Динамический анализ колебательного процесса земного полюса в коротком интервале времени Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.391:521.93

ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА ЗЕМНОГО ПОЛЮСА В КОРОТКОМ ИНТЕРВАЛЕ ВРЕМЕНИ*

© 2014 г. П.С. Нартикоев, В.В. Перепёлкин, Ву Виет Чунг

Нартикоев Павел Сергеевич - кандидат физико-математических наук, доцент, Горский государственный аграрный университет, ул. Кирова, 37, г. Владикавказ, РСО-Алания, 362040, е-mail: [email protected].

Перепёлкин Вадим Владимирович - кандидат физико-математических наук, доцент, Московский авиационный институт, Волоколамское шоссе, 4, г. Москва, 125993, е-mail: [email protected].

Ву Виет Чунг - аспирант, Московский авиационный институт, Волоколамское шоссе, 4, г. Москва, 125993.

Nartikoev Pavel Sergeevich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Gorsky State Agrarian University, Kirov St., 37, Vladikavkaz, North Ossetia-Alania, 362040, Russia, e-mail: [email protected].

Perepyolkin Vadim Vladimirovich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Moscow Aviation Institute, Volokolamskoe Highway, 4, Moscow, 125993, Russia, e-mail: [email protected].

Wu Wiet Tshung - Post-Graduate Student, Moscow Aviation Institute, Volokolamskoe Highway, 4, Moscow, 125993, Russia.

Рассматривается небесно-механическая модель колебательного процесса земного полюса на основе пространственного варианта задачи «деформируемая Земля - Луна» в поле притягивающего центра (Солнца). В модели учитываются как основные возмущения с большими амплитудами, так и более сложные мелкомасштабные свойства движения, обусловленные короткопериодическими возмущениями Луны с комбинационными частотами, подтверждаемыми наблюдениями Международной службы вращения Земли (МСВЗ). На базе астрометрических данных МСВЗ проведено численное моделирование колебаний земного полюса - выбор опорных функций и оценивание неизвестных параметров модели на различных интервалах времени.

Ключевые слова: полюс Земли, прогнозирование, лунно-солнечное возмущение.

In this article, a celestial model of the Earth pole oscillatory process based on the special variant ofproblem «Deforma-ble Earth - Moon» in the field of the attracting center (Sun) is considered. In this model main disturbances of large amplitudes and more complicated small-scale properties of motion due to short-period Moon perturbations with the combinative frequencies, supported by the observation of the International Earth Rotation Service (IERS) are considered. On the basis of IERS astrometry data, the numerical modeling of the Earth pole fluctuations - selection of support functions and estimation of unknown model parameters at different time intervals is accomplished.

Keywords: Earth pole, forecast, lunisolar disturbances.

*Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 13-02-00434 а).

Исследование фундаментальной астрометриче-ской проблемы высокоточной интерполяции и прогноза траектории движения полюса Земли и построения адекватной теоретической модели многочастотного процесса его колебаний представляет интерес в естественно-научном и прикладном аспектах. В связи с модернизацией и развитием отечественной навигационной системы ГЛОНАСС актуальным является достижение высоких точностей координатно-временного и навигационного обеспечения наземных (стационарных и подвижных), а также движущихся в околоземном пространстве объектов. Эта прикладная задача непосредственно связана с фундаментальной проблемой определения параметров вращения Земли, т.е. колебаниями полюса и прогноза его движения как на длительном (1-2 года), так и на относительно коротком (20-30 сут) интервалах времени.

Уравнения колебательного движения земного полюса

Для уточнения координатно-временного обеспечения в задачах спутниковой навигации существенное значение имеет высокоточный прогноз движения земного полюса на коротких интервалах времени (от 1-2 до 20-30 сут). Построение теоретической модели осуществляется на основе поиска компромисса между сложностью модели и точностью измерений. Модель должна быть качественно и количественно согласована с астрометрическими данными наблюдений МСВЗ [1] и содержать небольшое число существенных неизвестных параметров (малопараметрическая модель), подверженных малым вариациям вследствие нестационарности возмущающих факторов. Эти факторы могут быть выделены и учтены на коротких интервалах времени. При этом проводятся тщательный анализ состава базисных функций, их числа и настройка параметров.

