CC BY
55
УДК 544.022.344.2
Моделирование полей напряжений плоских дислокационных ансамблей
Н.М. Русин, С.Д. Борисова
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия
В статье представлены результаты расчетов полей напряжений, индуцируемых различными комбинациями плоских дислокационных ансамблей. Показано, что в случае образования такими ансамблями субзерен с параллельными границами поле напряжений компенсируется в большей части структурных элементов, за исключением их приграничных областей. Это позволяет дислокациям относительно легко проходить такие элементы структуры.
В случае образования в процессе деформирования элементов структуры в виде пересекающихся плоских ансамблей поле напряжений вокруг них не скомпенсировано, содержит вихревые и изгибные компоненты напряжений. Такое поле задерживает решеточные дислокации в объеме субзерен, что стимулирует дополнительную фрагментацию элементов субструктуры в ходе деформирования.
Ключевые слова: дислокационный ансамбль, субструктура, поля напряжений
Simulation of stress fields of dislocation pile-ups
N.M. Rusin and S.D. Borisova
Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia
The calculation results for stress fields induced by different combinations of dislocation pile-ups are presented. If such pile-ups form subgrains with parallel boundaries, the stress field is compensated in the majority of structural elements, with the exception of their boundary regions. This allows dislocations to easily pass through such elements.
In the case of intersecting pile-ups formed during deformation the stress field around them is uncompensated and contains vortex and bending stress components. Such a field inhibits the lattice dislocation motion within subgrains, which stimulates the additional fragmentation of substructural elements during deformation.
Keywords: dislocation pile-up, substructure, stress fields
1. Введение
В процессе деформации твердого тела происходит накопление заторможенных дефектов, упруго взаимодействующих с подвижными дислокациями и затрудняющих их скольжение. Увеличение деформирующей нагрузки приводит к сближению (уплотнению) заторможенных дефектов на расстояния, при которых собственные упругие поля перекрываются. Релаксация данного взаимодействия происходит путем частичной аннигиляции и перегруппировки дефектов в конфигурации, уменьшающие упругую энергию дислокационной системы. Формируются планарные, а затем и объемные ячейки и субзерна, границы которых представляют собой плоские скопления дислокаций преимущественно одного знака [1-3]. Освобождение объема ячеек и субзе-
рен от закрепленных дислокаций обеспечивает возможность для дополнительного скольжения в них по плоскостям решетки. Среди плоских дислокационных ансамблей различают скопления дислокаций в плоскости скольжения и стенки (границы наклона), где дислокации выстраиваются друг над другом в параллельных плоскостях скольжения. Плотность дислокаций в ансамблях определяет угол разориентации материала в соседних ячейках, который, как правило, не превышает нескольких градусов.
Дальнейшее развитие пластического деформирования материалов с субструктурой возможно, если движущиеся дислокации либо абсорбируются границами субзерен, либо проходят их и исчезают на дислокационных стоках, таких как свободная поверхность или полоса
© Русин Н.М., Борисова С.Д., 2009
сброса (сдвига). Последний вариант реализуется при монотонном деформировании, при применении обычных методов металлообработки, когда после образования деформационной субструктуры с малоугловыми границами процесс дальнейшего ее измельчения резко замедляется. Происходит это из-за того, что при монотонном деформировании, т.е. при неизменной схеме нагружения, субзерна ориентированы таким образом, что накопления дислокаций в их объеме не происходит. Решеточные дислокации свободно проходят через поперечные их движению границы наклона, тем самым передавая деформацию от субзерна к субзерну. Сдвиг по параллельным плоскостям приводит к удлинению субзерен, оставляя неизменным их поперечный направлению течения размер. Неизбежный при таком дислокационном течении изгиб плоскостей скольжения компенсируется образованием новых границ наклона, перпендикулярных направлению скольжения. Субзерна, таким образом, удлиняются и делятся, сохраняя тип деформационной структуры и средний размер ее элементов [4]. Напряжение течения материала с субструктурой будет определяться длиной свободного пробега дислокаций, т.е. размерами субзерен d, что и устанавливает эмпирическое уравнение Холла-Петча: а ~ d ~п, где п = = 0.5-1.
