CC BY
25
5. Платонов М. Л. Обращение формулы Бруно // Исследования по геомагнетизму, аэрономии и физике Солнца. Вып. 35. М. : Наука, 1975. С. 32-38.
6. Трофимов И. Л., Стенников В. А. Способ представления и обработки статистической информации по тепловым электростанциям России // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование, 2012. № 3 (35). С. 104-108.
УДК 531.3:681.5.01:658.5 Гозбенко Валерий Ерофеевич,
д. т. н., профессор, кафедра «Математика», Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. (3952) 638-357, e-mail: vgozbenko@yandex.ru Каргапольцев Сергей Константинович, д. т. н., профессор, проректор по научной работе, Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. (3952) 638-304, e-mail: kck@irgups.ru Банина Нина Валериевна, к. т. н., доцент, кафедра «Математика», Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. (3952) 638-357, e-mail: e-mail : vgozbenko@yandex.ru Ахмадеева Алла Абдулваровна, аспирант, Иркутский государственный университет путей сообщения тел. (3952) 638-357, e-mail: vgozbenko@yandex.ru
МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ ПОДВИЖНОГО СОСТАВА
ЖЕЛЕЗНЫХ ДОРОГ
V.E. Gozbenko, S.K. Kargapolcev, N. V. Banina, A.A. Akhmadeeva
TRANSPORT SYSTEMS OSCILLATIONS MODELLING
Аннотация. Рассматриваются подходы к решению задач математического моделирования транспортных объектов. Предложенный подход, основанный на методах структурной декомпозиции объектов и выборе исходных моделей, отражающих основные энергетические и динамические свойства объектов, позволил получить соотношения, позволяющие оценить снижение амплитуды колебаний и режим полного гашения колебаний. Данный подход можно рассматривать как методологию развития процесса усложнения исходных моделей от одномерных к многомерным с редукцией до задач пространственной виброзащиты и виброизоляции.
Ключевые слова: моделирование, виброзащита, транспортная система, динамические свойства, кинематическое возмущение, амплитуда, кинетическая энергия, потенциальная энергия.
Abstract. Approaches to solving a problem of transport installations mathematical modeling are observed. The suggested approach based on methods of structural decomposition of installations and sampling of initial models, reflecting the basic power and dynamic properties of installations has allowed to gain the relationships, allowing to size up decrease of an amplitude of oscillation and a regime offull clearing of oscillations. The given approach can be ob-
served as methodology of developing the process of initial models thickening from one-dimensional to many-dimensional with a reduction to problems of space vibroprotection and vibration insulations.
Keywords: modelling, vibroprotection, transport system, dynamic properties, kinematic perturbation, amplitude, kinetic energy, potential energy.
Введение
При моделировании транспортной системы, состоящей из отдельных элементов, связанных определенным образом между собой, существенным вопросом является выбор базовой структуры. Так, например, механической моделью вертикальных колебаний рельсового экипажа может служить механическая колебательная система с десятью степенями свободы, представленная на рис. 1 [1].
В качестве обобщенных координат приняты: вертикальные перемещения (подпрыгивания) кузова zz и тележек zn и zr2 ; углы поворотов при продольной качке (галопирования) кузова ф ^ и тележек ф Г1 и ф^Г2 ; вертикальные перемещения букс соответствующих колесных пар Zj, z2, z3, z4. c и c2 жесткости соответствующих рессор.
Рис. 1. Механическая модель колебаний рельсового экипажа
В этой модели учитывается деформация пути и подрельсового основания, и она рассматривается как единая динамическая система: экипаж -рельсовый путь - основание. Рельсовый путь считается упругим, и его жесткость под каждой колесной парой равна ся. В точках Ъх, Ъ2, Ъ3, Ъ4 в результате неровности пути возникают соответствующие кинематические возмущения y (t),
У2 (t) , Уз (t), У4 (t) , причем
У i (t) = y (t + 8 ) — H sin (cot + ei), i — 1, 4, где
8 — 0, s2 =
2a
T
83—
2a
K
84 =-
2 (aK + aT )
V ' V V
V - скорость перемещения кузова вдоль пути, 2ак , 2яг - расстояния между точками крепления рессор соответственно к кузову и тележкам.
Принятые допущения
Если не считать путь упругим, то система будет иметь шесть степеней свободы, так как ко-
лесные пары будут считаться безмассовыми. Отметим также, что модели грузовых вагонов, как правило, не учитывают рессорного соединения тележек и колесных пар [2].
Для анализа динамических свойств вертикальных колебаний транспортного экипажа часто используется более простая механическая система с четырьмя степенями свободы (рис. 2).
Путь 2 считается абсолютно твердым, а yz(t), i —1,2 - неровности пути под соответствующими колесными парами 1. Возмущения, передаваемые на систему и вызванные неровностями пути, являются детерминированными гармоническими, причем yi(t) = Я sin ct, а y2(t) = Я sin (ct + 8). В качестве обобщенных координат возьмем вертикальные перемещения центра масс z(t) балки массой M (кузова), а также угол ее поворота относительно её оси - ф (t) (галопирование), координаты x1(t) и x2(t) - вертикальные перемещения масс mi и m (тележек), c¡j, i —1,2, j —1,2 - жесткости соответствующих упругих соединений.
