CC BY
52
УДК 658.562.012.7
И.С. Картавцев, асп., (4872) 23-95-39, гуап 2la@mail.ru (Россия, Тула, ТулГУ),
Н.И. Пасько, д-р техн. наук, проф., (4872) 56-16-13 (Россия, Тула, ТулГУ)
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОНТРОЛЯ РАЗМЕРНОЙ НАСТРОЙКИ СТАНКА С ЧПУ ПО МЕТОДУ КОНТРОЛЬНОЙ КАРТЫ
Рассмотрены математическая модель изменения размера, получаемого на станке с ЧПУ, а также основные аспекты технологического процесса подналадки оборудования с использованием контрольных карт. Выдвинут критерий оптимального назначения параметров контрольной карты.
Ключевые слова: контрольная карта, цикл подналадки, вероятность подналадки, среднее число брака за цикл, критерий оптимальности.
Рассмотрим случай обработки деталей на станке с ЧПУ токарного типа с использованием контрольных карт для улучшения качества продукции, где в качестве показателя качества взят диаметр обрабатываемой детали X(г) (г - номер обрабатываемой детали (наработка) с момента последней подналадки станка). Получаемый размер должен находиться в пределах поля допуска, то есть
X - < X (г) < X +,
где Х - нижняя граница поля допуска; Х+ — верхняя граница поля допуска.
Выход X(t) за границы поля допуска означает брак первого вида, если X(t)<Х—, или второго вида, если X(t)>Х+.
Из-за износа резца диаметр каждой следующей обработанной детали изменяется на величину Дг, а размер
X (г) = X 0 + Д^ (г),
где
г
ДУ (г) = £Д ,•.
/ =1
Из-за разброса твердости и припусков на обработку и случайности самого процесса износа инструмента приращения тоже случайны, а изменение размера X(t) можно рассматривать как процесс накопления [1]. Если а — среднее значение приращения Дг-, а аА — квадратичное отклонение, то при статистической независимости приращений Аг размер X(t) согласно центральной предельной теореме теории вероятностей [2] при достаточно большом г будет иметь асимптотически нормальное распределение с плотностью. Если распределено нормально, то X(t) при любом г будет иметь точно нормальное распределение с плотностью
Ж *)
1
/2тса(і)
ехр
(* - X ()у
2а 2(і)
средним значением (математическим ожиданием)
и дисперсиеи
X (і)
а 2(і)
X о + а • і.
а д •і
d • і.
Параметры а, d, Х0 определятся эмпирически из реализации процесса X(^. Если ^иХ) ^иХ) ^2,Х2), ^3,Х3),...,^т,Хт), выборка наработок t и соответствующие им значения показателя Xодной реализации процесса, то оценка параметров процесса а, d, Х0 проводится методом максимального правдоподобия [3, 4]. Значения этих параметров должны максимизировать функцию правдоподобия
М
L (аЬ) = П
1
j=lЛj2пdіj
ехр
(Xj - Х0 - а • іjУ 2dіj
Максимум этой функции по а, d, Х0 достигается при условии равенства нулю частных производных:
дL (а, d, X о) о ^ (а, d, X о) ^ ^ (а, d, X о) ^
да ’ дd ’ дX о
После дифференцирования и проведения соответствующих преобразований получаем следующие уравнения для оценок:
-1
d
м/=
Здесь приняты обозначения:
X = — IX/.
N^1 1
1 N
X/1 = — I X/ /
N 1=1 1 1
а — X / і — X о • і X о — X — а • і,
1 х (X/-Xо-а• і/)2
і
(1)
(2)
з
1 N і — — X і І,
^—1 7
—т 1 N
і-1 — - X 1/іі .
J
После подстановки (1) в (2) получаем явную формулу для X0:
X о —
X - і • X / і
1 - і • і
-1
(3)
Параметр а вычисляется по (1), а параметр d рассчитывается по (2) после подстановки вычисленных X0, и а.
При организации контроля деталей по методу контрольной карты после обработки каждой следующей партии из N деталей проводится кон-
293
троль выборки последних п деталей и принимается решение о необходимости подналадки. Формулы (1)-(3) относятся только к интервалу по наработке от подналадки до конца обработки первой партии. Если после этого проводится подналадка, то процесс X(t) обрывается и начинается заново с уровня начальной настройки X0, и продолжается до конца обработки следующей партии из N деталей. Если подналадка не проводится, то процесс X(t) продолжается со значения X1, которое равно X(t) при условии, что подналадки не было. Если и после обработки второй партии подналадка не потребовалась, то процесс X(t) продолжается со значения X2 и т.д.
Размер детали, получаемой на станке с ЧПУ с номером г, определяемым по формуле
t = jN + i,
составляет
г
X/ (г) = X/-1 + = А ,• ,
г=(/-1) N+1
При фиксированном значении Xj-1 имеет нормальное распределение с плотностью
_ а
І(х) — ь* ехР
(* - Xjt) 2
математическое ожидание
XJі — XJ-1 + (mod(і, N) +1) • а
и дисперсию
Б/і — (mod(і, N) +1) • d,
где mod(і,N) — остаток от деления і на N.
