CC BY
11Journal of Siberian Federal University. Engineering & Technologies 5 (2013 6) 527-533
УДК 004.94
Моделирование потоков ионов в процессе электролитического рафинирования
К.В. Митин*
Сибирский федеральный университет, Россия 660041, Красноярск, пр. Свободный, 79
Received 10.05.2013, received in revised form 18.07.2013, accepted 02.08.2013
Статья посвящена моделированию потоков заряженных частиц в электростатическом поле в процессе электролитического рафинирования между поверхностью катода и анода. Большое значение такие исследования имеют для повышения эффективности металлургических процессов, в частности электролитического рафинирования меди и других металлов. Кроме того, моделирование электростатических полей между поверхностями электродов помогает исследовать природу взаимодействия катода с анодом. Приведен смешанный метод частиц, адаптированный к моделированию миграционной диффузии потока ионов в процессе электролитического рафинирования. На эйлеровом этапе с помощью уравнений Максвелла моделируются потенциалы электростатического поля. На лагранжевом этапе строятся законы движения и траектории ионов в виде квадратичных сплайнов. Приведены результаты компьютерного моделирования миграционных потоков ионов в процессе электролитического рафинирования меди.
Ключевые слова: моделирование потоков заряженных частиц, потоки ионов, электролитическое рафинирование меди.
Введение
Изучение потоков ионов в электростатических полях представляет собой весьма актуальную научно-техническую задачу. Большое значение такие исследования имеют для повышения эффективности металлургических процессов, в частности электролитического рафинирования меди и других металлов. Кроме того, моделирование электростатических полей между поверхностями электродов помогает исследовать природу взаимодействия катода с анодом.
Перенос вещества в процессе электролитического рафинирования осуществляется по трем механизмам: путем молекулярной диффузии, миграции и конвекции. В соответствии с этим говорят о потоках диффузии, миграции и конвекции. Суммарный поток складывается из трех указанных потоков [1]. Данная статья посвящена вопросам моделирования миграционного потока ионов в электростатическом поле электродов применительно к задачам электролитического рафинирования.
В современном математическом моделировании все более распространяются алгоритмы, известные под общим названием «методы частиц» [2]. Характерной особенностью этих мето-
© Siberian Federal University. All rights reserved
* Corresponding author E-mail address: KMitin@sfu-kras.ru
дов является специальный способ дискретизации, при котором вводится множество дискретных объектов - модельных частиц, рассматриваемых как некоторая сетка подвижных узлов. Методы частиц применяются к задачам, в которых рассматривается эволюция во времени некоторой среды или результат такой эволюции (см., например, работы [2, 3] и ссылки в них). Изначально методы частиц получили наибольшее развитие в тех научно-прикладных областях, где требовались масштабные вычислительные эксперименты, для проведения которых сосредотачивались большие интеллектуальные и вычислительные ресурсы. Примерами могут служить работы в области управляемого термоядерного синтеза [4], вычислительной физики плазмы [5, 6], газовой динамики [2, 5, 7, 8] и других областях [9, 10].
Среди методов частиц различают чисто лагранжевы и смешанные алгоритмы. Алгоритмы первой группы сводятся к численному интегрированию систем дифференциальных уравнений динамического типа [3], которые описывают траектории взаимодействующих частиц. Для смешанных алгоритмов характерно то, что эволюция системы частиц на каждом временном шаге разбивается на два этапа. На одном из них при фиксированном положении частиц предварительно вычисляется результат их взаимодействия и (или) их коллективного воздействия на среду. Расчет ведется на неподвижной ("эйлеровой") сетке. Поэтому этап называется эйлеровым. На другом, лагранжевом, этапе выполняется интегрирование на очередном временном шаге динамической системы, правая часть которой вычислена на эйлеровом этапе.
Для методов частиц, как правило, характерна относительно невысокая точность. Обычный уровень погрешностей составляет несколько процентов. Это результат установившегося компромисса между разумным объемом вычислительной работы и возможностью моделировать сложные явления. Такой подход дает существенную экономию машинного времени.
В отличие от упомянутых выше задач, решаемых методами частиц, где рассматриваемые процессы протекают за короткие промежутки времени и при высоких скоростях, процесс электролитического рафинирования занимает продолжительное время (не меньше трех недель) и считается медленно текущим. Это обусловливает выбор методов частиц-в-ячейках для моделирования данного процесса, поскольку они обладают большим запасом устойчивости и допускают относительно быстрое продвижение по эволюционной переменной. Однако из-за длительности данного процесса, что являтеся сушественным отличием от упомянутых выше работ, применение метода быстрого преобразования Фурье для расчета потенциала поля не оправдано вследствие существенного накопления погрешности с течением времени. Кроме того, в настоящей статье используется динамическая модель движения частиц, учитывающая особенности процесса электролитического рафинирования.
