Моделирование колебаний полюса Земли с помощью нечеткой логики и функции Вейерштрасса Текст научной статьи по специальности «Физика»

Математика й Математическое

моделирование

Ссылка на статью: // Математика и Математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2017. № 03. С. 1-12.

БО!: 10.24108/шаШш.0317.0000064

Представлена в редакцию: Исправлена:

© МГТУ им. Н.Э. Баумана

06.05.2017 20.05.2017

УДК 521.93

Моделирование колебаний полюса Земли с помощью нечеткой логики и функции Вейерштрасса

Очков А.А.1*, Виеру Б.Г.2

а о сЫсоуй? ЬтБШги

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

2МАИ, Москва, Россия

Проведен анализ существующей математической модели (ММ) процесса колебаний полюса Земли относительно центра масс. Адекватность рассмотренной ММ проверена сопоставлением результатов расчета с данными наблюдений Международной службы вращения Земли (МСВЗ). Отмечено, что рассмотренная ММ не позволяет достаточно адекватно описать процесс колебаний полюса Земли на длительном интервале времени (более 10 лет), расхождение достигает 20%.

Впервые предложен метод описания и прогнозирования координат полюса Земли относительно центра масс с течением времени с использованием метода нечеткой логики Такаги — Сугено. Разработанный метод проверен на адекватность, расхождение не превысило 4% во всем временном интервале. Предложен подход к описанию изменения координат полюса Земли с использованием семи первых членов ряда функции Вейерштрасса. Предложенный метод имеет относительно высокое расхождение с данными МСВЗ (от 5 до 50%), однако позволяет описать процесс колебаний полюса Земли, как и метод, в основу которого положен метод нечеткой логики Такаги — Сугено, на длительном интервале времени.

Ключевые слова: колебания полюса Земли, методы нечеткой логики, метод Такаги - Сугено, функция Вейерштрасса

Введение

Проведен ряд исследований, посвященных моделированию движения Земли относительно центра масс [1-7]. Методами теоретической и небесной механики и математической статистики доказано, что в главном приближении движение Земли относительно центра масс - колебания полюса - есть объединение двух окружностей с медленным трендом среднего положения, отвечающих годичной и чандлеровской компонентам. Рассмотрена математическая модель процесса колебаний полюса Земли относительно центра масс [3]. Однако, она не позволяет адекватно данным Международной службы вращения Земли (МСВЗ) описать процесс колебаний полюса Земли на длительном интервале време-

ни (до 10 лет), расхождение достигает 20%. Поэтому в настоящее время дальнейшее изучение моделирования движения Земли и разработка новых методов описания и прогнозирования колебаний полюса Земли относительно центра масс является актуальной задачей.

1. Математическая модель колебаний полюса Земли

Для построения упрощенной математической модели процесса колебаний полюса Земли относительно центра масс предполагается, что малые деформации Земли происходят, главным образом, в радиальном направлении. Тогда уравнения вращательного движения относительно центра масс можно представить в форме классических уравнений Эйлера-Лиувилля с переменным тензором инерции J [3]:

Здесь а — вектор угловой скорости в некоторой связанной с Землей системе координат, которая приближенно совпадает с главными центральными осями инерции J* "замороженной" Земли с учетом "экваториального выступа", А , В , С — моменты инерции Земли относительно ее главных осей.

Обоснованными упрощениями решения уравнений Эйлера — Лиувилля для искомых переменных координат полюса Земли х=р(1), у=ц(1) получаются параметрические представления вида:

к к ек ек

(X, у) = СХгу + Ах,у С08(^/) + Вх,у ) + Ах,у С08(^ек?) + Вх,у *т(аекг(2)

Здесь — неизвестные параметры, подлежащие определению статисти-

ческими методами (методом наименьших квадратов Гаусса). Их численные значения находятся посредством обработки ежесуточных данных наблюдений Международной службы вращения Земли [12].

На рис. 1-3 представлены графические зависимости изменения координат полюса Земли с течением времени, полученные с использованием описанного выше метода и данных наблюдений МСВЗ [12], в интервале времени с 1990 по 2000 годы.

