CC BY
5Труды МАИ. Выпуск № 111 http://trudymai.ru/
УДК 532.516:539.3:517.957 DOI: 10.34759/trd-2020-111-3
Моделирование продольных волн в оболочке с физически квадратичной нелинейностью, заполненной жидкостью и
окруженной упругой средой
Быкова Т.В.*, Евдокимова Е.В.**, Могилевич Л.И.***, Попов В.С.
Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А., ул. Политехническая, 77, Саратов, 410054, Россия *e-mail: tbykova69@mail. ru **e-mail: eev2106@mail.ru ***e-mail: mogilevich@sgu.ru
**** . J . -v 7 7
e-mail: vic_p@bk.ru
Статья поступила 03.02.2020
Аннотация
В настоящей работе развивается метод возмущений для моделирования волн деформаций на базе рассмотрения связанной задачи гидроупругости цилиндрической оболочки с квадратичной физической нелинейностью. Оболочка окружена упругой средой и заполнена вязкой несжимаемой жидкостью, рассматривая динамику которой учитываем инерцию ее движения. Показано, что наличие окружающей среды приводит к интегро-дифференциальному уравнению, обобщающему уравнение Кортевега - де Вриза, имеющему решение в виде уединенной волны - солитона. Наличие жидкости в оболочке добавляет в уравнения продольных волн деформаций член уравнения, который не позволяет найти точное решение. Поэтому, реализуется численное исследование, которое проводится с использованием современного подхода, основанного на универсальном алгоритме
Труды МАИ. Выпуск № 111 http://trudymai.ru/
коммутативной алгебры, для интегро-интерполяционного метода. Вычислительный
эксперимент показал, что инерция движения жидкости уменьшает скорость волны, а
вязкостное трение жидкости уменьшает амплитуду волны.
Ключевые слова: нелинейные волны, вязкая несжимаемая жидкость, цилиндрическая физически нелинейная оболочка, упругая среда.
Введение
Взаимодействие упругих элементов конструкций с жидкостью рассматривалось в разных аспектах, например, взаимодействие упругих оболочек с идеальной несжимаемой и сжимаемой жидкостью (газом) исследовано в работах [1, 2]. Задача о ламинарном движении вязкой несжимаемой жидкости в абсолютно жесткой трубе кругового сечения под действием изменяющегося по времени перепада давления решена в [3], аналогичная задача при пульсирующем движении вязкой жидкости для в упругой оболочке конечной длины рассмотрена [4], а для движения жидкости в кольцевом канале, образованном упругими оболочками конечной длины, - в [5, 6]. В условиях вибрации взаимодействие вязкой несжимаемой жидкости с упругими оболочками исследовалось в [7-10], а с учётом вращения жидкости - в [11-13].
Впервые уравнения Кортевега-де Вриза для продольных нелинейных волн в стрежнях получены в [14], а с учетом диссипативных факторов уравнения Кортевега-де Вриза - Бюргерса для стержней и пластин получено в [15]. Обзор работ о распространение нелинейных волн и экспериментальном обнаружении таких волн
Труды МАИ. Выпуск № 111 http://trudymai.ru/
приведен в [16]. Исследование распространения продольных упругих волн в
стержне, материал которого имеет поврежденность проведено в [17]. Задача о
распространении возмущений от поверхности шара, заполненного однородной
изотропной средой со стесненным вращением - псевдоконтинуумом Коссера,
изучена в [18]. Исследование распространения продольного волнового пучка в
однородной, нелинейно-упругой проводящей среде, находящейся во внешнем
магнитном поле выполнено в [19], а в работе [20] изучено нестационарное
движением электромагнитоупругого полупространства с учетом
пьезоэлектрических эффектов.
Волны деформаций в упругих цилиндрических оболочках рассматривались [21-23]. Кроме того, проблемы распространения волн в упругих и вязкоупругих тонкостенных конструкциях, в том числе в бесконечно длинных цилиндрических оболочках без взаимодействия с вязкой несжимаемой жидкостью, рассматривались в [24-26] с позиции теории солитонов. Получение точных решений эволюционных уравнения, включая уравнения распространения уединенных волн, рассмотрено в [27-28].