Для построения упрощенной математической модели колебательного процесса земного полюса первого приближения рассматриваются классические динамические уравнения Эйлера - Лиувилля с переменным тензором инерции J [2 - 4]. На основе оценок амплитуд различных составляющих многочастотного колебательного процесса с помощью спектрального анализа данных наблюдений МСВЗ [1] и, формально вводя малый параметр е , компоненты гравитационно-приливных моментов сил ЫБ'Ь (£ - Солнце; Ь -Луна) представляются в виде

К* = M'pq +еМР1 + •••;

Kq = м™+SMLpq + ••••

(i)

Согласно [2], дифференциальные уравнения Эйлера - Лиувилля для координат земного полюса х , у

в связанной с Землей (ГГКР) системе координат имеют вид [2 - 6]

+ Nyp +&xXp = k*r0 + мр ■L +

+£

2r0Sr(f)kq + r02X A cos(2^,.r + a,.) + AMspL (Qm , I)

dyp ЛТ ,2

—p - Nxp + a y = ~kpr0 +M*

dt

(2)

+s

-2r0Sr(t)kp + r0 £Bt cos(2^,.r + ßt) + AMsqL (Qm ,I)

Здесь неизвестные коэффициенты подлежат определению на основе данных наблюдений МСВЗ с помощью метода наименьших квадратов (МНК) [7]; r(t) - скорость осевого вращения Земли; Г = 7,292115х 1Сг5 рад/с; N = 0,845 ^0,850 - чандле-ровская частота; 3i - частоты, определяющие колебания вариаций тензора инерции (подразумевается, что набор частот 3j может быть эмпирически скорректирован в ходе численного моделирования) [4]; приливные коэффициенты kpq представляются периодическими функциями с частотами 3j; величины AMSp L (QM, I) - дополнительные слагаемые удельного лунно-солнечного гравитационно-приливного момента пространственного варианта задачи система «Земля - Луна» в поле притяжения Солнца [6]; QM -долгота восходящего узла лунной орбиты; I - наклонение плоскости лунной орбиты к эклиптике. Квазипостоянные коэффициенты ах, а характеризует

малую диссипацию. Необходимость учета с возникает при анализе квазирезонансных колебаний чанд-леровской составляющей, амплитуда которой весьма чувствительна к с . Этот резонансный эффект позволяет объяснить основные свойства чандлеровской компоненты в колебании полюса Земли; Sr(t) - вариации угловой скорости осевого вращения Земли.

Для p и q после усреднения по быстрой фазе ф приходим к упрощенной аналитической модели вида p + NLpq = Kqr2 + 3Ью*xp cosv ,

2n

N,

' N = ■

¡0,84®,,

(3)

q -N*p = -Kpr2 -3b®,2х* cosv ; p(0) = p0, q(0) = *.

Здесь кр, Kq - средние значения ,

B

J SJ„

A'

ко-

торые могут быть медленными функциями. Величины XP, Xq получаются в результате усреднения по ф коэффициентов при cosv в компонентах момента гравитационных сил от Солнца; они обусловлены суточными приливами. Моменты сил гравитации от

Луны не учитываются из-за относительной малости их влияния на нутационные колебания.

Модели основных компонент колебаний полюса и неравномерности осевого вращения Земли, адекватной наблюдениям, основаны на совместном учете орбитального движения и гравитационно-приливного воздействия Солнца и Луны [2, 4]. Предлагаемая реализация динамической модели колебательного процесса земного полюса содержит небольшое число параметров (малопараметрическая модель), определяемых из наблюдений, и позволяет статистически надежно интерпретировать существенные характеристики колебаний параметров вращения Земли и давать достаточно точный прогноз на сравнительно большие интервалы времени (до нескольких лет).

Интегрируя уравнения (2) при е=0, получаем кинематические уравнения Эйлера, задающие ориентацию связанных осей относительно орбитальной системы координат, имеющие вид

q = p cosф-q sin (v)sin^,

v = a0v = a (1 + e cos v) p sin^ + q cos

(4)

¥ = -

sinö

-a0(v)ctg 6cosy, e = 0,0167,

cos^

ф = r - (p sin ф + q cos <f>)ctge + a0 (v) —

sine

Здесь v(/) - истинная аномалия; e - эксцентриситет орбиты; a, - постоянная, определяемая гравитационным и фокальным параметрами. При исследовании уравнения (4) в ситуации, отвечающей движению полюса, пропорциональные со0 члены уравнений (4) оказываются существенно большими по сравнению с p, q (приблизительно в 300 раз) и определяющими

для в, ф . В научной литературе это важное свойство не отмечено, а указанные выше члены необоснованно отбрасывались.

