Механизмы рассеяния носителей заряда в кристаллах висмута Текст научной статьи по специальности «Физика»

или, проведя преобразования,

m. 2mV 2 - 2mV. 2mV 2 + 2mV .

ЛТУ^ _ 1 2 x2 2 xl 2 x2 lxl

2

m1 + m2

m1 + m2

1 2 -(V2-Vi)(mVx2 + mVx 1)

(mi + m2)

Раскроем скобки и выделим слагаемые с кинетической энергией первого и второго тела.

4m m = 4m.m2

( m2Vx2 miVx 1 + (mi - m2)Vx2Vx1 J

---— +-;-J.(8)

2

2

(т1 + т2) 2

Отсюда видно, что при разовом столкновении шаров первый шар может как приобрести кинетическую энергию, так и потерять, в зависимости от соотношения исходных кинетических энергий, от соотношения масс и направления движения шаров (от знаков проекций скоростей). Однако, третье слагаемое в скобках для разных исходных комбинаций скоростей шаров может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Поэтому, если усреднить изменение кинетической энергии первого шара из достаточно большого количества столкновений, то последнее слагаемое из-за частой смены знака уничтожится, т.е. его среднее значение будет равно нулю. Останутся только исходные кинетические энергии шаров

AK,

4m1m2 (m1 + m2)'

i &

I - I

(9)

T = K

3k

V

(10)

из сравнения механических и тепловых процессов вполне естественно вытекает соотношение (10), которое в молекулярной физике считается по сути дела постулатом. На самом деле, как видно из приведённых рассуждений, это теорема в рамках всей физики.

Пользуясь соотношением (10), равенство (9) можно записать следующим образом:

4m m

AT, = 12 . (T - TJ.

(11)

(т1 + т2)2 Таково в среднем изменение температуры перового тела при одном столкновении молекул. Обозначим 2 количество столкновений молекул тел в приграничном слое за единицу времени. Тогда можно найти изменение температуры первого тела за единицу времени

dT

dt

1 = z -

4m m

t2 - Ti) (m1 + m2J

(12)

Отсюда и следует, что если средняя кинетическая энергия второго шара больше средней кинетической энергии первого шара, то средняя кинетическая энергия первого шара будет расти, и наоборот. В этом и состоит направленность столкновения шаров - столкновения шаров всегда происходят так, что в среднем быстрый шар теряет кинетическую энергию, а медленный приобретает.

2. Связь механических процессов с тепловыми.

Пусть в тепловой контакт приведены два тела. В результате молекулы одного тела, находящиеся вблизи поверхности соприкосновения, будут взаимодействовать с молекулами второго тела. Будем считать, что молекулы тел имеют форму шаров, а их взаимодействие носит характер столкновения. Даже если молекулы взаимодействуют посредством электромагнитных полей, они всё равно подчиняются закону сохранения импульса и кинетической энергии на достаточно далёких расстояниях друг от друга. Поэтому в любом случае будут справедливы формулы (1), (2) и (9). Это означает, что если средняя кинетическая энергия молекул второго тела больше, чем средняя кинетическая энергия молекул первого тела, то средняя кинетическая энергия молекул первого тела будет расти, а второго тела уменьшаться. Кинетическая энергия как бы будет перетекать от второго тела к первому и наоборот. Отсюда видно, что средняя кинетическая энергия молекул тел обладает основным свойством температуры - выравниваться при тепловом контакте. Поэтому в качестве меры нагретости тел и можно принять среднюю кинетическую энергию молекул или величину ей пропорциональную.

здесь k - постоянная Больцмана. Таким образом,

Это есть уравнение теплообмена между телами, которое, по сути дела, есть также следствие процесса механического столкновения шаров. Разумеется, данное уравнение относится только к приграничным слоям, т.к. не учитывается теплопроводность тел. Но, тем не менее, из него в частности следует, что процесс теплообмена зависит от соотношения масс молекул участвующих в теплообмене тел. Если массы молекул одного тела на много меньше масс молекул второго тела, то, как видно из (12), коэффициент теплообмена стремится к нулю. Максимального значения коэффициент теплообмена достигает при равенстве масс молекул тел.

Заключение

Обнаружение и использование в преподавании связей между отдельными разделами физики позволяет снабдить студентов более прочными и осознанными знаниями.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Яворский Б.М., Пинский А.А. Основы физики. Т. 1. М.: Наука, 1974.

495 с.

2. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. М.: Наука , 1973, 510 с.

