Моделирование и рациональное управление системами водоснабжения при минимальном объеме оперативной информации Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.5.015:628.21

МОДЕЛИРОВАНИЕ И РАЦИОНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СИСТЕМАМИ ВОДОСНАБЖЕНИЯ ПРИ МИНИМАЛЬНОМ ОБЪЕМЕ ОПЕРАТИВНОЙ ИНФОРМАЦИИ

дядюн с.в._____________________________

Предлагается подход к решению проблемы повышения качества и эффективности функционирования систем водоснабжения на основе реально имеющегося объема и состава оперативной информации об управляемом объекте. Его суть состоит в построении и использовании агрегированных моделей СПРВ. Анализируются возможности и эффективность их применения на практике.

Для реальных систем подачи и распределения воды (СПРВ), характеризующихся большой размерностью и сложной сетевой структурой, наиболее типична ситуация, когда вследствие огромного количества переменных СПРВ условия ее наблюдаемости и идентифицируемости [I] не выполняются, а имеется лишь некоторый минимум оперативной информации о состоянии объекта. Даже если бы удалось преодолеть технологический барьер, связанный с невозможностью установления датчиков расхода и давления во всех необходимых точках на сети, то стоимость технических средств по сбору информации и затраты на их реализацию намного превысили бы экономический эффект от внедрения системы оперативного управления технологическими процессами функционирования СПРВ. Выходом из такого положения является огрубление используемой математической модели СПРВ с тем, чтобы она учитывала лишь весь реально имеющийся объем оперативной информации об управляемом объекте и при этом обладала приемлемой точностью воспроизводимых процессов по сравнению с исходной (назовем ее полной) моделью СПРВ, т.е. отражала реальную ситуацию в сети.

Рассмотрим, что представляют собой фактический объем и состав оперативной информации в функционирующих СПРВ. Информация о состоянии входов СПРВ (активных элементов) представлена полностью, т.е. для каждой насосной станции (НС) известны значения расхода qвых (t) и давления Hвых (t) на выходе НС, давления Hх (t) на ее входе, а также давления Ht (t) после i-го насоса перед задвижкой и тока It (t) на электродвигателе i-го агрегата в любой фиксированный момент времени t. Значительно хуже обстоит дело с информацией о состоянии выходов СПРВ. Вектор выходных переменных Y(t) =< q(H)(t), h(H)(t) >, где

qH \()=[qiH '(t), q'lH v),..., qH )], h" )(t)=[hH )(t), h h )(t),..., ^ h \i)],

в этом случае представлен лишь частично компонентами вектора давлений h(H)(t) в узлах СПРВ, а информация о значениях составляющих вектора узловых расходов q(H) (t) и вовсе отсутствует.

Таким образом, информационное состояние СПРВ на интервале времени [T1, T2] представляется в виде

Р0 (t) = {HeXfc (0, HeblXfc (0, qeblXfc (0,

Hik (t),Ii (t), hj (t)} ,

k є L, i є W, j є Nо c N , (1)

где L — множество НС СПРВ; W — множество агрегатов всех НС СПРВ; N0 — подмножество контролируемых по давлению точек сети.

Перейдем к построению некоторой агрегированной модели СПРВ, переменными которой являлись бы только те, значения которых измеряются и представлены в информационном состоянии СПРВ. Как известно, агрегирование как один из основных приемов исследования сложных систем заключается в замене какой-либо группы переменных, характеризующих состояние системы, одной переменной, именуемой агрегатом [2] . Разобьем условно некоторый исходный полный граф G(V,E), отображающий структуру СПРВ и взаимосвязи между ее отдельными элементами, на L непересекающихся подграфов (фрагментов):

G(V, E) = U Gt (Vt, Ei), П Gi (Vi, Ei) = ф

i&L i&L

в зависимости от числа активных источников СПРВ таким образом, чтобы каждый из них Gi (V, Et) приближенно представлял собой зону влияния i-й НС. Потокораспределение в каждой из подсетей, описываемых соответствующим подграфом Gi (V, Et), i є L , характеризуется группами переменных ihik I fck },k є Ni 'U Mt, где

U Ni = N, U Mi = M, а M — множество магистраль-

ieL ieL

ных участков исходного графа СПРВ. Каждой из таких групп \hik} поставим в соответствие переменную Ahi,i є L, а каждой из групп \qik^ — переменную Qi i є L.

