Численное моделирование разрушения металлических мишеней при воздействии сильноточных электронных пучков Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник Челябинского государственного университета. 2011. № 38 (253). Физика. Вып. 11. С. 41-49.

П. Н. Майер, А. Е. Майер

численное моделирование разрушения металлических мишеней при воздействии сильноточных электронных пучков1

Деформация и разрушение металлических мишеней при воздействии сильноточных электронных пучков численно исследуется в двумерной цилиндрической геометрии. Для описания пластической деформации рассматривается динамика дислокаций в материале мишени. Разрушение материала описывается как результат развития ансамбля микротрещин. При достаточной интенсивности облучения разрушение материала происходит как вблизи облучаемой, так и вблизи тыльной поверхности мишени. Сокращение длительности импульса облучения при фиксированной вложенной энергии приводит к увеличению объёма разрушенных областей материала. Использование короткоимпульсного пучка электронов малого радиуса позволяет получить сквозное отверстие в мишени без перехода в режим испарения вещества.

Ключевые слова: математическая модель, откольное разрушение, металлы, высокоскоростная деформация, облучение интенсивными потоками электронов.

Введение. Облучение твёрдотельных мишеней интенсивными потоками ускоренных заряженных частиц (электронов и ионов) наряду с мощным лазерным облучением является одним из методов быстрого ввода энергии в вещество. В результате передачи энергии от быстрых частиц пучка вещество мишени переходит в неравновесное состояние, в нём резко растут температура и давление. Облучение вызывает генерацию в мишени полей напряжения и ударных волн, которые, в свою очередь, могут приводить к структурным превращениям в материале [1-2], к деформации и разрушению материала мишени [3-5]. В данной статье на основе дислокационной модели пластичности [6-7] и модели разрушения [8-9] численно исследуется деформация и разрушение металлических мишеней при воздействии интенсивных потоков электронов. В отличие от [9], моделирование проведено в двумерной осесимметричной постановке, исследовались случаи, когда толщина мишени сопоставима или превышает радиус пучка, в частности, исследовалась возможность сквозного пробивания мишени электронным пучком.

Математическая модель. Математическая модель для описания реакции вещества на воздействие облучения представляет собой систему уравнений механики сплошной среды, дополненную уравнениями динамики и кинетики дислокаций (для описания пластической деформации) и кинетики микроскопических очагов разрушения (для описания разрушения мате-

1 Работа выполнена при поддержке РФФИ-09-08-00521-а.

риала под действием растягивающих напряжений). Используется дислокационная модель пластичности [6-7] и модель разрушения [8-9].

В цилиндрических координатах (г, т) уравнения движения имеют вид [10]

Р

dvг да„

dt

дг дг

Sm - S„.

г

dvz до,.

dt

д,

. + д^ + Ї* дг г

(1)

где V, vz — радиальная и осевая компоненты массовой скорости; ак = -Р ■ 8к + Sik — полные напряжения; Р — давление; Sik — девиаторы напряжений; р — массовая плотность среды. В (1) предполагается симметрия и отсутствие компоненты смещений и скорости по угловой координате ф.

Для девиаторов напряжений запишем

= 2С

wll )-

К)-

w

и — и„ — w

99 ~ II 99

(2)

^ = 2С [( + WtI)-],

где G — модуль сдвига; ик — тензор геометрической деформации, вызванной макроскопическим движением среды [11]; м^ — тензор пластической деформации, связанной с движением дислокаций [11]; Жл — тензор, характеризующий деформацию твёрдой части материала за счёт роста и раскрытия трещин [8-9].

Р

В цилиндрической системе координат скорости изменения и к определяются соотношениями [12]:

дv . дv

Ц-С = —; и-С = —-дг дг

дуг ду

—- +--------г

дг дг

(3)

Уравнение непрерывности приобретает вид

[13]

1 (р=_((”*+№')

р аі аі

vr г

аі

аі

где учтено, что в силу симметрии задачи = 0 и, следовательно, Wll = Жгг + Ж22 (см. далее уравнение (6) и пояснения к нему).