Стоит отметить, что математическая модель процесса колебаний полюса Земли относительно центра масс, в основу которой положены уравнения Эйлера — Лиувилля, не позволяет адекватно данным наблюдений МСВЗ [12] описать процесс колебаний полюса Земли на длительном интервале времени (до 10 лет), расхождение достигает 20%. Поэтому, актуальной задачей является разработка более точного метода описания и прогнозирования колебаний полюса Земли относительно центра масс на длительном интервале времени.

Рис. 1. Колебания полюса Земли, координаты х и у (по модели Эйлера — Лиувилля)

Рис. 2. Колебания полюса Земли, координата х (по данным наблюдений МСВЗ)

Рис. 3. Колебания полюса Земли, координата у (по данным наблюдений МСВЗ)

2. Описание и прогнозирование колебаний полюса Земли относительно центра масс с использованием метода нечеткой логики Такаги-Сугено

Предложен метод описания колебаний полюса Земли относительно центра масс с использованием метода нечеткой логики Такаги — Сугено [8,9]. Особенностью систем Такаги — Сугено является процесс формирования заключений из правил нечетких продукций. В алгоритме Такаги — Сугено заключение каждого продукционного правила представляет значение некоторой аналитической функции от входов и состояния системы:

Уу=/у( ■ ) (3)

где уг — заключение у-го продукционного правила; /у ( ■ ) — некоторая аналитическая функция произвольного аргумента для у-го продукционного правила. Чаще всего аргументами функции выступают значения входов и состояний нечеткой системы.

Функция /у ( ■ ) может иметь произвольную форму и быть как линейной, так и нелинейной. Чаще всего функцию определяют как линейную комбинацию входов системы:

(и) = а.п + а. и. +... + а и , (4)

л ] V / ] ,0 ] ,11 ] ,п п' V /

где и — вектор четких значений входов и], и2,...,ип; у — номер продукционного правила; Ц.о, Ц] ,., — коэффициенты, заданные разработчиком нечеткой системы.

Формула для получения четкого значения выхода нечеткой модели выглядит следующим образом:

У

X

]=1

ау.

у J

1\

X

а

]

^ (5)

где у — четкое значение выхода нечеткой системы; Я — количество продукционных правил в нечеткой системе; ау — значение степени принадлежности предпосылки у-го продукционного правила; уу — четкое заключение у-го продукционного правила.

В программной среде Ма^аЬ с использованием данных об изменении координат полюса Земли с течением времени за период с 1962 по 2000 годы, представленных Международной службой вращения Земли [12], разработана программа, позволяющая с помощью метода нечеткой логики Такаги-Сугено описать колебания полюса Земли в период с 1962 по 2017 годы.

На рис. 4, 5 показаны графические зависимости изменения координат полюса Земли с течением времени, полученные с использованием разработанной программы расчета.

Рис. 4. Колебания полюса Земли, координата х (по модели Такаги — Сугено)

Для проверки разработанного метода расчета координат полюса Земли на адекватность проведено сравнение результатов расчетов с данными наблюдений МСВЗ [12]. Расхождение не превысило 13%, причем максимальное расхождение наблюдается только в одной точке всего временного интервала (1962-2017 гг). Не считая этой точки, расхождение не превысило 4%, что подтверждает адекватность разработанного метода.

Рис. 5. Колебания полюса Земли, координата у (по модели Такаги — Сугено)

Графические зависимости расхождения результатов расчета и данных МСВЗ [12] представлены на рис. 6, 7.

6%

14 13 10 8 6 4 1 О

1 1 1

1

о £ § £ т 1Л ГГ| (М

Гч о 1П гл

!Л о цч СП СП

1*1 гч ГЧ

3 18 СТ! 1-1 я К £

<Т1 СП СП <л СП О! СП

ГН ГЧ 1-1 ■гЧ 14

ю ю

Я 8 £ $

а

1Л а Ч;

53 55 $

Гч| ет г^ ГП ^ ГЧ <Т> ПП (Ю

о

Ю 4М

г-ч 44

ГЧ Г-.