Агрегированная модель СПРВ должна быть простой и удобной в использовании, учитывать реально имеющийся объем и состав оперативной информации и отражать основные формальные связи, существующие между входами и выходами СПРВ. В качестве одной из возможных моделей, удовлетворяющих этим требованиям, может быть использован граф G0 (V0, E0), полученный следующим образом.

Абстрагируясь от структуры водопроводной сети, вместо графа G(V, E) полной модели СПРВ, которая описывается системой алгебраических уравнений и ограничений на область технологически допустимых режимов [1,5], будем использовать в качестве агрегированной модели объекта ориентированный граф G0 (V0, E0), отображающий линии

РИ, 2002, № 3

111

связи всех активных элементов СПРВ с некоторой контролируемой точкой, отождествляемой с сетью. При этом подразумевается, что вся сеть, питаемая активными источниками, как бы стягивается в одну точку, а линии связи (участки) агрегированной модели, соединяющие эту точку с выходом каждого из источников, являются эквивалентным представлением зон влияния каждого из них и покрываются соответствующими подсетями Gi (V,, E ,), і є L . Каждой такой линии связи, т.е. дуге графа G0 (V0, E0), поставим в соответствие переменную АИі, і є L , представляющую собой перепад давления, и переменную Qi, і є L, характеризующую величину расхода через i-ю дугу графа G0 (V0, E0) . Очевидно, что

АА = H - ho, і є А (2)

q, = Чеьщ, і є А (3)

где h0 — давление в контролируемой точке сети.

Каждая из подсетей G , (V,, Еі), і є L , покрывающих соответствующие дуги агрегированной модели СПРВ, имеет свою характеристику:

h {Увы*) = H0 + А • qL,, j є А (4)

здесь Н0 — геометрическая высота подъема воды. Положение характеристики подсети G, (V,, E ,) зависит от величины обобщенного сопротивления Ri, определяемого в свою очередь интенсивностью процессов потребления воды в зоне i-й НС. Исследования показали, что при фиксированных значениях узловых расходов q(H), і є N, значение Ri не является постоянной величиной, а зависит от Увых1, і є L, вследствие чего использование выражения вида (4) для описания характеристики сети, применяемой в агрегированной модели СПРВ, нежелательно.

Для описания процесса движения воды по участку агрегированной модели от i-й НС до контролируемой точки сети в фиксированный момент времени будем использовать выражение

Afoj (qeuxj) = Hвыхі ~ h0 =

= a0t + аіі ■ Увых, + an ■ q^MXi>jє L (5)

где неизвестными параметрами, подлежащими оцениванию, являются значения коэффициентов

a0i, аи, а2і,і є L. Характеристика Акі (q ) представляет собой монотонно возрастающую выпуклую вниз функцию.

Процессы водопотребления в водопроводной сети носят стохастический характер. Однако из анализа графиков суточного водопотребления можно выявить некоторые закономерности, заключающиеся в определенной периодичности повторения этих процессов во времени, что нашло свое отражение в методах идентификации их параметров и прогнозировании [I]. Следовательно, можно предположить, что изменение положения характеристики

112

сети в дискретные моменты времени (например, по часам суток) носит также периодический характер. Основываясь на этих предпосылках, в результате проведения серии измерений переменных H вых., qeblx., h0, і є L , для повторяющихся с периодом одни сутки дискретных моментов времени можно получить оценки параметров аы, к = 0,2 , зависимости АА (q вы*,).

Таким образом, агрегированная модель СПРВ для фиксированного момента времени может быть представлена в виде системы уравнений:

2 qвых, ~ Q , (6) i^L

нвых, = h0 + а0і + аі • qвыхi + а2і ■ qlux,.,і є А (7)

qi*, (нвых,) ^ qeu,, ^ qZ, Xі є L, (8)

где Q — общий расход воды в водопроводной сети;

qвых, (Нвых, ), q^x, (Hвых, X j Є L - соответствеННо

нижняя и верхняя границы расхода на выходе i-й НС при заданном Hвихі .