Структура выражений для компонент момента сил гравитации от Солнца имеет вид [8]

Mq = 3a2[(A' + ÖA - (С + SC))Yr7p + +SJ у у + SJ (у2 - у2)-SJ у у 1,

pq! r! q pr^-t r I p' rpt pt q J >

(5)

a =a (1 + e cosy) ,

у = sinвsinф , yq= sinвcosф, yr= cose. Для вычисления r в (5) делается циклическая перестановка индексов p, q , r. Из анализа (5) следует, что годичная компонента колебаний полюса может быть обусловлена слагаемым, содержащим произведения направляющих косинусов уруг и у у.

Для их вычисления в первом приближении интегрируются уравнения (4):

r=r0, фк rt + ф0, v^aj + v0, cos^(v) = ,

(9(0) = <9° =66°33\ 0,4<я<1, 0<\f/° <2тг, (6) cos0sin0 = Ъ(0°,^o)cosv + dcos3v +...,

4

0,4 < b <-ж-, d \< 1.

3

Вторая и более высокие гармоники по v приводят к величинам меньше основных в 102-103 раз и поэтому не учитываются. Величина В* - А* также существенно меньше, чем C* - A* (приблизительно в 160 раз).

Выражения основной модели колебаний полюса имеют вид

x (г) = сх (г) - a cos IkNt + aS sin 2жИт --Ndcx cos 2ж - dSy sin 2жг, (7)

ур (г) = су (г) + acy cos 27íNt + asy sin 2nNr --Ndcy cos 2жг + dsy sin 2жг .

Здесь величина N чандлеровской частоты колебаний полюса выбирается на основе дисперсионного анализа; с( }(г) = с°у + сууг +...; неизвестные acx,sy,

0 1 icy

с°у , dx' - величины, подлежащие вычислению с помощью МНК [7] по измерениям МСВЗ [1]. Аргумент г в (7) измеряется стандартными годами. При определении коэффициентов axy, asyc, dxy , dус следует иметь в виду равенства acx'y к asy с, dcxy к dy с, являющиеся структурным свойством модели. Это также означает, что процессы x и ур связаны, что следует учитывать при статистической обработке измерений.

Численное моделирование (интерполяция и прогноз) движения полюса Земли на коротком интервале времени

Изложим результаты расчетов на основе процедуры МНК [7], который применялся как независимо к переменным x (г) и у (г) согласно (7), так и с учетом структурных свойств модели. Введенный параметр сху(г) может подвергаться коррекции согласно выражению с ,(г) = с0 + с\у г+... В ходе численного моделирования выражения для x (г), ур (г) (7) записываются в виде X, (г) = (#, f (г)), у, (г) = {п, f (г)),

# = (£,£,...,&)г ,Л = (Л1,Ъ,...,Л6)Т, (8)

f (г) = (1,г,cos2жг,sin2жг,cos2жNг,sin2жNг)T, где - векторы неизвестных коэффициентов; f (г) - вектор опорных функций.

Из теории фильтрации случайных временных последовательностей [7] общеизвестно, что оптимальная оценка измеряемых случайных процессов есть результат компромисса между динамической (точность модели) и стохастической (точность измерений) ошибками. Длительность интервала интерполяции,

2

т.е. число обрабатываемых измерений, выбирается из условия минимума суммарной ошибки при заданном наборе небольшого числа опорных функций.

Для реальной ситуации, отвечающей современным данным МСВЗ, повышение точности краткосрочного прогноза достигается в рамках малопараметрической модели (7) за счет уменьшения числа обрабатываемых ежедневных измерений - длительности интервала интерполяции и учета структурного свойства. Это обусловлено уменьшением динамической ошибки аппроксимации процесса и сравнительно высокой точностью измерений.