Ранее в [29-33] были получены математические модели и проведены исследования волновые процессы в бесконечно длинных геометрически нелинейных оболочках, учитывающие влияние вязкой несжимаемой жидкости.
Решение поставленной в работе задачи гидроупругости для квадратично нелинейных оболочек представляется актуальным, сложным, имеет важное значение для акустической диагностики и неразрушающего контроля материалов и ранее не проводилось. Во многом интерес к подобным задачам инициирован
Труды МАИ. Выпуск № 111 http://trudymai.ru/
необходимостью анализа упругих и динамических свойств нанообъектов, в
частности, карбоновых трубок и видится важны для исследования новых
материалов, используемых в авиакосмической промышленности.
В настоящей работе развивается метод возмущений для моделирования нелинейных волн деформаций в цилиндрической оболочке, заполненной вязкой несжимаемой жидкостью, окруженной упругой средой, действующей в продольном направлении. Показано влияние вязкой несжимаемой жидкости, заполняющей оболочку и окружающей упругой среды на поведение продольных волн деформации в квадратично нелинейной оболочке.
Постановка задачи
Рассмотрим бесконечно длинную упругую цилиндрическую оболочку, внутри которой находится вязкая несжимаемая жидкость.
Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости и уравнение неразрывности в цилиндрической системе координат г ,0, х записываются, в случае осесимметричного течения, в виде [34, 35]:
dV dV дУ 1 dp
—^ + У — + У —^ + —-dt dr dx p dr
fd 2V 1 dV d V Ул
= v
v dr2 r dr dx2 r2 j
dV dV dV 1 dp
x + у x + у x + Г —
dt r dr x dx p dx
f ъ 2
= V
d2V 1 dV d 2V
2
+
+
dr r dr dx
(1)
dV V dV„
r ++ = 0.
dr r dx
На границе с оболочкой выполняются условия прилипания жидкости согласно
подходу Лагранжа
ди д¥ д¥ = V + и—- - ш
дг
дх
дг
дШ дV дV
игг = V + и—г - Ш
дг
дх
дг
где г = Я - Ш, t - время; V, V - проекции вектора скорости на оси цилиндрической системы координат; р - давление; р - плотность; у - кинематический коэффициент вязкости; и - продольное упругое перемещение оболочки по оси х; Ш - прогиб оболочки, положительный к центру кривизны; Я - внутренний радиус оболочки; Я - радиус срединной поверхности оболочки; Л0 - толщина оболочки (\ =2(Я - Ях)) и ^ << Я.
Записывая уравнения движения элемента геометрически линейной цилиндрической оболочки в перемещениях для модели Кирхгофа-Лява, рассмотрим материал с квадратичной зависимостью компонентов тензора напряжений ^ от компонентов тензора деформаций и интенсивности деформаций еи
Е ( т л
=--2 + Мо^в ) 1 + —£и
1 -мо V Е
Е I т л
2 (^в+Мо^х)1 + т £и
1 - Мо v Е ^
Би (М1 (бх2 + ^2 )- М2^х^в)г > М1 = 1
1 +
Мо
(1 -Мо )
М2
2Мо
(1 -Мо )
(3)
" дх 2 дх2 ' Я 2 Я2
здесь Е - модуль Юнга; т - постоянная материала, определяемая из опыта; . мо -
коэффициент Пуассона.
Асимптотический анализ показывает, что интенсивность деформации можно
рассматривать на срединной поверхности (г=0). Тогда получим
1
3
Труды МАИ. Выпуск № 111 2
=
и
л/3
М
гди^2
V дх
+
К
V Я у
+ М2
К ди 12
Я дх
Уравнение динамики оболочки с квадратичной физической нелинейностью с учетом, (3) записываются в виде
Е\ д ¡ди т
1 дх\ \ дх Мо Я} Е л/3
гдил 2
V дх у
+
К
V Я у
КдП 12\ , д2П
+МКди) )-"'КдП
Я2 о Не2 о Не2
£ я °оноео -ц ^ оне^из
/4
Я2/2
-я.
