Гидродинамическая модель малых возмущений и спектр электрон-дырочных плазмонов в графене Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.9; 533.9

С . О . Юрченко, Д. А. Свинцов, В .В . Вьюрков, В .И. Рыжий

ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ И СПЕКТР ЭЛЕКТРОН-ДЫРОЧНЫХ ПЛАЗМОНОВ В ГРАФЕНЕ

Рассчитан спектр возмущений двумерной электрон-дырочной плазмы в графеновых структурах с металлическим затвором при условии, что межчастичные взаимодействия превалируют над взаимодействием носителей с примесями и фононами. Выведены уравнения гидродинамической модели и проанализированы зависимости скорости и коэффициента затухания плазменных волн от напряжения на затворе. Благодаря линейности энергетического спектра электронов и дырок в графене влияние электрического поля и гидродинамического давления на скорость волны отличается от аналогичных показателей в двумерной электрон-дырочной плазме с параболическим энергетическим спектром частиц.

E-mail: karassik@bmstu.ru

Ключевые слова: графен, электрон-дырочная плазма, плазмон, ферми-

жидкость, дисперсия.

В симметричной электрон-дырочной плазме волны оказываются квазинейтральными, а их скорость не зависит от параметров транзисторной структуры. В униполярной плазме напряжение на затворе влияет на скорость волн, которая может заметно превышать скорость Ферми носителей заряда в графене. Затухание таких плазмонов определяется рассеянием на дефектах кристаллической структуры графена и фононах, коэффициент затухания для свободно

висящих графеновых пленок оценивается как 5 -1011 с-1, что открывает возможность применения подобных структур для детектирования и генерации волн терагерцевого диапазона.

Слабо затухающие плазменные волны в двумерных электрон-дырочных системах в каналах гетероструктур могут быть использованы в различных приборах, работающих в терагерцовом (ТГц) диапазоне волн [1-8]. Отчасти это связано с тем, что электронная или дырочная плотности в селективно легированных гетероструктурах, таких как транзисторы с высокой подвижностью электронов (high electron mobility transistor, HEMT), достаточно высока для достижения ТГц-частот плазменных волн. Данные частоты достигаются при относительно низких плотностях примесей в канале. Подразумевается, что при высокой подвижности электронов или дырок, соответствующей малым частотам столкновений с

примесями (и фононами), декремент затухания плазменных волн намного меньше их частоты. ТГц-спектрометрия рассматриваемых плазменных волн может нести полезную информацию о различных свойствах графена.

Большая величина отношения электронной или дырочной плотности к плотности примесей может быть достигнута также в транзисторных гетероструктурах с затворами, аналогичными НЕМТ, в которых концентрация носителей заряда регулируется затворным напряжением У^. Этот эффект особенно хорошо выражен в графе-новых структурах, где спектр носителей тока не имеет энергетической щели [9]. Напряжение , приложенное к затвору, можно

изменять в широком диапазоне значений, переходя от электрически нейтрального графена (при этом уровень химического потеницала находится в дираковской точке) к униполярному состоянию, при котором превалирует плотность одного из носителей (состояние вдали от дираковской точки).

Отсутствие энергетической щели позволяет создавать в графене вырожденную электронную или дырочную плазму уже при умеренных напряжениях на затворе. В связи с изложенным выше, а также благодаря высокой подвижности электронов в графене даже при комнатной температуре [9-12] графен является весьма многообещающим материалом для плазменно-волновых приборов.

Плазменные волны терагерцевого диапазона в графене и графеновых структурах, связанные с внутризонными процессами и сопровождающиеся самосогласованным переменным электрическим полем или электрическим и магнитным полями, были активно изучены, например, в [13-19]. Последние теоретические работы основывались на допущении о слабости механизмов рассеяния, в том числе электрон-дырочных. В действительности в графене вблизи дираковской точки частоты электрон-дырочных столкновений близки к частотам столкновений электрон-электрон и дырка-дырка. При значениях температуры порядка комнатной или при оптической накачке электронная и дырочная плотности и, следовательно, частоты столкновений носителей становятся высокими, а указанное приближение оказывается несправедливым.

