемое для описания работы инструмента на отказ. Тогда для описания величины с2 необходимо использовать обратное к распределению Вейбула распределение Фреше.
Однако точное определение законов распределения параметров с1 и с2 невозможно, поэтому для моделирования процесса подналадки станка с ЧПУ возможно использование непосредственно определенных по каждой партии контролируемого параметра качества пар параметров с1 и с2, что исключает возможность возникновения погрешности определения законов распределения рассматриваемых величин.
Сущность рассматриваемой модели представлена на рис. 1, где показаны графики изменения размера 035 016 при обработке на токарном станке с ЧПУ 16А20Ф3 детали “Вал тихоходный” 10.5.1-А.001 (длина обработки резцом L~400 мм, уровень начальной настройки на обработку 35,02 мм) для девяти выборок. Условно считалось, что после выхода получаемого размера за поле допуска резец полностью изнашивался и была необходима его замена.
В результате обработки всех 9 выборок была определена обобщенная модель показателя качества, а также для каждой выборки была рассчитана своя пара параметров с1 и с2, которые в дальнейшем использовались для нахождения минимума функции затрат на контроль и производство продукции.
После обработки экспериментальных данных и получения математической зависимости X(<) производилось моделирование обработки данной детали.
Анализируя процесс подналадки станка с ЧПУ, можно различить два типа производимых подналадок оборудования [3]:
а) подналадка с заменой инструмента и корректировкой размерной настройки станка.
б) подналадка только с корректировкой размерной настройки станка.
Используя два различных типа подналадок оборудовании при статистическом управлении технологическим процессом резания, при помощи контрольных карт можно добиться нахождения более близкого к глобальному локального минимума функции затрат на контроль и производство продукции. Это вызвано тем, что если замену инструмен-
тальной пластинки производить раньше её полного износа, то будут присутствовать издержки, вызванные повышенным расходом инструмента, а если замену производить позже, то появятся издержки, вызванные возникновением брака продукции.
♦ Партия №1
—□—Партия №2
—А—Партия №3
■ Партия №4
—■— Партия №5
—Партия №6
—ш— Партия №7
—А—Партия №8
—•—Партия №9
—■— Обобщеная партия
Рис. 1. Изменение размера получаемого на станке с ЧПУ, в зависимости от номера обрабатываемой после последней подналадки станка детали
Для более точного представления различия между двумя типами подналадками предположим, что дальнейшая обработка данной детали проводилась уже с более жесткими требованиями к получаемому размеру
- 035+0,025 мм (7 квалитет точности). Изменениями условий резания из-за изменения диаметров обработки вследствие их незначительности можно пренебречь.
Используя рис. 1, можно увидеть, что в рассматриваемом примере максимальный линейный износ резца - 0,14 мм (разница между верхним
оС+0,16
полем допуска размера 035 и уровнем начальной настройки станка на обработку 35,02 мм).
Моделируя процесс подналадки станка с ЧПУ, получаем 6 подпар-тий различного размера (рис. 2) где наглядно видно, что, пока резец полностью износится, будет произведено 5 подналадок второго типа и только одна подналадка первого.
В данном случае рассматривался идеализированный вариант, когда резец полностью изнашивался к моменту выхода получаемого размера за поле допуска, следовательно, производились только подналадки первого типа, вследствие чего кривая износа резца была получена в явном виде.
Рис. 2. Восстановление кривой износа резца по графикам зависимостей размера, получаемого на станке с ЧПУ во всех подпартиях, составляющих партию обработанных деталей между двумя подналадками первого типа
В общем случае на реальном производстве, как правило, отсутствует возможность сбора статистической информации о стойкости инструмента без подналадок второго типа. В этом случае кривая износа резца по-
286
лучается в кусочном виде и требуется её восстановить до явного типа из нескольких графиков, подобных тем, что были рассмотрены на рис. 2, полученных со времени последней подналадки первого типа до следующёй такой же подналадки. При этом линейный износ резца состоит из суммы разниц между максимальным получаемым размером изготавливаемой детали и уровнем начальной настройки на обработку станка с ЧПУ внутри каждой подпартии:
где по - количество подпартий в рассматриваемой партии продукции, шт; Хтах - максимальный получаемый размер детали в подпартии, мм.
Практическая часть. Для моделирования процесса подналадки станка с ЧПУ было разработано программное обеспечивающее нахождение оптимальных параметров КК по следующему алгоритму.