£ 5 3

к 0-1 ГЧ

Щ 1Л

Г- 1Л

г--, еч О

3

(Л о*

да О! СП СП

1-1 гп ю па о № № (л <л О

ГП -ГЦ

1Л [у

мои

Г-ч гч Щ

т с оо

ГЧ

С1 О! о м

гч ш г*, т

о о о о

о о о о о о

N М гч П П Ч

Рис. 6. Расхождение результатов расчета координаты х полюса Земли и сведений МСВЗ

Рис. 7. Расхождение результатов расчета координаты у полюса Земли и сведений МСВЗ

3. Описание и прогнозирование колебаний полюса Земли с использованием функции Вейерштрасса

Анализируя характер функций, описывающих зависимость координат полюса Земли от времени, стоит отметить, что прослеживается некоторое сходство с функцией Вейерштрасса. Функция Вейерштрасса - пример непрерывной функции, нигде не имеющей производной [10,11].

п

ю(х) = I Ь" С0Б(а"жх),

1=1

(6)

где а — произвольное нечетное число, не равное единице, Ь — положительное число, меньшее единицы.

В работе проведены исследования, в результате которых получено, что первые 7 членов ряда функции Вейерштрасса с некоторыми коэффициентами а и Ь позволяют описать изменение координат полюса Земли с течением времени, несмотря на то, что неизвестные параметры а и Ь не удовлетворяют условиям определения функции Вейерштрас-са. Коэффициенты а и Ь найдены статистическими методами с использованием данных наблюдений МСВЗ [12]. Для функции координаты полюса у предложено описание суммой 7 членов ряда функции $1п(х) вместо со$(х). В результате проведенных исследований предложены следующие зависимости:

7

х(г) = I (1.85)" соэ((1.09999999)" ж(г - 10.7)) • 2.75, "=1

(7)

7

" "

у (г) = ( I (1.618) ^((1.09999999) ж(г - 5.86))2.75 + 250. "=1

(8)

На рис. 8, 9 представлены графические зависимости изменения координат полюса Земли с течением времени, полученные с использованием первых 7 членов функции Вей-ерштрасса с рассчитанными коэффициентами.

Рис. 8. Колебания полюса Земли, координата х (по функции Вейерштрасса)

Рис. 9. Колебания полюса Земли, координата у (по функции Вейерштрасса)

Сопоставлением результатов расчета с использованием функции Вейерштрасса с найденными коэффициентами и данных наблюдений МСВЗ [12] получено, что расхождение составляет от 5 до 50%. Однако, с использованием разработанного метода возможно описание колебаний полюса Земли относительно центра масс на длительном интервале времени. С целью уменьшения расхождения ведутся дальнейшие исследования по нахождению коэффициентов функции Вейерштрасса для описания колебаний полюса Земли.

Заключение

В ходе работы проведен анализ существующей математической модели процесса колебаний полюса Земли относительно центра масс. Отмечено, что рассмотренная ММ не позволяет адекватно данным наблюдений МСВЗ [12] описать процесс колебаний полюса Земли на длительном интервале времени (до 10 лет), расхождение достигает 20%.

Впервые предложен метод описания и прогнозирования координат полюса Земли с течением времени с использованием метода нечеткой логики Такаги — Сугено. Разработанный метод проверен на адекватность, расхождение не превысило 4% во всем временном интервале. Предложен подход к описанию изменения координат полюса Земли с использованием семи первых членов ряда функции Вейерштрасса. Предложенный метод имеет относительно высокое расхождение с данными МСВЗ [12] (от 5 до 50%), однако позволяет описать процесс колебаний полюса Земли, как и метод, в основу которого положен метод нечеткой логики Такаги — Сугено, на длительном интервале времени.

Список литературы

1. Акуленко Л.Д., Марков Ю.Г., Перепелкин В.В. Небесномеханическая модель неравномерности вращения Земли // Космические исследования. 2009. Том 47. № 5. С. 452-459.

