CC BY
12
УДК 538.935
И. А. Варфоломеев, В.Н. Горелки», В. Р. Соловьев
Московский физико-технический институт (государственный университет)
Моделирование переноса носителей в алмазе методом
Монте-Карло
Методом Монте-Карло выполнено численное моделирование эволюции пространственно-энергетического распределения дырок в кристалле алмаза с примесью бора во внешнем электрическом поле при температуре 10 К. В чистом алмазе преобладает поток носителей по полю. В случае наличия примеси бора, на которой идет эффективная рекомбинация низкоэнергетичных дырок, интегральные потоки дырок в направлении и против направления поля выравниваются, и наблюдается дифференциальная отрицательная подвижность носителей, что подтверждает выводы предыдущих работ о возможности эффекта отрицательной подвижности для определенных энергетических групп носителей в алмазе. Кроме того, при неизотропном двунаправленном начальном распределении скоростей дырок наблюдается их интегральная отрицательная подвижность.
Ключевые слова: алмаз, дырка, Монте-Карло, абсолютная отрицательная подвижность, функция распределения.
Введение
В работах [1-5] рассматривалась возможность существования абсолютной отрицательной проводимости (АОП) электронов в плазме благородных газов с примесью галогенов. В газах этот эффект связан с существованием области энергий, в которой транспортное сечение рассеяния электронов на атомах тяжелых благородных газов достаточно резко растет с увеличением энергии. Примесь галогена требовалась для обеднения энергетической функции распределения электронов в области малых энергий, где сечение ведет себя «нормально», то есть падает с ростом энергии. Обеднение функции распределения в низ-коэнергетичной области обусловлено прилипанием электронов к атомам галогена.
Обзор исследований отрицательной проводимости в полупроводниках представлен в [6]. В качестве механизма АОП на неравновесных электронах указывается их рассеяние на оптических фононах, эффективное при достаточно высоких температурах среды, порядка комнатной. В области низких температур этот механизм не работает.
В алмазе при низкой температуре (Т < 100 К) основным механизмом рассеяния носителей заряда (электронов и дырок) является рассеяние на акустических фононах. Резкий рост частоты столкновений при увеличении энергии ожидается для этого процесса в области энергий порядка тс2 , где т - масса носителя, а с - скорость звука в кристалле. При скорости носителя заряда V < с частица не может испустить фонон, и частота столкновений мала; при V > с рождение фононов уже возможно, и частота столкновений возрастает. По аналогии с вышеупомянутым случаем низкотемпературной плазмы благородных газов такое поведение частоты столкновений может быть причиной возникновения отрицательной проводимости в алмазе. Данные экспериментов [7, 8] с отрицательными мюонами в алмазе при Т < 100 К можно интерпретировать как проявление абсолютной отрицательной подвижности в нестационарных условиях. В работе [9] были проведены предварительные расчеты подвижности и временной эволюции пространственного распределения носителей заряда, созданных затормозившимся в алмазе отрицательным мюоном. Полученные результаты качественно объясняют данные экспериментов на базе обсуждавшейся выше зависимости от энергии частоты столкновений носителей с акустическими фононами.
В работе [10] в двухмоментном приближении получено решение пространственно однородного уравнения Больцмана для функции распределения носителей по скоростям в
алмазе в слабом электрическом поле. Оказалось, что в случае присутствия в кристалле алмаза примеси отрицательных ионов с концентрацией около 1015 с м-3 для носителей тока (дырок), обладающих энергией приблизительно от 100 до 300 К, подвижность имеет отрицательное значение. При этом интегральная по всему распределению (абсолютная) подвижность сохраняет «нормальное», то есть положительное, значение, и результирующий поток носителей идет в направлении силы приложенного поля. Из этого следует, что если организовать «отбор» потока носителей в области энергий, где предсказано наличие эффекта отрицательной подвижности, то, возможно, эффект отрицательной подвижности можно будет зарегистрировать и использовать для разделения зарядов и создания на базе кристалла алмаза устройства с аномальными электрофизическими свойствами.