В.М.Грабов

РГПУ им. А.И.Герцена, г.Санкт-Петербург, В.А.Куликов, А.С.Парахин Курганский государственный университет, г.Курган

МЕХАНИЗМЫ РАССЕЯНИЯ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА В КРИСТАЛЛАХ ВИСМУТА

Предметом данного исследования являются механизмы рассеяния в кристаллах типа висмута. Вследствие многодолинной структуры зон в кристаллах типа висмута, особое внимание уделяется исследованию вклада межэкстремумных переходов различного типа в процессы релаксации носителей заряда. Механизмы рассеяния исследуются на основе компьютерной модели явлений переноса с использованием закона дисперсии Мак-Клюра для носителей заряда L-экстремумов валентной зоны и зоны проводимости и анизотропного квадратичного закона дисперсии для носителей заряда Т-экстремума валентной зоны.

Введение

Кристаллы висмута и сплавов системы висмут-сурьма представляют собой уникальные термоэлектрические материалы для области низких температур [1]. Термоэлектрическая эффективность этих материалов п-типа достигает 6-103 1/К, а в магнитном поле даже до

11-10 3 1/К [2]. Однако указанные кристаллы с дырочной проводимостью р-типа имеют весьма низкую эффективность и не могут конкурировать с другими термоэлектрическими материалами. Термоэлектрические свойства кристаллов существенным образом определяются энергетическим спектром и механизмами релаксации носителей заряда [3-5]. Энергетический спектр носителей заряда в кристаллах висмута и сплавов висмут-сурьма в окрестности химического потенциала к настоящему времени изучен достаточно подробно [1]. Поэтому предметом данного исследования являются механизмы рассеяния в кристалл ах тип а висмута. Вследствие многодолинной структуры зон в кристаллах типа висмута, особое внимание уделяется исследованию вклада межэкст-ремумных переходов различного типа в процессы релаксации носителей заряда. Механизмы рассеяния исследуются на основе компьютерной модели явлений переноса с использованием закона дисперсии Мак-Клюра для носителей заряда 1_-экстремумов валентной зоны и зоны проводимости и анизотропного квадратичного закона дисперсии для носителей заряда Т-экстремума валентной зоны [6]. Численные значения параметров, определяющих вклады различных механизмов рассеяния в процессы релаксации носителей заряда, установлены путем сравнения расчётных результатов с экспериментальными данными по коэффициентам переноса в кристаллах типа висмута. В представленной работе ограничимся исследованием механизмов рассеяния носителей заряда в кристаллах висмута, нелегированных и легированных донорной примесью теллура.

1. Экспериментальное исследование явлений

переноса в кристаллах типа висмута

Монокристаллы висмута, как нелегированные, так и легированные теллуром, были выращены методом горизонтальной зонной перекристаллизации [1]. Образцы с необходимой для измерения коэффициентов переноса конфигурацией и кристаллографической ориентацией были вырезаны из монокристаллических слитков электроискровой резкой с химическим удалением нарушенного приповерхностного слоя [1]. С использованием стационарных методов были произведены измерения компонентов удельного сопротивления при азотной температуре для концентрации примесей теллура до 0.3 ат.%. Результаты измерения удельного сопротивления в сравнении с результатами расчета представлены на рис. 1.

Уровень химического потенциала, в свою очередь, и концентрация носителей заряда в зоне лёгких электронов рассчитывались путём численного решения уравнения электронейтральности. Для его решения требуются только параметры зонной структуры материала, которые для висмута считаются достаточно надёжно установленными.

2. Механизмы рассеяния носителей заряда в

кристаллах типа висмута

Как показано в работах [1,7], в кристаллах висмута в явлениях переноса при температуре выше 77 К всеми механизмами рассеяния кроме рассеяния на тепловых колебаниях решётки и рассеяния на нейтральных примесях можно пренебречь. Поэтому в данном исследова-

нии рассматриваются только эти механизмы. Вероятность рассеяния носителей заряда на нейтральных примесях считается не зависящей от их энергии, а обратное время релаксации пропорционально концентрации примесей [3-5].

Энергия взаимодействия носителей заряда с акустическими фононами пропорциональна относительному изменению объёма элементарной ячейки под действием акустических колебаний [3-5].

Относительное изменение объёма элементарной ячейки в виде псевдокуба можно рассчитать по формуле

[3]:

¿К к

1

2МюЫ

ч

-Ъе

К~Ч,а„)

и

3= 1

(1)

Этому изменению соответствует гамильтониан

1

2МсочК

-Ъе1

(Л>ап)

.¡=1

Г&илл1)

-1

Л

\

) (2)

/

_„ В этих выражениях ^ есть волновой вектор фонона, Я - векторы сторон псевдокуба, а е. - их единичные

векторы, - единичный вектор, указывающий направление данного нормального колебания, ¡у - т.н. оператор рождения квантов, М - масса атома решётки, ]\[ -число атомов во всей решётке, - частота данного нормального колебания и Д - константа деформационного потенциала. Выражение (2) представляет собой гамильтониан для процесса рождения квантов. Аналогичное выражение можно написать и для процесса поглощения квантов

1

2МсочК

-Ъ е

-¡ЙА,)

.¡=1

(3)

Здесь ¡у* - оператор поглощения квантов.