Последовательность операций, производимых для получения оптимального решения при управлении на основе агрегированной модели СПРВ, такая же, как при решении аналогичной задачи по полной модели объекта [5].

Учитывая, что при использовании агрегированной модели СПРВ значения расходов потребителей

q ('H), j є N, в дискретные моменты времени к = 0,-1,—2,... не могут быть оценены, будем прогнозировать общую подачу воды в сеть насосными станциями СПРВ на весь интервал [0, T]. Таким образом, располагая информацией о значениях суммарного расхода Q(k) = X ),іЄ А

в СПРВ в дискретные момЄнтьі времени к = 0,-1,—2,..., предшествующие интервалу управления [0, T], можно получить прогнозные значения подаваемых в сеть расходов воды Q(k) в дискретные моменты к = 1,2,...,K . Для того чтобы модель процессов подачи воды была адаптивной во времени, т.е. учитывала всевозможные хронологические, метеорологические и организационные факторы, будем учитывать не всю предысторию реализаций наблюдений случайных величин

q еыЩ ,іє L на интервале Та ,0] , а лишь некоторую ее часть на более узком интервале, предшествующем интервалу управления [0, T] и достаточном для выявления периодических компонент соответствующего ряда при прогнозировании.

Аналогично отдельно для каждого дискретного момента времени интервала [0, Т] будем проводить адаптивную идентификацию параметров функции

Ah, (q ), і є L, реализаций соответствующих значений наблюдаемых переменных qвых,, H , h0 , определяющих положения реаль-

РИ, 2002, № 3

ных характеристик сети и используемых в агрегированной модели СПРВ. При этом будем учитывать также ограниченную предысторию реализаций наблюдений случайных величин q вьщ , н выщ , h0, і є L в предшествующие интервалу управления [0, Т] соответствующие дискретные моменты времени и, кроме того, значения функций Ahi (q) в граничных точках диапазонов изменения аргументов на всем интервале [Г_ш ,0].

Далее решается задача оптимального распределения нагрузки между насосными станциями на основе агрегированной модели объекта. Будем использовать в качестве критерия эффективности функционирования СПРВ на рассматриваемом интервале управления [0, Т] минимум суммы энергозатрат на всех НС СПРВ, и тогда данная задача запишется в следующем виде:

K

Ф(Т) =£ Z Явьщ (к)нвыхг(к) ^ min (9)

к=1 veL Чвьщ(к)eQ ’

Q: Z q вы (к) = Q(k)’ (10)

Нвых, (к) = К + a0i (к) + a1i (к)Явьщ (к) +

+a2i (к)чвьщ (к), і є L, (11)

Чвьіхі [HвЬІХі (к)] — Чвьіхі (к) — ЧвЫХ[ [Hвьіхі (к)], (12)

_ (12) і є L

где h 0 — планируемое значение давления в диктующей точке. Очевидно, что (9)-( 12) является задачей выпуклого программирования с ограничениями в виде равенств и неравенств.

Поскольку при использовании агрегированной модели СПРВ функция (9) не задана алгоритмически, а в ограничении (12) выражения слева и справа могут быть определены предварительно как функции соответствующих аргументов, то в случае двух работающих в сети НС процедура поиска оптимального решения такой задачи может быть и вовсе упрощена. Выражая расход одной из НС через расход на другой в соответствии с (10) и подставляя его в (9), оптимальное значение расхода qeux 2, доставляющее минимум Ф[•], получим из условия

ёФ [•]

dq ых2(к)

0,

(13)

а q^i^) — из уравнения (10). После этого для всех к = 1,2,...,K решается задача выбора оптимальных комбинаций включения агрегатов каждой НС и параметров их функционирования (числа оборотов регулируемого привода; степени открытия задвижек) [3].