Предсказанный в работе [10] возможный эффект отрицательной подвижности носителей определенной энергии в алмазе с примесью бора основывается на решении для функции распределения носителей по скоростям в двухмоментном приближении, справедливом только при слабой степени неизотропности распределения носителей. Кроме того, это решение было получено в пространственно однородном случае, не учитывающем неизбежной пространственной неоднородности распределения для любого реального источника носите-
Целью данной работы является численное моделирование пространственно-энергетического распределения носителей в кристалле алмаза с примесью бора для проверки возможности получения эффекта отрицательной подвижности в случае использования моноэнергетического, узколокализованного источника носителей. Задача решается методом Монте-Карло, который свободен от ограничений на степень неизотропности функции распределения. Источник носителей предполагается достаточно слабым, чтобы концентрация носителей была мала и индуцированное ими электрическое поле не искажало внешнего поля. То есть решается линейная задача о пространственноэнерге-тическом распределении носителей, создаваемых заданным источником, в постоянном внешнем электрическом поле.
Постановка задачи
Рис. 1. Схема гипотетического эксперимента
Схема гипотетического эксперимента по регистрации отрицательной подвижности в алмазе представлена на рис. 1. Кристалл алмаза, допированый атомами бора, который является акцептором для алмаза, помещается между двумя плоскими электродами, соединенными внешним проводником. Электроды образуют подобие плоского конденсатора - их линейные размеры значительно превышает расстояние между ними. Лазерное излучение, генерирующее носители заряда (дырки) за счет фотоионизации примесных центров (атомов
бора) сфокусировано в центре кристалла. Создаваемые таким источником носители могут иметь достаточно узкое пространственное и энергетическое распределение. К электродам прикладывается постоянное напряжение от внешнего источника, создающее электрическое поле Е внутри кристалла. Регистрируется ток во внешней цепи, который будет определяться движением дырок внутри кристалла и разностью потоков дырок на противоположные электроды.
Элементарные процессы, формирующие распределение носителей по энергиям
Согласно общепринятым представлениям в кристалле алмаза при Т < 100 К основным механизмом релаксации носителей по энергии е является рассеяние на акустических фононах и, в случае наличия примеси, взаимодействие с атомами и ионами примеси.
Рассеяние на акустических фононах
В процессе взаимодействия с кристаллом носитель заряда с волновым вектором к поглощает или испускает фонон с волновым вектором д и переходит в состояние с волновым вектором к'. Для гамильтониана взаимодействия носителя с фононом в приближении деформационного потенциала, который описывается константой вероятности поглощения О- и излучения фонона определяются соответственно выражениями
\ —2д (Н2д2 Н (ко) \
О-( к,д) = ж п.5 I — - Нед + —^ I (1)
V 'V Мс 4 2т 4 т х '
2^2 h2 (jt^
0+ $ = 'Ё<п* +1) * IИг +Н- 'ЧЧ) • (2>
где щ = —, ^ \— среднее число фопопов с волновым вектором д, М - масса кристалла,
т - масса носителя, с - скорость звука в кристалле, Т - температура кристалла, к в
" " Н2к2
2т
константа Больцмана, Н - постоянная Планка, Н^с. - энергия фонона, е = — энергия частицы с волновым вектором к.
Определяемая законами сохранения энергии и импульса связь энергий носителя еже1 до и после испускания фонона соответственно задается неравенствами
/ — V2тс2 — уТе' — /е,еслие ^ 2тс2,
_____2тс2
у2тс2 — у[е — V е' — фе^спи2тс2 ^ е ^ —-—,
2тс2
е = е, если е
Если £ < то испускание фонона невозможно. Поглощение фонона допустимо для
2
с-2
носителя любой энергии. Величина энергии поглощенного фонона ограничивается неравенствами (15), где £' теперь начальная, a £ - конечная энергия носителя.
Для процесса испускания фонона помимо пороговой энергии £ = ^¿h следует отметить энергию носителя £ = 2тс2, поскольку это единственное значение энергии частицы, при котором после возбуждения фонона она может остановиться, то есть е' может быть равна нулю.
Подвижность носителей заряда выражается через транспортную частоту столкновений, характеризующую скорость изменения импульса в направлении движения. Для упругих процессов это изменение импульса описывается множителем (1 — cos в), а для неупругих -
и
^_cos f) f\
множителем вида -^-, где о - угол отклонения носителя от начального направления
движения при взаимодействии с фононом.