и + К ддх
дх
дг
(4)
ЕНо К д2
1 -М02 \12 дх2
д 2К
К
дх
2 +^0
I 1 т _2_
Я[Мо Я|ЕТз
Мг
ЛдиЛ 2
V дх у
+
К
V Я у
+ М2
к ди'
Я дх
д ¡дк ¡ди тА
дх 1 дх [ дх 0 Я] Ел/3
М
2
V дх у
+
К
V Я у
Кди 12\ , д2К
+ М2^— г ) + ОоНо
Я дх
о "о
дГ2
= я + и дЪ - К ^
дх дг
Здесь ях, я - напряжения со стороны жидкости, находящейся внутри оболочки. Выражения в квадратных скобках уравнениях системы (4)
£ Я 0оНо ео Ц | 0оНо С2 Ц3
/4
2 г>2 72
Я2/2
(5)
характеризуют реакцию упругой среды, в которой расположена труба кругового
сечения [36]. Это выражение - реакция на продольное перемещение. Безмерные
2
коэффициенты порядка единицы - введены по аналогии с [35, 36].
Труды МАИ. Выпуск № 111 http://trudymai.ru/
Поверхностные напряжения со стороны жидкости, снесенные на
невозмущенную срединную поверхность оболочки (г = Я) определяются формулами
Чх
Ж д¥гЛ ру(—- + —-)
дг дх
Чп
г=Я
- р + 2ру
V дг
(6)
г = Я
Вывод уравнения динамики с учетом наличия жидкости в оболочке
Принимая за характерную длину / - длину волны, перейдем к безразмерным переменным для исследования уравнений (4)
х
Ш = w и, и = и и, х = —, t =— t, г* = —
т 3 ~ т 1 ~ 7' 7' т^
/
/
Я
(7)
Здесь , м^ - характерные значения прогиба Ш и продольного перемещения
и. п02 = Ер- (1 - м2) 1 - квадрат скорости продольной волны в оболочке. Положим
^ = б«1, Яг = С(е\ = 0(1), ^ = о(1), я /2 / к к
(8)
где б - малый параметр задачи (4). В переменных (7), (8) уравнения (4) примут вид
Р НС11 д Пим ди1
ро по Со
/ дх * \ I / дх'-
Wм I т 2
М° -¡миз \ ттз
Г.. V/ди V
и
м
V 1 У Чдх * У
+
+ М ^.мм(и ^ \-рНС2мм 1 м2 я / (м vi роксо / / ^ *2
КРо К с
Я2 1 и
м
о 72
/2 / / 1
и -
к 2ро КоСо
л31 / 2
м,
V * У
--гМ,
/Я2 1
-а.
и.. да ^ да / 3 дх * Я 3 дг *
2
х
Ро Ко Со
2/ 1 Ко2 я2 д2
л2 Я2 /2 дх*2
Г о Л
Я
V / У
Wм 1 д и Я Я дх *2
w 1
^ + Мо Wм - Мз
о Я Я 3
1
Я
( им дМ1 ^ ^
М----и,
о / дх * Я 3
V
1 д [ Я2 ^ ди3
Я дх * I /2 Я дх;
т 2
е-ч/3 М1
л2'дм л2 л2
и
м
дх
V / У У V Я У
+
w
м
и
+ М ^ • Ммиз 2 Я / 3
12
мм дм1 „
Мо и
/ дх
*
о Я 3
т 2
Е л/3 М1
Г Л 2
/
'ди, ^2 (W ^
дх
+
м
^ и,, 2 Я / 3
+ р КС2 — 1
+ РоКоСо /2 Я Я ^ *2
'•Чп
и
V / У У V Я У
дЧп . ^ да
и
+
/ дх * Я дг *
Оставим в уравнениях системы (9) члены не выше второго порядка малости е, получим уравнения
д
дх:
дм Wм
—1 -Мо и3 дх 0 Я 3
Мм л/з /
М1
г дм Л2
удх * У
+
г Л2
V имЯ У
и
Ж,/
+М —
дщ у2
2 ^Я 3 дх *
д 2м
дt
*2
щ - ^
3 /21 2 Я2
/„, л
2
и
V Ь У
м /
и
/2
им Ро КоСо
(10)
' дм ^м
Мо—1---—и3
V дх * имЯ У
А Мм л/3 /
М1
22
ди удх * У
+
V.