С помощью этих гамильтонианов найдём квадраты матричных элементов рождения и уничтожения квантов. Для этого будем считать, что волновой функцией электронов является плоская волна (приближение эффективной массы):

1

у/

г(к,г)

(4)

а волновой функцией системы фононов является функция нормальных координат атомов решётки:

Ф = Ф{хч). Для поглощения фононов:

К'Г =

АН,,

2МтяЫ

й

К-!2 =

1=\

Для испускания фононов

'(<?. а)

1=1

А(М+1)

2Мю„М

л^ а

1=1 ]=1

(5)

(6)

(7)

Из формул (6) и(7) можно теперь найти вероятности перехода носителей заряда из состояния с волновым

вектором в состояние с волновым вектором , как для поглощения фононов

пАГ0Мч

Мсо.

№

¿(З.а,)

]=

1 КЫд

Ь-

У=1

а.

3(е - е-со)

(8)

так и для испускания +1)

ш ■=-п кк

Мсо„

д

Й^

КчЛ,)

1

у=1

'(<7 А)

1

Й^Д) --1 ¿о'

Здесь ^ - объём элементарной ячейки. Обозна

(9)

чим

лАГп

=1 К4,а)

(Ю)

Эта величина будет одинакова как для поглощения, так и для испускания фононов. С её помощью вероятности перехода носителей заряда можно записать следующим образом, для поглощения:

А(д)

Шкк=^Ычё(8 8 СО)

со„

для испускания: А(д)

IV , =■

п кк

СО,.

е + со)

(11)

(12)

перехода в этом случае не зависит от величины волнового вектора фонона.

При межзонных переходах величина волнового вектора требуемого фонона гораздо больше размеров изоэ-нергетических поверхностей, так что изменением волнового вектора фонона можно пренебречь. Постоянной, очевидно, можно считать при этом и частоту фононов. Таким

образом, в двух крайних случаях параметр А(q) можно

считать независящим от волнового вектора фонона.

При рассеянии носителей заряда на оптических фононах гамильтониан возмущения можно считать пропорциональным самому смещению атомов ([3] стр. 458). Поэтому для оптических фононов

й+ = 1.

1

Ъе^Ч^В)

2МшчМ

Оя'

(16)

Здесь ^ - постоянный вектор, характеризующий взаимодействие носителей заряда с оптическими фоно-нами.

Выполняя преобразования, аналогичные (4) - (7), получим для квадрата матричного элемента оптических переходов:

I |2=

I 2МсоЫ

№

г(яЛ,)

1

1 КЫ,)

(С5)

(17)

для вероятности поглощения фонона:

Кд.зр

IV , = —-1 кк Мсо„

и

С*)

у=1

Й2(

1

1=1 Кя,я}-)

3(е е со)

(18)

Именно в этом виде и используются формулы вероятности при построении модели.

Величина А(q) зависит от волнового вектора фонона, но в модели она используется только для двух крайних значений величины волнового вектора. При внутри-зонном рассеянии считается, что изменение волнового вектора носителей заряда мало, и, значит, мал по величине и волновой вектор фонона. В этом случае, как видно из (10),

жАУг, 7

А(Ч) = ^ГЧ■ (13)

М

Если, кроме того, учесть, что для акустических фононов при этом условии энергия достаточно мала, то можно, во-первых, считать рассеяние упругим, а во-вторых, фононы с такими волновыми векторами все возбуждёнными. Тогда

кт

со,.

(14)

Аналогичные формулы для вероятности испускания:.

ж¥0(М+\)

Мсо.

Й^

КчЛ,)

у=1

Кд,а,)

и

¿(е -е + со)

у=1

Обозначим снова

В(д) =

м

=1 '(<7 А)

С в)

У=1

(19)

(20)

тогда формулы (18) и (19) можно будет записать короче. Поглощение:

В(д)

Шкк=^Ычё(8 8 СО)

со„

(21)

IV > = ■

И ''кк

пАУпк„Т

Мсо2

лАУ0квТ Мс2

(15)

Здесь кв - постоянная Больцмана, ^ - абсолютная температура, С - фазовая скорость распространения акустических фононов. Как видно из (15), вероятность

Испускание: В(д)

IV , =

" кк

СО

(#+1Же е + со)

(22)

Как видно из формулы (20), при малых длинах волнового вектора фонона выражение под знаком первого

модуля стремится к единице, а второй модуль есть постоянная величина, т.е. в этом случае параметр В(д) можно считать константой. При больших длинах волнового вектора его изменением можно пренебречь, что также позволяет считать его постоянной величиной. Т.о. в двух практически важных для расчёта явлений переноса случаях малых и больших длин волнового вектора фо-нона параметр В(д) можно считать постоянной величиной.