В результате проведения наблюдений над функционирующим объектом (пассивного эксперимента), состоящих в анализе реакции системы на то или иное принимаемое решение (управляющее воздействие), и на основании экспертных оценок произ-

водимых испытаний может быть определена некоторая величина запаса давления в контролируемой точке СПРВ относительно его минимально допустимого значения.

Таким образом, при управлении режимами функционирования СПРВ на основе агрегированной модели объекта оптимальные значения параметров на выходах НС определяются в результате распределения расходов между НС при известном априори значении минимально допустимого давления с учетом величины запаса давления в контролируемой (диктующей) точке СПРВ, после чего производится оптимизация режимов работы каждой НС.

Теперь проанализируем, исходя из чего выбирается местоположение контролируемой точки сети j є N : ho = hj. На основании оценок экспертов на сети выбирается ряд контролируемых по давлению точек, которые находятся в зоне совместного влияния всех работающих на СПРВ НС и могут оказаться диктующими. Условия физической реализуемости системы сбора оперативной информации о сети таковы, что позволяют разместить приборы временного контроля (самописцы давления) в различных ее точках. В то же время размещение средств автоматического контроля давления в большинстве из них является затруднительным (или невозможным вообще) в силу причин технологического характера. В намеченных точках устанавливаются самописцы давления и проводится пассивный эксперимент, суть которого состоит в том, что на большом интервале времени [д, Т2 \ с определенной периодичностью At снимается информация

I =< ^(к),..., hi (к),..., hj (к),..., h„o (к) >, i, j є N0 с N, card (N0) = n0, к = T1, T1 +1,..., T2.

В результате обработки и фильтрации этой инфор-

мации можно на всем множестве N0 исследуемых точек водопроводной сети определить локальные и глобальную диктующие точки (ЛДТ и ГДТ) [1] на интервале времени [т1, Т2], т.е., если

F (Т1, Т2)

—^ у Ф 0.

Т2 - Т1 Кі

(14)

где

hi (к)

h0i - hi (к), еслиИ^і > hi (к), 0, еслиИ^і < hi (к),

(15)

то точка і — ЛДТ, а если Fj (•) = max Fi (•), то точка

, ieN0

j — ГДТ. Здесь h0i — значение минимально допустимого давления в і - й исследуемой точке сети. В точке j є N0 устанавливается манометр, и она используется в дальнейшем как точка, косвенно характеризующая состояние всей водопроводной сети. Не исключен случай, что в ходе пассивного

эксперимента на всем интервале времени [т1 , Т2 ] СПРВ полностью выполняла свое функциональное назначение, т.е.

Pr ob[hi (к) < = 0 У і є N0, к = T1,T1 +1,..., Т2. (16)

РИ, 2002, № 3

113

В этом случае местоположение контролируемой точки сети определяется номером диктующей на интервале T, T2 ] точки среди всего множества N0. Сначала определяется диктующая точка для кажд о -го дискретного момента времени к :

ік = argminf^.(к) - ], (17)

ieN 0 4 '

а затем — диктующая точка сети на всем интервале Ti, T2]:

1 T2

Fj (Tb T2 ) = max T-T 2 фі(k)s

ieN0 T2 -Ti к=Ti

s 11,если h. (к) - ht. > hr (к) - hІ , где Фі (к) = Г 0і гУ 0r’ (18)

[0, в противном случае,г є Nq ,

Полученная в результате точка j используется в качестве контролируемой.

Описанный подход к управлению режимами функционирования СПРВ на основе агрегированной модели объекта может быть легко трансформирован на случай, когда контролируемой по давлению является не одна, а несколько точек, находящихся в зоне совместного влияния всех работающих на сеть НС.

При этом может быть несколько вариантов. Управление можно осуществлять по одной, наиболее характерной точке сети, либо по нескольким из них, наиболее “подозрительным” на ГДТ, либо по всем имеющимся точкам в зоне совместного влияния НС.

Разница состоит в следующем. Если существует уверенность экспертов, что точка, выбранная в качестве управляемой в агрегированной модели СПРВ, является ГДТ или достаточно близка к ней, то управление по ней и нужно осуществлять. При этом все ошибки планирования, связанные с отказом от сетевой (полной) модели (из-за отсутствия информации), ошибками прогнозов, оценок параметров, а также ошибками измерения, могут быть учтены введением некоторой величины запаса давления в диктующей точке (сверх минимально допустимого значения), определяемой эмпирически.