Для процесса поглощения фонона
k—k' cosв (kq)
- = — а для процесса испускания
к
к в = Таким образом, транспортная частота столкновений носителей заряда с
акустическими фононами равна
Vtrjp (к) = J Q± (k, q^j
(kq)
Vdq
к22 (2n)s
- / Q-
(k q) M
yk,V k2 (2vT)3 ,
(3)
где V - объем кристалла, а [к^ = — %г Для процесса поглощения и [к^ = + %г для процесса испускания фонона, что следует из вида ¿-функций в выражениях (1), (2) для вероятностей поглощения и испускания фонона.
Интегрирование в формуле (3) приводит в итоге к следующему выражению для транспортной частоты столкновений:
vtr р (к) =
т
4-крс h2k3
f0max(0,2k~ 2Т) (щ + i) g2^ПШ + dn— _ r2k±^ir ~ n2 (тсч ¿_
Jmax(0,^-2k) Q \ ft 2
(4)
где р = М/ V — плотность кристалла.
Рекомбинация
Из процессов рекомбинации носителей рассматривается только процесс рекомбинации на ионах примеси, поскольку образованием экситонов при такой концентрации носителей можно пренебречь [11].
Рекомбинация, или захват, носителя заряда на притягивающий центр с образованием долгоживущего связанного состояния согласно разработанной в [12-14] теории происходит в два этапа. Первым этапом является собственно захват свободного носителя в связанное состояние с испусканием акустического фонона. Вторым - диффузия захваченной частицы в пространстве энергий, завершающаяся либо образованием устойчивого связанного состояния, либо переходом этой частицы вновь в свободное состояние. Единичный акт перехода носителя из свободного состояния в связанное, безотносительно его будущей истории, будем называть, для отличия от рекомбинации, элементарным актом захвата.
В случае кулоновского потенциала взаимодействия дифференциальное сечение элементарного акта захвата носителя с излучением фонона в квазиклассическом приближении
получено в работе [12]. В безразмерных переменных энергии носителя £ = 5 абсолют-
2 П 2 кТ
ной величины энергии связанного состояния ц = и температуры кристалла 7 = ^^
оно имеет вид
daCap(i, Tj) U1
(£ + v)2
drj
i
1 + ^
■к
01
—а
Ze2
1 — exp
1 )
(5)
(6)
вето \ ктс2
Здесь и - абсолютная величина энергии связи состояния, в которое захвачен носитель, к - диэлектрическая проницаемость кристалла, е - заряд электрона, Е - зарядовое число притягивающего центра.
Функция прилипания, или вероятность того, что захваченный носитель останется в связанном состоянии, то есть действительно рекомбинирует, вычислена в работе [13]:
Р (V) =
1
(1 + ?) exp(—= )
(7)
2
3
2
Как и следовало ожидать, Р(ц) ^ 0 при и << кТ, и Р(ц) ^ 1 при и >> кТ. С вероятностью 1 — Р (^) захваченный носитель вырвется из поля притягивающего центра и станет свободным с энергией порядка тс2.
Полное сечение рекомбинации носителя с безразмерной энергией £ получается интегрированием произведения дифференциального сечения захвата (5) и функции прилипания
(7)
аг
=) =
01
(С + V )2
1 — ?) ехР (—?)
1 + 1 + 4
— С
1 — ехр
-А^.
(8)
Зависимость этого сечения в единицах а1 от безразмерной энергии £ при различных значениях безразмерной температуры 7 представлена на рис. 2 для случая захвата дырок на примесные отрицательные ионы бора в алмазе.
Рис. 2. Зависимость сечения захвата (рекомбинации) дырок в алмазе от безразмерной энергии при разных значениях безразмерной температуры
оо
3
£
2
0
Из особенностей сечения следует отметить его пик (расходимость) при энергии £ = 2тс2 (£ = 4). Он обусловлен тем фактом, что, как отмечалось выше, £ = 2тс2 - это то значение энергии носителя, при которой после излучения фонона он может иметь нулевую конечную энергию. При всех остальных энергиях эта величина положительная, то есть для перехода в связанное состояние (е ^ 0) носитель должен дополнительно разогнаться в поле центра притяжения, чтобы потеря энергии была больше его начальной энергии.