Математическая модель потока ионов металла в процессе электролитического рафинирования
В основу математической модели движения заряженной частицы положены законы движения иона под действием электрической силы. Предполагается, что частицы распределены равномерно на аноде. Для каждого участка траектории строят отдельные уравнения движения, с помощью которых находят координаты и скорость частицы в любой момент времени /. Поскольку вдоль оси г перемещений нет, мы будем рассматривать движение в плоскости хОу
(рис. 1). Реальная траектория движения частицы случайна, поскольку скорость и ускорение заряженной частицы в каждой точке ее траектории зависят от случайных столкновений с другой заряженной частицей или стенкой ёмкости, являющейся диэлектриком. Поэтому в каждой точке рассчитывают свой вектор ускорения, который определяется напряженностью электрического поля и используется для расчета скорости в этой точке.
Напряженность электростатического поля определяется как антиградиент потенциала поля / (см. [2]) Е = - grad f.
Согласно уравнениям Максве лла
д2 Л д2 е
-нЙуЕ = 21у§га<</ =—(- +—^ = ° . (1)
дх2 ду2
Таким образом, потенциал f удовлетворяе т уравнению Лап лас а в о блас ти хе( - </2, 2/2), уе(0, Д) (рис. 1) и граничным условиям
/(-</2, у) = р /(2/2, у) = 9д,Л(х, 0) = Л(х, А) = 0, (2)
где дА - заряд на аноде.
Пусть частица достигает второго электрода за время Т, т. е. а изменяется в промежутке от 0 до Т. Рассмотрим промежуток времени Да настолько малый, чтобы на участке траектории движения частицы от точки (*(/) у(/)) до точки (х(/+Д/), у(/+Д/)) напряженность Е = (Ех, Еу) можно было приближенно считать постоянной. Тогда приближенная модель закона движения еаряженной частицы представляе т еобой вектор-функцию 5" (/) = (5х (/) (/) , где 5х(/) и 5у(/) -это квадратичные сплайны, построенные на сетке со: ^^ = /Д/, 2 = 1,...,п, п = Т/ Дt . На каждом промежутке [/., а,+1] веатор-функция 5а(0)) задаатся функциями [2]
К(М) = чЕ* (+^-г))+пг10]). (3)
т 2
^(0 = ^^-2^+ + (2). (4)
т 2
,У
+А <
ч. V % Ё1 „ ; ч, > -1 1
ч- н- \ ч
Ч-ч- V N (1 ч ч ч р
ч-ч- 1 6 ъ > ч —
"V л — 1 1
Рис. 1. Движение частицы: 1: - длина пластин электродов; 2 - расстояние между пластинами; V*, Уу - проекции вектора) скорости по осям Хи Г;К- катод; А - анод
- 529 -
Если происходит столкнове ние двух частиц в момент О* е [О, /\+1 ], летящих с о скоростями (** ) и У2 (?*) (рис. 2), то траектория первой частицы меняется по следующему закону:
SS.it ) =
дЕх &) (Г -Ц)2
т
■ + л!х и - и ) + ХХ(Ь ),
О-1*)2 + +х у^ , дЕх+у
т 1 + ) + Х1(.),
Фу (Г, )(г - ц )
+ лг1х + -
т
Si.it) =
т
+ л1у ^ - и) + у1(и),
ti < t < t*,
^ < t < и+1; ti < t <
т 2 т 2
т
+ л{у«-Ь) + у1.\ ^ <t < ^+1.
Аналогичным обрзаазмом изменяется траектория второй чистицы>1:
ЯОх ($) =
дЕх (ц) (г - ц )о
т О
<о
■у 4х ^ н и) У хо^1),
дЕх(и) (¿-о*у_у^(/нпу дЕх(и) ^-и)О +
т
Я о т ) =
т 2 .У 4х ^ - и) У хо(Ц),
т 2
дЕт н о дЕт (Ч) (г - ^ )о
-у у-от ^ - у-
+ 4 т«-У) + т2«о)>
^ < t <
t* < t < ^у!; ti < t <
(5)
(6)
(7)
(8)
При ударе частицыт о дно электролитической ванны1 уго л падения час; тицыи на станку будет равен углу отражения от нее (рис. 3). 1В этом с лучае траектория движения частацы моделируется следующим образо м:
Ях (^ =
дЕх t2
т 2
у VI у х0
t < t*,
дЕх С -1*)2 , 4Ч ^ (t*)2
дЕ^ 1-)_ у у (t - /*) у дЕх ■(—'— у Ух/ * у х0, /* < t < tiуl■;
(9)
^ ^) =
дЕт tо ^
— — у Vтt у то,
дЕт ^ -
т 2
t <
(t*)О
о -^ -у деу у v ^* ут0, ^ < t < tm;
(10)
В любом из описанных случаев координата г остается постоянной, т. е. г = Данная модель может быть использована для моделирования потока не только катионов металла, но и анионов кислотного остатка. В отличие от катионов металла анионы кислот- 530 -
Рис. 2. Столкновение двух частиц: ть т2 - массы частиц; У2 - скорости движения частиц до столкновения^', ло2' - скорости движения частиц после столкновения
1=1*
Рис. 3. Изменение направления движения частицыы при ударе о стенку : т - масса частицы1; у - скорость движения частицы; а - угол падения частицы>1
ного остатка при миграции свободно движутся в электролитической ванне, не осаждаясь на электро дыа.