Обозначим за и удельную внутреннюю энергию, которой будет обладать вещество при отсутствии девиаторов напряжений Sik = 0 и отсутствии дефектов — дислокаций и микротрещин. Значение давления связано с и и с массовой плотностью вещества р уравнением состояния .Р(р, и) [14]. При отличных от нуля значениях девиаторов напряжений внутренняя энергия будет включать кроме и так же слагаемое ие1 = SiкSiк / (4бр) [12], представляющее собой удельную упругую энергию поля девиаторов. При наличии дислокаций часть внутренней энергии будет связана с ними: энергия дислокаций на единицу массы вещества равна и 18 = епрд / р , где ес — энергия образования единицы длины дислокации; рс — скалярная плотность дислокаций. Поверхности микротрещин в единице массы повреждённого материала обладают энергией иУ01(1 = 2упЯ2п / р , где п и Я — концентрация и радиус микротрещин; у — поверхностное натяжение. Таким образом, при наличии девиаторов напряжений и дефектов удельная внутренняя энергия будет равна и + ие1 + и ^ + итоИ =

= и + SikSik 1 (4^р) + eDpD / Р + 2УП^2И / р. Расчёты показывают, что обычно ие1, Ц1™ и иуоЫ

много меньше и.

Запишем уравнение для внутренней энергии. Мощность работы механических напряжений в единице объёма равна олйл = -Рйи + Sikйik [12], тогда из первого начала термодинамики получаем:

и +

4Gp

ёи„ ёи., д

= -Р—У- + Бк—^ + — ^ ё дх,

Г

дТ к—

V дх J

+ р- D,

где О — функция энерговыделения; к — коэффициент теплопроводности; Т — температура. Используя уравнения (2) и (3), отсюда можно получить

dU

>------- :

dt

Р + — + е „р„ + 2упЛ 2п 4G

1 d р

+

р dt

дх1

к-

дТ_

дх.

+ Р- В + 5,

dt

-е

d Рп 2„,п

п Л ^

аі

dt

(5)

Слагаемое Sjkwjk

в этом уравнении описывает выделение теплоты при пластической деформации (преобразование энергии из и1 в и). Слагаемые -є0р0 и -2утс|^(2п// dt^ учитывают, что часть энергии запасается в дефектах.

Ориентация микротрещин в пространстве задаётся единичным нормальным к плоскости трещин вектором р [8-9]. Рост трещин приводит к деформации неразрушенного материала между трещинами, эта деформация характеризуется тензором Жл. В работах [8-9] было показано, что для тонких трещин изменение тензора во времени связано с ростом объёмной доли трещин а формулой Щк = —ввк(1-а) а . Из соображений симметрии следует, что вектор в лежит в плоскости (г, г), т. е. отличны от нуля только две компоненты: Рг и Рг. Тогда для тензора Жй деформации вещества, связанной с ростом трещин, получаем [8-9]

= --

1 сі а

1-а і )

1 d

1 — а ^ )

' і Л а

(6)

1 — а Л

Остальные компоненты данного тензора равны нулю. Для объёмной доли трещин а можно записать

а = п

Ґ 3 СТР ^

2пЯ — G

(7)

где Ов=-Р + (рг • ( + в , р, • + 2вг в, • srz) —

2

д

напряжения, нормальные к плоскости микротрещин.

Для определения концентрации п и среднего радиуса трещин Я используются уравнения (8)-(11):

р

G

R2 Я + -2

2 '=-4 (у+у ') + 6Я ^ ; (8)

G

(9)

Здесь у' — необратимая энергия, затрачиваемая на пластические деформации, отнесённая к единице поверхности трещины; с — поперечная скорость звука; Ь — вектор Бюргерса дислокаций. При заданном значении внешних напряжений Ор, микротрещина будет расти, если её радиус больше критического значения Ясг:

= 2 £ (у+У).

3 Со

(10)

Скорость образования микротрещин определяется как:

dn с dt ~ ^4 Х

ехр

(-(2пУ (Г) / (3квТ))- ехР(-У / ау)

‘ [і - (п Ау RCr) / (ЪквТ)] • [1 - ехр (-у / Ау)'

(11)

Здесь кв — постоянная Больцмана; Ау — параметр модели.

В расчётах рассматривались только трещины, ориентированные оптимальным образом к действующим в материале напряжениям, т. е. соответствующие максимальному значению ор . Направление в фиксировалось в каждой расчётной ячейке в момент, когда в этой ячейке растягивающие напряжения становились достаточными для начала развития трещин. В ходе деформации мишени оптимальное направление в может меняться, но, как показывают расчёты, это изменение пренебрежимо мало.