Цикл подналадки - это интервал, характеризующийся числом обработанных изделий на станке между подналадками. Подналадка проводится после обработки очередной партии N изделий, если среднее значение показателя качества выборки из п последних изделий партии Y выходит за сигнальные границы Y , которые назначаются так, что Г>Х, Г<Г. Так как показатель качества X(і) имеет случайную компоненту, то и длина цикла подналадки случайна, поэтому весь процесс обработки, контроля и под-наладки станка можно рассматривать как вероятностный процесс восстановления и накопления [1].
Количественные характеристики такого процесса определяются через соответствующие характеристиками цикла подналадки. Такими характеристиками являются: среднее число обработанных изделий за цикл; число брака первого и второго видов; среднее число контрольных операций за этот цикл, доля подналадок первого и второго видов и др.
Переходя к определению отмеченных характеристик цикла подналадки, символом 3 будем обозначать номер обрабатываемой детали в пре-
делах цикла (/ изменяется от 1 до т, при/=т производится подналадка).
Среднее значение показателя качества /-й выборки, по которому принимается решение о необходимости подналадки,
1 п k' 1 п
YJ
п
Е X (к + *) —X /-1 + ЕА г +~Е(п - і)А к
і—1
і—к+1
п
+і
і—1
к — (3 -1) •N ,
к' — 3 • N - п.
Символом X/ обозначен показатель X(і) при і=^, если подналадка после обработки/-й партии не потребовалась:
^ — XJ-1+AXJ, где ^з - приращение показателя X(і) за время обработки/-й партии.
При этом
j•N
ЕАі.
і—(3-1) N
Приращения ДXj статистически независимы от / и распределены нормально с математическим ожиданием N 0 и дисперсией N•d. Соответственно значение X/ при фиксированном значении Xj-1 распределено нормально с плотностью І*), и характеризуется математическом ожиданием
и дисперсией
Xj — Xj-1 + N • а
DX — N • d,
XJ
Показатель выборки Yj как случайная величина при фиксированном Xj-J, имеет такое же нормальное распределение, как распределение суммы нормально распределенных величин, т.е.
1
2пБ
ехр
У
(У - уз )•
2 Бу
где математическое ожидание и дисперсия этого показателя
( п - 1Л
уз— Xj-1 + а •
N
V
2
у
Бу — d
N - п +
(п + 1)(2п +1) 6п
При выводе этих формул использованы известные соотношения [5]:
п • (п + 1)
1 + 2 +... + п
2
12 + 22 + + п2 — п • (п + 1) • (2п + 1)
.. п 6 .
Кроме этого учитывалось то, что математическое ожидание и дис-
персия суммы независимых случайных величин равна сумме математических ожиданий и дисперсий слагаемых соответственно, а дисперсия сАг равна c2d, если с неслучайная константа [2].
Также следует учесть, что случайные величины Xj■ и Yj■ коррелирова-ны и плотность их совместного распределения при фиксированном Xj-1 является двумерной нормальной плотностью [6]:
fj(х у) =--------1 -----х
х ехр
1
2(1 - г2)
2пахауV1- г2
(* - Xj)2 2г(* - Xj)(У - УІ) (У - уі)2
-----^-----------------------1-----^---
а,
а *а у
а
У
где Xj — математическое ожидание величины X/; Yj — математическое
ожидание величины Yj.
Дисперсии величин Xj, Yj
а 2 = dN , ау = ЕУ.
Коэффициент корреляции г величин Xj, у/ определяется по зависи-
мости
К
г —
*У
а*аУ
Корреляционный момент Кху, для величин Xj, у/
\т п - 1Л
N -
К
*У
^ • уз - XJ • У3 — d •
V
2
У
Черта над выражением X/ • У/ означает взятие математического ожидания.
Условные плотности распределения X/ при У/=у и У/ при условии Xj=x определяются через /х,у) следующим образом [2]:
1 Г ( XX ( .. ))2
Л(х 1 у) = ^^— ехР
2 па
*! у
(* - Xj(У))
2а
2
* У
( у 1 *) —
/2 па
ехр
У1 *
( у - у І(*)У
2а
2
У1*
где Xj (У) Л(*\уУ; уз(*) іу\*):
математическое ожидание для плотности распределения математическое ожидание для плотности распределения
1
X/ (у) = X/ + г ^ •(у - У/ ), ау У/ (х) = У/ + г ау •(х - X/ ),
X
°Х1у — условное квадратичное отклонение для плотности распределения £(х\у); ау1х — условное квадратичное отклонение для плотности распределения //(у1х):
' 2
а х| у =а х^1 - г
ау|х =ау^1 - г ,
X/, У/ — ранее определенные математические ожидания X/ и У/ при фиксированном значении Xj-1.
Вероятность подналадки станка определяется исходя из распределения среднего размера выборки У/.
Если У-, У+ — нижняя и верхняя сигнальные границы контрольной карты, то подналадка первого рода проводится при У/<У—, а подналадка второго рода при У/>У . Соответственно вероятность подналадки первого и второго видов
да
р/
да У
| |(х у^у^ = | (х)
-да -да
да да
-да
да
У"
|(у 1 х^у
Р + =11 fj(x, у)dУdx = I fj (х)
да у
-да
-да
да
dx.
| fj(у 1 х)ф
dx.