Для случая алмаза с примесью бора характерная величина сечения а\ = 4.17-10-11 см2, характерное время т0 = 4.2-10-11 с и тс2 = 16 К.
Частота рекомбинации носителя энергии £ на ионах примеси с концентрацией щ определяется выражением
Моделирование методом Монте-Карло
В качестве начального распределения носителей бралось распределение Гаусса как по координате, так и по энергии, а зависимость мощности источника носителей от времени предполагалась 5-образной функцией. Линейные размеры электродов полагались много большими, чем расстояние Ь между ними. На обеих границах кристалла ставилось условие свободного стока носителей на электрод (коэффициент отражения от границы равен нулю).
Результатами расчета являются, в частности, функция распределения плотности носителей по координате и энергии и зависимость от времени тока через обкладки.
Выбор длительности пробега
Длительность свободного пробега носителя между столкновениями определяется суммарной частотой столкновений, соответствующей его волновому вектору. Если скорость носителя можно считать приблизительно постоянной за время свободного пробега, то зависимость количества не столкнувшихся носителей N от времени описывается выражением
dN „, ,
N = -Vera (k) dt,
(10)
где vera = ve + vrec + va суммарная частота столкновений носителей с фононами и ионами примеси. Для конкретного носителя вероятность столкновения F(t) на временном промежутке [0, Т] есть
т
F (Т) = 1 - exp I -
Vera (|k|) dt I =1 - e-
>(|fc|)*í
(11)
и случайное время пробега между столкновениями определяется как решение уравнения
^ (Тта) = гп!,ТгпЛ = ^-1 (Щ,гп !), где гпй - случайное число, равномерно распределенное на отрезке [0,1].
Однако предположение о постоянстве скорости носителя не всегда выполняется с удовлетворительной точностью, особенно в области низких энергий, где, согласно результатам моделирования, средний относительный прирост скорости может быть и двукратным. Для учета этого факта необходимо в уравнении (11) учесть зависимость к от времени. Заметим, что эта зависимость сводится к зависимости от угла между вектором к и направлением электрического поля Е в начальный момент времени, так как вращение к вокруг направления Е не приводит к изменению зависимости модуля к от времени. Зависимость скорости носителя от времени между столкновениями можно считать линейной из-за действия электрического поля. В результате выражение (11) слегка изменяется
т
F (Т) = 1 - exp I -
Vera (k (t)) dt
(12)
T'md = F' \lkl,a,rnd),
(13)
где
к - волновой вектор носителя в момент, предшествующий свободному пробегу, а _ уГол между Е и к в тот же момент времени.
В вычислении интеграла (12) участвует полная транспортная частота jera, складывающаяся из частот, обсуждавшихся во второй главе элементарных процессов
ve ( k) =
m
р с h2k 3
'>max(ü,2fc— ^ )
(ng + 1) q2
(mp 4 -
va (k) =
m
4tt рс h2k3
f-2k+ 2
x(ü ^ — 2k)
2
nqq 2
m 2 [mr - Y)dq
Vrp.r - ni
\j~m^arec (mc2) '
(14)
(15)
(16)
2
ü
2
Шаг по времени
После того как на основании предыдущего шага получено время свободного пробега, координата, скорость и текущий момент времени изменяются на соответствующую шагу величину (считая движение равноускоренным). Далее, с помощью еще одного случайного числа в соответствии с относительными вероятностями процессов (14), (15), (16) выбирается один из трех элементарных процессов, нарушающих свободное движение носителя. В случае первых двух процессов излучения или поглощения фонона, в соответствии с законами сохранения получаются новые значения импульса, по которым впоследствии вновь определяется время пробега до следующего столкновения. В третьем случае, т.е. если носитель рекомбинировал, в дальнейшем расчете он не участвует, и начинается новый расчёт с новым «вновь образовавшимся» в своей начальной точке носителем.