Однако эволюция субструктуры может идти и другим путем: решеточные дислокации могут встраиваться в малоугловые границы, постепенно увеличивая разори-ентацию материала в соседних субзернах и превращая их в новые зерна. Способность абсорбировать решеточные дислокации у высокоугловых границ снижается, и внутри новых зерен вновь будет происходить накопление дислокаций, так что цикл дробления новых зерен на более мелкие субкристаллиты повторяется. Последний сценарий является желательным в случае необходимости превращения крупнозернистой структуры в мелкозернистую, вплоть до образования зерен наноско-пического размера. Предполагается, что он выполняется при достаточно больших степенях деформации твердого тела, достигаемых с помощью методов интенсивной пластической деформации [5].
Каким из описанных путей будет эволюционировать деформационная субструктура, зависит, в том числе, от ориентации субзерен и структуры их границ, с полем упругих напряжений которых взаимодействуют движущиеся дислокации. Для расчета сил, действующих со стороны плоских дислокационных ансамблей на движущуюся дислокацию, прибегают к модифицированному методу Хирта, где скопление п дислокаций, отстоящих друг от друга на расстоянии h, представляют в виде одной сверхдислокации с вектором Бюргерса пЬ [1, 2].
Компоненты тензора напряжения для границы из расположенных друг над другом дислокаций (рис. 1) описываются формулами:
а ^ = 2пХ [Л(2яХ) соэ(2яХ) - 1]а0, (1)
а „ =- зт(2л7 )[Л(2яХ) -
- соэ(2^) + 2:пХ^(2яХ )]а0, (2)
а уу _ - sin(2л;Y )[сИ(2пХ -
- соэ(2^) - 2яХзЬ(2яХ )]а0, (3)
где
а _ ^ а0 _-----------------------2;
2Н(1 - v)(ch(2лX) - соб(2лГ))2
Х _ х/Н и У= у]Н — безразмерные переменные.
Для границы, составленной из лежащих в одной плоскости краевых дислокаций, компоненты тензора напряжения можно представить в виде [2]: аху _ зт(2лУ)[Л(2яХ) -
- соз(2лУ) - 2лХ&(2лХ )]а0, (4)
ахх _ -2пХ[Л(2яХ)соб(2лХ) - 1]а0, (5)
ауу _ ^(2лХ)[Л(2лХ) - ^(2лУ)] -
- 2пХ (Л(2лХ )^(2лУ) - 1}а0. (6)
Полученные выражения указывают, что в первом
случае дальнодействующие поля напряжений спадают почти экспоненциально, т.е. практически отсутствуют. Тогда как во втором случае ахх — цб/(2Н(1 -V)) при х ——
Применительно к реальному случаю, когда число дислокаций в границе ограничено, т.е. длина стенки L конечна, поля напряжений могут отличаться от указанных ввиду краевых эффектов. Так, авторы [1] отмечают, что в случае оборванной границы наклона (рис. 1, а) возникают дальнодействующие поля напряжений. В голове такого скопления возникают значительные напряжения, зависящие от числа дислокаций. Поля напряжений таких скоплений, располагающихся вблизи свободной поверхности, рассмотрены в работах [6, 7], где отмечались сильные возмущения компонент тензора напряжения при переходе через скопление. Если дислокационное скопление оканчивается в кристалле, то наблюдается скольжение и переползание решеточных дислокаций на краю незавершенной границы. Расчет напряжения, вызывающего переползание, показал, что выражение для компоненты ахх логарифмически расходится при увеличении длины границы, как и в случае сверхдислокации.