2. Климов Д.М., Акуленко Л.Д., Кумакшев С.А. Основные свойства и особенности движения Земли относительно центра масс // Доклады Академии наук. 2014. Т. 458. № 5. С. 547-550. DOI: 10.7868/S0869565214290131

3. Акуленко Л.Д., Кумакшев С.А., Марков Ю.Г. Движение полюса Земли // Доклады Академии наук. 2002. Т. 382. № 2. С. 199-205.

4. Баркин М.Ю., Перепелкин В.В., Скоробогатых И.В. Небесномеханическая модель вращательного движения Земли и прогноз глобальной составляющей момента импульса атмосферы // Космические исследования. 2012. Т. 50. № 3. С. 271-280.

5. Марков Ю.Г., Перепелкин В.В., Синицын И.Н., Семендяев Н.Н. Вращательно-колебательное движение Земли и глобальная составляющая сейсмического процесса // Доклады Академии наук. 2010. Т. 435. № 3. С. 333-337.

6. Марков Ю.Г., Михайлов М.В., Перепелкин В.В., Почукаев В.Н., Рожков С.Н., Семенов А.С. Анализ влияния различных возмущающих факторов на высокоточный про-

гноз орбит космических аппаратов // Космические исследования. 2016. Т. 54. № 2. С. 164-172. DOI: 10.7868/S0023420615060023

7. Марков Ю.Г., Перепелкин В.В., Крылов С.С. Временные вариации коэффициентов геопотенциала в структуре колебательного процесса полюса Земли // Доклады Академии наук. 2014. Т. 459. № 3. С. 303-308. DOI: 10.7868/S0869565214330111

8. Калниболотский Ю.М., Короткий Е.В. Креативные методы нечеткого моделирования // Электроника и связь. 2009. № 4-5. Тематический выпуск «Электроника и нанотех-нологии». Ч.2. С. 297-302.

9. Леоненков А.В. Нечеткое моделирование в среде MATLAB и fuzzyTECH. СПб.: БХВ-Петербург, 2003. 719 с.

10. Кочина П.Я. Карл Вейерштрасс, 1815-1897. М.: Наука, 1985. 271 с.

11. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. 2-е изд. М.: Мир, 1979. 587 с. [Riesz F., Szokefalvi-Nagy B. Leçons d'analyse fonctionelle. 6. ed. Bdpst: Akademiai Kiado; P.: Gauthier, 1972. 488 p.].

12. Earth Orientation Center. Режим доступа: http://hpiers.obspm.fr/eop-pc/index.php (дата обращения 12.05.2017).

Mathematics & Mathematical

Modelling

Mathematics and Mathematical Madelling of the Bauman MSTU, 2017, no. 03, pp. 1-12.

DOI: 10.24108/mathm.0317.0000064

Eh

"onicjowniol of th

nan MSTl'

Received: Revised:

06.05.2017 20.05.2017

© Bauman Moscow State Technical Unversity

Modeling the Earth's Pole Oscillations Using the Fuzzy Logic and Weierstrass function

A.A. Ochkov1'*, B.G. Vieru2

a o chkovff bmstuju

:Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia 2Moscow Aviation Institute, Moscow, Russia

Keywords: oscillations of the Earth's poles, fuzzy logic methods, Takagi-Sugeno method, Weierstrass function

At present, the study of the Earth and its geometry is of great interest to researchers in various fields of science. A number of studies concerning the Earth motion relative to the center of mass have been carried out. Methods of theoretical and celestial mechanics and mathematical statistics are used to prove that in the main approximation the Earth motion relative to the center of mass - the oscillation of the pole - is the union of two circles with a slow trend of the average position corresponding to the annual and the Chandler components.

The article analyses the existing mathematical model (MM) of the oscillation process of the Earth's pole relative to the center of mass. The relationships of the Earth's pole oscillations relative to the center of mass with time are described by solving the Euler — Liouville differential equations of the celestial mechanics. The unknown coefficients in the equations are found using the numerical least-squares method by processing the daily data from the International Earth Rotation Service (IERS). It was noted that the examined MM does not allow observational data of the IERS to describe adequately the process of oscillations of the Earth's pole for a long time interval (up to 10 years), the discrepancy reaches 20%.