1. Ввод исходных данных. Программное обеспечение производит считывание исходных данных из заранее подготовленного файла и определение количества введенных партий контролируемого параметра качества (размера полученного на станке с ЧПУ) по, составляющих обобщенную партию (в рассматриваемом примере по=9, см. рис. 1.).
2. Определение тренда показателя качества.
2.1. Определение тренда показателя качества Xоб(t) для обобщенной партии.
Определение тренда показателя качества Хоб(^ для обобщенной партии производится методом наименьших квадратов. Оптимальная степень полинома находится по следующему алгоритму:
- определются коэффициенты функции регрессии при степени полинома 0...3 по выборке с нечетными номерами изделий;
- полученные функции регрессии проверяются на выборке с четными номерами изделий;
- определяется степень полинома, при которой квадратичная ошибка оказалась минимальной;
- рассчитываются коэффициенты полинома функции регрессии с найденной на предыдущем шаге оптимальной степенью, но теперь по всей выборке.
2.2. Определение тренда показателя качества X(t) для всех партий, составляющих обобщенную партию.
Определение тренда показателя качества X'() для каждой партии, входящей в обобщенную партию, также осуществляется методом наименьших квадратов. При этом должно быть получено количество функций Х() равное количеству введенных изначально партий по (в рассматриваемом примере было получено девять функций Х(^).
L
лин.
X 0),
/=1
3. Определение закона разброса значений контролируемого параметра качества (меры разброса).
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 $1 $5 $9 73 77 81 85 I
Рис. 3. Изменение разброса размеров, получаемых на станке с ЧПУ, в зависимости от номера обрабатываемой после последней подналадки станка детали
Для этого согласно (3) используется статистика разности между экспериментальными данными данной партии и данными, полученными по модели показателя качества Х^), определенной для этой же партии в под.п. 2.2, взятой по абсолютной величине:
|дх (* )нх- (*) - х |,
Алгоритм определения коэффициентов функции регрессии отклонений показателя качества аналогичен алгоритму для функции Хоб (^ (см. под.п. 2.1.).
При этом в анализируемом примере было получено девять функций dXi(t), для всех функций dXi(t) и результирующая функция Хрез$), определяющая средний разброс на каждой из партий по (рис. 3).
4. Определение коэффициентов с1 и с2. Определение коэффициентов С1 и с2 осуществляется для каждой партии, входящей в обобщенную партию размеров, полученных на станке с ЧПУ. Для этого используется метод полного перебора значений коэффициентов С1 и с2 в диапазоне значений от 0 до 3 с шагом 0,001. Оптимальными считаются значения коэффициентов, обеспечивающие минимальное значение дисперсии функции Хоб.(0, рассчитываемой по формуле (4).
Проверка правильности определения коэффициентов сj и с2 осуществляется по формулам (5), (6), т.е. значение функции y(c2) должно быть как можно ближе к 0, а значение параметра cj, вычисленное по (5), должно быть как можно ближе к значению параметра cj, полученному в результате полного перебора.
При этом разница значений между значением параметра cj, вычисленным по (5), и значением параметра cj, полученным в результате полного перебора, является величиной ошибки в определении параметра cj.
5. Статистическое моделирование процесса подналадки станка с ЧПУ с одновременным текущим контролем получаемой продукции по методу контрольной карты и учетом линейного износа резца.
Моделирование производится следующим образом:
а) Моделируются размеры детали, получаемые на станке с ЧПУ, по формуле (1) с учетом возможного разброса по формуле (2) при этом станок изначально настраивается на уровень начальной настройки на обработку
Х0 [4].
б) Через определенные промежутки деталей Nj (размер подпартии) осуществляются контроль выборки значений контролируемого параметра качества объемом n, а также подсчет текущего линейного износа резца LmilK по формуле
^ек. _ Хmax (t) — Х0 •
При этом если среднее значение в выборке Xcp. выше верхней сигнальной границы Xj или ниже нижней сигнальной границы Х2 и текущий линейный износ резца LmK меньше максимально допустимого износа Lmax, то производится подналадка второго типа на величину LmK
в) Размеры деталей в подпартиях, получаемые на станке с ЧПУ, моделируются до тех пор, пока Xcp. не будет выше верхней сигнальной границы Xj или ниже нижней сигнальной границы Х2, а текущий линейный износ резца Lmек. не станет больше или равен максимально допустимому износу Lmax, и будет произведена подналадка первого типа, при этом сумма размеров партий Nj, будет равна размеру партии N.