В простом случае дислокационные стенки можно представить составленными из равноотстоящих прямых дислокаций, что, например, наблюдается при полиго-низации материалов [2]. Поля напряжений, индуцируемые плоскими ансамблями (субграницами), зависят от их дислокационной плотности 1/п и длины. Зная эти параметры, можно рассчитать силу взаимодействия плоских ансамблей с индивидуальными решеточными
дислокациями в объеме и таким образом связать прочностные характеристики деформируемого материала с формирующейся структурой. Если дислокационные скопления образуют границы субзерен, расчеты полей напряжений усложняются тем обстоятельством, что в местах пересечения границ упругие напряжения могут быть равновесными только в идеальном случае, когда стыки скоплений образуют конфигурацию в виде трехгранного угла [8]. На практике такие углы образуются только после термического отжига образцов.
2. Используемая модель
А. Коттрелл показал, что в случае вертикальной стенки из N прямолинейных краевых дислокаций (рис. 1, а) в упругоизотропной среде с модулем сдвига ц и коэффициентом Пуассона V напряжение в точке х от индивидуальной дислокации в стенке можно привести к виду:
а ху _ А
х(х2 -п2Н2)
А Х((X)2 - п2)
(х2 + п2 Н2)2
(7)
Н ((X)2 + п2)2 ’ где А _цЬ/(2п(1 -V)).
Сумма выражений (7) определяет воздействие дислокационного скопления на индивидуальную решеточную дислокацию, расположенную в точке х. Переходя от суммирования к интегрированию, используя табличные интегралы, получим:
ху tot
Н
п2) , 2А
ап _-
Xn
22
Н X2
+ п
(8)
Когда исследуемая дислокация находится точно напротив середины скопления, п1 _ 1/2 и п2 _ ь/2 (L _ _ ЦН), из (8) получаем:
XI X
а ху ^ «--------- ——----- ----. (9)
4 X2 +1
Решение данного уравнения при условии а ху ш дает выражение для X1:
Гь
X1 _-
■ 0
(10)
Рассмотрим теперь стенку из N дислокаций, расположенную, как на рис. 1, б. Напряжение от отдельной дислокации в точке у будет определяться выражением
а„ _-аУЗпНаЛ. (И)
(п2 Н2 + у2)2
Проделав аналогичные предыдущим операции и перейдя от суммирования к интегрированию, получим:
2А } Y(3п2 + Y2)
* хх tot
2А
_ Ъ }
(п 2 + Y2)2
ап _
2А
Н
Yn
Y2 + п 2
- 2аг^
п
V
(12)
Рис. 1. Наклонная граница (а) и плоское скопление краевых дислокаций с вектором Ь, параллельным оси у (б)
Подставляя в (10) п1 _ У2 и п2 _ ь/2, получим выражение для напряжения в точке у, расположенной напротив середины скопления:
2А
* хх tot
2YL
4Y2 + Ь2
4Y2 +1
- 2аг^
2Y
+ 2arctg
(13)
Таким образом, выражения (9) и (13) представляют ненулевые компоненты тензора напряжения от дислокационных скоплений в виде простой границы наклона и плоского скопления ряда краевых дислокаций соответственно. Сила, с которой данное напряжение будет действовать в рассматриваемой точке на решеточную дислокацию, определяется умножением его на вектор Бюргерса дислокации. Так, для случая простой границы наклона будем иметь: Гх _ ахуЬ. Графическое изображение данной силы, действующей вдоль направления X, приведено на рис. 2, из которого видно, что при Х> X1 сила стремится на бесконечности к 0, т.е. даль-нодействующие напряжения от такой границы отсутствуют. С другой стороны, если вытолкнуть дислокацию из стенки на расстояние X < X1, то собственное поле границы наклона будет стремиться ее вернуть.
Рис. 2. Сила взаимодействия решеточной дислокации с границей наклона
Рис. 3. Изменение силы отталкивания дислокации плоским скоплением в зависимости от расстояния до него
Сила, с которой скопление дислокаций, лежащих в одной плоскости скольжения (рис. 1, б), действует на расположенную в параллельной плоскости скольжения дислокацию с таким же вектором Бюргерса, определяется выражением (13). Анализ уравнения (13) показы-шет, что ст„ tot ^ 0 при Y = ст„ tot ^ b^l(h(l -v)) при Y = Таким образом, конечное скопление краевых
дислокаций, равноотстоящих друг от друга, создает дальнодействующее поле напряжений. Оно порождает силу Fy, вынуждающую скользящую параллельно скоплению дислокацию к переползанию в более отдаленную от скопления плоскость (рис. 3).