Из общей формулы обратного времени релаксации [9]

1

ш

е -е .к^Т

с!тк,

(23)

Необходимо также учесть тот факт, что вероятность межэкстремумного рассеяния пропорциональна площади изоэнергетической поверхности, соответствующей энергии носителя после рассеяния. Эта площадь пропорциональна энергии носителя после рассеяния, так что

— = — Ы„е'квТ -/0\ , , 7 (е + со^е + со) .

"2

СО

/о 00

(28)

Аналогичная формула получается и для испускания фонона, только в этом случае нужно заменить N^ на

Nч + 1, а а) на — а) Тогда

можно найти этот параметр для случая поглощения носителем заряда акустического фонона, подставив вместо вероятности перехода формулу (12).

т 4тг3 {, шч 4 Ъ(г) ' (24)

Значение входящего в это выражение интеграла зависит от исходного и конечного положения носителя заряда в пространстве волнового вектора.

Так, если носители заряда рассеиваются, оставаясь внутри зоны , то, как отмечалось выше,

яАУ0квТ Мс2

£ = £

и значит

1 _ яАУ„к,,Т 1 т Мс2 4тг

К

7гАУ0квТ

Мс

ё(£)

(25)

Такое же время релаксации при испускании фоно-нов, поэтому общее обратное время релаксации носителей при рассеянии внутри зоны определяется по формуле:

1 яАГпквТ — = 2-

Мс2

агТ

^00 = "Г^ОО

1

еквТ Г5(в' — в — со) ——— ¿т. I

4 I ш ■

471 ш

— = — Ыек*т . , ч ;g(e + со) со„

2

/о 00

(Ы+\)е

и значит

кКТ

= N„

^(в-со)

со.

ш

(в — со)§(в — со)

(29)

(30)

Однако нужно иметь в виду, что при испускании фонона электроны не должны попадать в запрещённую зону, поэтому обратное время релаксации (30) отлично от нуля только в том случае, когда выполняется ограничение

£-СО>0 (31)

Из рекомбинационных переходов в зону лёгких дырок возможны лишь переходы с испусканием фонона в экстремумы, расположенные в других точках зоны Брил-люэна. Формула обратного времени релаксации аналогична формуле (30), но в этом случае, во-первых, плотность состояний определяется зоной дырок, и, во-вторых, уровень энергии, на котором определяется эта плотность состояний, должен отсчитываться от потолка валентной зоны лёгких дырок, т.е.

£р= СО-£-£&

Тогда

(26)

а, со.

(СО -8-8 )§ (СО -8-8 )

(32)

(33)

Здесь через Я^ обозначен подгоночный параметр модели для внутризонного рассеяния лёгких электронов на акустических фононах, а £) - плотность состояний в X зоне.

5 -

Если носители зарядов переходят из одного экстремума в другой с поглощением фонона, то, как отмечалось выше, изменением величины волнового вектора фонона можно пренебречь и считать постоянными параметр А(д) (обозначим его а2 ), частоту фононов и их количество. Кроме того, при поглощении фононов

е -е = со , поэтому

Ограничение, накладываемое на эту формулу, вытекает из (32). Энергия, отсчитываемая от потолка валентной зоны лёгких дырок, должна быть положительна:

(0-8-8 >0.

(34)

(27)

Переходом к интегрированию по энергии этот интеграл легко вычисляется, в результате получаем формулу обратного времени релаксации лёгких электронов при переходе из одного X экстремума в другой:

Рекомбинация электронов в зону тяжёлых дырок возможна как с поглощением, так и с испусканием фононов. Формула обратного времени релаксации с поглощением фонона подобна формуле (28), но в этом случае другим будет подгоночный параметр (вместо а2 нужно взять аз), плотность состояний должна соответствовать зоне тяжёлых дырок, и энергия, через которую рассчитывается плотность состояний, должна отсчитываться от потолка валентной зоны тяжёлых дырок, т.е.

£т = £с — £ — СО , (35)

тогда

ю„

ш

(ес -е-ш^т(ес -е-ю) (36)

При этом на формулу (36) накладывается условие

положительности энергии £т , т.е.