1. Гидродинамические уравнения для биполярного графена. Для вывода дисперсионного соотношения плазменных волн в графене используем систему гидродинамических уравнений, описывающую биполярную электрон-дырочную плазму. Гидродинамический подход вполне применим для плотной электрон-дырочной плазмы, в которой процессы столкновений между носителями тока доминируют над рассеянием носителей на примесях и акустических фононах. Такая ситуация может возникнуть в электронейтральном графене при

комнатной температуре, в частности, в структурах с небольшой диэлектрической проницаемостью слоев, между которыми находится лист графена. В этом случае частота столкновений между носителями может достигать частот уек -1014 с-1. Эта частота заметно превосходит частоту столкновений с примесями или фононами, которые имеют порядок V — (1011 -1012) с-1. Схожая ситуация возникает в графе-новых транзисторных структурах при высоких значениях напряжения , что приводит к высокой плотности носителей, а также при

сильной оптической накачке графена.

Для безмассовых носителей в графене энергетический спектр линеен е( р) = р, следовательно, кинетические уравнения,

определяющие функции распределения /е = /е (р) и = (р), имеют вид

Ъ + ^ -Р^Г + е^^ = Щ/е, /в} + Щ/е, Л} + ^ {/е}, (1)

о1 р от от др

Ъ. + ур - е = ,/„} + ,/в} + Ц {/к}, (2)

о1 р от от др

где ур —108 см/с — характеристическая скорость носителей заряда в графене (скорость Ферми); е =| е | — абсолютное значение заряда электрона; Е = —дф / дг — напряженность электрического поля;

{/е} и Stj{— интегралы столкновений электронов и дырок с внешними рассеивателями (примесями или фононами); St{/е,/е}, St{ /н, /н} и St{ /е, } — интегралы столкновений между различными носителями.

В уравнениях (1) и (2) пренебрегаем слагаемыми, связанными с рекомбинацией, в предположении, что обратное время рекомбинации много больше, чем частоты столкновений и частоты рассматриваемых плазменных волн. Это приближение хорошо удовлетворяется для плазменных волн терагерцевого диапазона.

Как известно, в силу законов сохранения импульса и энергии при столкновениях между носителями, функции распределения Ферми для электронов и дырок (температура Т измеряется в энергетических единицах) [20]

Л (Р) =

1 + exp^Pbp-^1

(3)

fh (p)=

1 + exp

Сs( p) - p\h n 1

v T ,

(4)

сдвинуты в импульсном пространстве на независимую среднюю (гидродинамическую) скорость Уе и Ук, соответственно, с

независимыми химическими потенциалами /е и /, обращающими соответствующие интегралы столкновений в нуль:

щ/! ,/ер }=о, щ/ьр ,/ьр }=о.

В равновесии установившиеся значения химических потенциалов (которые, как и все остальные величины в равновесном состоянии, в дальнейшем будем обозначать индексом « 0 ») /е 0 = / 0 определяют

из решения электростатической задачи для данной конфигурации затворов.

В частности, при V% =0 электронный и дырочный химические

потенциалы равны нулю (/е 0= /0 = /0 = 0), т.е. уровень Ферми

совпадает с точкой Дирака. В чистом графене при оптической внутризонной накачке химические потенциалы носителей могут различаться. Так, при V =0 значения потенциалов /е 0 = /0 > 0 и

/ = -/0 < 0, где ¡0 определяется интенсивностью оптической накачки.

В слабом электрическом поле и при условии малой пространственной неоднородности плазмы интеграл электрон-дырочных столкновений может быть разложен по степеням дрейфовой скорости (Уе и Ук) и представлен в виде

&{/!, /! } ^ /¿}(Уе - V ), , /еР } = -Б{/£0,&}<Ун - Уе ).

В такой форме интеграл электрон-дырочных столкновений описывает трение между электронной и дырочной компонентами. Аналогично, слагаемые, отвечающие столкновениям электронов и дырок с примесями или фононами, могут быть представлены в форме

^ {/е} = {/е^}Уе ^ {/} = -8,{/¡д,}У„.

Здесь 8 и — функционалы функций распределения Ферми //0 и /¡¡0 с параметрами Уе = Ук =0, т.е. функций с невозмущенными значениями /е, / и Т. Таким образом, в рассматриваемой

ситуации функции распределения даны уравнениями (3) и (4), они являются приближенными решениями уравнений (1) и (2), в которых значения V., V,, ¡ле и /и, (или электронная и дырочная

поверхностная плотности Е. и Е,) могут быть найдены из

рассмотрения слагаемых в левых частях уравнений (1) и (2) и диссипативных слагаемых как возмущений с использованием стандартной процедуры (аналогичной методу Чепмена - Энскога [20]) для вывода гидродинамических уравнений (см. также [21]).

