CC BY
28
Моделирование конкуренции компаний в инновационных разработках с учетом неопределенности и экстернальных эффектов
Шаклеина Надежда Кимовна, аспирант Кисловодского института экономики и права;
e-mail: in63@mail.ru
Аннотация: Построена и проанализирована экономико-
математическая модель дуополистической конкуренции фирм в разработке инновационных продуктов и инновационных технологий.
Ключевые слова: дуополистическая конкуренция, экстернальные эффекты, инвестиции, инновации, оптимизация
Abstract. In this paper we present amathematical model of duopolistic competition of firms in the development of product and process innovations.
Keywords: duopolistic competition, externalities, investments, innovations, optimization
Активизация инвестиций в производственный капитал и, особенно, в инновационные технологии, является одной из приоритетных стратегий роста национальной экономики России на современном этапе. Одно из наиболее распространенных и важных решений, которые предпринимают предприятия, связано с инвестициями в инновационные разработки (инновационные технологии и продукты) [1-3]. В [4] предложена стохастическая модель разработки инновационных производственных технологий, в которой выявляются особенности рыночного равновесия под воздействием экстернальных эффектов, связанных с распространением научного знания и информации о проводимых исследованиях как в процессе разработки инновации, так и после получения инновационной технологии.
Условие первого порядка максимизации стоимости фирмы (0) из [4] можно записать следующим образом
Vм =
—М (с1) - *(к, ) +
к (—W + S—L ) + hj (— + —L )
г + (1 + 5 )(к + hj)
(1)
— * '(к,)
Г
Дифференцирование этого условия первого порядка дает наклон функции наилучшего отклика интенсивности научно-исследовательских разработок фирмы ,
ак (1 - 5) - * '(к, )
1 - Г —, (2)
ак
V
где ,, j = А, 5 и j Ф ,. Условие второго порядка для максимизации ожидаемой дисконтированной стоимости фирмы состоит в положительности знаменателя этого выражения. Если с точки зрения частной выгоды для фирм оптимально предпринять научно-исследовательские разработки, то
Vм > или, как будет показано ниже,
г
— — — 1^ '^ \ /1 , „Ч/тлМ —L
*'(к ) = (1 + 5XV----^) > 0 . Это неравенство означает, что
г г
наклон функции наилучшего отклика интенсивности научноисследовательских разработок фирмы положителен для значений 5, близких к нулю, и отрицателен для значений 5, близких к единице. На рис. 1 показаны примеры обоих случаев.
Условие устойчивости требует, чтобы наклон функции наилучшего отклика интенсивности научно-исследовательских разработок фирмы был по абсолютной величине меньше единицы в окрестности точки равновесия. Полагая
1
Рис. 1. Функции наилучшего отклика интенсивности научноисследовательских разработок фирм при различных уровнях интенсивности экстернальных эффектов, с1 = 10, с2 = 5, Ь = 1, г = 0,1,
2 1
* (к) = 10к +1000к . А(— , —) обозначает функцию наилучшего отклика фирмы А при 5 = 2 и а = 1.
в (1), получаем условие устойчивости в следующем виде
D =
г
+ 2к
N
*'' (км) —
(1 — 5)
—
W
—
г
— *' (км )
> 0
(3)
Анализ показывает, что это условие устойчивости выполняется.
Анализ сравнительной статики равновесия. Интенсивность научно-исследовательских разработок (научно-исследовательский
потенциал). Полагая в (1) к = к} = кы и преобразуя полученное выражение,
приходим к выводу, что интенсивность научно-исследовательских работ (научно-исследовательский потенциал), соответствующая некооперативному равновесию, удовлетворяет следующему условию первого порядка
Жу +
- ЖN + (1 - 5)
Ж
у
Ж
К + * (К) -
г
+ 2к
N
z'(hN ) = 0. (4)
1 + 5 Г
Покажем, что интенсивность научно-исследовательских работ (научноисследовательский потенциал компании), соответствующая
некооперативному равновесию, растет при снижении интенсивности экстернальных эффектов, сопровождающих разработку инновационной технологии, 5, и при повышении степени присвоения фирмой-инноватором выгод от разработки инновационной технологии, а .
Утверждение. Интенсивность научно-исследовательских работ, соответствующая некооперативному равновесию, растет при снижении интенсивности экстернальных эффектов, сопровождающих разработку инновационной технологии, 5, и при повышении степени присвоения фирмой-инноватором выгод от разработки инновационной технологии, а .