Приведем графическое сравнение результатов численного моделирования и оценок параметров движения полюса для моделей с различным количеством неизвестных коэффициентов. Расчеты проводились на основе МНК [7] в соответствии с: 6-параметрической

(с, (г) = с:, су (г) = е°у ; с? = с?, йГ = ); 8-параметрической

(с, (г) = с0 + сГ, Су (г) = с0 + ^г, = сс/, й/ = ); 10-параметрической

(с, (г) = с0, су (г) = с0 ; сс;' * сс;5, ' * '); 12-параметрической

/ /" \ 0 , 1 „ „0 , „1 _ с,5 с,5 1€,5 7с,5 \

(с, (г) = с, + с хг, су (г) = су + суг, сс * с; , й; * й; )

моделями и полиномиальным фильтром

(с, (г) = с0 + ¿хг + с2г2, су (г) = с^ + суг + с2г2).

В таблице приведены среднеквадратические отклонения (СКО) теоретических прогнозов траектории движения полюса на коротких интервалах времени, построенных с помощью моделей с различным числом параметров. Значения переменных , , у измеряются в угловых секундах (0,1"=3,15 [м]). Расчеты показывают, что шестипараметрическая модель дает надежные прогнозы на коротком интервале времени (15-40 сут). Точность прогнозирования на 40 сут составляет 0,012 угл.с (37,5 см).

На рис. 1 показан график значений СКО построенных прогнозов (с января 2001 по март 2012 г.). Из проведенного численного моделирования следует, что наибольшая точность прогнозирования достигается при использовании шестипараметрической модели на коротком интервале времени.

На рис. 2 приводится прогноз на 30 сут колебаний земного полюса, построенный с помощью теоретических моделей согласно трехмесячной интерполяции его траектории (с 01.02.2012 по 30.04.2012).

На рис. 3 изображена траектория движения полюса Земли в сравнении с данными наблюдений и измерений МСВЗ [1] (интерполяция с 01.02.2003 по 15.04.2003 и прогноз на 30 сут).

Среднеквадратические отклонения теоретических прогнозов траектории движения полюса

Периоды расчетов Единица измерений Полиномиальный фильтр 6-парамет-рическая модель 8-парамет-рическая модель 10-парамет-рическая модель 12-парамет-рическая модель

Прогноз на 15 сут (двухмесячная интерполяция) угл. с 0,0097 0,0079 0,0107 0,0138 0,0137

см 30,58 24,79 33,80 43,61 43,29

Прогноз на 30 сут (интерполяция на 2,5 месяца) угл. с 0,0184 0,0110 0,0217 0,0415 0,1265

см 58,11 34,58 68,29 130,61 398,51

Прогноз на 40 сут (трехмесячная интерполяция) угл. с 0,0302 0,0119 0,0290 0,0553 0,1964

см 95,01 37,44 91,35 174,07 618,70

dQ.

1 2

3 ns

Моделирование высокочастотных колебаний земного полюса

Построение динамических моделей мелкомасштабных высокочастотных колебаний полюса Земли на коротких интервалах времени с целью получения прогноза, а также объяснения наблюдаемых нерегу-лярностей представляет значительные трудности.

Ниже рассматриваются аспекты моделирования колебаний земного полюса на основе небесно -механического подхода - пространственного варианта задачи система «Земля-Луна» в поле притяжения Солнца.

Уравнения возмущенного движения узла лунной орбиты и наклонения I плоскости лунной орбиты к эклиптике имеют вид [6]

dt

4 n

[1 - cos 2(lM - QM) - cos 2(lS - QM) + cos 2Л], (9)

■m

3_ni_ dt 4

sinI[sin2(lS -QM) -sin2(lM -QM) + sin22].

м

Здесь пм, щ - сидерические средние движения Луны и Солнца соответственно. Периодические колебания наклона плоскости к эклиптике совершаются с периодом 18,61 года; /м, - средние долготы Луны и Солнца; /м - угол между Луной и восходящим узлом лунной орбиты; X = (пм - пБ ) t + X - приближенно разность долгот Луны и Солнца. X не является линейной функцией времени, поскольку среднее значение п подвергается по крайней мере периодическим изменениям. Данные наблюдений позволяют определить аргумент вариации 2Х .

СКО

0,7

0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

02-2005

03-2006

03-2007

04-200«.

