Экономико-математическая модель различных форм кооперации компаний в инновационных разработках в условиях конкуренции на товарном рынке Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Экономико-математическая модель различных форм кооперации компаний в инновационных разработках в условиях конкуренции на товарном рынке

Ткаченко Денис Дмитриевич, кандидат экономических наук, доцент, докторант Кисловодский институт экономики и права;

in63@mail.ru

Аннотация: Построена и проанализирована экономико-

математическая модель различных форм кооперации фирм, конкурирующих на товарном рынке, в разработке инноваций.

Ключевые слова: моделирование, инвестиции, конкуренция, оптимизация, риск

Abstract. Mathematical model of various forms of cooperation of firms, competing in the product market in the development of innovations, is constructed and studied.

Keywords: modeling, investments, competition, optimization, risk

Построим экономико-математическую модель конкуренции компаний в научно-исследовательских разработках в непрерывном времени. Рассматриваем игру, включающую три стадии: (1) стадия инвестирования компаний в научно-исследовательские разработки, (2) стадия инновационных разработок, предшествующую возникновению экстернальных эффектов и (3) стадия инновационных разработок при наличии экстернальных эффектов. Предполагаем, что фирмы конкурируют на товарном рынке на каждой из трех стадий. Кроме того, фирмы конкурируют за первенство разработки инновационной технологии на стадии инвестирования в научно-исследовательские разработки. Будем предполагать, что имеется возможность свободного входа и выхода фирм и в товарный рынок (на котором имеет место долгосрочное равновесие), и в рынок научно-исследовательских разработок.

В начале стадии инвестирования компаний в научноисследовательские разработки большое (бесконечное) потенциальных участников рынка научно-исследовательских разработок принимают решение об участии в этом рынке. Предполагаем, что фирмы, уже активные на товарном рынке к моменту начала конкуренции за разработку инновационной технологии, и фирмы, планирующие войти в этот рынок, могут участвовать в конкуренции за разработку инновационной технологии [1,2]. Тем самым допускаем, что фирмы не обязательно должны быть активными на товарном рынке, чтобы иметь возможность участвовать в конкуренции за разработку инновационной технологии. Все фирмы, участвующие в конкуренции за разработку инновационной технологии, несут фиксированные затраты S вхождения в рынок научно-исследовательских разработок.

Моделируем конкуренцию за разработку инновационной технологии с использованием случайного процесса Пуассона. Будем предполагать, что момент открытия фирмой i инновационной технологии определяется

случайной величиной, характеризующейся распределением Пуассона. Фирма, принявшая решение о вхождении в рынок научно-исследовательских разработок, предпринимает инвестиции x в разработку инновационной технологии. Инвестиции определяют случайный момент достижения успеха в разработке инновационной технологии, которое распределено экспоненциально с плотностью распределения h(x). Предполагаем, что функция h(x) имеет свойства

h'(x) > 0, h"(x) < 0, h(0) = 0,

а предел lim h" (x) достаточно велик, чтобы гарантировать внутреннее равно-

x^ü

весие, причем lim h"(x) = 0.

Каждая фирма, участвующая в разработке инновационной технологии, использует для этого независимую научно-исследовательскую лабораторию. Однако фирма может определять свой уровень инвестиций x в разработку инновационной технологии как индивидуально, так и совместно, в зависимо-

сти от того, входит ли фирма в кооперативное объединение. Будем рассматривать три сценария. В условиях конкуренции фирм в разработке инновационной технологии фирмы принимают свои решения на рынке научноисследовательских разработок с целью максимизации своих частных прибылей. При наличии картельного соглашения первого типа между компаниями относительно осуществления научно-исследовательских разработок определенное множество фирм

