CC BY
11
УДК 537.312
К ПРОБЛЕМЕ ГОРЯЧЕГО ФОНОННОГО ПЯТНА
Е. П. Фетисов
На основе решения задачи о миграции неравновесныj фононов доказана возможность образования нагретой области с локальной температурой в случае цилиндрической симметрии. Получено ограничение на парамаетры источника возбуждения (мощность, длительность импульса), которые оказываются более жесткими по сравнению с плоской геометрией.
Интенсивное импульсное лазерное или корпускулярное возбуждение сопровождает появлением потока неравновесных оптических и акустических фононов. Значительная часть первичных акустических фононов, а также вторичных, образовашихся в резуль тате распада оптических фононов, распространяется баллистически и уносит основы v > часть энергии. Однако при определенных условиях наблюдается накопление фононов в ограниченной области и образование квазиравновесной перегретой системы - "горячего фононного пятна" [1, 2], фононы в которой описываются планковским распределением с определенной температурой.
Одним из условий образования "пятна" является достаточная плотность энерговы деления. Поэтому существенную роль в образовании горячей области играет геометрг ¡ задачи. Фононное пятно заведомо образуется при достаточной мощности импульса в плоской геометрии и всегда отсутствует вследствие быстрого рассредоточения энергии в случае точечного источника. Цилиндрическая геометрия занимает промежуточное положение, и вопрос о существовании "пятна" остается открытым. В то же время, например, в наиболее перспективном варианте "холодного" гамма-лазера [3], для кото poro проблема теплоотвода является определяющей, область генерации имеет име им цилиндрическую симметрию, и вопрос о "горячем пятне" представляет далеко не академический интерес. Предварительные краткие результаты приведены в работе [4].
Итак, предполагается, что область стационарного в течение времени I энерговыделения представляет собой бесконечный цилиндр радиуса Л, в котором однородно по сечению рождаются неравновесные фононы с частотой ш и числами заполнения п. Частоты неравновесных фононов значительно выше характерных частот тепловых фононов, а числа заполнения малы, п < 1. В этих условиях основными элементарными процессами при низких температурах являются упругое рассеяние фононов на примесях и дефектах и спонтанный ангармонический распад фононов, тогда как роль процессов слияния, пропорциональных п2, в этих условиях мала. С течением времени при достаточно высоком уровне возбуждения числа заполнения могут возрастать вплоть до п ~ 1, и в результате баланса процессов распада и слияния образуется область локального теплового равновесия, называемая "горячим фононным пятном".
Функция распределения фононов п(г, 2) описывается диффузионным уравнением с источником Вп:
дп Л д ( дп\ п А
оо
Вп = В(ш)п = I <1ы'р(и')п(ы')Р(ш' ш). (1)
ш
Здесь И — 52г/3 - коэффициент диффузии, 1{ш) — [0{ш)т{ш)^'2 - диффузионная длина, т3,т - соответственно, времена упругого рассеяния и распада, Р(ш' —► ш) вероятность появления фонона частоты ш в процессе распада фононов с ш' > ш, р(ш) плотность фононов
т = (А,ц;5)-\ тя = (Ааш4)-\ (2)
Заметим, что последовательность распадов приводит к появлению фононов все более низких частот, обладающих большой длиной диффузии. Для некоторой частоты
диффундирующие фононы начинают выходить из прогретого слоя, 1{изц) = Я. Соответствующее время определяется равенством = т(шя). Наряду с мощностью /о и длительностью импульса накачки ¿о параметры ¿я и а>я определяют процесс эволюции неравновесных фононов.
Обратимся сначала к наиболее благоприятному с точки зрения формирования ква-зилокальной области случаю длинной накачки, ¿о ¿я- В пределе относительно малых времен распределение, очевидно, остается однородным. Вводя безразмерное время Т) — г/т(ш) = tAlUJ51 в случае автомодельного решения (ср. [2]) получаем уравнение
= Ш + / ~х~^Кх)иг]1х%
о
1
Л(я) = Р(\,х)[[ ¿ххгР(\,х))~х, х = ш/ш'. (3)
о
Учитывая линейный рост полной энергии единицы длины цилиндра со временем в рассматриваемом случае ¿о ^ ¿я Для параметра а получаем значение -9. Нормир функцию /о- условием
1 / = 1,
о J г) о '
получаем окончательное распределение в виде
"<"•<> = ШаГ'-^ - ТЖ^«' <4>
где IV - мощность на единицу поверхности. Зависимость средней частоты от времеь л определяется условием т) ~ 1, что дает т(и>) ~ Для чисел заполнения, аналогично [2,, получаем в рассматриваемом случае
п ~ И/Я = РяАя, Ря = ПВы4я.