Рис. 3. Частоты элементарных процессов: v - полная частота, vrec - частота рекомбинации, Vemit - частота излучения фононов, vabsorb - частота поглощения фононов; концентрация примеси:
(а) N.i = 10
_ 1п20 „-3
, (б) Nt = 10
- 1п21 „-3
(в) N.i = 10
_ 1п22 „-3
Роль различных элементарных процессов в разных областях энергии носителя позволяет оценить рис. 3. В области низких энергий {к/кш\п < 2) (здесь и далее под Äm;n понимается модуль волнового вектора носителя, соответствующий минимально необходимой для излучения фонона энергии е = ™) наиболее существенна рекомбинация, остальными процессами здесь можно пренебречь. В области энергий, соответствующих к/кш\п > 3, транспортное сечение растет за счёт высокой вероятности испускания фонона. Именно в этой области предполагается возможность существования удельной отрицательной подвижности, т.к. движущийся по полю, т.е. ускоряющийся в поле носитель имеет большую
>
поле не успевает сильно повлиять на носитель, а его транспортная частота велика по сравнению с частотой рекомбинации низкоэнергетических носителей, поэтому он релаксирует по энергии быстрее, чем рекомбинируют нежелательные низкоэнергетические носители. Таким образом, для наблюдения эффекта интегральной отрицательной подвижности желательно, чтобы «пучность» спектра носителей по энергии лежала на правом склоне «ямы» зависимости полной частоты рассеяния от энергии. Заметим, что центр ямы приходится на энергии, соответствующие к/кш;n ~ 3, (около 70 К), а минимум с ростом концентрации примеси становится все более ярко выраженным.
Так как при достаточно слабом внешнем электрическом поле неравновесные носители преимущественно теряют энергию, т.е. их начальное распределение двигается «влево» по оси абсцисс на рис. 3, оптимальной является начальная энергия, несколько большая 70 К. Моделирование эволюции носителей от дельта-образного источника показывает, что в данных условиях наибольшая часть излучивших фонон носителей переходит в низкоэнергетическую область, где доминирующим эффектом является рекомбинация, устраняющая вклад этих носителей в поток через электрод.
Результаты расчета
Изотропное начальное распределение дырок
В данной работе рассматриваются результаты моделирования только дельта-образных по времени источников. Т.к. модель не учитывает электрическое поле, созданное самими носителями заряда, - результат полностью линеен по начальному распределению носителей, а значит, переход от дельта-образного источника к источнику с произвольной временной зависимостью интенсивности может быть произведен простым интегрированием по времени.
Расстояние между электродами полагается равным L = А = 2 им. Здесь А - харак-
2
терная величина пробега дырок при энергии, равной Начальное распределение дырок имеет гауссову форму по энергиям и пространству с максимумом в центре кристалла (xs = 0.5L ~ 1 им) ПРИ энергии е = ео = 150 К и дисперсией 6£ = 16 К по энергии и (6Х = L/10 = 0.2 им) п0 пространству. Величина внешнего электрического поля Е = +25 В/см. Температура кристалла предполагалась равной 10 К.
На рис. 4 и рис. 5 представлены результаты расчета эволюции функции распределения носителей по энергиям и пространству в чистом алмазе, где рекомбинация носителей отсутствует (рис. 4), и в кристалле алмаза с примесью отрицательных ионов бора, обеспечивающих интенсивную рекомбинацию дырок при низких энергиях (рис. 5).
Эволюция распределения в чистом кристалле не проявляет никаких аномальных свойств. Доля носителей, движущихся против поля за счет своей начальной кинетической энергии, постепенно уменьшается, и в итоге дырки концентрируются у электрода в направлении приложенного поля.
Эволюция распределения в присутствии обеспечивающей рекомбинацию примеси имеет несколько иной характер. Из сравнения рис. 4 и рис. 5 видно, что добавление примеси значительно обедняет низкоэнергетичную, с энергией менее 50 К, часть распределения носителей. Кроме того, в момент времени t = 0.2т на рис. 5 отчетливо видно, что в группе
носителем, не испытавших столкновении с резким изменением энергии, количество носителей, движущихся в «неправильном» направлении против поля, заметно больше, чем количество «нормальных» носителей, движущихся по полю. Этот результат подтверждает вывод работы [10] о возможности существования эффекта отрицательной подвижности в ограниченной области энергий носителей в случае допирования кристалла алмаза примесью отрицательных ионов.