2 = {1,..., С},

составляющих картель, выбирают свои инвестиции в научноисследовательские разработки инновационной технологии с целью максимизации совместной прибыли. Кооперативное соглашение между компаниями относительно осуществления научно-исследовательских разработок устанавливает объем инвестиций каждой из компаний в НИОКР, однако каждая из компаний сохраняет право единоличной собственности на результаты научно-исследовательских разработок. Существует и другая форма картеля: компании договариваются об объеме инвестиций в научноисследовательские разработки, и, кроме того, договариваются относительно создания совместного научно-исследовательского предприятия (совместной научно-исследовательской лаборатории), что позволяет компаниям получить выгоду за счет возникающих синергических эффектов (путем исключения дублирования затрат и/или научно-исследовательских разработок). Участники такого картеля, множество фирм

1 = {1,..., J},

выбирают свои инвестиции в научно-исследовательские разработки с целью максимизации совместной прибыли, и все фирмы становятся обладателями инновационной технологии, если одна из фирм картеля разработает ее. Важно отметить, что при обеих формах картеля компании сотрудничают только на стадии научно-исследовательских разработок инновационной технологии и продолжают конкурировать на товарном рынке.

Фирмы, не сотрудничающие в рамках картельного соглашения в разработке инновационной технологии, могут войти в конкуренцию научноисследовательских разработок инновационной технологии, если посчитают выгодным это сделать. Обозначим через

Р = {1,..., R}

множество фирм, не сотрудничающих в рамках картельного соглашения в разработке инновационной технологии, которые приняли решение участвовать в конкуренции научно-исследовательских разработок. Предполагается, что часть фирм, не сотрудничающих в рамках картельного соглашения в разработке инновационной технологии, считают выгодным войти в конкуренцию научно-исследовательских разработок инновационной технологии. Таким образом, будем рассматривать область параметров, в которой Р > С и Р > I в равновесии.

Стадия инвестиций заканчивается, когда одной из фирм удается разработать инновационную технологию. Стадия, предшествующая возникновению экстернальных эффектов, имеет продолжительность Т. Интервал Т можно интерпретировать как скорость распространения исходящих экстерналий, связанных с научно-исследовательскими разработками инновационной технологии. Очевидно, что интервал Т зависит от срока действия и ширины патента, а также сложности имитации инновационной технологии методом обратного инжиниринга. В течение этого периода компания (компании), успешно разработавшая инновационную технологию, обладает эксклюзивными правами использования новой технологии. Компании, которые не имеют доступа к инновационной технологии, решают в начале стадии, предшествующей возникновению экстернальных эффектов, участвовать ли в конкуренции на товарном рынке с использованием традиционной производственной технологии.

После периода Т инновационная технология становится доступной всем фирмам на товарном рынке (включая те, которые производили с использованием традиционной производственной технологии), включая потен-

циальные фирмы-новички. В начале третьей стадии каждая фирма решает, участвовать ли в товарном рынке и, если решает участвовать, использовать ли при этом традиционную или инновационную производственную технологию.

Как отмечалось выше, фирма не обязательно должна участвовать в конкуренции научно-исследовательских разработок инновационной технологии для того, чтобы иметь возможность участвовать в конкуренции на товарном рынке, и наоборот. Следовательно, мы можем характеризовать прибыли фирм, активных на товарном рынке, независимо от их отношения к конкуренции научно-исследовательских разработок инновационной технологии. Достаточно знать количество фирм, которые используют традиционную или инновационную производственные технологии, чтобы определить прибыли на товарном рынке на каждой из стадий игры. Будем предполагать, что в процессе производства все фирмы несут постоянные производственные затраты.

Обозначим через

*о(#1, N0) и п1(К1, N0)

текущие прибыли фирм (после вычета постоянных производственных затрат), использующих традиционную или инновационную производственные технологии, соответственно, на рынке, на котором N1 фирм производят с использованием традиционной производственной технологии, а N,5 фирм производят с использованием инновационной производственной технологии. Не делаем никаких специальных предположений относительно природы конкуренции, имеющей место на товарном рынке. Будем только предполагать, что функции, определяющие прибыль, являются убывающими по степени конкуренции (которую будем характеризовать количеством фирм).