Компьютерное моделирование потока ионов
Ионы меди являются заряженными частицами одного и того же типа и имеют одинаковую массу. Для таких частиц массу не учитывают и берут равной единице для всех частиц. В начальный момент времени заряженная частица находится в точке (0, у0, 70). В случае соударения частиц али удара частицые о стенку амкости траектории движе ния частиц формируются по законам (3)—(10) с т=1.
В электролизной ванне электроды расположены1 параллельно друг другу. При таком рас-аоложении электродов у 0х = 0. Н ачальныге коардинаты у0е х0 заряженной часиицыв моделируются методом Монте-Карло как случайные величины, подчинённые равномерному закону распределения. В силу кинематических уравнений (6), (7) плоского движения частицы при постоянной напряженности электроататичесраго поля первыш участок лплайна рассчитыоают по формулам (3), (4) при I = 1.
а) б)
Рис. 4. Моделирование потока ионов при электролитическом рафинировании:а - поток ионов меди и электролита; б - потенциалы катодов (темные) и анодов (светлые)
Далее моделируют координаты частицы (xb yb э.) в мо мент t = t¡ и среднюю скорость перемещения частицы в точку с этими координатами с помощью (3)-(10). Процесс продолжается до тех пор), пока частицо не достигнет границы области моделирования. Когда частица достигает нижней горизонтальной границы области, моделируется ее столкновение с дном емкости. Если в какой-то момент времени координаты двух различных частиц совпадают, то моделируется столкновение частиц. В случае совпадения координат частицы с координасами точки на катоде происходит осаждение.
Область моделирования представляет собой пространство между чередующимися катодами и анодами, заполненное электролитом (рис. 4). Оно окружено стенками и дном ванны, являющимися диэлектриками. Область имеет геометрическую форму параллелепипеда.
Заряд на электродах предполагается распределенным равномерно с одинаковой плотностью, как в [2]. Потенциалы электродов моделируют в плоскости координат х и у, потому что они не зависят от ширины электродов z. Для расчета потенциала используется пятиточечная разностная схема для задачи (1), (2), построенная на сетке с одинаковым шагом h по x и у [6].
Для моделирования потока ионов меди между катодом и ннодом в электролизной ванне было разработано CAE-средство [2].
На рисунке 4 представлены результаты моделирования потока катионов меди и анионов кислотного остатка для лабораторной электролизной ванны при стандартном напряжении 0,2 В с тремя катодами и двумя анодами.
Заключение
Создан алгоритм, позволяющий применять метод частиц-в-ячейках для моделирования потока ионов между анодом и катодом при электролитическом рафинировании. Метод применен для моделирования потоков ионов металла и кислотного остатка в лабораторной установке электролитического рафинирования меди, проведены численные и компьютерные эксперименты по компьютерному моделированию.
Список литературы
[1] Дамаскин Б.Б., Петрий О.А. Введение в электрохимическую кинетику. М.: Высшая школа, 1983. 400 с.
[2] Любанова А.Ш., Митин К.В. // Журнал Сибирского федерального университета. Техника и технологии 6 (2011 4). С. 642-652.
[3] Григорьев Ю.Н., Вшивков В.А., Федорук М.П. Численное моделирование методами частиц-в-ячейках. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2004. 360 с.
[4] Бабенко К.И. и др. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики. М.: Наука, 1979. 295 с.
[5] Березин Ю.А., Вшивков В.А. Метод частиц в динамике разреженной плазмы. Новосибирск: Наука, 1980. 94 с.
[6] Любанова А. Ш., Митин К.В. // Наука и технологии: Труды XXVIII Российской школы. М.: РАН, 2008. Т. 2. С. 105-112.
[7] Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. М.: Наука, 1982. 392 с.
[8] Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1984. 518 с.
[9] Вшивков В.А., Романов Д.В., Снытников В.Н. // Вычислительные технологии. 1999. Т. 4. № 3. С. 62-72.
[10] Григорьев Ю.Н. // Вычислительные технологии. 2004. Т. 9. № 5. С. 41-53.
Modelling of the Flows of Ions in the Course of Electrolytic Refinement
Konstantin V. Mitin
Siberian Federal University, 79 Svobodny, Krasnoyarsk, 660041 Russia
The work is devoted to modeling of flows of the charged particles in an electrostatic field arising in the course of electrolysis between a surface of the cathode and the anode. Such researches have great value for increase of efficiency of metallurgical processes in particular, electrolytic refinement of copper and other metals. Besides, modeling of electrostatic fields between surfaces of electrodes, helps to investigate the nature of interaction of the cathode with the anode. The mixed method of particles adaptedfor modeling of the migratory diffusion of a stream of ions in the course ofelectrolytic refinement is given in the article. At the Eulerian stage potentials of an electrostatic field are modelled by means of Maxwell's equations. At the Lagrangian stage laws of movement and a trajectory of ions in the form of the square-law splines are developed. The results of computer modeling for the electrolytic refinement of copper are given.
Keywords: Simulation of charged particle fluxes of ions, electrolytic copper refining.