При рассмотрении ансамбля дислокаций было сделано предположение, что векторы базиса кристаллической решётки сонаправлены с ортами гг, ег и еф цилиндрической системы координат. Физически это означало бы, что кристаллическая решётка «закручена» вокруг оси симметрии системы. Оправданием применения такого подхода могут служить два обстоятельства. Во-первых, движение дислокаций и скорость пластической релаксации слабо зависят от

ориентации базиса кристаллической решётки по отношению к направлению деформирования [9]. Во-вторых, последовательный учёт ориентации систем скольжения дислокаций требует использования трёхмерной постановки даже при решении задачи о воздействии осесимметричного пучка частиц, что технически трудоёмко и выходит за рамки нашего рассмотрения.

Исходя из соображений цилиндрической симметрии учитывались только следующие компоненты тензора пластической деформации:

dt

dwD

гг

dt

D D D

w = —w - w ;

99 гг гг?

(12)

dt dt

= -Х1 ( П + Ь п1У1р1 в 2

Здесь Ув — скорость движения дислокаций. Динамика и кинетика дислокаций описывались уравнениями (13)-(16):

т„

1 -( /с,)

Л

К-(?)

Л р°- = — {2 В • с-

Л

В ■VI

1 -( /с,) (1 -( / с, ))-'"2 -

(13)

р£= Sikbi 4;

(15)

7е = ^^6^,..., РП = £р&. (16)

Здесь F'b — сила, действующая на единицу длины дислокации (сила Питча—Кёлера [11-12]); В — коэффициент фононного трения дислокаций; Уь — предел текучести; А — константа междислокационного взаимодействия, П = 0,1; ка — коэффициент аннигиляции. Индекс в нумерует системы скольжения дислокаций. Уравнение (13) описывает движение дислокаций, уравнение (14) показывает изменение скалярной

пучка зада-

-(г / гь)2 , где параметр

плотности дислокаций. Перемещением дислокаций между расчётными ячейками пренебрегали: пробег дислокаций составляет порядка нескольких микрометров, что много меньше характерных масштабов рассматриваемых задач.

Действие пучка электронов описывалось посредством объёмного источника энерговыделения. Для нахождения распределения мощности дозы (функции энерговыделения) в мишени решалось кинетическое уравнение для быстрых электронов методом [15]. Радиальное распределение плотности тока валось в виде у(Ъ) (г) = у • ехр У0 — плотность тока в центре пучка гь характеризует радиус пучка. Энергия быстрых электронов по всему радиусу пучка считалась одинаковой. Таким образом, двумерная функция энерговыделения находилась как Е>(,z,^ = Д (з/Ь) (г)/у0 , где £>0 ^t) — функция энерговыделения, соответствующая ]'о и рассчитанная в одномерном приближении. Критерием применимости такого подхода является степень малости отношения пробега частиц Яр к радиусу пучка Яр/гь, в расчётах оно составляло от 0,02 до 0,2.

Уравнения механики сплошной среды решались методом [16]. Уравнения кинетики микротрещин и дислокаций интегрировались по времени явной схемой Эйлера с переменным шагом.

Учитывалась зависимость модуля сдвига от давления и температуры с использованием данных [17]. Для определения давления и температуры по плотности и внутренней энергии использовалось широкодиапазонное уравнение состояния [14]. Отслеживалось плавление вещества в ячейках расчётной сетки. В расплавленных частях мишени в термодинамических состояниях, соответствующих области двухфазного состояния «жидкость—пар» (под бинодалью) считалось, что между жидкостью и паром мгновенно устанавливается равновесие. Такая модель использовалась для описания динамики вещества плазменного факела.

Результаты и обсуждение. Рассмотрим режим облучения, сопровождающийся испарением вещества на облучаемой поверхности. Пример рассчитанного поля массовой плотности приведён на рис. 1; режим облучения соответствует установке «Синус-7» [3-5]: энергия электронов 1,3 МэВ, плотность тока в центре пучка порядка ^ = 8 кА/см2, длительность импульса 45 нс. Быстрые частицы пучка нагревают вещество вблизи облучаемой (левой) поверхности мишени. Здесь происходит плавление и испарение вещества, образуется плазменный факел, который начинает интенсивно расширяться. На облучаемой поверхности образуется лунка абляции (слева на рис. 1). С удалением от

4 мкс

Си, электроны, «Синус-7»