Вывод уравнений движения
Кинетическая энергия данной системы при условии, что угловые перемещения малы (sinф&ф), определяется как
T = Mz- .1ф2 | у mkx]
2 2 tí 2 '
( L +1 )2
где J =---M , а потенциальная энергия как
п=С„ (X, - y )2 + с!2 (z + 1ф- Хг )2 + 2 2
, с21 (x2 - у 2 )2 , с22 (z - ф-x2 )2
2 2 Уравнения Лагранжа 2-го рода, описывающие движения такой системы, имеют вид
Ш + (с12 + с22) 2 + (с12/ - с221) ф
С12 Х1
—с22х2 — О,
J(f> + {cl2l- cj )z + (cl2f-+ c22f ) ф -
C12lX1 C22lX2 = 0,
(1)
™ixi-cnz-cnl<P + {cn + cu)xi =сиУг
+ С22ф + ( C22 + C21 ) X2 = C2iy2'
Тогда система (1) примет вид:
\Mz + (с, + с2) z +1 (с, - с2) ф = с,ух + с2у2, + - о,) z + /2 (q + с^ф = cj/yj -сп1уп.
(2)
П12Х2 С221 + с22.
Для анализа вертикальных колебаний кузова предположим, что массы m1 и m2 по сравнению с массой кузова M малы и ими можно пренебречь [5]. Тогда Х = 0, Х2 = 0, и жесткости упругих соединений кузова с колесными парами соответ-
С11С12 С21С22 ственно будут равны с = —11 12 и с = —21 22 .
C11 + C12
C21 + C22
Структурная схема рассматриваемой системы представлена на рис. 3.
Отметим несколько особенностей представленной модели. Во-первых, система состоит из двух парциальных подсистем, выходы которых соответственно определяют смещение центра масс z и угол поворота объекта ф относительно центра масс. При данном выборе системы обобщенных координат для описания движения парциальные подсистемы имеют упругие связи взаимодействия. Если выполняется условие
(c - c2)l = 0, (3)
то исходная система распадается на две подсистемы; движение в каждой из них считается автономным. Во-вторых, в данном случае не учтены силы трения: их учет делает «развязку» на подсистемы невозможной.
Исследование динамических свойств
Исследуем динамические свойства механической модели рельсового экипажа, а именно влияние фазового сдвига между внешними воздействиями на изменение свойств её амплитуд подпрыгивания и галопирования.
Решения системы (2) имеют вид [3, 4, 6]:
\z = E sin (at + 0); I ф = D sin (at + a),
(4)
Рис. 3. Структурная схема модели транспортного экипажа
где
Es=n =
Л2 (k32-®2)-АА ], (13)
D = — 1А2 (А2 -а2)- A,k4]2 + [52 (k,2 -a2)-B1k4J ;(5) Z0
E = 1J[А,(A3-a2)-A2k2]2 +[B(А2-a2)-B2k2]2 ;(6) Z0
B, (k2-а2)-B2k2
А, (k3 -а2)- А~^2' B (k¡ -а2)-Bk4
tga =
А (k2 - а2) - Ajk4
А=о =-z,
0
E = 1
Es=0 =
где А,, =
H (C, + C2 ) M
A21 (kl2 -а2 )- A11k4
A21 (k3 - а ) - A21k2 lH (q - C2)
И A2i =
M p2
Ds=„= -
A22 (k1 а ) A12k4
где A12 =
H (q - C2)
M
Вводя обозначения
И A22 =
lH (с, + C2) M p2
(7)
(8)
z, =
Z2 =
cH
(
M
c2 H
M
ko а ~ k-y
. p
kl - а2 +—-k2
P
получаем:
В этих формулах: A =(cfl + c2H coss) /M; B =(c2H sins) /M;
A = (cJH - c2lH cos s) / M p2;
B = (c2lH sin s) / Mp2; (9)
zo =(k,2 -а2)(Аз2 -а2)-k2k4; k¡ = (с, + С2)/M ;
k2 = (ql, - C2I) /M;
k2 = (ql2 + c2l2) / (Mp2); k4 = k2 / p2.
Проанализируем изменение амплитуды E колебаний массы M (кузова) и амплитуды галопирования D в зависимости от величины частоты а внешних воздействий y (t )= H sin G)t
и У г (t )= H sin (ot + s) и значения фазового сдвига s между ними.