Рис. 4. Карта плотности функции распределения носителей в чистом алмазе без рекомбинации в различные моменты времени (а) 0 г; (б) 0.1 г; (в) 0.2 г; (г) 0.3 г; (д) 0.5 г;(е) 1.5 т;т = 4.17-10-11 сек; ось абсцисс - энергия (Кельвин), ось ординат - проекция координаты на направление поля (метры)
Рис. 5. Карта плотности функции распределения носителей в допированном бором (концентрация N1 = 1021 м-3) алмазе в те же моменты времени, что и на рис. 4; ось абсцисс - энергия, ось ординат - значение координаты вдоль направления поля
На самом деле эффект преимущественного движения не рассеянных с большой потерей энергии носителей в «неправильном» направлении проявляется и в чистом алмазе в тот же момент времени £ = 0.2т, но он нивелируется намного более мощным потоком «правильных» носителей меньших энергий.
На рис. 6 представлены результаты расчета потока носителей через электроды в направлении поля (сплошная кривая) и против поля (пунктир). В отсутствие рекомбинации (рис. 6а) «нормальный» ток, создаваемый низкоэнергетичными прорелаксировавшими по энергии носителями, заметно больше, чем ток «аномальных» носителей. Сравнение рис. 6а и рис. 66 демонстрирует, что благодаря рекомбинации на примесных ионах можно практически полностью освободиться от тока, создаваемого прорелаксировавшими по энергии носителями. Это приводит к практически равным итоговым токам на оба электрода, несмотря на положительное приложенное внешнее поле, и свидетельствует о проявлении эффекта отрицательной подвижности, хотя и не абсолютной, при рассмотренных условиях.
Рис. 6. Поток через электроды в алмазе: (а) - без примеси (рис. 4), (б) - концентрация примеси N. = 1021 м-3 (рис. 5)
Неизотропное начальное распределение носителей
В данном параграфе сравнивается эволюция функции распределения носителей в случае изотропного начального распределения носителей и «двунаправленного» распределения, когда начальная скорость носителя с равной вероятностью направлена либо по полю, либо против поля. Постановка задачи аналогична предыдущей, но расстояние между электродами уменьшено вдвое Ь = 0.5Л = 1 ^м, а максимум распределения начальной энергия дырок £ = £0 = 250 К .
На рис. 7 и рис. 8 представлены результаты моделирования эволюции функции распределения носителей в случае изотропного и двунаправленного начального распределения соответственно. Из представленных временных срезов функции распределения видно, что в случае двунаправленного распределения эффект удельной отрицательной подвижности
проявляется гораздо ярче (для носителей, не потративших значительной энергии на излучение фононов). Кроме того, что более важно для наблюдения интегральной отрицательной подвижности, количество носителей с энергией менее 150 К в случае двунаправленного начального распределения существенно меньше. Указанные особенности позволяют получить отрицательную интегральную отрицательную подвижность в случае двунаправленного начального распределения.
Рис. 7. Карта плотности функции распределения носителей в допированном бором (концентрация N1 = 1021 м-3) алмазе в различные моменты времени при изотропном начальном распределении носителей по углам (а) 0 т; (б) 0.04 т; (в) 0.08 т; (г) 0.1 т; т = 4.17 • 10-10 с; ось абсцисс - энергия (Кельвин), ось ординат - значение координаты вдоль направления поля (метры)
Рис. 8. Карта плотности функции распределения носителей в допированном бором (концентрация N. = 10:
21 -3
распределения носителей; ось абсцисс - энергия, ось ординат - значение координаты вдоль направления поля
На рис. 9 представлены результаты расчета потока носителей через электрод в направлении поля (сплошная кривая) и против поля (пунктир). Сравнение рис. 9а и рис. 96 показывает, что в случае двунаправленного начального распределения выход носителей на электроды происходит за более короткий, по сравнению с изотропным начальным рас-
пределением, промежуток времени. Данный результат является ожидаемым, т.к. в двунаправленном случае разброс проекций скоростей на направление поля остается не слишком велик, отклонившиеся носители быстро теряют энергию и рекомбинируют на примеси. В изотропном случае аналогичный разброс проекций скоростей велик изначально, и носители, вышедшие под значительным углом к направлению поля, теряют начальную ориентацию направления движения. Потерявшие начальную ориентацию носители, как видно из рис. 9а, в среднем обладают положительной подвижностью.
