CC BY
8
УДК 537.312
ВЛИЯНИЕ НЕРАВНОВЕСНЫХ ФОНОНОВ НА МИГРАЦИЮ НОСИТЕЛЕЙ В АЛМАЗЕ ПРИ НИЗКИХ
ТЕМПЕРАТУРАХ
Ю. Ю. Воробьев, Е. П. Фетисов
Исследован процесс низкотемпературного переноса электронов и дырок в алмазе при наличии потока неравновесных фононов ("фононного ветра"). В результате численных расчетов выявлен характер зависимости переноса от основных параметров (мощности источника фононов, коэффициента диффузии носителей и т.д.) и получено распределение концентрации носителей во времени и пространстве.
Увлечение носителей потоком неравновесных акустических фононов в свое время подробно рассматривалось при анализе движения электрон-дырочных капель ¿1,2] и получило название "фононного ветра". При этом "ветер" носил, по сути, стационар ный характер и имел формальное сходство с кулоновским взаимодействием зарядов С другой стороны, эксперименты с разлетом носителей в условиях генерации ультра короткими лазерными импульсами [3, 4] находят адекватную интерпретацию с учетом эффектов запаздывания в электрон-фононном взаимодействии [5, 6]. Представляет ин ге рес синтез указанных выше предельных случаев, когда быстро включающийся ис точник носителей (и фононов) действует затем квазистационарно на временах порядка 10 мк< Нас будет интересовать именно эта ситуация, характерная, в частности, для модели твердотельного гамма-лазера, основанного на использовании радиоактивных атомов и реализуемого при гелиевых температурах ("холодный гамма-лазер") [7]. В качестве рабочего вещества будет рассматриваться алмаз.
Уравнение переноса для носителей с учетом диффузии и направленного движения под действием фононного ветра может быть записано в виде
дп л
— + <Цу(Уп) = ОеАп--+д{г,^. (1)
ОХ Те
Здесь д - скорость генерации носителей, те,Бе,У - их время жизни, коэффициент диффузии и направленная скорость, V — ар^тг(1 — V/s)J/m, тг - время релаксации, - скорость, сечение поглощения и поток неравновесных фононов. Мы воспользуемся для скорости V предложенной в работе [5] и оправдавшей себя аппроксимацией V = saJ/( 1 + а,/), а = ар^Г/зт. В случае "холодного гамма-лазера" носители, согласно модели, должны образовываться на поверхности алмаза в результате конверсионных процессов при радиоактивном распаде атомов Та [8] в области протяженностью ~ 1 мм и шириной ~ Ю-5 см, распространяясь за короткое время ~ 10~шс на расстояние А ~ 10_3 — Ю-4 см, поэтому задача обладает аксиальной симметрией. Аппроксимируем источник следующим образом:
д{г,1) = СяЛ(г)/2(<)/^, /х(г) = ехр(-Аг2), , , ч , (2,5 • 106£)2 ( 5-Ю7*-30\
ЛЮ - ''2811^2,5.10^ ехр (--200—] • (2)
где t¿ - период полураспада радиоактивных атомов, - их плотность.
Фононный ветер создается потоком баллистических фононов. Первичный поток образуется в процессе релаксации носителей по энергии (J\), а также при их рекомбинации (./2)- Соответствующие выражения имеют вид (ср. [5, 6]):
-«-">, (3)
7 / ^
* . тев г J
о
где ер\у,етр\у ~ энергия носителей, "уходящая" в фононы, соответственно, при релаксации и рекомбинации электронов и дырок.
Вторичный ветер возникает в процессе частотной эволюции фононного распределения за времена порядка Ю-6 с; в частности, поток баллистических фононов появляется при распаде "горячего фононного пятна" (если оно образуется). Соответствующий поток равен:
= 1/я(* - тД ~ А"1/2. (5)
¿в г
IV - выделяющаяся в источнике мощность, Яь - размер области энерговыделения, т^ ~ Ю-6 с - характерное время задержки потока вторичных баллистических фононов. В результате уравнение переноса принимает вид:
дп д2п дп
е дг2 дг
V г
- V
— п
При этом
1 — Те дг
1
J = Jl + J2 + а = (ТрнОе/вкТ.
(6)
дп дг
= 0, п(г,0) = 0, п(г -»£»,*) = 0.
(7)
г=0
Оценки для типичных значений параметров < п >~ 101, — 1019 см~3, С3 ~ 1023 см~3, те ~ 10_6с, ~ Ю-5 с показывают, что роль "рекомбинационных" фононов в предположении ер\у ~ ^рщ мала, Л -С Л, и этим "ветром" можно пренебречь. Далее, в отличие от ситуации с короткими импульсами накачки [3 - 6], в нашем случае величина аЗ\ мала, и скорость разлета за счет первичного ветра много меньше звуковой. В то же время а«73 ~ (Ю-1 —10~3)/г, и для расстояний г ~ Ю-3 —Ю-1 см вторичный ветер может ускорять носители до скоростей, сравнимых со скоростью звука.