V МмЯ У
и
Wм/ дм.
МмЯ дх *]
22
Я1 ^к. дМ
/2 и„Я дt *2
Я/
2" Чп
Мм Ро КоСо
Применим метод асимптотических разложений, вводя независимые переменные в виде
^ = х* - ^*, т = Б*, (11)
где С - безразмерная неизвестная скорость волны, т - быстрое время, а зависимые переменные в виде разложения по малому параметру б
М = Мо +БМП + ..., М = М30 +БМ31 +________(12)
;
2
;
;
Труды МАИ. Выпуск № 111 http://trudymai.ru/
Подставляя (7), (11), (12) в уравнения (10) с учетом оценок (8), получим в
нулевом приближении по s линейную систему уравнений
~Мо
duw
\ —u30 = 0,
д£ umR
d2uin wj du30 д2u10 = ^
10 ,, " m'
Mo
df2 / 0 umR df из которой следует связь
c
df
2
WmL = dun umR =M0 df
(13)
и определяется безразмерная скорость волны
2 1 2 c =1 -M0
(14)
Из следующего приближения по 8, учитывая (13) и (14), находится уравнение, являющееся разрешающим, для и10
д 2и10 итЛ/1 - д; г 4 т и
dfdr ls 2
•Л Es
+ M2M0 + MM
1M02)
dui0 d 2ui0
df df2
+
1 r2 мол/i—m
s l2
2
д 4u
k3 R
.2
2^1 -Mo V0
-M0
df4 s l
R dq, l df
k2 u 2 3 — u!0 + ""J ui0
s R 2
(15)
В случае отсутствия жидкости правая часть уравнения (15), равна нулю и получается известное уравнение - модифицированное уравнение Гарднера-
д«ю 1 ^т^
Островского для —— =--— и30.
До итК
>
2
l
1
Труды МАИ. Выпуск № 111 http://trudymai.ru/
Определение напряжений, действующих со стороны жидкости
Для определения правой части уравнения (15) введем безразмерные
переменные и параметр
г, = «'„, ^ V,, V = П £ V,, Р = ^тр, V = 7 = О
( 1 Л 8 2 V )
(16)
Подставляя (14) в уравнение гидродинамики (1) и граничные условия (2), представим безразмерные скорости и давление в виде разложения по малому параметру 8
V, = ^ + 8, + ■
V, = V,0 + ЕУ, + .
Р = Р° +8Р1 +.
(17)
В нулевом приближении по V (v = 0 - гидродинамическая теория смазки) и в нулевом приближении по 8 , получаем уравнения гидродинамики
дР° Я]с0 ду0 дР° 1 д
-= 0ш 10—— +--=--
* " ут _ * 1 _ * * - *
дг V д? д. г дг
г *дv0Л
V
д,
-1 )+дУ0-
)
, д,
д.
= 0
(18)
и граничные условия вида
0 ди 0 и 7 ди,
V0 =--3-V0 = -тА—1
дГ
п I дГ
* 1 где г =1
(19)
п п * Л
—г- = 0;, —г = 0, где г =0.
/-Ч * " * " ^
д, * д, *
7 с
На первом шаге итерации полагаем = 0, опустим первое слагаемое в
V
уравнении (18) и получим уравнения [37]
дР0 дР0 дг *
1 д
д.* , * д, *
д,*
1 д , * д,
(г •V00 )+^ = 0
д.