Для мощности IV №д на некотором этапе распада даже в области I «С 1ц возможна компенсация процессов распада и слияния, п ~ 1, и установление тем;к ратуры. Поскольку 21¥т(и>т)/^Р^т — ^ соответствующее время оказывается порядь } ~ т(иит) ~ . Условия подобны плоскому случаю, однако соответствую!:
плотность энергии при той же мощности IV на единицу площади и той же толщ : прогретого слоя должна быть в 2-к раз больше.
Для малых мощностей IV <С WR распад будет продолжаться вплоть до выхода фононов из прогретого слоя, ¿о > ^ ~ ¿я, после чего задача становится неоднородной, и в уравнении (1) необходимо учитывать диффузию. В безразмерных переменных /? и С = г/1(ш) уравнение для автомодельного решения = сиз"С,) принимаем
следующий вид:
д£ дт]
Как и в предыдущем случае, из условия линейного роста энергии со временем
Е = 2тгЯШ ~ /5) (7)
получаем а — 0, в отличие от а = 9/2 в плоской геометрии. В результате заселенность
оказывается не зависящей от времени.
= (8)
или п = V/ В? / И^я ■ С момента выхода фононов из прогретого слоя заселенность более не растет. Таким образом, в отличие от плоского случая пятно может сформироваться лишь на первоначальной стадии £ <С ¿я "С ¿о, а затем лишь расширяться в течение накачки.
Наконец, после окончания импульса, £ > ¿о > ¿я энергия фононной системы остается постоянной, и из условия (7) находим а = 5, так что
(9)
В результате после окончания длительной накачки ^ ¿я при любой мощности числа заполнения только падают, га ~ 1/2:
Заметим, что закон спадания гораздо более резкий, чем в плоском случае, где п ~ (1/*я)-1/10.
В случае короткой накачки, ¿о "С ¿я5 фононы за время импульса не успевают выйти из прогретого слоя. Распределение остается однородным и дается формулой (4). Последнюю можно переписать (ср. [2]) в виде
Для достаточно большой плотности энергии (Е0/Ер) (¿яЛо)4^5 возможно выполнение необходимых условий образования области локальной температуры. В противном случае распад будет продолжаться.
После окончания накачки I > ¿о энергия постоянна, но для ¿я > 2 распределение по-прежнему однородно. В результате получаем а = —4 и
, 4 , 2Е0 ( t\
(13)
(12)
Рост со временем более медленный, чем во время накачки. Учитывая также малость отношения t/tR, появление "пятна" можно ожидать лишь в случае большого энерговыделения, 2Е0 Ел. В противном случае будут преобладать процессы распада, после выхода фононов из прогретой области числа заполнения будут только падать, и довольно быстро, п ~ (2/2я)-1 (см- (Ю)).
Таким образом, в случае цилиндрической геометрии, в отличие от сферическог. образование "горячего пятна" вполне возможно, однако условия установления локальной температуры оказываются более жесткими. "Пятно" может возникнуть лишь до выхода фононов из прогретого слоя, в области однородного распределения, при этом пороговая мощность оказывается более высокой, чем для плоской геометрии. Температура в пяч н< определяется условием п(и>т) ~ 1, и устанавливается в момент времени ~ т(и>х).
Общие выводы о возможности формирования "горячего пятна" в цилиндрической геометрии и сужение соответствующей области параметров (мощность, длительность накачки) подтверждают качественный анализ, проведенный в работе [5] путем неси-. метричного деформирования плоской прогретой области, рассматривавшейся в [2]. Заметим, что полной аналогии с цилиндрической геометрией в [5] нет; поскольку фононы распространяются лишь в одной полуплоскости, что скорее ближе к "полуцилиндру но при этом отсутствует учет отражения фононов. Поэтому, в частности, оказываются неучтенными дополнительные ограничения на формирование "пятна" лишь до выхода фононов из слоя (цилиндра), и нельзя строго указать пороговые энергии. Оценка тед ператур в "горячем пятне" и построение диаграммы (глубина прогрева, температур;.1 будут приведены в дальнейшей работе.
Работа выполнена при государственной поддержке ведущих научных школ (грант
[1] Н е г s е 1 I. С., D у n е s К. С., Phys. Lett., 39, 969 (1977).
[2] К а з а к о в ц е в Д. В., Л е в и н с о н И. В. ЖЭТФ, 88, 2228 (1985).
[3] К а г у a g i n S. V. Laser Physics, 5, 343 (1995).
[4] Ф e т и с о в Е. П. Научная сессия МИФИ-99, Сборник научных трудов, 1, 204 (1999).
[5] Г а л к и н а Т. И., Ш а р к о в А. И. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 2 - 3, 86 (1996).
96-15-96750).
ЛИТЕРАТУРА
Поступила в редакцию 28 июня 1999 i