Твёрдая

кромка

Плазменный

факел

р, 1 000 кг/м3 10

1 мм

Рис. 1. Облучение 4 мм медной мишени электронным пучком с параметрами, соответствующими установке «Синус-7» [3-5]. Результаты расчётов. Распределение массовой плотности и поле векторов массовой скорости на момент времени 4 мкс

центра пучка плотность тока и, следовательно, температура вещества в зоне энерговыделения падает. Падает так же интенсивность разлёта нагретого вещества. Энерговыделение электронов в веществе носит объёмный характер, причём максимум функции энерговыделения лежит внутри облучаемого слоя. В результате внутренние слои мишени разогреваются до более высоких температур, чем поверхность. Это приводит к образованию на краю лунки абляции твёрдой кромки, отгибаемой разлетающимся веществом мишени (рис. 1).

Возбуждаемая облучением ударная волна с начальной амплитудой порядка 5 ГПа вызы-

500 нс Си, электроны, «Синус-7» , .

вает откол тыльной поверхности мишени. От тыльной поверхности начинает отделяться конденсированный отколотый слой, отделённый от основной массы мишени областью разрушенного материала, состоящего из отдельных конденсированных фрагментов и пустот. Сокращение длительности импульса облучения при фиксированной полной энергии приводит к росту повреждённой области мишени.

На рис. 2 представлена динамика распространения в мишени волн сжатия и разрежения. Облучение генерирует в мишени ударную волну амплитудой порядка 5 ГПа (рис. 2 (а)). Амплитуда ударной волны по мере её движе-

1 мкс Си, электроны, «Синус-7» (б)

Р, ГПа

■ Г

1 ■4

-3

-2

Бегущая

вглубь -1

мишени

ударная -О

волна --1

1 мм

Р, ГПа I2'5

После '

отражения -1.5

ударной -1.0

волны от тыльной по- -0.5

верхности формиру- -0.0 -0.5

ется волна —1.0

разрежения —1.5

1 мм

1,25 мкс Си, электроны, «Синус-7» (в)

Отражённая от тыльной Р, ГПа ■~1 5

поверхности -г,

волная раз- ■ -0.9

режения -0.6 -0.3

Ударная -0.0

волная от —0.3

разрушенно- —0.6

го материала —0.9 —1.2 —1.5

1 мм

Рис. 2. Поля давления в 4 мм медной мишени в последовательные моменты времени:

(а) — 0,5 мкс, (б) —1 мкс и (в) — 1,25 мкс. Ударная волна, распространяющаяся из нагретой пучком области вещества (а), её отражение от тыльной поверхности мишени и формирование волны разрежения (б), формирование области разрушенного материала (в).

Для удобства визуализации шкалы давления на распределениях (а), (б), (в) различаются

ния уменьшается в первую очередь благодаря пластической диссипации энергии. При толщинах мишени больше гъ существенным становится также влияние неоднородности облучения. Достигнув тыльной поверхности мишени, ударная волна вызывает движение свободной поверхности и, отражаясь, превращается в волну разрежения (рис. 2 (б)). Если растягивающие напряжения в волне разрежения недостаточны для инициирования роста трещин и разрушения, то эта волна распространяется далее в обратном направлении — к облучённой поверхности, скорость вещества вблизи тыльной поверхности уменьшается до скорости основной массы мишени. Если растягивающие напряжения оказываются достаточно большими, то происходит откол (рис. 2 (в)). Поверхностный слой вещества продолжает двигаться от мишени, а глубже — в зоне действия наибольших растягивающих напряжений — образуется область разрушенного материала. Образование разрушенной области сопровождается формированием слабой ударной волны, следующей за волной разрежения к облучённой поверхности. Далее происходит многократное отражение и переотражение волн от свободных поверхностей и от границ разрушенных областей материала как в основной части мишени, так и в отколотом слое.

На рис. 3 приведено сравнение результатов расчётов с экспериментальными данными [3] для случая облучения 2 мм медной мишени. Представлено зеркально отражённое относительно оси симметрии рассчитанное распределение средней массовой плотности и фотография сечения мишени из работы [3]. Качественная картина и толщины центральной части мишени и отколотого слоя в расчётах и эксперименте совпадают. Но в эксперименте площадь откола меньше, чем в расчётах. Это может быть связано с отличием реального распределения плотности тока по радиусу от используемого в расчётах.