Предположение 1. Функции п1 (N1, N0) при г е{1,0} убывают по N1 и N0, и обращаются в нуль при некоторых значениях N1 > 0 и N0 > 0.

Кроме того, будем предполагать, что на товарном рынке, на котором часть фирм использует инновационную производственную технологию, а другая часть фирм производит с использованием традиционной производственной технологии, фирмы, использующие инновационную технологию, получают боле высокую прибыль.

Предположение 2. Если и N1 > 0, и N,5 > 0, то

^(N1,N0) > ^(N1,N0).

Эти два предположения выполняются в стандартной модели Курно и дифференцированной дуополии Бертрана.

Будем рассматривать симметричное равновесие в чистых стратегиях. Стратегия фирмы включает:

1. решение об участии в конкуренции в научно-исследовательских разработках инновационной технологии и о выборе соответствующего объема инвестиций;

2. решение об участии в конкуренции на товарном рынке по окончании конкуренции научно-исследовательских разработок инновационной технологии;

3. в зависимости от результатов конкуренции в научноисследовательских разработках инновационной технологии и участия в товарном рынке, выбор фирмой технологии для использования в производственном процессе;

4. решение об участии в конкуренции на товарном рынке и выбор производственной технологии.

В дальнейшем анализе будем рассматривать переменные

С, 3, Я, N1 и N 0 как непрерывно дифференцируемые.

Начнем анализ построенной выше модели с обсуждения конкуренции на товарном рынке на трех стадиях игры: стадии инвестирования компаний в научно-исследовательские разработки, стадии инновационных разработок,

предшествующей возникновению экстернальных эффектов, и стадии инновационных разработок при наличии экстернальных эффектов. Результаты этого раздела полезны при определении ожидаемой прибыли компании, участвующей в конкуренции в научно-исследовательских разработках инновационной технологии.

На стадии инвестирования компаний в научно-исследовательские разработки се фирмы, активные на товарном рынке, производят с использованием традиционной производственной технологии. Поскольку фирма не обязательно должна участвовать в конкуренции научно-исследовательских разработок инновационной технологии для того, чтобы иметь возможность участвовать в конкуренции на товарном рынке, и наоборот, количество фирм на товарном рынке определяется следующим условием

^0(0, N 0 ) = °.

На стадии инновационных разработок, предшествующей возникновению экстернальных эффектов, если инновация не является радикальной, существуют две группы фирм на товарном рынке: одна группа фирм производит продукцию с использованием инновационной производственной технологии, а другая группа фирм имеет доступ только к старой производственной технологии. Очевидно, что N1 = 1 при условии, что реализуется сценарий конкуренции фирм в разработке инновационной технологии или сценарий картельного соглашения первого типа между компаниями относительно осуществления научно-исследовательских разработок. N1 = 1 или N1 = 3 в зависимости от того, какая фирма (входящая в состав картеля второго типа или не участвующая в картельном соглашении) разработает инновационную технологию. Количество фирм, производящих с использованием традиционной производственной технологии, определяется эндогенно из условия

^( N1, N0) = 0.

Будем обозначать через

N1 и N0,

соответственно, равновесное количество фирм, производящих с использованием традиционной производственной технологии, когда одна или 3 фирм производят с использованием инновационной производственной технологии в течение периода Т . Поскольку

^( N1, N0) = 0,

из Предположения 2 следует, что фирмы, использующие новую технологию, имеют строго положительную прибыль.

Если инновация радикальная, по определению N,5 = 0. Будем рассматривать ситуацию, когда все фирмы 3 находят выгодным участвовать в производственном процессе на товарном рынке.

На стадии инновационных разработок при наличии экстернальных эффектов инновационная технология становится известной всем фирмам, уже конкурирующим на товарном рынке, и потенциальным его участникам. С учетом Предположения 2 каждая фирма, участвующая в товарном рынке, решает использовать новую производственную технологию. Вход фирм в товарный рынок происходит до тех пор, пока не будет достигнуто условие

тт1( N^0) = 0.