£ — £ — СО > 0 ■

(37)

Испускание фононов при рекомбинации электронов в зону тяжёлых дырок подчиняется формуле, подобной формуле (30):

~= (8с-8 + Ю)ёт(8с-8 + Ю) (38)

с учётом энергии носителя в зоне тяжёлых дырок £т = £с ~ £ + СО (39)

и ограничения

£с ~ £ + СО > 0 . (40)

Формулы обратного времени релаксации для рассеяния на оптических фононах в межэкстремумных переходах аналогичны приведённым выше, только вместо подгоночных параметров а нужно использовать параметры ¡у .

Аналогично находятся обратные времена релаксации для носителей заряда других экстремумов.

Анизотропия времени релаксации учитывалась феноменологически введением коэффициента / ,

т33

значене которого определялось путем сравнения результатов расчета кинетических коэффициентов с экспериментальными данными.

3. Исследование механизмов рассеяния носителей

заряда в кристаллах висмута, легированных теллуром

Для вычисления кинетических коэффициентов явлений переноса в висмуте использовалась модель, описанная в [6].

Для исследования времени релаксации в процедуре расчёта парциальных проводимостей путём численного интегрирования исследовались зависимости от концентрации примесей усреднённого по энергиям обратного времени релаксации и обратного времени релаксации, соответствующего уровню химического потенциала в данной зоне. Усреднённое время релаксации использовалось для оценки относительного вклада того или иного механизма рассеяния. Оно, однако, не отражает деталей зависимости процесса рассеяния от энергии носителей. Поэтому кроме усреднённого обратного времени релаксации исследовалось обратное время релаксации носителей заряда вблизи уровня химического потенциала для каждого сорта носителей.

В качестве экспериментального материала для исследования были выбраны зависимости удельного сопротивления висмута от концентрации примеси теллура при азотной температуре. Графики этих зависимостей и расчётные кривые представлены на рисунке 1. На этом же рисунке представлены графики зависимости от концентрации теллура обратных времён релаксации для внутризонных и межзонных переходов для всех типов носителей заряда. Соответствие кривых и механизмов рассеяния следующее:

1 - обратное время релаксации тяжёлых (Т) дырок внутри зоны,

2 - обратное время релаксации лёгких (I.) электронов внутри зоны,

3 - обратное время релаксации лёгких (I.) дырок внутри зоны,

4 - обратное время релаксации тяжёлых (Т) дырок в другие зоны,

5 - обратное время релаксации электронов в другие зоны,

6 - обратное время релаксации носителей заряда

всех типов на нейтральных примесях,

7 - обратное время релаксации лёгких (I.) дырок в другие зоны. Кроме того, на правом рисунке внизу представлена зависимость уровня химического потенциала от концентрации легирующих примесей. Цена деления координатной сетки для этого графика равна 0.02 эВ/дел.

Как видно из рисунка, существенными являются только вклады трех механизмов рассеяния с обратными временами релаксации для лёгких электронов, как внутри зоны, так и вне зоны и общее межзонное время релаксации для тяжёлых дырок, причём, для последнего цена деления в 20 раз больше, чем для остальных величин на графиках. Графики для других механизмов рассеяния при данной цене деления сетки идут практически по горизонтальной координатной оси. Большое обратное время релаксации для тяжёлых дырок приводит к тому, что их вклад в проводимость кристаллов висмута при таких концентрациях теллура очень мал.

Отличие расчётных кривых от экспериментальных составляет примерно 0.6 %.

Для объяснения наблюдаемых закономерностей зависимости удельного сопротивления кристаллов висмута от концентрации легирующих примесей теллура были исследованы парциальные вклады носителей заряда разных типов в проводимость всего кристалла. Результаты представлены на рисунке 2 (левая часть).

На этом рисунке пунктирной линией представлена зависимость удельной проводимости висмута вдоль три-гональной оси для лёгких электронов, сплошной линией указана кривая зависимости проводимости для этих носителей в базисной плоскости (с учётом анизотропии фононного спектра). Кривая №5 представляет зависимости проводимости для лёгких дырок в базисной плоскости и вдоль тригональной оси, которые практически совпадают из-за малой анизотропии. Кривой №3 представлена зависимость проводимости для тяжёлых дырок в базисной плоскости. Кривая №4 - зависимость проводимости для тяжёлых дырок вдоль тригональной оси. Последние две кривые представлены с ценой деления сетки в 20 раз меньше, что указывает на малый вклад тяжёлых дырок в общую проводимость кристалла.

Как видно из рисунка, проводимость дырок (как тяжёлых, так и лёгких) резко убывает с ростом уровня легирования теллуром и при концентрации примерно равной 0.001 их вкладами практически можно пренебречь и учитывать только вклад лёгких электронов.

Это подтверждается рисунком 3, на котором указано положение экстремумов зон относительно уровня легирования кристалла.