Таким образом, одиночная дислокация с таким же вектором Бюргерса, как в скоплении дислокаций, двигаясь по плоскостям, параллельным плоскости залегания скопления, будет испытывать отталкивание, величина которого носит экстремальный характер и зависит как от расстояния до скопления, так и от длины скопления. Расположенная с противоположной стороны скопления решеточная дислокация с таким же знаком будет испытывать притяжение. Однако, если мы имеем дело с двумя параллельными плоскими скоплениями в виде границ субзерна, то, очевидно, в малых субзернах поля напряжений от таких границ будут перекрываться, значительно компенсируя друг друга. Следовательно, основной вклад в упругую энергию субзерен вносят близкодействующие нескомпенсированные напряжения в приграничных областях.
3. Результаты моделирования и их обсуждение
Площадь над кривой на отрезке от О до X1 (рис. 2) означает работу, которую необходимо совершить для отрыва дислокации от стенки и перемещения ее в объем субзерна. Величину работы можно определить интегрированием уравнения (9):
W = - Ab ln
Ґ I L ( L \
= -Ab ln
~4 4h
V ) v J
(14)
Видно, что данная величина существенным образом зависит от плотности дислокаций в стенке. Чем больше дислокаций на границе наклона (меньше И и выше угол разориентации границы), тем больше расстояние Х1, на котором действует возвращающая сила, т.е. граница наклона будет стремиться удерживать прошедшую ее
решеточную дислокацию, находящуюся на расстоянии меньше Х1. При фиксированном И из выражения (10) следует, что чем длиннее скопление, тем больше эффективное расстояние захвата скользящих дислокаций Х1. Ближе к краю скопления удерживающая сила несколько снижается.
Оценим изменение энергии системы (субзерна) при удалении из нее дислокации. Упругая энергия дислокации равна [1]
/ \
АЬ,
я Ab. E = ln
2
ln
(15)
где г—расстояние, на которое распространяется деформация; г0 — радиус ядра дислокации. Оценки показывают, что при размере области г = £/2, равенство выражений (14) и (15) выполняется при И ~ 3Ь. Поскольку для границы наклона с малыми углами разориентации справедливо соотношение Ъ/Н = 0, то это означает, что угол разориентации в этом случае должен быть не менее 20°. Однако таких простых высокоугловых границ наклона не существует, поскольку ядра составляющих их дислокаций должны перекрываться, т.е. при деформировании материала с субзернами основная работа тратится на преодоление скользящими дислокациями полей притяжения поперечных им границ наклона. Вне действия этих полей (X > Х1) дислокациям энергетически выгоднее не задерживаться в объеме субзерен, а покинуть их пределы. При снятии деформирующей внешней нагрузки дислокации, расположенные вблизи границы наклона, будут притягиваться ею. При термической стимуляции процессов переползания дислокаций самоуплотнение границ наклона возможно и в процессе деформирования.
На рис. 4 показано субзерно в виде комбинации вертикальных и горизонтальных дислокационных плоских скоплений, состоящих из 10 и 30 краевых дислокаций соответственно.
В этом случае поля напряжений внутри и вокруг субзерна показаны на рис. 5. Видно, что величина упругих напряжений, индуцируемых стенками, в большей части субзерна мала. Следовательно, слабы и силы, действующие со стороны границ на внутризеренные дислокации.
Рис. 4. Схематическая модель субзерна, образованного плоскими скоплениями дислокаций
О 20 40 60
О 20 40 60
О 20 40 60
х, уел. ед.
Рис. 5. Графическое изображение компонентов поля упругих напряжений субзерна с границами из плоских скоплений дислокаций
При монотонном (обычном) деформировании материалов как раз и формируется подобная структура в виде полос деформации, состоящих из вытянутых в направлении течения субзерен [3]. Дислокации легко проходят подобные образования, не накапливаясь внутри полос, а следовательно, сформировавшаяся субструктура является устойчивой, развивается по описанному выше первому сценарию и не склонна к дальнейшей фрагментации после образования субзерен. Что и наблюдается при обычном деформировании материалов.