В случае, если подналадка станка первого типа будет осуществлена без подналадок второго, т.е. подпартия внутри партии будет только одна, её размер будет совпадать с размером партии N.
Кроме этого следует учесть, что, если размер партии до подналадки первого типа включает в себя несколько размеров партий до подналадки второго типа (т.е. несколько подпартий), размеры подпартий могут отличаться друг от друга. Это вызвано различными участками на кривой износа резца, в частности на участке приработки резца и участке интенсивного износа резца, вызванного его критическим износом, износ будет идти быстрее, чем на участке устойчивой работы резца, когда резец приработался
и износ изменяется практически линейно. Данный случай наглядно иллюстрируется на рис. 2, где все подпартии, составляющие партию с номерами П1...Пд, имеют различный размер.
Также стоит обратить внимание на то, что размер линейного износа резца Lпослподп, а следовательно, и допуск, внутри которого происходит изменение контролируемого параметра для последней подпартии деталей, может быть меньше, чем допуск на получаемый размер (в рассматриваемом варианте для партии п9 размер максимально возможного линейного износа резца внутри подпартии 0,15 мм вместо 0,25 мм), и определяется тем, что величина максимального линейного износа чаще всего не кратна допуску на обрабатываемый размер.
В этом случае он определяется по формуле
^осл.подп. = Lmax - ^тах (х — Х ))-(х — Х ),
6. Оптимизация параметров контрольной карты.
Для этого используется метод полного перебора таких параметров контрольно карты, как верхняя сигнальная граница (ХД нижняя сигнальная граница (Х2), уровень начальной настройки (Х0), размер выборки (п), периодичность взятия выборки или размер партии (Л').
При этом параметры Х!} Х2 и Х0 изменялись в диапазонах
х^Х+^Х!< Х <Х+, х-<Х2<Х- + Х+-Х"
,_ X +- X
22
х - < х 0 < х - +
0 8
Идея метода состоит в том, что показатели процесса контроля многократно моделируются при различных выбранных значениях параметров КК и выбирается тот вариант, при котором достигается минимум общей себестоимости (функции 2).
Функция 2 при этом определяется на основе полученной модели функции Хоб( такое количество раз, сколько было первоначально введено партий, составляющих обобщенную партию, функция Хоб. в этом случае каждый раз будет зависеть от новой пары коэффициентов в! и с2 (1), что позволит к концу моделирования учесть все имеющиеся комбинации пар этих параметров. Полученные значения функции 2 при этом суммируются и делятся на количество введенных партий по:
1 по
2 = — £ 2, Х1с, ^)
по , =
т.е. под функцией понимается среднее значение затрат от всех рассматриваемых вариантов функции Хоб. (^.
Этот алгоритм не гарантирует, что найденное решение даст глобальный оптимум функции 2, т.к. для этого необходимо знание абсолютно точной модели показателя качества, что невозможно, т.к. для этого значе-
290
ние выборки статистических данных должно стремиться к бесконечности. Однако, чем больше вариантов задания отмеченных параметров будет испытано, тем ближе полученное решение будет к глобальному оптимуму.
Список литературы
1. Адлер Ю.П., Шпер В.Л. Интерпретация контрольных карт Шу-харта // Методы менеджмента качества. 2003. С. 33-41.
2. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Гостехиздат, 1956. 610 с.
3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1969. 576 с.
4. Всеобщее управление качеством: учебник для вузов / О.П. Глуд-кин [и др.]; под ред. О.П. Глудкина. М.: Горячая линия. Телеком, 2001. 702 с.
5. ГОСТ Р 50779.40-96. Статистические методы. Контрольные карты. Общее руководство и введение. Введ. 1997. М.: Изд-во стандартов,
1996. 20 с.
6. Миттаг Х.Й., Ринне X. Статистические методы обеспечения качества / пер. с нем. М.: Машиностроение, 1995. 616 с.
7. Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.: Наука, 1965. 512 с.
I.S. Kartavtsev
NC MACHINE TOOL CORRECTIVE ADJUSTMENT MODELING
A mathematical model of the NC machine tool corrective adjustment which considers the cutting tool linear wear value and includes the two kinds of corrective adjustments has been proposed. The model produces the local inspection and production cost function minimum closest to the global one.
Key words: batch size, corrective adjustment type, linear wear, optimality test, inspection sheet.
Получено 20.01.12