Рис. 9. Поток через электроды при: (а) - изотропном начальном распределении носителей (соответствует рис. 7), (б) - «двунаправленном» начальном распределении носителей (рис. 8)
На рис. 10 изображена разница потоков носителей через обкладки. Смысл представленных зависимостей практически тот же, что и у зависимостей на рис. 9, но из разницы потоков лучше видно, что положительный ток создается рассеянными носителями (времеНа рис. 11 представлена зависимость от времени количества носителей, покинувших образец и оставшихся в нем. В случае, если полное количество заряда, вытекшего через электрод с положительным потенциалом превышает количество заряда, вытекшего через электрод противоположной полярности, можно говорить об интегральной отрицательной подвижности. В представленном численном эксперименте таковая наблюдается для двунаправленного начального распределения носителей. В случае изотропного начального распределения интегральная подвижность имеет нормальное положительное значение, несмотря на кратковременное наличие отрицательной подвижности для небольшой группы носителей.
Качественное обсуждение результатов
Рассмотрим суммарную подвижность пары носителей заряда, имеющих в начальный момент противоположно направленные скорости V и — V. Эффект интегральной отрицательной подвижности наблюдается лишь в случае «двунаправленного» начального распре-
деления скоростей носителей или, в несколько более общем виде, - для носителей, векторы скорости которых лежат внутри конуса, ось которого совпадает с направлением поля. Заметим также, из рис. 10 следует, что отрицательная подвижность имеет место лишь для пар носителей, не потерявших в столкновениях значительной энергии, данные носители представлены пиками в окрестности £ = 0.1т на рис. 9.
оХ 10 3
s 1
"О
тз
-0.01 -0.015
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Time т^
Рис. 10. Разница потоков через электроды (а) - при изотропном начальном распределении носителей (рис. 9а), (б) - при «двунаправленном» начальном распределении носителей (рис. 96)
Рис. 11. Доля носителей, вышедших через обкладки к определенному моменту времени: (а) - в случае изотропного начального распределения (рис. 10а), (б) - в случае «двунаправленного» начального распределения (рис. 106)
Рассмотрим две пары носителей - начальные скорости первой пары, Ую , параллельны направлению поля, второй, У20, - ортогональны. Даже при отрицательной подвижности первой пары, подвижность второй окажется положительна. Покажем это. Если считать приобретенную носителями в поле скорость малой по сравнению с начальной, то модуль скорости каждого носителя из первой пары изменяется в первом порядке по времени
Таким образом, носители второй пары в первом порядке «не чувствуют» изменение транспортной частоты с изменением энергии. Для носителя, двигающегося под некоторым углом а к полю, в первом порядке по ¿¿приращение 5V будет в cos(a) раз отличаться от приращения скорости для носителя, двигающегося вдоль поля, что эквивалентно изменению в cos(a) раз, то есть уменьшению, наклона dvera/dV, на котором основан эффект отрицательной подвижности.
Заключение
Методом Монте-Карло проведено численное моделирование эволюции пространственно-энергетической функции распределения носителей (дырок) от мгновенного дельта-образного по энергии и пространству источника в кристалле алмаза с примесью бора в постоянном электрическом поле. Температура кристалла предполагалась равной 10 К, когда основным механизмом изменения энергии носителей является рассеяние на акустических фононах. Рассеяние дырок на фононах описывалось в приближении деформационного потенциала.
Проведенные расчеты показали, что носители, рассеянные на фононах с большой потерей энергии, обладают «нормальной» положительной подвижностью, а носители, которые мало изменили свою энергию при излучении или поглощении фонона, проявляют «аномальные» свойства и движутся преимущественно в направлении против силы внешнего поля.
В чистом алмазе число «нормальных» носителей, которые аккумулируются в области низких энергий, преобладает над числом носителей с аномальными свойствами, и поток дырок через электрод, расположенный по направлению поля, в несколько раз больше, чем поток дырок в обратном направлении.