Интегрируя уравнения (1) и (2) по фазовому пространству

2 2

ёГр = g ёр /(2жК) (^ = 4 — произведение спинового и долинного

факторов вырождения в графене), находим уравнение непрерывности для электронов и дырок

дЕ дЕ V

= 0, (5)

дг дг

^^^ = о. (6)

дг дг

Для вывода уравнений Эйлера необходимо проинтегрировать уравнения (1) и (2), умноженные на вектор импульса р по фазовому пространству ёГр. После этого для случая малых скоростей р^ , ^ Т система уравнений Эйлера для электронов и дырок приобретает вид:

3 а ¿МтА - в в (V. - V,), (7)

2дг ур дг 2 . дг е е гНу е н'

+.Е = -Ра, (V,, - V.), (8)

2 дг Ур дг 2 дг

где Е. и Е, - поверхностные плотности электронов и дырок соответственно; р — локальный электрический потенциал; скобки означают интегрирование по равновесному распределению Ферми, например, средний импульс единицы площади (первый момент

функции распределения) вычисляют по формуле

<р.> = |-^-(9)

01 + ехр{урр-V.»] (2П)2 , Т .

Коэффициенты трения в,, ве и в, являются функциями стационарного значения химических потенциалов /е0 и 0. Детальный вывод коэффициентов в выходит за рамки данной работы, поэтому здесь запишем только окончательные выражения для некоторых предельных случаев.

Значение ве, можно представить как

ßeh = W(q)fe (p) fh (Pi )(1 - fe (p - q)) >

х(1-f (Pi + q))) 2ngqdq gd P2 ^PL

v 1 МГ (2Щ2 (2nh)2 (2nh)2

(10)

где W (q) — вероятность кулоновского рассеяния,

2п

hvF

2ntie

2Y

W(q) = ---S(p + p1 -1 p - q | +1P1 + q |). (11)

Kq

\

Простое выражение для ве, может быть найдено в точке Дирака после обезразмеривания аргумента функции Ферми х = рУр / Т,

х1= Р^р / Т, хд = цур / Т:

УЯ 3Т 4е 4

ве, = ?—, (12)

4Й УрК

где у - безразмерная константа порядка единицы, равная значению кратного интеграла в (10) при нулевом химическом потенциале.

В случае Т даже численный расчет ве, довольно сложен, однако очевидно, что ве, — экспоненциально убывающая функция химического потенциала благодаря тому, что (р1) ^ е~/т в уравнении (10). В данной работе примем ве, с экспоненциальной точностью в следующем предположении:

в VШЛЪ V ЕМ>ЕМ , (13)

Ур < Ре > + < Р,, > '' ¿Ме +

где введена электрон-дырочная частота Уе,, оценку которой выполнили с помощью следующей фиктивной массы:

Ме,к = -Е. (14)

УРЕв,Н

В точке Дирака при Т = 300К М = 0,016т., здесь т. — масса

свободного электрона. Впоследствии покажем, что введение массы описанным выше образом позволяет получить выражения для проводимости графена, аналогичные формулам Друде.

В случае рассеяния на акустических фононах можно представить в. как [22]

в =РР> • (15)

где и — константа деформационного потенциала; р — поверхностная плотность графена; ^ — групповая скорость акустического фонона (скорость звука). Ввиду расхождений в экспериментальных данных о константах графена будем использовать общее выражение

Ре = Ж<р2е >. (16)

Здесь численное значение X будет определено путем сопоставления экспериментальных данных о проводимости на постоянном токе с расчетами по гидродинамической модели.

В случае рассеяния на заряженных примесях коэффициент трения имеет вид

Р. = ЕвЕ1; (17)

плотность заряженных примесей является функцией химического потенциала (например, если распределение энергетических уровней примесей постоянно, то Е1 - ¿и-^ Уа ).

В приближении плавного канала [23] соотношение между поверхностным зарядом графена .(Е, -Е.), локальным химическим

потенциалом в графеновом слое и напряжением на затворе описывается формулой

С(^-р) = .(Е.-Е, ), (18)

где С = КК0 / ё — удельная емкость затвора; ё и к — толщина и проницаемость подзатворного диэлектрика; к0 =8,85-10-12 Ф/м — электрическая постоянная.