Интерес вызывает возможность сквозного пробивания отверстий в металлических мишенях под действием импульсов электронного облучения. В технологических целях данное явление могло бы найти применение для быстрой перфорации металлических листов. Было проведено исследование воздействия на металлические мишени электронных пучков с радиусом меньше или порядка толщины мишени с энергией электронов 1 МэВ и различной длительностью импульса. Результаты численных исследо-

5 мкс Си, электроны, «Синус-7»

Рис. 3. Распределение массовой плотности в 2 мм медной мишени после облучения электронным пучком на момент времени 5 мкс. Для наглядности оно симметрично отображено относительно линии г = 0. На врезке справа для сравнения приведена фотография сечения 2 мм медной мишени после облучения на установке «Синус-7», взятая из экспериментальной работы [3]. Направление облучения — вдоль оси z

ваний показывают, что при определённых условиях возможно объединение зон разрушения материала, расположенных у передней и задней поверхности мишени в сквозную зону разрушенного материала, т. е. сквозное механическое пробивание мишени. Наиболее благоприятные условия для сквозного пробивания реализуются, когда толщина мишени порядка или меньше пробега быстрых электронов в веществе Яр. В этом случае разгрузка нагретого пучком вещества происходит практически симметрично в направлении передней и задней поверхности мишени.

При коротких импульсах облучения (порядка 1-10 нс) разрушение происходит как при плотности энергии, приводящей к плавлению и образованию плазменного факела (рис. 4), так и при плотности энергии, при которой мишень остаётся в твёрдом состоянии (рис. 5). С увеличением длительности импульса до 20 нс и более, действующие растягивающие напряжения су-

500 нс Си, электроны, Тъ) = 1 МэВ

0.5 мм

Рис. 4. Сквозное пробивание тонкой медной мишени. Режим облучения с испарением: гъ = 0,2 мм, т = 1 нс, j0 = 500 кА/см2 ^0 = 500 Дж/см2). Распределение массовой плотности

500 нс Си, электроны, Тъ) = 1 МэВ

Индикатор разрушенности -0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

-О

Г

0.5 мм

1

Рис. 5. Сквозное пробивание тонкой медной мишени в режиме твёрдофазного разрушения: гь = 0,2 мм, т = 1 нс, ]0 = 100 кА/см2 (ц>0 = 100 Дж/см2). Температура мишени не превышает 1 000 К. Распределение индикатора разрушенности

щественно уменьшаются (большую роль играет разгрузка вещества во время облучения) и разрушение становится возможным лишь при нагреве вещества выше температуры плавления. Таким образом, при коротких импульсах облучения (единицы наносекунд и менее) возможно сквозное пробивание за счёт разрушения в твёрдой фазе при умеренной плотности вложенной энергии («100 Дж/см2). При длинных импульсах облучения (десятки наносекунд и более) сквозное пробивание возможно только за счёт испарения материала, для чего требуется большая плотность вложенной энергии («500 Дж/см2). И в первом, и во втором случае для сквозного пробивания необходимо, чтобы толщина мишени была порядка Яр.

При облучении толстых мишеней узким электронным пучком возбуждаемая облучением ударная волна, имеющая практически плоский фронт на начальном этапе распространения (при z < 2гъ), далее приобретает полусферическую форму фронта и быстро убывает по амплитуде. Если толщина мишени вдвое превышает пробег частиц Яр, то сквозное разрушение также возможно, но лишь при условии, что диаметр пучка 2гъ равен или превышает толщину мишени (см. рис. 6), иначе наблюдается сильное влияние боковой разгрузки на амплитуду ударной волны.

600 нс Cu, электроны, Tb) = 1 МэВ

0.5 мм

Рис. 6. Облучение толстой медной мишени: гъ = 0,5 мм, т = 1 нс, j0 = 500 кА/см2 (w0 = 500 Дж/см2). Плотность. Разрушение, близкое к сквозному. Испарение вещества в зоне энерговыделения

Заключение. Численно исследована задача воздействия на металлические мишени электронного пучка конечного радиуса. Полученные результаты качественно и количественно соответствуют экспериментам [3-5] по облучению медных и алюминиевых мишеней на установке «Синус-7». Исследованы пластическая деформация и разрушение материала мишени при различных длительностях импульса облучения.