Однако развиваемые в последнее время методы интенсивного деформирования твердых тел демонстрируют, в отличие от обычных методов, убедительные возможности деформационного измельчения структуры материалов до субмикрокристаллического и даже нано-кристаллического состояния. К числу таких методов относятся кручение под давлением, равноканальное угловое прессование и ряд других [9].
Анализ показывает, что важным отличием данных методов деформирования металлов от обычных способов является существенный градиент сдвигающего напряжения, обусловленный малыми размерами очага де-
формации, а также непрерывное (кручение под давлением) или периодическое (равноканальное угловое прессование) изменение положения макроскопической плоскости максимальных сдвигающих напряжений относительно осей образца. Смена ориентации данной плоскости инициирует формирование новой полосовой и субзеренной структуры с ориентацией, отличной от ранее сформированной деформационной структуры, т.е. плоские границы новых субзерен должны пересекаться с границами предыдущих субзерен [10-12].
Сила взаимодействия таких пересекающихся дислокационных ансамблей при прочих равных условиях будет зависеть от угла пересечения и ориентации вектора Бюргерса дислокаций, их составляющих. Значения коллективных полей напряжений от таких образований будут экстремальными в случаях, когда вектора Бюргерса индивидуальных скоплений (ансамблей) лежат в одной плоскости.
На рис. 6, 7 представлены результаты расчета полей напряжений, возникающих при пересечении плоских дислокационных скоплений и границ наклона, полагая, что параметры их остаются такими же, как и в рассмотренных выше примерах.
Обращает на себя внимание тот факт, что поле напряжений между пересекающимися плоскими ансамблями оказывается нескомпенсированным, независимо от знака дислокаций. Более того, знак поля напряжений может меняться не только на краях образований, как в случае одиночного скопления, но и при переходе через них. Это означает, что такие конфигурации неустойчивы и демонстрируют тенденцию к изгибу, рассыпанию или разрыву в месте смены знака напряжений. Когда стороны угла составлены из дислокаций одного знака, возникает тенденция к увеличению угла их пересечения, а в случае дислокаций противоположного знака, стороны угла стремятся сблизиться.
Вряд ли указанные громоздкие дислокационные образования обладают достаточной мобильностью. Поэтому, двигаясь в их стационарном поле напряжений, решеточная дислокация будет испытывать изгибающие напряжения, затрудняющие ее скольжение. Тенденция к накоплению дислокаций в объеме субзерен возрастает. Скользящие дислокации будут затормаживаться и располагаться так, чтобы скомпенсировать индуцируемые пересекающимися плоскими ансамблями поворотные напряжения, образуя соответствующие дополнительные дислокационные ансамбли сложной конфигурации. В этом случае сохранение простой упорядоченной субзе-ренной структуры, обеспечивающей свободное трансляционное скольжение, как при монотонном деформировании, невозможно. Скользящие дислокации будут задерживаться и накапливаться внутри субзеренной структуры, сформировавшейся на первоначальных этапах интенсивной пластической деформации, что приведет к ее дальнейшей фрагментации в ходе последую-
у, уел. ед.
щего деформирования, пока не сформируются мелкие тей с целью компенсации поворотных моментов, возни-
подвижные субструктурные элементы, обеспечиваю- кающих по причине периодической смены направления
щие быстрые повороты микрокристаллических облас- действия максимального сдвигающего напряжения.
Рис. 7. Поля напряжений пересекающихся границ наклона, составленных из дислокаций одного (а) и противоположного (б ) знаков
4. Заключение
Проведены расчеты полей упругих напряжений, ин- представляют собой границы субзерен, то индуцируе-
дуцируемых плоскими дислокационными ансамблями мые ими поля упругих напряжений в значительной мере
в деформируемых твердых телах. Если такие ансамбли взаимно компенсируются в теле зерна, что обеспечивает
решеточным дислокациям относительно свободное перемещение. В этом случае они способны под действием внешних сил продавливать поперечные направлению их движения границы наклона, и деформация передается от зерна к зерну посредством простого трансляционного сдвига. Такая картина пластического течения реализуется при монотонном деформировании.