Сечение рекомбинации дырок на отрицательно заряженных акцепторных центрах бора в алмазе резко спадает с ростом энергии дырки. В результате в кристалле алмаза с примесью бора порядка 1021 м-3 функция распределения дырок по энергиям оказывается сильно обедненной в области энергий, меньше 50 К . Это приводит к тому, что интегральные по энергетическому спектру потоки носителей по полю и против поля практически не отличаются, если начальное распределение дырок изотропно. В случае неизотропного двунаправленного начального распределения носителей либо по полю, либо против поля, возможно наблюдение отрицательной интегральной подвижности. При этом следует заметить, что число носителей, проявляющих «аномальные» свойства, составляет малую долю от числа носителей, рожденных источником. Основная их масса быстро релаксирует по энергии и либо проявляет нормальные свойства, как это происходит в случае чистого кристалла алмаза, либо выходит из игры в случае рекомбинации на отрицательных ионах примеси бора.
Этот вывод справедлив, по крайней мере, для параметров проведенного численного эксперимента, то есть для энергии источника носителей 150 К, величины электрического поля 25 В/см и расстояния между электродами 1-2 мкм. Возможно другие соотношения
V1(t) = Vj10 + aSt, SV1 & aSt,
а носителя второй пары - во втором порядке
указанных параметров и величины концентрации примеси позволят получить интегральную отрицательную подвижность и в случае изотропного начального распределения, что
является предметом дальнейших исследований.
Литература
1. Рохленко А.В. Абсолютная отрицательная проводимость в релаксирующем слабоио-низованном газе // ЖЭТФ. — 1978 — Т. 75. — С. 1315.
2. Shizgal S., Mahon D.R.A. Electric field dependence of transient electron transport properties in rare-gas moderators // Phvs. Rev. A. — 1985. — V. 32.
3. Warman J.M., Sowada U, De Haas P. Transient negative mobility of hot electrons in gaseous xenon 11 Phvs. Rev. A. - 1985 - V. 31. — P. 1974.
4. Дятко H.A., Капителли M.; Лонго С., Напартович А.П. Отрицательная подвижность электронов в распадающейся плазме // Физика плазмы. —1998. — Т. 24. — С. 691.
5. Дятко Н.А., Кочетов И.В., Напартович А.П. К вопросу об абсолютной отрицательной проводимости низкотемпературной плазмы // Письма в ЖТФ. — 1987. — Т. 13. — С. 1457.
6. Елесип В. Ф. Явления абсолютной отрицательной проводимости в неравновесных трехмерных полупроводниках // УФН. — 2005. — Т. 175. — С. 197.
7. Mamedov T.N., Dutov A.G., Herlah D. [et al.\. Investigation of Boron Acceptor Impurity in Synthetic Diamond bv the ^_SR_ method // JINR Preprint. — 2004. — P. 14-2004-104.
8. Mamedov T.N., , Anreika D., Baturin A.S. [et al.\. Behavior of shallow acceptor impurities in uniaxiallv stressed silicon and in synthetic diamond studied by ^-SR // Phvsica. B. — 2006. - V. 374-375. - P. 390.
9. Baturin A.S., Gorelkin V.N., Rastunkov V.S., Soloviev V.R. Absolute negative mobility of charge carriers in diamond and interpretation of mSR experiments // Phvsica. B. — 2006.
- V. 374-375. - P. 340.
10. Батурин А. С., Горелки» В. H., Соловьев В.Р., Черноусое И. В. О возможности отрицательной проводимости электронно-дырочной плазмы в алмазе // Физика плазмы.
- 2008. - Т. 34, № 5. - 431-441 с.
11. Nagai М., Shimano R., Horiuchi К., Kuwata-Gonokami М. Creation of supercooled exciton gas and transformation to electron-hole droplets in diamond // Phvs. Rev. B. — 2003. — V. 68. - P. 081202
12. Lax M. Cascade capture of electrons in solid // Phvs. Rev. — 1960. — V. 119. — P. 1502.
13. Аба,кумов B.H., Яссиевич И.Н. Сечение рекомбинации электрона на положительно заряженном центре в полупроводниках// ЖЭТФ. — 1976. — Т. 71. — С. 657.
14. Аба,кумов В.Н., Перель В.И., Яссиевич И.Н. Захват носителей заряда на притягивающие центры в полупроводниках // Физика и техника полупроводников. — 1978. — Т. 12. — С. 3.
Поступила, в редакцию 0^.0^.2011.