5.3. Конкуренция фирм в научно-исследовательских разработках

В этом разделе рассмотрим в качестве модельной ситуацию, когда фирмы осуществляют научно-исследовательские разработки независимо. Мы покажем, что существует равновесие в игре на рынке научноисследовательских разработок, и охарактеризуем выбор фирмами инвестиций в инновационные разработки и количество фирм в этом равновесии.

При условии, что процесс открытия инновационной технологии определяется случайной величиной, характеризующейся распределением Пуассона, и в конкуренции за разработку инновационной технологии участвуют Я

фирм, вероятность того, что инновационная технология не была открыта до момента t, определяется следующим образом

ехр{-£ К Xj )t}.

/еР

В течение интервала [t, t + dt) фирма i разработает инновационную технологию с условной вероятностью к(х{ )dt и получает прибыль —, опреде-

г

ляемую соотношением

Г / ч „ ,Г1 ч / 1 - ехр(-гТ)я1(1,N1) —

I exp(-rt)^1(1, N¿)dt =-—-’ ^ 0 =— (1)

* ГГ

0

в течение интервала времени Т, пока инновация не станет общедоступной, и прибыль, равную нулю по истечении интервала времени Т.

С условной вероятностью

^ И( х/ ^

№

фирма i проигрывает конкуренцию за разработку инновационной технологии одной из фирм-соперниц в течение интервала времени dt. В этом случае фирма i получает нулевую прибыль и до, и после разработки инновационной технологии, даже если участвует в обоих случаях в производственном процессе на товарном рынке. Это объясняется тем, что в обоих случаях вход в товарный рынок допустим до тех пор, пока прибыль фирм не становится равной нулю.

С учетом условной вероятности того, что инновационная технология не будет открыта до момента t, каждая фирма получает прибыль - х^ в течение временного интервала dt независимо от того, активна или нет фирма на товарном рынке. Следовательно, можно записать настоящую дисконтиро-

ванную величину совокупной ожидаемой прибыли фирмы i следующим образом

ю —

Vг (х- ) = | ехР{-^ h(хг >} exP(-rtМхг ) Г - X- ]dt - ^

И( X)—- х Г -

(2)

Г + к( х) + аг

где

а- = £ ^х/)

/

обозначает совокупную вероятность достижения успеха в разработке инновационной технологии фирм-соперниц.

Фирма - рассматривает совокупную вероятность а{ как данную и выбирает инвестиции х{ с целью максимизации (2). Условие первого порядка максимизации (2) имеет вид

h '(х)[ — + х + — а,] - (Г + h(х) + а) = °. (3)

Г

Условие второго порядка максимизации всегда удовлетворяется в силу предположения о вогнутости функции к( х{). Следовательно, условие первого порядка неявно определяет функцию наилучшего отклика фирмы -, обозначаемую х (а-).

Поскольку все фирмы предполагаются идентичными, будем рассматривать симметричное равновесие. Равновесный уровень инвестиций в расчете на фирму и количество фирм могут быть определены из условия первого порядка для типичной фирмы совместно с условием нулевой прибыли (ограничением сводного входа в рынок). Чтобы показать, что существует равновесие со свободным входом в рынок конкуренции за разработку инновацион-

ной технологии, необходимо доказать, что ожидаемые прибыли в начале конкуренции за разработку инновационной технологии убывают по числу фирм-конкурентов, R. Для максимизирующей прибыль фирмы теорема об огибающей дает

^(х (а- \а,) = ЗУ-(х (а-),а-) да (4)

сСЯ да- дД ’

поскольку условие максимизации прибыли предполагает равенство нулю производной

дУ(ха) = 0

да.