03-20W

Время I мссаи-гш)

05-2010

03-201I______

03-2012

Номер модели

Рис. 1. Среднеквадратические отклонения теоретических моделей на интервале времени 2001-2012 гг.: 1 - полиномиальный фильтр; 2 - 6-параметрическая модель; 3 - 8-параметрическая модель; 4 - 10-параметрическая модель; 5 - 12-параметрическая модель

♦ данные наблюдения МСВЗ - -1-1—i-»trrnTr

: б-шрамстрнчсспа модель | о К-плрямотричкюа мидели

■ lO-iMpaMopNWVkM Mujru

Рис. 2. Прогноз координат земного полюса на 30 сут

* ПОЛН1ЮМНШ1М1МЙ фИЛЬТр О Ммрямсгричсскм молсль о в-трамстркчески мо к п. * 10-аарам«рткшя моле.'«. 0 12-нараме1рич<х'м« молсль ♦ .мииые ииСишлениН и юмеремнн М< ИI

Рис. 3. Интерполяция траектории земного полюса (с 01.02.2012 по 30.04.2012) и прогноз на 30 сут

В правых частях (9) совместно с долгопериодиче-скими присутствуют короткопериодические члены, которые дают слагаемые с весьма малыми амплитудами. Заметим, что период членов с аргументом

2 (X - (1М - )) = -2 - ) составляет 173 сут

(время между двумя последовательными прохождениями Солнца через линию узлов). Поскольку узлы орбит Солнца и Луны обращаются в противоположных направлениях, этот период оказывается немного меньше 6 мес. Члены с аргументами 2Х и 2 (1М -^м) имеют периоды, равные половине синодического периода (Тм = 29,53 сут) и половине драконического периода (Та= 27,21 сут) соответственно. Драко-

нический период обращения Луны в основном определяет изменение широты Луны.

Из спектрального анализа рядов наблюдений параметров вращения Земли следует наличие стабильной высокочастотной гармоники с аргументом (2Х+ М) и периодом 9,56 сут, где М - средняя аномалия Луны, на которую влияют изменения средней долготы и смещения перигея. Периодическое возмущение (2Х - М) представляет собой эвекцию, период которой соответствует 31,81 сут.

Прецессионное движение и малые вариации наклонения плоскости лунной орбиты приводят к дополнительному возмущению основной

составляющей колебаний полюса - чандлеровской комЛляенЕна высокочастотных лунных гармоник рассматриваются уточненные уравнения колебательного движения полюса с учетом слагаемых в правых частях уравнений (2), содержащих малый параметр е й Дт

dt

-+NAyp =

(10)

= s

2 r0Sr(t)kq + r02 £ 4 cos(2^t + «,) + AMf (QM, /)

d Ay

—Р - ЖДг =

Л Р

N

-2г08г{1)кр + г02со8(2^.г + Д) + Ш™ (Пм,/)

<=1

, = ж + Дг , у = у + Ду .

р р р > у р у р ур

Здесь , , ур - решение основной модели (7); Д^р, Дур - дополнительные слагаемые в координатах земного полюса, учитывающие лунные возмущения; Д , В, а, Р - неизвестные коэффициенты; ДМ^ -

слагаемые более высокой степени малости в разложении лунно-солнечного гравитационно-приливного момента пространственного варианта данной задачи.

Опуская выражения с частотами 31 и слагаемые с 8т(^, решение Дк (для Дур аналогично) уравнений (10) представляется в виде

Д*Р (г) = С + с' + (Ъсх + Ъ' )со$,(2жутг + ат), (11)

где ссх , с', Ъх , Ъ' содержат комбинационные (косинусы и синусы соответственно) гармоники пространственного варианта задачи. Например, ссх=Цх [(2;^ - 2ух )г) + 2сов(2ж(2у/ - 2ух )г)] +

+цсх ссс$(2ж(2у1 - 2уа )г) + ^ сс«(2^(2ух - 2уа )г); (12)

Ъ = С [(2^ -2гх)г) + 2сссъ(2я:(2у/ -2ух)г)] .

Здесь у8= 1, уа= 0,05373, у = 26,73 (циклов в

год); ¿¡с , С*, ¡'х - амплитуды колебаний, определяемые из наблюдений. Следует отметить, что

= 2(у+у), где у - частота, соответствующая циклическому движению перигея орбиты Луны.