2. Плазменные волны в графене. Для вывода закона дисперсии плазменных волн в графене используем обычную технику теории возмущений. Предполагая, что

Me(h) = M0 + 5Me{h) eXP [i(kx -mt)];

5Ve{h) = ^V0e(h) eXP [i(kx -mt)] i

p = (p0 + öcp0 exp [i(kx -mt)],

(19)

(20) (21)

где 5/,), SV0e(,h) и 8(р0 — амплитуды переменных возмущений. Запишем уравнения гидродинамики в линейном приближении:

3( pe) + ik

2 2 2 nt

-im

2 v

F

m

vF +e

-1 С

+ ße +ßh

x5Ve -

+ßeh

m С

ÖVh =0;

(22)

. 3(p^ + ikП -im—-—--h

f

2 v

F

m

F

ph

-n + С

+ ßh + ßeh

x5Vh -

ik2nenh e2 m С

+ ßeh

5Ve = 0.

(23)

Условие разрешимости для уравнений (22) и (23) имеет вид

век

•/2 2 ik v„

-im +-e- (1 + re ) + Vte + vF

. m \pe)_

•/2 2 ik v

-im+-h (1+rh ) + Vi,h + v

m

ik2ve2nh r ,ßehvF

e

F

ßeh

Ы.

mn„

< pe >

ik2vhner + ßehvF mnh h < ph >

(24)

Здесь для удобства введены следующие обозначения:

безразмерные константы ге = —^-- и тк =

Cv

F

Cv

характеристические скорости Уе

2n2e vF

F

И Vu =-

2n2hv2F

Ц Ре)(Р~е1) " Чр^{р-1У

частоты у1 ,е = урв / <ре> и Уик = урвь / <рь >, которые, как увидим

позднее, определяют затухание плазменных волн.

При достаточно высоком положительном напряжении на затворе (т.е. / о ^ Т ) характеристические скорости равны:

v2=1 v2F Ve 2 ^'

v2 r =

e e

e,0

1

2n h2C

vu = - v

F

(25)

В точке Дирака характеристические скорости задают выражениями

2 2 ve =vh=

П

324ln2^(3)

v2F ~ 0,36vF2;

e^T

vi Ге = vf rh = 0,16-^.

e e hh h2C

(26)

Дисперсионное соотношение (24) будет проанализировано в двух предельных случаях: квазинейтральная плазма (химический потенциал совпадает с точкой Дирака) и униполярная электронная плазма (/е0 ^ Т). Нахождение закона дисперсии в случае произвольных

концентраций электронов и дырок возможно, но довольно громоздко, так как сопряжено с решением уравнения четвертой степени.

В точке Дирака пе = пк, /Зе = в и условие разрешимости (24) приводит к спектру с двумя ветвями. Волновая скорость на одной из ветвей зависит только от скорости Ферми и химического потенциала (здесь и далее эта ветвь называется акустической), а на другой ветви скорость зависит от параметров транзисторной структуры (далее будем называть эту ветвь плазменной):

Vie

®ac = + -

k 2 v2 -

i ,e

V 2 J

~ vek -1-

V

(27)

®pi = -i

V

i ,e + ßehvF

(Pe >J \

k2ve2 (1 + re)-

V,

i,e +ßehvF

( Pe >

(28)

Фактически решение (28) не следует принимать к рассмотрению, так как частота затухания таких волн близка к частоте столкновений между носителями; поэтому данные волны не могут быть описаны в рамках гидродинамической модели.

В случае (27) затухание волн достаточно слабо. Решение уравнения Эйлера для данной ветви приводит к синфазным колебаниям скоростей ЗУг ЗУк. Таким образом, в рассматриваемой

волне межчастичное трение отсутствует и затухание определяется лишь внешними рассеивателями — примесями и фононами. Более того, синфазное изменение электронной и дырочной плотностей означает квазинейтральность волн данного типа, их распространение обусловлено действием сил давления. Исследуемые квазинейтральные акустические плазменные волны могут влиять на термодинамические свойства графена, такие волны схожи с волнами в биполярной электрон-дырочной плазме в полуметаллах [24].