(20)
,
,
Труды МАИ. Выпуск № 111 http://trudymai.ru/
Решение уравнений гидродинамики легко получить (это классические
уравнения гидродинамической теории смазки). Из уравнений движения с учетом
граничных условий имеем
р °=16[А
ду°=(г*2 -1)4 д
1 и Я
__т 1
2 'V/
1М - |и3йх*
йх
Ы
дt2
1 и Я
т 1
2
и - М
•изйх*
+
МтЯ1 54
w / дt*2
т ^ ^
(21)
ду0
Подставляя найденные значения —х из (21) в уравнения динамики жидкости
дt
(18), на втором шаге итерации найдем [37]:
д
р 0=Л[ дt * •
2 Яс0 д
16
Л о Л
1 и Я с , * —^М - М
V
2 w /
3 у дt *
ду
дг *
д
1 и Я
т 1
. 2 w /
V т
/
и
=1 дГ
8
2 w /
|м3йх 4]м3йх |м3йх
У.
+
йх*
1 ^м -1и/ *
(22)
+
1 Я1со д
+ 1 0 .
Г у дГ
1 и Я,
2 w /
1М - |и3йх*
Учитывая, что введены переменные г = х* - ^ * и т = б *, с = - мо , согласно
(22) найдем с точностью до б
дР0 д^
л/11
Мо
8
^ м Я дм, ^
2м - т 1 1
3 w / дг
т
1 Я!С0 3 у
м Я д2м,
т 1 1
8 дМ3---
. дг Wm/ дг2
1 - Мо
(23)
*
г
При этом
-V
дг *
*=1
До
4
^ и 7 ди, Л 2и т 11
п I -Е
т ~
1 7С0 6 V
ди и 7 д2 и, ^
2^1---
-Е пт1 -Е
1-Д
(24)
Тогда учитывая, что
Пт1 ит71
и30
д0и10Е при 7 = 7 в силу малости из (23),
(24) получаем
Я— - Д
7 % = [1 - 2Д0 ]
и ди
т 10
I дЕ 7с0
I дЕ
- 7рС 1(1 - Д02)[(1 - 2Д0)2 + 12Д02]и-I 6 I -е
(25)
Подставляя (25) в уравнение (15), окончательно будем иметь
- 2и1П и ■ + ■
71-
Д0
-Е-Т ¡8 2
л/э Е8 I
(Д1 +Д2Д0 +Д1Д02 >
-и10 - и10
-Е -Е2
+
+
1 72 дол/1 -д02
8 12
2
-4и,„ к 72 к и2 3
10 3 -и1П I =
-Е
8 I
2 10
87
2 10
= -2(1 - 2д„ +
Р0К8 7С0 -Е
+-РГ7^ - 2Д0)2 + 12Д02 и 2
Р0V i 12 -Е
2 |- и10
0
(26)
Легко видеть, что замена
-и10 -Е
= СP, Л = С2^ ? = С3Т
(27)
позволяет записать уравнение (26) в виде
( + 6ф(рл + (Рллл - + ЬР- + ^(¿Л) = 0
(28)
Постоянные с, с2, с3 определяются при подстановке (27) в (26) и имеют вид
__-1_1/2_1/2 __1/4_-1/4 __3/4 1/4
с1 = <0 <г4 <1 , с2 = <4 <1 , с3 = <г4 <1 ,
г
2
>
<
Труды МАИ. Выпуск № 111 при этом вводится обозначение
где
_ -1 _ 2 -3 -1 __-1
S — ОС3 , s5 — (Т5С1 c2 c3 , s6 — G^c2c3
^ и л/1 -un 4 m и
/Г — m v ' n m —---/=--
ls 2 v3 Es l k. R2 k и2
G — —- G
°4 s l2 ' G s R2
G
G
1 R2 UoaA -U
s l7
2
^ Pl 1 v n о V
G — --— (1- 2йо)
Pn hn S Rcn
— ^лД-йТ [(1 - 2U)2 + 12Un2 ]
PnKs l 12
Отметим, что 5* = о при Мо =1 для несжимаемого материала, такого как
резина или при отсутствии жидкости.
При Мо =1 (5 = о) получим из (28) уравнение
ф + 6фф + ^^^^ - ОД - + ^5 — 0 :
(29)
которое имеет точное решение
Ф
2s.
cosh
24s~5
Л
— + 2s
v S5
5 "6
(30)
Из вида решения (30) следует, что инерция движения жидкости, которая
оценивается 5 , уменьшает скорость волны деформации.