Уравнение (6) с граничными и начальными условиями (7) решалось численно. При этом использовались параметры алмаза: те = 0,2то, т^ = 0,4то, 5 = 1,821-10 см-с~], плотность р — 3,51 г • см"3, акустический деформационный потенциал < Б > = 5,5 эВ. Величина аер\у оказалась мало чувствительной к конкретному веществу [5] и равна ~ 10_18эВ ■ см2. Коэффициент диффузии носителей ввиду плохо контролируемой кон центрации примесей в алмазе является не вполне определенной величиной. Используя значение подвижности р. ~ 2-103 см2/В -с, при 300 К получаем Д, ~ 50 см2/с. При инте ресующих нас низких температурах величина Ие варьировалась в процессе вычислении в пределах 20 - 100 см2/с. Результаты наших расчетов в случае короткого импульса ~ 10 нс в Си20 для полуширины облака носителей и зависимости максимальной ско рости от энергии возбуждения согласуются с соответствующими величинами работы [6].
Основные результаты вычислений в рамках поставленной задачи представлены на рис. 1, 2. На рис. 1а, б приведена зависимость от времени концентрации носителе!"! на расстоянии \ мм от источника при различных значениях мощности накачки и коэффициента диффузии. Варьирование параметра сгер\у от Ю-19 до 10~х7 эВ ■ см2 при
а б
Рис. 1. Временная зависимость концентрации носителей п на расстоянии Ь = 1 мм от источника. а) Коэффициент диффузии = 20 см2с~1, мощность ~ 1011 (1), Ю10 (2),5х 109 (3), 109 Вт/см3 (4). б)Ое = 20 см2/с, IV = 10" (1), Ю10 Вт/см3 (2); Бе = 100 см2/с, И' = 1011 (3), Ю10 Вт/см3 (4).
фиксированной мощности практически не меняет время смещения носителей на расстояние 1 мм, составляющее I ~ 1,8.икс. На рис. 2а, б дана покадровая развертка плотности электронов в функции расстояния Ь от источника при двух значениях коэффициента диффузии Бе = 20 и 100 см2/с и фиксированной мощности 5 ■ 109 Вт/см3 (параметр сгер\у = 10~17 эВ ■ см2).
Полученные результаты подтверждают существенную роль фононного ветра в про цессе миграции. Непосредственно вслед за образованием облака носителей через вре мена Ы ~ 0,2 — 0,3 мкс проявляется действие первичного потока баллистических фононов. Однако в условиях относительно небольших мощностей происходит лишь небольшое смещение электронов, а основной эффект вплоть до времен ~ 1 мкс связан с их диффузией, при этом непосредственно вблизи источника плотность носителей растет. Увеличение потока первичных баллистических фононов мало сказывается на процессе переноса. В то же время включение вторичного ветра через Д£ ~ 1 мкс резко
б
п, 1018см"
3.4 1.7 О
3.4 1.7 О
'л, 10|8см 3 0.2 0.4
1
■ N. | 0.8 1 1 1 ; 1.о ГЧ. 1 . 1 1
1.4 1.6
1.2
0.5
10
0.5
1 Ь, мм
Рис. 2. Покадровая развертка процесса увлечения носителей через 0,2 мкс в интервале от 0,2 до 1,8 мкс при мощности IV = 5 • 109 Вт/см3 и а€РУУ = Ю-17 эй • см2, а) Коэффициент диффузии Юе = 20 см?/с, б) Бе = 100сл«2/с.
меняет картину - носители "сдуваются" практически со скоростью звука, достигая рас-
\
стояний ~ 1 мм. за время t ~ мкс. С ростом мощности процесс ускоряется (см. рис. 1н. б). Временная развертка демонстрирует наличие двух групп носителей, "сдуваемых", соответственно, первичным и вторичным ветром, при этом доля последних существенно больше. Плотность электронов вблизи источника при значении Г)е = 20 см2с~* <падаеп ~ в 5-6 раз, при De — 100 см,2с-1 - вдвое (абсолютная величина, плотности в последнем случае, естественно, знчительно меньше). Интересной особенностью распределения является "хвост" практически постоянной плотности и ~ 10'' — 1016 см~л на рас<юяни ях ~ 0,2— 1 мм. Очевидно, что в чистых образцах миграция энергии протекает гораздо быс трее, а концентрация ее вблизи источника существенно меньше. В случае образования ' горячего фононного пятна" эффект вторичных баллистических фопонов долже! проявиться отчетливее, однако задержка во времени увеличится и будет он редел я i ься временем жизни "пятна".
Следует заметить, что более корректное рассмотрение процесса нарастания потоки вторичных фононов должно несколько сгладить картину.
Авторы признательны С. Г. Тиходееву за обсуждение задачи и полезные замечания.
ЛИТЕРАТУРА
[1] К е л д ы ш Л. В. Письма в ЖЭТФ, 23, 100 (1976).
[2] Б а г а е в В. С., Келдыш Л. В., Сибельдин П. Н., Ц в е т к о в В. А ЖЭТФ, 70. 702 (1976).
[3] S и о k е Г). W., Wolfe J. Р.. М у s у г о w i с z A. Phys. Rev., В 41. 11171 (1990).
[4] F о г I i п E., F а Г а г d S., Mysyrowicz A. Phys. Rev. Lett.. 70. 3951 (1993).
[5] В u 1 a t о v A. E., T i к h о d e e v S. G. Phys. Rev.. В 46, 15053 (1993).
[6] Копелевич Г. А., Тиходеев С. Г., Г и п п и у с П. А. ЖЭТФ (в печати).
[7] К а г j a g i n S. V. Laser Physics, 5, 2, 343 (1995).
Поступила в редакцию 19 марта 1996 i
<S