Дисперсионное соотношение в случае униполярной плазмы можно найти, используя приближения / 0 ^ / 0, / 0 ^ Т, ве ^ в (опускаем решение с сильным затуханием):

Vie

®pl = -i"J- + -

i,e

2

k Ч2(1 + Г ) - ^ - kVe (1 + Г )1/2-V. (29) V 2 J 2

Видно, что скорость волн на этой ветви зависит не только от фундаментальных констант графена, но и от параметров транзисторной структуры: удельной емкости С, напряжения на

затворе Уа .

Также интересно проследить эволюцию законов дисперсии при постепенном увеличении химического потенциала от / = 0 до / ^ Т. Закон дисперсии описывается уравнением четвертой степени, решение которого затруднительно. Однако можно аналитически записать уравнения, определяющие скорость волн в акустической области при любом значении химического потенциала. С этой целью пренебрегаем затуханием в (24) и полагаем со = sk. Решая биквадратное уравнение, находим общее выражение для скорости плазменных волн:

^ = — 2

1 ( f-Й2-^

1 2,- ч 2 ч . /Г 2 ч 2 чП2 , 2 2

Ve2(1 + Ге ) + V2(1 + rh ) ±J Ve2(1 + Ге ) - V^(1 + Гк ) + , (30)

знак плюс отвечает плазменным, а минус — акустическим волнам, скорость которых фактически не зависит от параметров транзисторной структуры. В униполярной плазме скорость волны может существенно

превышать скорость Ферми, хотя зависимость этой скорости от

напряжения на затворе довольно слабая: 5ас ^ У^4 . Из уравнения

(30) можно сделать вывод о том, что увеличение толщины оксидного слоя ведет к неограниченному росту скорости плазменной волны

5 . Данная зависимость, однако, ограничена применимостью уравнения Пуассона (18) к рассматриваемым волновым процессам. Условие применимости данного приближения записывается в виде М <С 1. При произвольных к и d необходимо точно решать электростатическую задачу для данной конфигурации затворов; переход к точному решению может быть выполнен простой заменой:

2ккл к

C

1-e

-2kd '

(31)

что было показано ранее при рассмотрении плазменных волн в баллистическом приближении [15].

На рис. 1 показана зависимость скорости плазменных волн (30) от напряжения на затворе для различных толщин d, нм, оксидного слоя: 2, 10, 50; диэлектрическая проницаемость оксидного слоя е = 4.

1.0г

Я" U,

н

öS

0.6

% 0.4h

0.2

0.0L

/ ✓ - VQ = 0 V ........ VG = 0.5 V .......... VG = 10 V d = 10 нм, e = 4

/ ✓ ✓ ✓ V ✓

/ ✓ ✓ г у г ✓

✓ / ✓ / ✓

✓ ; г ; г /: /---

0 10 000 20000 30 000 40000 50000

Волновой вектор, см-1

Рис. 1. Дисперсионные зависимости для различных напряжений на затворе

Затухание плазменных волн у1 е, обусловленное рассеянием на

акустических фононах, в униполярном случае линейно зависит от химического потенциала. Эта зависимость как функция напряжения

на затворе изображена на рис. 2; расчеты выполнены с использованием уравнений (29) и (16). На рис. 2 видно, что только образцы с высокой чистотой могут обеспечить уровень затухания, допустимый для ТГц-приложений графена. Затухание становится намного сильнее при наличии примесей (т.е. для образцов на диэлектрических подложках).

8

d ........ d = 2 нм m 10 нм = 50 HM

*** _ .......... d

4. V, ^Хч —\ \ /

X \ \Л // Y

¿а

Я ц

О И Л

и и

-10

-5 0

Напряжение на затворе, В

10

Рис. 2. Скорость плазменных волн для различных напряжений на затворе. Тонкая сплошная линия (нижняя из четырех зависимостей) — скорость на акустической ветви

Заключение. В данной работе рассмотрены плазменные волны в графене с относительно высокими плотностями носителей, рассчитан спектр и декремент затухания этих волн на основе разработанной гидродинамической модели электрон-дырочной плазмы. Исследован переход от монополярной (электронной или дырочной) плазмы вдали от точки Дирака к существенно биполярной электрон-дырочной плазме при изменении напряжения на затворе. В частности, показано, что в униполярной плазме могут распространяться слабозатухающие волны, скорость которых определяется параметрами как самого графена, так и транзисторной структуры. Уже при небольших напряжениях на затворе скорость данных волн значительно превышает скорость Ферми. В дираковской точке, напротив, слабым затуханием обладают волны со скоростью, не зависящей от параметров транзисторной структуры. В некоторой степени они напоминают акустические волны в полуметаллах. Слабое затухание