Если же местоположение диктующей точки постоянно изменяется среди множества контролируемых, то в этом случае точкой, используемой в данной агрегированной модели СПРВ, может быть поочередно каждая из них. Тогда реализуемые в конечном итоге управляющие воздействия на каждой из НС будут определяться в соответствии с выражениями

Hы = maxHHj \ г є N0, j є L , (19)

Q*euxj = QHj , r Є N0, j Є L , (20)

где r — текущий номер точки, используемой при управлении по агрегированной модели СПРВ.

Применение соотношений (19), (20) позволяет вычислить планируемые оптимальные значения параметров на выходе каждой НС с учетом величины запаса давления в диктующей точке СПРВ.

Полученное таким образом рациональное решение является инвариантным относительно уровня сто-

хастических возмущений объекта управления и окружающей среды и позволяет гарантировать заданное качество функционирования СПРВ на всем интервале управления при минимальных затратах электроэнергии на НС.

Очевидно, что для предшествующего и последующего интервалов управления может изменяться не только положение ЛДТ, но даже и ГДТ. Поэтому в данном случае целесообразно в качестве множества контролируемых точек сети использовать множество ГДТ подынтервалов некоторого длительного интервала времени.

На практике при определении точек для оптимального размещения датчиков в сети необходимо сначала установить приборы временного контроля параметров и характерных (наиболее “подозрительных”) точек. По прошествии же длительного интервала времени можно в ГДТ его подынтервалов размещать средства автоматического контроля параметров.

Проведенные исследования показали [4], что разработанная агрегированная модель СПРВ, инвариантная к структуре сети и основывающаяся на использовании минимального объема оперативной информации о состоянии водопроводной сети, позволяет получить приемлемое по точности решение задачи рационального управления режимами функционирования СПРВ.

Описанный подход к управлению режимами работы СПРВ на основе агрегированной модели объекта чрезвычайно легко реализуется на практике и позволяет улучшить качество и эффективность функционирования СПРВ в короткий срок, еще до внедрения АСУ ТП.

Очевидно, что такие агрегированные модели могут использоваться при управлении технологическими процессами функционирования реальных СПРВ, для которых множество характерных точек, находящихся в зоне совместного влияния всех работающих на СПРВ насосных станций, не является пустым.

Литература: 1. Евдокимов А.Г., Тевяшев А.Д., Дубровский В.В. Моделирование и оптимизация потокораспределения в инженерных сетях. М.: Стройиздат, 1990. 368с. 2. Первозванский А.А., Гайцгори В.Г. Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация. М.: Наука, 1979. 342с. 3. ТевяшевА.Д., Дядюн С.В., ФедоровН.В. Оптимизация режима функционирования насосной станции / М., 1985. 13с. 4. Дядюн С.В. Выбор оптимальных комбинаций агрегатов насосной станции городского водопровода // Коммунальное хозяйство городов. К.: Техніка, 1992. №1. С.63-70. 5. Дядюн С.В. Оценка качества и эффективности управления системами водоснабжения в зависимости от степени неопределенности модели объекта // Радиоэлектроника и информатика. 2001. №4. С. 78-80. 6. Дядюн С.В. Программное управление технологическими процессами функционирования систем подачи и распределения воды / Деп. во ВНИИИС Госстроя СССР, РГ №8460. М., 1988. 18с.

Поступила в редколлегию 18.03.2002 Рецензент: д-р техн. наук, проф. Петров Э.Г.

Дядюн Сергей Васильевич, канд. техн. наук, доцент кафедры прикладной математики и вычислительной техники Харьковской государственной академии городского хозяйства. Научные интересы: математическое моделирование, оптимизация, автоматизированное управление в больших системах энергетики. Адрес: Украина, 61002, Харьков, ул. Революции, 12, тел. 45-90-31,45-50-86, 45-90-61.

114

РИ, 2002, № 3