Проведенные численные расчеты согласно основной модели (7) позволяют сделать вывод, что наиболее высокая точность интерполяции достигается обычно в средней части интервала. Это свойство присуще методу наименьших квадратов и общеизвестно. В частности, теоретически его можно установить в случае полиномиальной фильтрации [7]. Поэтому повышение точности прогноза на коротком интервале, примыкающем к концу интервала интерполяции, может быть достигнуто введением «весовых» коэффициентов в алгоритме МНК и их относительным увеличением к концу интервала.

Эффект от учета модели высокочастотных колебаний (10) наиболее наглядно заметен на явлении биения (во время минимальной амплитуды колебаний полюса), когда «нерегулярные» возмущения оказываются более явными и лучше выделяются на общем фоне. Наилучший результат прогнозирования достигается с учетом короткопериодических лунных возмущений (11), (12) и выражений с частотами 5.. Данный подход требует

проведения детального анализа характеристик колебаний как основной, так и высокочастотной моделей на интервалах интерполяции с помощью МНК [7].

На рис. 4 представлена полодия (траектория полюса), соответствующая интервалам времени 01.01.201106.12.2011 и 01.01.2012-28.05.2012 в сравнении с данными наблюдений МСВЗ.

Теоретическая кривая (сплошные линии) состоят из последовательных 20-суточных прогнозов координат земного полюса на 2011 г. и последовательных прогнозов на интервалы времени 18, 25, 35, 35, 35 сут на 2012 г. Для построения теоретической кривой прогноза в первую очередь оценивались параметры основной модели с помощью взвешенного метода наименьших квадратов [6] на корректируемом интервале интерполяции. Параметры высокочастотных компонент модели (2) и коррекция частот 5. оцениваются

на коротком интервале времени, непосредственно примыкающем к прогнозируемому интервалу (то есть интерполяция заканчивается текущей датой). Средне-

квадратические отклонения составной теоретической кривой прогноза на 2011 г. основной модели ст и расши-

ренной ах

равны: их =4,99 -10"5

а =1,36-10~5, а = 3,45-10~5, а = 9,6-10~5.

ух у

Авторы выражают благодарность за оказанную поддержку ректору ГГАУ профессору Виктору Хамицевичу Те-мираеву.

Литература

1. IERS Annual Reports. URL: http://www.iers.org (дата обращения: 03.05.2014).

2. Акуленко Л.Д., Кумакшев С.А., Марков Ю.Г., Рыхлова Л.В. Гравитационно-приливной механизм колебаний полюса Земли // Астрон. журн. 2005. Т. 82, № 10. С. 950 - 960.

3. Акуленко Л.Д., Кумакшев С.А., Марков Ю.Г. Движение полюса Земли // Докл. АН. 2002. Т. 382, № 2. С. 199 - 205.

4. Акуленко Л.Д., Марков Ю.Г., Пере-пёлкин В.В., Рыхлова Л.В. Неравномерности вращения Земли и глобальная составляющая момента импульса атмосферы // Ас-трон. журн. 2010. Т. 87, № 9. С. 935-944.

5. Акуленко Л.Д., Марков Ю.Г., Пере-пёлкин В.В. Динамический анализ тонких эффектов приливной неравномерности вращения Земли // Докл. РАН. 2011. Т. 436, № 1. С. 38 - 42.

6. Акуленко Л.Д., Марков Ю.Г., Перепёлкин В.В. Моделирование вращательно-колебательных движений Земли в коротком интервале времени (Интерполяция и прогноз) // Докл. РАН. 2011. Т. 438, № 3. С. 326 - 331.

7. Губанов В.С. Обобщённый метод наименьших квадратов. Теория и применение в астрометрии. СПб., 1997. 318 с.

Рис. 4. Сплошная линия - 20-суточные прогнозы траектории полюса Земли, соответствующие интервалу времени 01.01.2011-06.12.2011, и прогнозы на интервал времени 01.01.2012-28.05.2012; точки - данные наблюдений и измерений МСВЗ

8. Бондаренко В.В., Марков Ю.Г., Скоробогатых И.В. О тенденции к соизмеримости вращений и средних движений небесных тел под действием гравитационных приливов // Астрон. вести. 1998. Т. 32, № 4. С. 340 - 351.

9. Нартикоев П.С., Перепелкин В.В. Моделирование и прогноз вращательно-колебательных движений деформированной Земли вокруг центра масс // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2010. № 2. С. 45 - 49.

Поступила в редакцию

11 июля 2014 г