таких волн обусловлено синфазным движением электронов и дырок в них, что фактически нивелирует влияние сильных электрон-дырочных столкновений на затухание. Поэтому скорость затухания волн рассмотренных типов определяется рассеянием на акустических фононах и дефектах, частота этого рассеяния в свободно висящих

образцах графена имеет порядок 5 -1011 с -1. Данный факт показывает возможность применения пленок графена для детектирования и генерации волн терагерцевого диапазона.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Dyakonov M., Shur M. // IEEE Trans. Electron Devices. 1966. 43, 1640.

2. Satou A., Ryzhii V., Khmyrova I., Ryzhii M., Shur M.S. // J. Appl. Phys. 2004. 95 2084.

3. Fatimy A.El, Teppe F., Dyakonova N., Knap W., Seliuta D., Valusis G., Shchepetov A., Roelens Y., Bollaert Cappy S., Rumyantsev S. // J. Appl. Phys. 2006. Lett. 89, 131926.

4. Ryzhii V., Ryzhii M., Hu Y., Hagiwara I., Shur M.S. // J. Appl. Phys. 2007. Lett 90, 203503.

5. Leiman V.G., Ryzhii M., Satou A., Ryabova N., Ryzhii V., Otsuji T., Shur M.S. // J. Appl. Phys. 2008. 104, 024514.

6. Ryzhii V., Satou A., Otsuji T., Shur M.S. // J. Appl. Phys. 2008. 103. Р. 014504 1-6.

7. Otsuji T., Meziani Y.M., Nishimura T., Suemitsu T., Knap W., Sano E., Asano T., Popov V.V. // J. Phys.: Condens. Matter. 2008. 20, 384206.

8. Ryzhii V., Satou A., Ryzhii M., Otsuji T,. Shur M.S. // J. Phys.: Condens. Matter. 2008. 20, 384207.

9. Castro Neto A.H., Guinea F., Peres N.M.R., Novoselov K.S., Geim A.K. // Rev. Mod. Phys. 2009. 81.

10. Bolotin K.I., Sikes K.J., Jiang Z., Klima M., Fudenberg G., Hone J., Kim P., Stormer H.L. // Solid State Comm. 2008. 146, 351.

11. Sprinkle M., Suegel D., Hu Y., Hicks J., Tejeda A., Taleb-Ibrahimi A., Le Fevre P., Bertran F., Vizzini S., Enriquez H., Chiang S., Soukiassian P., Berger C., de Heer W.A., Lanzara A., Conrad E.H. // Phys. Rev. 2009. Lett. 103, 226803.

12. Orlita M., Potemski M. // Semicond. Sci. Technol. 2010. 25, 063001.

13. Falkovsky L.A., Varlamov A.A. // J. Eur. Phys. 2007. B 56, 281.

14. Ryzhii V. // Jpn. J. Appl. Phys. 2006. 45, L923.

15. Ryzhii V., Satou A., Otsuji T. // J. Appl. Phys. 2007. 101, 024509.

16. Das Sarma S., Hwang E.H. // J. Phys. Rev. 2009. Lett. 102, 206412.

17. Dubinov A.A., Aleshkin V.Ya., Mitin V., Otsuji T., Ryzhii V. // J. Phys.: Condens. 2011. Matter. 23 145302.

18. Rana F. // J. IEEE Trans. Nanotechnol. 2008. 7, 91.

19. Popov V.V., Bagaeva T.Yu., Otsuji T., Ryzhii V. // J. Phys. Rev. 2010. B 81, Р.073404 1-4.

20. Gantmacher V.F., Levinson Y.B. Carrier Scattering in Metals and Semiconductors. North-Holland, Amsterdam. 1987.

21. Bistritzer R., MacDonald A.H. // J. Phys. Rev. 2009. B 80, 085109.

22. Vasko F., Ryzhii V. // J. Phys. Rev. 2007. B, 76, 233404.

23. Shur M. Physics of semiconductor Devices. Englewood Clifs, NJ: Pentice-Hall, 1990.

24. Konstantinov O.V., Perel V.I. // Sov. Phys.-Solid State. 1967.

Статья поступила в редакцию 24.11.2011