Первый сомножитель в правой части (4) показывает, как максимизируемая функция (2) изменяется при изменении совокупной вероятности достижения успеха в разработке инновационной технологии фирм-конкурентов. Поскольку фирма - рассматривает а{ как заданную величину и выбирает инвестиции х{ с целью максимизации функции (х{ ,а-), использование теоремы об огибающей вновь дает

ду(ха),а) -ГСх(а-»—-х(а)] <0. (5)

да. [г + h( х (а.)) + а1 ]2

Следующее Утверждение подытоживает этот результат.

Утверждение 1. Ожидаемая прибыль прибылемаксимизирующей фирмы -, активной в конкуренции за разработку инновационной технологии, монотонно снижается с ростом совокупной вероятности достижения успеха в разработке инновационной технологии фирм-конкурентов, а {. Следовательно, получаем

$т } = _ }

аЯ дЯ

Заметим, что в симметричном равновесии

а{ = а = (Я - 1)Н(х), где х обозначает симметричное решение условия первого порядка, представленное в (3) при условии, что число фирм-конкурентов, Я, рассматривается как заданное. Значение х определяется следующим уравнением

х = х((Я - 1)Н(х )). (6)

Чтобы определить знак производной

да. дЯ ’

достаточно определить знак производной

дх дЯ ‘

Покажем, что х возрастает по Я . Использование (6) дает цепочку равенств

дх _ дх((Я - 1)Н(х)) _ д(Я - 1)Н(х )

дЯ дЯ ’ дх — (Я -1)И (х)'

д(Я - 1)Н(х)

Определим выражение в знаменателе последнего выражения как условие устойчивости, что означает, что оно положительно. Выражение в числителе также положительно. Поскольку инвестиционные решения фирм являются стратегическими комплементами. Чтобы убедиться в этом, заметим, что теорема о неявной функции дает

ах(а,)_ И'(х)[И'(х) - -1].

дх- И" (х)[ - + х + - аі ]

г

Условие первого порядка максимизации прибыли типичной фирмы может быть переписано следующим образом

[И '(хі) - - 1](г + И(хі) + аі) - И'(хі)[И(хі) - - хі] _ °. (9)

гг

Подставляя это выражение в (2) и преобразуя, получаем

И( х{) — - х{ И' (х{) — -1

V + 5 _ г - г

г + И( х() + а( И' (х()

Следовательно, можно переписать (8) следующим образом

дх (аі) _ И Xх-)И'(х )(Уі + 5)

дх- И " (х)[ - + х + — а, ]

г

(10)

и замечая, что, поскольку к"(х{) < 0, инвестиционные решения фирм являются стратегическими комплементами для заданного числа фирм, участвующих в конкуренции за разработку инновационной технологии конкурентов, Я.

Теперь мы можем заключить, что

дх

дЯ

и, следовательно,

^ > 0. дЯ

Определяя соответствующий уровень прибыли в расчете на фирму для заданного числа фирм, участвующих в конкуренции за разработку инновационной технологии конкурентов, Я , как

к( х ) — - х

V (Я) =---------- 5, (11)

г + Як( х)

приходим к следующему результату.

Утверждение 2. Существует равновесие со свободным входом в рынок конкуренции за разработку инновационной технологии, в котором равновесное количество фирм, Ям, определяется условием

Vм = V (Ям) = 0.

Каждая из этих Ям фирм инвестирует объем хм = х(Ям ).

Литература

1. Бекетов Н. Государственная политика инноваций // Экономист. - 2004. -N 9. - С. 64-70.

2. Иванова Н. Инновационная сфера: итоги столетия //Мировая экономика и международные отношения. - 2001. - N 8. - С. 22-34.

3. Сергеев А.П. Право интеллектуальной собственности в Российской Федерации. - М.: Проспект, 2004.

4. Атоян В., Плотников А. О законодательном обеспечении инновационной деятельности // Проблемы теории и практики управления. - 2003, N 5. - С. 74-78.