>
1
1
2
t
>
В случае отсутствия окружающей упругой среды и влияния жидкости уравнение (28) превращается в уравнение Кортевега - де Вриза с точным решением
Ф
2s,
cosh
Л
v s5 у
(31)
при произвольном значении 55. При Мо отличного от % (^ отлично от нуля) численное исследование уравнения (28) при начальном условии
ф(л,0)= -^cosh-2s.
Л
(32)
позволит оценить влияние жидкости.
Для численного моделирования рассмотрим разностную схему для уравнения (28), аналогичную схеме Кранка-Николсона для уравнения теплопроводности:
„."+1 „." /2 "+1 2 "+1 \ /2" 2" \ Uj -м 3(м "+1 - и 2п+1) + (и 2"+1 - и2 "-1)
г
4h
+
(и"++2- 2и"++; + 2и"+- и"_+1)+(и" - 2иj+1 +2и"-!- и"-2)
4h3
п+1 п+1
(и j+1 - и j-1) + (и j+1 - и j-1)
4h
и "+1 + и" + s—-L +
+
2
С/ "+1 + Un U3 j + U3 j
2
2
Un+ - 2U" + Un и" - и"
j +2 j +1 j j+2 j _ Q
h2
2h
(32)
1
1
2
t
>
1
2
s
6
Численное решение с использованием разностной схемы (32) представлено на рисунках 1-3.
Рис.1. Численное решение уравнений (28) с начальным условием (31)
при = 0, ь = 0 и = 8.
Рис.2. Численное решение уравнений (28) с начальным условием (31)
при = 4, ь = 0 и = 8.
— . =().(*) -- '-'Ш .....- ом — ■ г = о.оо — ■ - иг ■ - 1.43 .....- 1.48
/ 1 1 1 У \ 1 \ 1 1 1 V 1 V
1 1 1 1 1 1 1 \ 1 1 1 V .......
/ I / / / / 7 1 1 \ \ \ ■' V- V..
ю -м о я) ю во ¿ю I")
Ч
Рис.3. Численное решение уравнений (28) с начальным условием (31)
при = 4, ^ = 1 и ^ = 8.
Заключение
Проведенное моделирование позволило сделать следующие выводы. Упругая окружающая среда увеличивает, а инерция движения жидкости уменьшает скорость волны деформации в оболочке согласно точного решения (30) уравнения (29) и численного решения уравнения (28), представленного на рисунках 1,2. Согласно численного решения уравнения (28), представленного на рисунке 3, вязкое трение жидкости уменьшает амплитуду волны. При этом вычисления показали, что происходит распадение исходного солитона на несколько более мелких с последующим уменьшением их амплитуд.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 19-01-00014
Библиографический список
1. Клигман Е.П., Клигман И.Е., Матвеенко В.П. Спектральная задача для оболочек с жидкостью // Прикладная механика и техническая физика. 2005. Т. 46. № 6. С. 128 - 135.
2. Бочкарев С.А., Матвеенко В.П. Анализ устойчивости цилиндрических оболочек, содержащих жидкость с осевой и окружной компонентами скорости // Прикладная механика и техническая физика. 2012. Т. 53. № 5. С. 155 - 165.
3. Громека И.С. К теории движения жидкости в узких цилиндрических трубах / Собрание сочинений. - М.: Изд-во АН СССР, 1952. С. 149 - 171.
4. Могилевич Л.И., Попова А.А., Попов В.С. Динамика взаимодействия упругой цилиндрической оболочки с ламинарным потоком жидкости внутри нее применительно к трубопроводному транспорту // Наука и техника транспорта. 2007. № 2. С. 64 - 72.
5. Кондратов Д.В., Могилевич Л.И. Математическое моделирование процессов взаимодействия двух цилиндрических оболочек со слоем жидкости между ними при отсутствии торцевого истечения в условиях вибрации // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2007. ^ 3. № 2 (27). С. 15 - 23.