В зависимости от условий облучения разрушение материала вблизи облучаемой поверхности (абляция) может происходить либо в результате формирования двухфазной области «жидкость—пар», либо в твёрдой фазе за счёт развития ансамбля микроповреждений. С увеличением длительности импульса облучения механизм разрушения в твёрдой фазе становится менее эффективным. При достаточной плотности мощности пучка генерируемая облучением ударная волна может вызвать откол тыльной поверхности мишени при отражении от неё.

Численно исследовано сквозное пробивание металлической мишени узким сильноточным электронным пучком. Эффективное сквозное пробивание возможно при таких энергиях электронов, при которых пробеги частиц в материале мишени составляют порядка толщины мишени. Получающееся при этом отверстие имеет неправильную форму, что должно препятство-

вать использованию данного явления в технологических целях.

Список литературы

1 . Бойко, В. И. Модификация металлических материалов импульсными мощными пучками частиц / В. И. Бойко, А. Н. Валяев, А. Д. Погребняк // Успехи физ. наук. 1999. Т. 169, № 11. С. 1243-1271.

2 . Pauleau, Y. Materials Surface Processing by Directed Energy Techniques // Elsevier. 2006.

3 . Markov, A. B. Dynamic fracture of copper under the action of a relativistic high-current electron beam / A. B. Markov, S. A. Kitsanov, V. P. Rotshtein [et al.] // Russ. Phys. J. 2006. Vol. 49 (7). P. 758-765.

4 . Dudarev, E. F. Spall fracture of coarse-grained and ultrafine-grained aluminum under nanosecond relativistic high-current electron beam / E. F. Dudarev, A. B. Markov, A. N. Tabachenko [et al.] // Russ. Phys. J. 2007. Vol. 50 (12). P. 1205-1211.

5 . Dudarev, E. F. Spall fracture of coarse- and ul-trafine-grained FCC metals under nanosecond high-current relativistic beam irradiation / E. F. Dudarev, A. B. Markov, G. P. Bakach [et al.] // Russ. Phys. J. 2009. Vol. 52 (3). P. 239-244.

6. Красников, В. С. Пластическая деформация при высокоскоростном нагружении алюминия: многомасштабный подход / В. С. Красников, А. Ю. Куксин, А. Е. Майер, А. В. Янилкин // Физика твёрдого тела. 2010. Т. 52, вып. 7. С. 1295-1304.

7. Krasnikov, V. S. Dislocation based high-rate plasticity model and its application to plate-impact and ultra short electron irradiation simulations / V. S. Krasnikov, A. E. Mayer, A. P. Yalovets // Int. J. Plasticity. 2011. Vol. 27 (8) P. 1294-1308.

8 Майер, А. Е. Модель разрушения металлов при высокоскоростной деформации // Вестн. Че-ляб. гос. ун-та. 2010. № 12 (193). Физика. Вып. 7. С. 12-20.

9. Mayer, A. E. Copper spall fracture under sub-nanosecond electron irradiation / A. E. Mayer, V. S. Krasnikov // Engng Fract. Mech. 2011. Vol. 78 (6). P. 1306-1316.

10 . Уилкинс, М. Л. Расчёт упруго-пластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике / под ред. Б. Олдера, С. Фернбаха, М. Ротенберга. М. : Мир, 1964. С. 212-263.

11 . Косевич, А. М. Динамическая теория дислокаций // Успехи физ. наук. 1964. Т. LXXXIV, № 4. С. 579-609.

12 . Ландау, Л. Д. Теоретическая физика. Т. VII : Теория упругости / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М. : Наука, 1987. 248 с.

13 . Ландау, Л. Д. Теоретическая физика. Т. VI : Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М. : Наука, 1988. 736 с.

14 Колгатин, С. Н. Интерполяционные уравнения состояния металлов / С. Н. Колгатин, А. В. Хачатурьянец // Теплофизика высоких температур. 1982. Т. 20, № 3. С. 90-94.

15 . Evdokimov, O. B. Calculation of electron transport in a slab / O. B. Evdokimov, A. P. Yalovets // Nucl. Sci. Engin. 1974. Vol. 55. P. 67-75.

16. Яловец, А. П. Расчёт течений среды при воздействии интенсивных потоков заряженных частиц // Приклад. механика и техн. физика. 1997. № 1. С. 151-166.

17. Guinan, M. W. Pressure and temperature derivatives of the isotropic polycrystalline shear modulus for 65 elements / M. W. Guinan, D. J. Steinberg // J. Phys. Chem. Solids. 1974. Vol. 35. P. 1501-1512.