Положение вершины зоны тяжёлых дырок на рисунке 3 определено по уровню легирования, при котором химический потенциал совпадает с потолком этой зоны. Положение остальных зон условно, т.к. для их точного позиционирования необходимы экспериментальные результаты по легированию акцепторными примесями. Как видно из рисунка, при концентрации примерно 0.0004 уровень химического потенциала выходит из зоны тяжёлых дырок, и она практически перестаёт влиять на явления переноса в висмуте.

Для зоны лёгких электронов при росте концентрации примеси теллура растёт уровень химического потенциала, как показано на правых рисунках внизу, и вместе с ним растёт концентрация носителей заряда. Это, казалось бы, должно привести к уменьшению удельного сопротивления. Однако, как видно из рисунка 1, с ростом уровня легирования более 0.001 растёт и обратное время релаксации для этого типа носителей заряда, как для внутризонного, так и межзонного рассеяния. Это приво-

Рисунок 1 - Зависимость удельного сопротивления висмута, уровня химического потенциала и обратного времени

релаксации для висмута от концентрации примеси теллура

Рисунок 2 - Парциальные вклады носителей заряда разного типа в проводимость висмута в зависимости от концентрации

легирующей примеси теллура

Рисунок 3 - Расположение энергетических зон относительно уровня легирования теллуром

Рисунок 4 - Зависимость от концентрации теллура обратного времени релаксации носителей на уровне Ферми 68 ВЕСТНИК КГУ, 2005. №4

Рисунок 5 - Обратное время релаксации носителей заряда при «выключенном» рассеянии электронов в

другие электронные зоны

Рисунок 6 - Зависимость обратного времени релаксации носителей заряда при «выключенном» межзонном рассеянии

электронов в другие электронные зоны

дит к уменьшению подвижностей носителей заряда. Поскольку эти два фактора влияют на сопротивление материала в противоположных направлениях, оно практически не меняется с ростом уровня легирования. Этот факт использовался в работах [7,8] для обоснования универсальной функции зависимости сопротивления кристаллов типа висмута от температуры.

Для объяснения быстрого роста проводимости лёгких электронов в области концентрации теллура до 0.001 необходимо исследовать рассеяние носителей этой зоны в данной области легирования. Представленное на рисунке 1 обратное время релаксации усреднялось по всем энергиям, как отмечалось выше, и поэтому не может объяснить резкий рост проводимости 1_-электронов. С другой стороны в интеграле расчёта удельной проводимости

дг

(41)

производная от равновесной функции распределения по энергии стремится к "ФУНКЧИИ ПРИ стремлении температуры к нулю. Пользуясь свойствами -функции, можно примерно оценить проводимость без интеграла

с,

(42)

Это значит, что основной вклад в явления переноса вносят носители, энергии которых близки к уровню химического потенциала. Поэтому наиболее информативными будут графики обратного времени релаксации при значении энергии, равной уровню химического потенциала, отсчитываемого от дна данной зоны носителей. Такие графики представлены на рисунке 4.

На этом рисунке обозначения кривых такие же, как на рис. 1. Цена деления для кривой 4 вновь увеличена, но теперь в 5 раз, чтобы график уместился в пределах координатной сетки. Кроме того, на этих рисунках (как и на рисунке 2) представлены графики зависимости концентрации электронов от концентрации примеси теллура (кривая №6). Цена деления координатной сетки для этих графиков равна 4-1023 мГ3. Самым важным результатом

на этом рисунке является немонотонная зависимость обратного времени релаксации электронов в межзонном рассеянии (кривая 5). При малых концентрациях теллура этот параметр уменьшается, это приводит к росту парциальной удельной проводимости электронов, что и наблюдается на рисунке 2. Однако когда уровень химического потенциала выходит за пределы зоны на величину, равную энергии фонона (примерно 11 мэВ), рассеяние электронов в эту зону становится невозможным, и соответствующее обратное время релаксации становится равным нулю. Но наряду с рассеянием электронов в зону тяжёлых дырок происходит их рассеяние в другие электронные зоны. Обратное время релаксации этого рассеяния растёт с ростом уровня химического потенциала, но медленнее, чем уменьшается обратное время релаксации, соответствующее переходу электронов в зону тяжёлых дырок. Это и приводит к немонотонному характеру зависимости общего обратного времени релаксации электронов при межзонных переходах. Чтобы проверить это предположение, были построены графики зависимости от концентрации теллура обратного времени релаксации при «выключенных» тех или иных механизмах рассеяния. Так, на рисунке 5 представлены графики обратного времени релаксации при «выключенном» межзонном рассеянии электронов в другие электронные зоны. Как видно из рисунка, после концентрации 0.001 Те обратное время релаксации, соответствующее межзонно-

му рассеянию электронов, становится равным нулю и не вносит вклада в явления переноса при этих концентрациях теллура. Это приводит к тому, что удельное сопротивление не остаётся постоянным, а уменьшается из-за роста концентрации носителей заряда. На рисунке 6 представлены графики зависимости обратного времени релаксации от концентрации теллура при «выключенном» рассеянии электронов в зону тяжёлых дырок.