6. Кондратов Д.В., Кондратова Ю.Н., Могилевич Л.И. Исследование амплитудных частотных характеристик колебаний упругих стенок трубы кольцевого профиля
Труды МАИ. Выпуск № 111 http://trudymai.ru/
при пульсирующем движении вязкой жидкости в условиях жесткого защемления
по торцам // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2009. № 3. С. 15 -
21.
7. Paidoussis M.P., Nguyen V.B., Misra A.K. A theoretical study of the stability of cantilevered coaxial cylindrical shells conveying fluid // Journal of Fluids and Structures, 1991, vol. 5, no. 2, pp. 127 - 164. DOI:10.1016/0889-9746(91)90454-W
8. Amabili M., Garziera R. Vibrations of circular cylindrical shells with nonuniform constraints, elastic bed and added mass; Part III: Steady viscous effects on shells conveying fluid // Journal of Fluids and Structures, 2002, vol. 16, no. 6, pp. 795 - 809. DOI: 10.1006/jfls.2002.0446
9. Amabili M. Nonlinear vibrations and stability of shells and plates, Cambridge University Press, 2008, 374 p. DOI: 10.1017/CBO9780511619694
10. Могилевич Л.И., Попов В.С. Динамика взаимодействия упругого цилиндра со слоем вязкой несжимаемой жидкости // Известия РАН. Механика твердого тела. 2004. № 5. С. 179 - 190.
11. Бочкарев С.А. Собственные колебания вращающейся круговой цилиндрической оболочки с жидкостью // Вычислительная механика сплошных сред. 2010. T. 3. № 2. С. 24 - 33. DOI: 10.7242/1999-6691/2010.3.2.14
12. Лекомцев С.В. Конечно-элементные алгоритмы расчета собственных колебаний трехмерных оболочек // Вычислительная механика сплошных сред. 2012. T. 5. № 2. С. 233 - 243. DOI: 10.7242/1999-6691/2012.5.2.28
13. Бочкарев С.А., Матвеенко В.П. Устойчивость коаксиальных цилиндрических оболочек, содержащих вращающийся поток жидкости // Вычислительная
Труды МАИ. Выпуск № 111 http://trudymai.ru/
механика сплошных сред. 2013. T. 6. № 1. С. 94 - 102. DOI: 10.7242/19996691/2013.6.1.12
14. Nariboli G.A. Nonlinear longitudinal dispersive waves in elastic rods // Journal of Mathematical Physics, 1970, vol. 4, pp. 64 - 73.
15. Nariboli G.A., Sedov A. Burger's-Korteweg-De Vries equation for viscoelastic rods and plates // Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1970, vol. 32, pp. 661
- 667.
16. Erofeev V.I., Kazhaev V.V., Pavlov I.S. Inelastic interaction and splitting of strain solitons propagating in a rod // Journal of Sound and Vibration, 2018, vol. 419, pp. 173
- 182. DOI: 10.1016/j.jsv.2017.12.040
17. Ерофеев В.И., Морозов А.Н., Никитина Е.А. Учет влияния поврежденности материала на скорость распространения в нем упругой волны // Труды МАИ. 2010. № 40. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=22861
18. Лай Т.Т., Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных осесимметричных возмущений от поверхности шара, заполненного псевдоупругой средой Коссера // Труды МАИ. 2012. № 53. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=29267
19. Ерофеев В.И., Мальханов А.О., Морозов А.Н. Локализация волны деформации в нелинейно-упругой проводящей среде // Труды МАИ. 2010. № 40. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=22860
20. Нгуен Т.Т., Тарлаковский Д.В. Антиплоское нестационарное движение электромагнитоупругого полупространства с учетом пьезоэлектрических
Труды МАИ. Выпуск № 111 http://trudymai.ru/
эффектов // Труды МАИ. 2019. № 105. URL:
http ://trudymai.ru/published.php?ID=104123
21. Землянухин А.И., Могилевич Л.И. Нелинейные волны деформаций в цилиндрических оболочках // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1995. T. 3. № 1. C. 52 - 58.
22. Ерофеев В.И., Клюева.Н.В. Солитоны и нелинейные периодические волны деформации в стержнях, пластинах и оболочках (обзор) // Акустический журнал. 2002. T. 48. № 6. C. 725 - 740.