В случае интенсивной пластической деформации плоскости максимальных сдвигающих напряжений закономерно меняют свою ориентацию в процессе деформирования твердого тела. При каждой смене ориентации указанной плоскости формируется соответствующая субзеренная структура, которая накладывается на предшествующую субструктуру, так что границы их структурных элементов пересекаются. Индуцируемые пересекающимися границами поля упругих напряжений генерируют упругое поле, содержащее мощные поворотные моменты. Компенсация данных моментов требует образования дополнительных дислокационных конфигураций, в свою очередь препятствующих легкому скольжению решеточных дислокаций и вызывающих их накопление в теле субзерен, что приводит к дальнейшему измельчению субструктуры вплоть до наноскопи-ческих фрагментов.
Работа выполнена в рамках программы 3.6.2.2 СО РАН и при финансовой поддержке РФФИ (грант № 08-08-00314а).
Литература
1. Хирт Дж., Лоте И. Теория дислокаций. - М.: Атомиздат, 1972. -
600 с.
2. Предводителев А.А., Тяпунина Н.А., Зиненкова Г.М., Бушуева Г.В. Физика кристаллов с дефектами. - М.: Изд-во МГУ, 1986. - 240 с.
3. Губернаторов В.В., Соколов Б.К., Гервасьева И.В., Владимиров Л.Р. О формировании полосовых структур в структурно-однородных материалах при деформировании // Физ. мезомех. - 1999. -Т. 2. - № 1-2. - С. 157-162.
4. Кайбышев О.А., Утяшев Ф.З. Сверхпластичность, измельчение структуры и обработка труднодеформируемых сплавов. - М.: Наука, 2002. - 438 с.
5. ВалиевР.З., Александров И.В. Наноструктурные материалы, полученные интенсивной пластической деформацией. - М.: Логос, 2000. - 270 с.
6. Borisova S.D., Naumov I.I. Dislocation pileups: topological features of stresses and strains // Theor. Appl. Fract. Mech. - 2001. - V. 35. -No. 3. - P. 237-242.
7. Борисова С.Д., Липницкий А.Г. Зарождение дислокаций с поверхности Ni(100) // Физ. мезомех. - 2002. - Т. 5. - № 6. - С. 13-26.
8. Bata V, Pereloma E.V. An alternative physical explanation of the Hall-
Petch relation // Acta Mater. - 2004. - V. 52. - No. 3. - P. 657-665.
9. Valiev R.Z., Estrin Yu., Horita Z., Langdon T.G., Zechetbauer M.J., Zhu Y.T. Producing bulk ultrafine-grained materials by severe plastic deformation // JOM. - 2006. - V. 58. - No. 4. - P. 33-39.
10. Русин Н.М. Влияние маршрутов РКУП на особенности концевого эффекта // ФММ. - 2006. - Т. 102. - № 2. - С. 1-8.
11. Русин Н.М., Гирсова С.Л., Гоглев С.М. Влияние температуры на структуру и деформационные характеристики сплава Г110 при ковке с переменой осей осадки // Физ. мезомех. - 2006. - Т. 9. -Спец. выпуск. - С. 197-200.
12. Русин Н.М., Полетика Т.М., Гирсова С.Л., Данилов В.И. Особенности локализации деформации при интенсивном деформировании металлов // Изв. вузов. Физика. - 2007. - № 11. - С. 43-49.
Поступила в редакцию 20.05.2008 г.
Сведения об авторах
Русин Николай Мартемьянович, к.ф.-м.н., старший научный сотрудник ИФПМ СО РАН, rusinnm@mail.ru Борисова Светлана Давыдовна, к.ф.-м.н., научный сотрудник ИФПМ СО РАН, svbor@ispms.tsc.ru