Вероятность того, что подналадка после обработки /-й партии не потребуется, составляет
-+ Ч! = 1-Р/ -Р + ,
Эти вероятности получены при фиксированном значении Xj■-1, но эти значения, в свою очередь, случайны, кроме X0. Безусловные вероятности отмеченных подналадок Р/ ,Р+ определяются путем усреднения по плотности распределенийXj■-1. Если обозначить эти плотности 0/-1(х), то:
при/=1
Р1 = Р1 ,
Р+= Р1,
Ql = 1 -Р{ -Р1
+
при/>1
да
Р- = |Ф 7-і( х) Р—йх,
—да
да
Р+ = ІФ7 —1(х)Р^х ,
-да
б/ = 1 — Р—— Р+
да 1 + 1 да 1 + 1
ф1( х) = |Фо( х) (,х 5 ()х 1 7 = ()х 7 (,х
да _Y _ да _Y _
'7 7 / •
Для определения плотности 0 /(.х) необходимо учитывать то, что при7=0 эта плотность не существует, так как уровень начальной настройки Х0 не случаен, а также то, что формально эту плотность можно выразить через дельта-функцию Дирака [6]. Следующие плотности определяются рекуррентно по следующим формулам:
да Y+
йх,
і .7 — 1 V - J ./ 7 ч
—да Y—
Плотности 0(х) нормированы так, что
да
|ф7 (х)йх = 67 .
—да
Математическое ожидание числа обработанных партий за цикл подналадки
дада
м = і(ру + = I О) .
7=1 7 =1
Средняя наработка деталей за цикл равна м N.
Среднее число брака за цикл подналадки (В+ - для брака первого вида, В - для брака второго вида) в зависимости от вида брака определяется по формулам
да
В — = 1В7,
7=1
да
В+ = I В+,
7 =1
где В7 - среднее число брака первого вида при обработке7-й партии; В7 -среднее число брака второго вида при обработке7-й партии:
В- = Х ь. в + =!_ ь7,,
,=, ,=,
Ь- вероятность брака первого вида при обработке 7-й партии; Ь+, - вероятность брака второго вида при обработке 7-й партии.
298
Номера деталей с браком первого и второго видов определяются соответственно по формулам
і
(7 — 1) N +1,
л
, = 7N,
Вероятность брака первого и второго видов с учетом того, что Х7-1, имеет ранее определенную плотность 0 7-1(х):
да
да
да
X"
I (х)йх
да
да
да
| /р(х)йх
йх'
йх'
При интегрировании следует учесть, что параметр X^ плотности
/л(х) зависит от х , т.е.
X^ = х' + (шогї(і, N) +1)-
а.
Критерий оптимальности. Текущий контроль производства по методу контрольной карты характеризуется пятью параметрами N п, X0, У , У-). В качестве критерия оптимальности для оценки эффективности выбранного варианта отмеченных параметров возможно использование минимума удельных затрат (затрат на деталь), включающих в себя затраты на контроль, затраты на исправление брака первого и второго видов и затраты на подналадку станка, если zk - средние затраты на контроль одной детали
из выборки; z- - средние затраты на исправление брака первого вида; zb - средние затраты на исправление брака второго вида; zp - средние затраты на одну подналадку.
Средние затраты за цикл подналадки:
- на контроль
1к = zk ■п •м,
- на исправление брака первого и второго видов
на подналадки
Z1
z1
так как за цикл подналадки выполняется одна подналадка.
Удельные затраты определяются как отношение суммы отмеченных затрат за цикл подналадки к средней наработке за этот цикл, т.е.
Zk + ^Ь + ^ р
N • м
299
Корректность этой формулы вытекает из общей теории процессов восстановления и накопления [5].
Список литературы
1. Адлер Ю.П., Шпер В.Л. Интерпретация контрольных карт Шу-харта // Методы менеджмента качества. 2003. С. 33-41.
2. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Гостехиздат, 1956. 610 с.
3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1969. 576 с.
4. ГОСТ Р 50779.40-96. Статистические методы. Контрольные карты. Общее руководство и введение. Введ. 1997. М.: Изд-во стандартов, 1996. 20 с.
5. Кокс Д.Р., Смит В.Л. Теория восстановления. М.: Советское радио. 1967. 300 с.
6. Миттаг Х.Й., Ринне X. Статистические методы обеспечения качества / пер. с нем. М.: Машиностроение, 1995. 616 с.
7. Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.: Наука, 1965. 512 с.
N.I. Pasko, I.S. Kartavtsev
AN NC MACHINE TOOL DIMENSIONAL SETUP MATHEMATICAL MODEL USING THE CONTROL CARD METHOD
A mathematical model of a NC machining dimension variations and the primary features of the setup process using control cards have been considered. A criterion for assigning optimal control card parameters has been proposed.
Key words: control card, setup cycle, setup probability, mean defects per cycle, optimization criterion.
Получено 20.01.12