23. Ерофеев В.И., Землянухин А.И., Катсон В.М., Шешенин С.Ф. Формирование солитонов деформации в континууме Коссера со стеснённым вращением // Вычислительная механика сплошных сред. 2009. T. 2. № 4. C. 67 - 75. DOI: 10.7242/1999-6691/2009.2.4.32
24. Багдоев А.Г., Ерофеев В.И., Шекоян А.В. Линейные и нелинейные волны в диспергирующих сплошных средах. - М.: Физматлит, 2009. - 320 с.
25. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Павлов И.С. Неупругое взаимодействие и расщепление солитонов деформации, распространяющихся в зернистой среде // Вычислительная механика сплошных сред. 2013. T. 6. № 2. С. 140 - 150. DOI: 10.7242/1999-6691/2013.6.2.17
26. Землянухин А.И., Бочкарёв А.В. Метод возмущений и точные решения уравнений нелинейной динамики сред с микроструктурой // Вычислительная механика сплошных сред. 2016. T. 9. № 2. С. 182 - 191. DOI: 10.7242/19996691/2016.9.2.16
Труды МАИ. Выпуск № 111 http://trudymai.ru/
27. Землянухин А.И., Бочкарев А.В. Непрерывные дроби, метод возмущений и
точное решение нелинейных эволюционных уравнений // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2016. T. 24. № 4. С. 71 - 85. DOI: 10.18500/0869-6632-2016-24-4-71 -85
28. Землянухин А.И., Бочкарев А.В. Метод Ньютона построения точных решений нелинейных дифференциальных и неинтегрируемых эволюционных уравнений // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2017. T. 25. № 1. С. 64 - 83. DOI: 10.18500/0869-6632-2017-25-1-64-83
29. Блинкова А.Ю., Иванов С.В., Ковалев А.Д., Могилевич Л.И. Математическое и компьютерное моделирование динамики нелинейных волн в физически нелинейных упругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость // Известия Саратовского университета. Новая серия: Физика. 2012. T. 12. № 2. С. 12 - 18. DOI: 10.18500/1816-9791-2016-16-2-184-197
30. Блинкова А.Ю., Блинков Ю.А., Могилевич Л.И. Нелинейные волны в соосных цилиндрических оболочках, содержащих вязкую жидкость между ними, с учетом рассеяния энергии // Вычислительная механика сплошных сред. 2013. T. 6. № 3. С. 336 - 345. DOI: 10.7242/1999-6691/2013.6.3.38
31. Блинкова А.Ю., Иванов С.В., Кузнецова Е.Л., Могилевич Л.И. Нелинейные волны в вязкоупругой цилиндрической оболочке, содержащей вязкую несжимаемую жидкость и окруженной упругой средой // Труды МАИ. 2014. № 78. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=53486
32. Блинкова А.Ю., Блинков Ю.А., Иванов С.В., Могилевич Л.И. Нелинейные волны деформаций в геометрически и физически нелинейной вязкоупругой
Труды МАИ. Выпуск № 111 http://trudymai.ru/
цилиндрической оболочке, содержащей вязкую несжимаемую жидкость и
окруженной упругой средой // Известия Саратовского университета. Новая серия:
Математика. Механика. Информатика. 2015. T. 15. № 2. С. 193 - 202. DOI:
10.18500/1816-9791-2015-15-2-193-202
33. Иванов С.В., Могилевич Л.И., Попов В.С. Продольные волны в нелинейной цилиндрической оболочке, содержащей вязкую жидкость // Труды МАИ. 2019. № 105. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=104003
34. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. - М.: Дрофа, 2003. - 840 с.
35. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа: задачи гидроупругости. - М.: Наука, 1979. - 320 с.
36. Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. - М.: Гос. изд. физ.-мат. литературы, 1960. - 490 с.
37. Агеев Р.В., Евдокимова Е.В., Ковалева И.А., Могилевич Л.И. Динамика осесимметричного течения вязкой несжимаемой жидкости в упругой трубе кругового и кольцевого сечений // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2017. № 3. С. 33 -41.