Если фаза s = 0, то B = 0 и B2 = 0, и из равенств (5) и (6) имеем:
л U-" — т' I— Л L
s ^0, s ^ж
E = [ z + z2 cos s]2 + [ z2 sin s]2
_[Z, + Z2 ] . Z2 '
[ Z, - Z2 ]
Es=0 =J
(14)
при
(15)
Е£=Ж = ' 2
Анализ выражений (15) показывает, что в рассматриваемой системе в случае £ = 0 существует режим динамического гашения колебаний кузова
аг =
i
2 (С, - С2 ) l k
k3 / , 4 2 k2 '
(С + C2 )p
а при всех остальных значениях £ в качестве режима гашения берется значение частоты внешних возмущений, при которой достигается минимум амплитуды подпрыгиваний Е. При всех возможных значениях фазового сдвига £ между внешни-возмущениями у (7) и у2 (7) , действующими
ми
(10) (11)
на систему, существует два режима резонанса:
а
рез,,2
1
k2 + k¡+ J(k2 - k2) + 4k2k4
2
Если фаза £ = ж, то В = 0 и В = 0, и формулы (5) и (6) перепишутся следующим образом:
Характер изменения амплитуды Е в зависимости от значений величин с и £ показан на рис. 4 и 5.
Г2 Т~
На этих рисунках щ = к3--- «2 ,
V Р
(12)
а2 = J*3 +-^2 k2 , Ь0 =
V
A,,k3 A2,k2
k| k^ k 2 k^
z
0
z
0
z
0
иркутским государственный университет путей сообщения
Рис. 4. Амплитуда вертикальных колебаний центра масс кузова Е(ш, в)
Ек
при С - С2 > 0 : а) В = 0 ; б) В Ф 0, В Ф Я
рез2 СО2
Рис. 5. Амплитуда вертикальных колебаний центра масс кузова Е(ш, в) при С - С2 > 0 : а) В = Я; б) В Ф 0, В Ф Я
Ь
А^к] - Ак2] 2 +[В, к: - Вк2]
к| к^ к2к4
I
Если с - с2 < 0, то ш1 = I къ +—- к2
и
Ш2 = 4 к3
Р2
2 к2 •
действиями приводит к появлению ряда особенностей:
1) отсутствие фазового сдвига между внешними возмущениями приводит к снижению амплитуды колебаний в частотном диапазоне
) и появлению режима гашения колебаний
шг е (шш);
2) если фазовый сдвиг равен я , то полного гашения колебаний не наступает, и в частотном
Проведенные исследования показали, что наличие в рассматриваемой колебательной систе- диапазоне (0,ш) ^ (ш2, происходит сниже-ме фазового сдвига между возмущающими воз- ние амплитуды колебаний;
2
3) в случае, когда £ Ф 0, £ Ф ж, не существует режимов полного гашения колебаний. Аналогично, вводя обозначения
(/(к1 "С2) " к2),
М р с2 Н М р2
(/(к'2 "С2) + к2), (16)
перепишем формулы для определения амплитуды галопирования (4.5), (4.10) и (4.12) в новых обо-
значениях:
В =
" 22 С0Б£] +[22 б1П£]
£ Ф 0, £ Ф ж;
В£=0 =
—V[ 21"22 ]2;
В£=ж= [22 + 22]2.
Заключение
Изучение изменения амплитуды галопирования В в зависимости от значений частоты внешних воздействий со и величины фазового сдвига между внешними возмущениями с использованием выражений (17) приводит к следующим выводам:
1) отсутствие фазового сдвига между внешними возмущениями приводит к снижению амплитуды колебаний в частотном диапазоне
(0, щ'(сС, ,
где
С = л к1 "
2 "-2
/
С = Лк'2 + у- при С' > с2 и щ=Лк2 + у ,
с2 = ^к'2" у пРи С < С2;
2) если фазовый сдвиг равен ж, то существует режим полного гашения колебаний
< 112 (С1 С) к2 со = ¡к--и в частотном диапазоне
V (С1 + С2)/
при
(17)
(щ, щ) происходит снижение амплитуды колебаний, при этом щ е (С, С);
3) в случае, когда £ Ф 0, £ Ф ж, не существует режимов полного гашения колебаний;
4) значения величин резонансных частот будут точно такими же, как и для подпрыгиваний кузова.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лазарян В. А. Динамика транспортных средств // Избранные труды. Киев : Наукова думка, 1985. 528 с.
2. Ахмадеева А. А., Гозбенко В. Е. Рациональное задание числа степеней свободы динамической модели грузового вагона // Системы. Методы. Технологии. 2011. № 4(12). С. 25-28.
3. Банина Н. В. Особенности поведения двумерной механической колебательной системы при фазовом сдвиге возмущений // Моделирование технических и природных систем : труды XIII Байкал. междунар. школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения», (Иркутск, 2005). Т 5. Иркутск : ИСЭМ СО РАН, 2005. С.31-37.
4. Гозбенко В. Е. Методы управления динамикой механических систем на основе вибрационных полей и инерционных связей : монография. М. : Машиностроение, 2004. 368 с.
5. Ахмадеева А. А., Гозбенко В. Е. Динамические свойства вагона с двухступенчатым рессорным подвешиванием // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2010. № 3(27). С. 60-69.
6. Ахмадеева А. А., Гозбенко В. Е. Определение главных координат вагона с двухступенчатым рессорным подвешиванием // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2011. № 4(32). С. 71-76.
0
0