дк
N
дк
N
да
д5
D
г
І
D 1 + 5
гдп К да
V -
у N
Г
V
+
Ж
у
у
джі ^ /
+ (1 - 5)
да
- Жг К1 < 0
Г Г
джу дЖL 1 кг
да да , Г
> 0.
(5)
(6)
Доказательство.
1. Дифференцируя соотношение (4) по 5 и преобразуя полученное выражение, получаем
г
Жу Ж г
D — = —[
д5 (1 + 5) Г
- *'(к)] +
ЖШ Жг к
Г
(7)
Перепишем второе равенство в правой части уравнения (2.11), определяющего равновесную интенсивность научно-исследовательских работ (научно-исследовательский потенциал компании), следующим образом
1
V? = — —ь — г'(к)]. (8)
Г 1 + 5 Г
Если с точки зрения частной выгоды для фирмы оптимально предпринять научно-исследовательские разработки, то . Предполагая, что это
Г
неравенство имеет место, получаем неравенство
— —Ь'п~\ /1 , — ь
г'к ) = (1 + 5— ^) > 0, (9)
ГГ которое выполняется при условии выполнения условия первого порядка и, в частности, в равновесии. Подставляя (9) в (7), получаем неравенство (5).
2. Дифференцируя соотношение (4) по а и преобразуя полученное выражение, получаем (6). Из выражений для производных
д—— д—ь
и
да да
получаем
д—" д—ь д—" дqь д—ь дqW
—— + 5—ь = —"—— + — + 5—- —— + 5—ь 3 =
<<*\ <<*\ а а уу э а а
да дqа дqь да дqW да
(10)
= — (р — Сь )(7ТЬ + 5 ) + (1 — 5 )(с1 — С2^Ь.
да да
Последняя составляющая в правой части этого равенства
ТТ - дqW
неотрицателен. Из выражения для производной----------получаем неравенство
да
да да
(11)
= С1 С2 (д — 5 д —" ) < о
М дq" д^ дqь
знак которого следует из условия второго порядка
д2—
"
= 2р' + qwP" < 0
и условий стабильности на постинновационном рынке. Отсюда получаем неравенство
д—
—
да
+ 5
д—ь
да
(12)
( \ С1 С2 /д
(р — сь ) —------------(--------—
ь Д дq2
д 2—
5
—
—
) + (1 — 5)(с1 — С2 ^Ь > 0
Окончательно, из соотношений (4), (6) и (12) следует, что
дк = К г (д—— да Д 1 + 5 да
+ 5 д—) + (1 — 5)(
да
д—
"
да да Г
Отметим, что доказанное Утверждение справедливо для общих функциональных форм. Оно иллюстрируется рис. 1 и рис. 2 для случая линейной функции обратного спроса
р = а — bQ (13)
и квадратичной функции затрат на осуществление научно-исследовательских разработок
г (к) = ик + ук2 (14)
при и > 0 и V > 0.
Равновесные доинновационные объемы выпуска продукции и прибыли определяются следующим образом
Рис. 2. Функции наилучшего отклика интенсивности научноисследовательских разработок фирм при различных уровнях интенсивности экстернальных эффектов, с1 = 10, с2 = 5, Ь = 1, г = 0,1,
1 2
г (к) = 10к +1000к . А(—, —) обозначает функцию наилучшего отклика фирмы А при 5 = 1 и а = 2.
а — с
qN (с1) =
3Ь
^N (С1) = Ь^2(С1).
Равновесные постинновационные объемы выпуска продукции и прибыли определяются следующим образом
а — С2 + а(с1 — С2)
Я— =
3Ь
а — С2 — 2а (С1 — С2)
Я = з
и
nw = ЬЯ— + а(с1 — с2)Яь =
пь = Ьд2ь
Из (16) и (17) получаем
(16)
(17)
дп— дпь 5 — 45
+ 5~ = ~— (С1 — С2)Яь > 0, (18)
да да 3
—=з(с1—с2)яь >0. (19)
да да
При линейной функции спроса и квадратичной функции затрат на осуществление научно-исследовательских разработок функция наилучшего отклика (4), которая определяет равновесную интенсивность научноисследовательских работ (научно-исследовательский потенциал компании), имеет квадратичную форму
~ -» 9 ч Яш ¿.Г V -. , Лш ~ *3/1' т * I* ~ Л ч
Зук2 — [(1 — 5) ——----ь — и--------]к — ^--------ь--+ п* = 0. (20)
Г 1 + 5 1 + 5
Из (1) следует выражение для равновесной стоимости фирмы
тг 1 ^— + 5Жт тч ^,4
V* =----------(—-------ь — и — 2ук). (21)
1 + 5 Г
Ожидаемая дисконтированная величина потребительского излишка. определяется соотношением
(^ + 2(1 + 5)к
Г
г + 2(1 + 5)к
Национальное благосостояние представляет собой сумму стоимости фирмы и потребительского излишка
Для параметров на рис. 1 и рис. 2 имеет место двукратное снижение удельных производственных затрат, достигаемое за счет использования инновационной производственной технологии.