For the first time, a method for describing and predicting the coordinates of the Earth's pole with time has been proposed using the Takagi — Sugeno fuzzy logic method. The developed method was tested for adequacy with the discrepancy of 4% at most over the entire time interval. An approach is proposed to describe the change in the coordinates of the Earth's pole using the first seven terms of the Weierstrass function series. The proposed method has a relatively high discrepancy with the IERS data (from 5 to 50%), but it allows us to describe the process of oscillations of the Earth's pole, as well as the method based on the Takagi — Sugeno fuzzy logic method over a long time interval.

References

1. Akulenko L.D., Markov Yu.G., Perepelkin V.V. A celestial mechanics model of the Earth's rotation. Cosmic Research, 2009, vol. 47, no. 5, pp. 417-425.

DOI: 10.1134/S0010952509050128

2. Klimov D.M., Akulenko L.D., Kumakshev S.A. The main properties and peculiarities of the Earth's motion relative to the center of mass. Doklady Physics, 2014, vol. 59, no. 10, pp. 472-475. DOI: 10.1134/S1028335814100073

3. Akulenko L.D., Kumakshev S.A., Markov Yu.G. Motion of the Earth's pole. Doklady Physics, 2002, vol. 47, no. 1, pp. 78-84. DOI: 10.1134/1.1450668

4. Barkin M.Yu., Perepelkin V.V., Skorobogatykh I.V. A celestial mechanics model the rotational motion of the Earth and forecast of the global component of the angular momentum of the atmosphere. Kosmicheskie issledovaniia [Cosmic Research], 2012, vol. 50, no. 3, pp. 271-280 (in Russian).

5. Markov Yu.G., Perepelkin V.V., Sinitsyn I.N., Semendyaev N.N. Rotational-oscillatory motion of the Earth and the global component of the seismic process. Doklady Physics, 2010, vol. 55, no. 11, pp. 583-587. DOI: 10.1134/S1028335810110121

6. Markov Yu.G., Mikhajlov M.V., PerepelkinV.V., Pochukaev V.N., Rozhkov S.N., Semenov A.S. Analysis of the effect of various disturbing factors on high-precision forecasts of spacecraft orbits. Cosmic Research, 2016, vol. 54, no. 2, pp. 155-163.

DOI: 10.1134/S0010952515060015

7. Markov Yu.G., Perepelkin V.V., Krylov S.S. Time variations of geopotential coefficients in the structure of the oscillatory process of the Earth's pole. Doklady Physics, 2014, vol. 59, no. 11, pp. 544-549. DOI: 10.1134/S1028335814110111

8. Kalnibolotskij Yu.M., Korotkij E.V. Creative methods of fuzzy modeling. Elektronika i sviaz'. Tematicheskij vypusk «Elektronika i nanotekhnologii» [Electronics and communication. Thematic issue "Electronics and nanotechnology"], 2009, no. 4-5, spec. iss., pt. 2, pp. 297-302 (in Russian).

9. Leonenkov A.V. Nechetkoe modelirovanie v srede MATLAB fuzzyTECH [Fuzzy modeling in MATLAB and fuzzyTECH]. S.-Petersburg: BHV-Petesrburg, 2003. 719 p. (in Russian).

10. Kochina P.Ia. Karl Weierstrass, 1815-1897 [Karl Weierstrass, 1815-1897]. Moscow: Nauka Publ., 1985. 271 p. (in Russian).

11. Riesz F., Szokefalvi-Nagy B. Lecons d'analyse fonctionelle. 6. ed. Bdpst: Akademiai Kiado; P.: Gauthier, 1972. (Russ. ed.: Riesz F., Szokefalvi-Nagy B. Lektsii po funktsionalnomu analizu. 2nd ed. Moscow: Mir Publ., 1979. 587 p.).

12. Earth Orientation Center. Available at: http://hpiers.obspm.fr/eop-pc/index.php , accessed 12.05.2017.