В этом случае общее «межзонное» обратное время релаксации монотонно возрастает, и вслед за ним монотонно возрастает и удельное сопротивление. Таким образом, за быстрое возрастание парциальной проводимости электронов в висмуте при увеличении концентрации легирующей примеси теллура отвечает быстрое уменьшение рассеяния электронов в зону тяжёлых дырок. А за почти постоянное значение удельного сопротивления при концентрации теллура выше 0.001 отвечает монотонный и почти линейный рост межзонного и внут-ризонного рассеяния электронов при почти линейном росте концентрации электронов.

Следует отметить также поведение межзонного рассеяния тяжёлых дырок. Обратное время релаксации для них существенно больше, чем у электронов, и гораздо больше внутризонного обратного времени релаксации. В отличие от тяжёлых дырок, для электронов эти обратные времена сравнимы по величине. Кроме того, с ростом концентрации теллура межзонное обратное время релаксации тяжёлых дырок растёт, благодаря росту плотности состояний в зоне электронов, т.к. только в зону электронов и могут рассеиваться тяжёлые дырки при таком положении уровня химического потенциала. При концентрации теллура выше примерно 0.0004 уровень химического потенциала выходит из зоны тяжёлых дырок, так что их вклад в явления переноса резко уменьшается, приближаясь к нулю.

Заключение

В настоящее время в кристаллах типа висмута достаточно подробно исследованы зонная структура и закон дисперсии носителей заряда в окрестности химического потенциала, экспериментально изучены коэффициенты переноса в широком интервале температур и концентрации легирующих примесей [1 ]. Это обеспечило возможность исследования влияния механизмов релаксации носителей заряда на поведение коэффициентов переноса. Как показано в данной работе, успешная реализация такой возможности обеспечивается использованием модели Мак-Клюра для описания закона дисперсии носителей заряда 1_ - экстремумов валентной зоны и зоны проводимости кристаллов типа висмута и применением численных методов для моделирования коэффициентов переноса.

Путем сравнения результатов численного моделирования коэффициентов переноса с экспериментальными данными определена величина и зависимость от концентрации носителей заряда вкладов различных механизмов рассеяния в явления переноса, выяснена природа немонотонной зависимости удельного сопротивления кристаллов висмута от концентрации донорной примеси теллура и установленной ранее [7,8] общей закономерности в температурной и концентрационной зависимости удельного сопротивления кристаллов типа висмута. Полученные результаты могут быть использованы при изучении закономерностей поведения термоэлектрических параметров в кристаллах типа висмута и их оптимизации.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Иванов Г.А., Грабов В.М. Физические свойства кристаллов типа

висмута//ФТП. 1995. Т. 29. N. 5/6, С. 1040-1050.

2. Иванов Г.А., Куликов В.А., Налетов В.Л., Панарин А.Ф., Регель А.Р.

Термоэлектрическая добротность чистых и легированных сплавов висмут-сурьма в магнитном поле // ФТП. 1972. Т.6, № 11. С. 1296-1299.

3. Бонч-Бруевич В.Л., Калашников С.Г. Физика полупроводников. М.:

Наука, 1977. 672 с.

4. Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников. М.: Наука, 1978.

615 с.

5. Аскеров Б.И. Электронные явления переноса в полупроводниках. М.:

Наука, 1985. 320 с.

6. Куликов В.А., Парахин А.С., Сангаджиева Г.А., Сидоров А.В.

Исследование явлений переноса в кристаллах висмута на основе закона дисперсии Мак-Клюра и квадратичного закона дисперсии // Термоэлектрики и их применение: Доклады IX Межгосударственного семинара (16-18 ноября 2004 г.), Санкт-Петербург, ФТИ им А.Ф.Иоффе Ран. СПб.:Изд-воФТИ им. А.Ф. Иоффе РАН, 2004. С. 125 - 130.

7. Грабов В.М. Общие закономерности в температурной зависимости

удельного сопротивления полуметаллов // Материалы для термоэлектрических преобразователей // Тезисы докладов III Межгосударственного семинаре. СПб.: Изд-во ФТИ им. А.Ф. Иоффе РАН, 1993. С. 42-43.

8. Grabov V.M., Bondarenko M.G., Uryupin O.N. Transport phenomena

peculiarities caused of intervalley and interband scattering of charge carriers in bismuth type crystals. // Fourteenth International Conference on Thermoelectrics. St.Petersburg. A.F. Ioffe Physical-Tecnical Institute. 1995. P. 52-55.