Степень присвоения фирмой-инноватором выгод от разработки инновационной технологии а составляет 1/3 для всех функций наилучшего отклика, определяющих равновесную интенсивность научноисследовательских работ (научно-исследовательский потенциал компании), показанных на рис. 1. С ростом интенсивности экстернальных эффектов, сопровождающих разработку инновационной технологии, 5, от 1/3 до 2/3, функция наилучшего отклика, определяющая равновесную интенсивность научно-исследовательских работ фирмы А, сдвигается влево (и меняет свой наклон с положительного на отрицательный), определяя более низкий уровень интенсивности научно-исследовательских работ фирмы А для любого уровня интенсивности научно-исследовательских работ фирмы В. Функция наилучшего отклика, определяющая равновесную интенсивность научно-исследовательских работ (научно-исследовательский потенциал) фирмы В сдвигается аналогичным образом. С ростом интенсивности экстернальных эффектов, сопровождающих разработку инновационной технологии, 5 , равновесные интенсивности научно-исследовательских работ снижаются с более высоких уровней равновесия Е1 к более низким уровням равновесия Е2. Этот результат представляет собой первую часть Утверждения.
N8— = 2У* + ^.
(23)
Интенсивность экстернальных эффектов, сопровождающих разработку инновационной технологии, 5, равняется 1/3 для всех функций наилучшего отклика, определяющих равновесную интенсивность научноисследовательских работ фирм, показанных на рис. 2. С ростом степени присвоения фирмой-инноватором выгод от разработки инновационной технологии, а , от 1/3 до 2/3, функция наилучшего отклика, определяющая равновесную интенсивность научно-исследовательских работ (научноисследовательский потенциал) фирмы А , сдвигается вправо, определяя более высокий уровень интенсивности научно-исследовательских работ фирмы А для любого уровня интенсивности научно-исследовательских работ фирмы В. Функция наилучшего отклика, определяющая равновесную интенсивность научно-исследовательских работ фирмы В сдвигается аналогичным образом. С ростом степени присвоения фирмой-инноватором выгод от разработки инновационной технологии, а , равновесные интенсивности научно-исследовательских работ повышаются с более низких уровней равновесия Е1 к более высоким уровням равновесия Е2. Этот
результат представляет собой вторую часть Утверждения.
Равновесное ожидаемое время разработки инновационной технологии определяется выражением
Е =------------1- . (24)
2(1 + 5 )к
дЕ
Из Утверждения следует, что производная — имеет неопределенный знак,
д5 дЕ
тогда как -----< 0. Отсюда следует, что с ростом степени присвоения
да
фирмой-инноватором выгод от разработки инновационной технологии, а , равновесное ожидаемое время разработки инновационной технологии сокращается. При более высокой степени экстернальных эффектов, сопровождающих разработку инновационной технологии, 5 , равновесная интенсивность научно-исследовательских работ (научно-исследовательский
потенциал компании) к фирмы i ниже, но соответствующие этой ситуации научно-исследовательские работы более эффективны с точки зрения национального благосостояния: при постоянной интенсивности научно-исследовательских работ более высокая степень экстернальных эффектов, сопровождающих разработку инновационной технологии, означает, что более вероятно, что одна из фирм создаст инновационную технологию при прочих равных условиях. Ожидаемое время разработки инновационной технологии может быть меньше при более высокой степени экстернальных эффектов, сопровождающих разработку инновационной технологии (и при линейной функции спроса и квадратичной функции затрат на осуществление научно-исследовательских разработок существуют большие области изменения параметров (5, а), в которых это справедливо).
Литература
1. Иванова Н. Инновационная сфера: итоги столетия // Мировая экономика и международные отношения. - 2001. - N 8. - С. 22-34.
2. Инновационная и конкурентная стратегия корпораций. Научноаналитический обзор. - М.: ИНИОН, 2004.
3. Kamien M.I., Zang I. Meet me halfway: research joint ventures and absorptive capacity // Int. J. Ind. Org. - 2000. - Vol. 18. - P. 995-1012.
4. Шаклеина Н.К. Моделирование инновационного процесса в условиях дуополистической конкуренции // Управление экономическими системами (электронный научный журнал), 2012. - № 8 (44).