9. Дыкман И.М., Томчук П.М. Явления переноса и флуктуации в

полупроводниках. Киев: Наукова думка, 1981. 320 с.

А.С.Парахин

Курганский государственный университет, г.Курган

ИССЛЕДОВАНИЕ

БЫСТРОПРОТЕКАЮЩИХ ПРОЦЕССОВ С ПОМОЩЬЮ КОМПЬЮТЕРА

Введение

Физика - наука экспериментальная. Основные свои законы она черпает из эксперимента. Экспериментом также проверяются её теоретические выводы. Таким образом, эксперимент есть важнейшая составляющая физических методов познания природы. В то же время часто бывает нежелательным присутствие человека в процессе проведения того или иного эксперимента. К таким экспериментам можно отнести эксперименты с быстро-протекающими процессами. Человек не в состоянии проследить за явлением, длящимся меньше, чем время его реакции. В этих случаях необходимо использовать компьютер, который не только проследит за процессом, но и выполнит необходимую обработку результатов.

В данной работе на примере процесса зарядки и разрядки конденсаторов, а также включения и выключения тока через индуктивность, демонстрируется возможность исследования быстротечных процессов и управления ими.

В Курганском государственном университете на кафедре экспериментальной физики в течение 10 лет действует лаборатория автоматических систем научных исследований (АСНИ), в которой студенты знакомятся с основными принципами организации процесса управления экспериментом с помощью компьютера. Одна из лабораторных работ и посвящена исследованию быстротечных процессов.

1. Организация ввода/вывода цифровой и аналоговой информации

Все автоматизированные системы научных исследований условно можно разделить на три составные части.

К первой части относится управляющее устройство,

предназначенное для сбора информации, её обработки, хранения и формирования управляющих сигналов для всей системы. Управляющим устройством может быть компьютер или микропроцессор, встроенный внутрь системы. Чаще, однако, для управления процессом используется компьютер.

Ко второй части можно отнести канал ввода информации, предназначенный для сбора информации, передачи её к компьютеру и ввода в компьютер. В связи с этим сам канал ввода информации можно условно разделить на три части:

- устройства сбора информации - различного рода датчики, преобразующие воздействие окружающей среды эксперимента в электрические сигналы;

- интерфейс ввода - совокупность проводов и микросхем, обеспечивающих предварительное преобразование информации и передачу её к компьютеру. Одним из возможных видов предварительного преобразования информации может быть аналого-цифровое преобразование;

- устройства ввода информации, предназначенные для ввода информации в компьютер, посредством соединения с общей шиной ввода/вывода компьютера. Такое соединение обычно организуется на основе портов ввода/вывода.

К третьей части АСНИ можно отнести канал вывода информации, предназначенный для вывода из компьютера как обработанной научной информации, так и служебной информации, управляющей всей системой. Канал вывода информации также делится на три части:

- исполнительные устройства, преобразующие электрические сигналы компьютера в действия нужного характера, например включение или выключение разного рода реле;

- интерфейс вывода - совокупность проводов и микросхем, обеспечивающих передачу информации от компьютера к периферии и согласование цифровых сигналов с периферийными устройствами по уровню. Одним из возможных видов преобразования информации при выводе может быть цифро-аналоговое преобразование;

-устройства вывода информации, предназначенные для ввода информации из компьютера через контроллеры, соединённые с общей шиной ввода/вывода компьютера через слоты расширения. Обычно устройства вывода информации совмещены с устройствами ввода и используют одни и те же порты ввода/вывода.

В данной работе для организации процесса ввода/ вывода информации использовался контроллер, в состав которого входит порт ввода/вывода на 16 цифровых каналов и 12-разрядный аналого-цифровой преобразователь, предназначенный для измерения электрических напряжений от -5 В до +5 В. Кроме того, контроллер снабжён мультиплексором, позволяющим измерять поочерёдно до 8 входных напряжений.

Время преобразования аналого-цифрового преобразователя, использующегося в контроллере, составляет 72 мкс, что позволяет исследовать процессы, протекающие в течение нескольких миллисекунд.

Для управления работой контроллера выделено 6 адресов адресного пространства портов ввода/вывода компьютера. Адреса 22016 и 22116 предназначены для ввода/вывода цифровой информации через регистры А и В порта ввода/вывода. Адрес 22216 предназначен для ввода сигнала готовности информации после АЦП. Адрес 22316 предназначен для регистра управляющего слова. Адреса 22416 и 22516 предназначены для запуска АЦП, хранения номера канала измерения и одновременно для хранения результата АЦП. Эти адреса могут быть изме-