CC BY
23
мени параметром масштаба в зависимости от экс- Следует заметить, что (8) эквивалентно системе периментальных данных. нормальных уравнений типа Юла-Уокера.
Упрощением помехоустойчивого фильтра является фильтр
Xi+i = Xj ф + s;ф
Уі+1 -Xj Ф
(9)
где Sj получено из соответствующей зависящей от данных вспомогательной рекуррентной формулы. Дальнейшее упрощение позволяет помехоустойчивый фильтр представить так:
Si+1 = Xj + sV
Уі+i - Xj ф
(10)
здесь s — зависящая от данных, но времяинвари-антная оценка параметра масштаба ожидаемых
значений остаточных разностей у^ - X T ф . На-
пример, s можно определить из уравнений (8) и дополнительной системы уравнений
1 "С1 2
—2- Еф
n - 2- j=-
Уі+1 - Xi (ф)ф
= B
(11)
КонстантаБ выбираетсятак что s является состоятель-нойоценкой стЕ в случае g = N(0, ст2), т.е. B = E Фф 2 (r), где ф — стандартное нормальное распределение. Получившаяся оценка ф — результат помехоустойчивой регрессии при наблюдениях по оценкам условного среднего.
п-1
Е Я^ф^+Дф) - Xj (ф)ф]= о. j=-
(12)
Эта система уравнений может быть решена итерационно:
ЕІ Дф J)tx і+1(ф J) - X Т(ф J)<p J+1]=0, (13)
j=-
где X ДфJ) получена из (10) при ф' =фJ, а ф1 -оценка по методу наименьших квадратов.
Полученная система уравнений может быть решена с помощью итерационной процедуры, с применением методов регуляризации, как в [5].
Литература: 1.Ljung L. On consistency and identiability // Mathematical Programming Study, 1976. N 5, P. 169-190. 2. Ljung L. Consistency of the least-squares identification method// IEEE Trans. Automatic Control, 1976. V. AC- 21, P. 779-781. 3. HollandP. W., Welsch R. E. Robust regression using interactively reweghted least squares //Commun. Statist., 1977. V.A6, P. 813-828. 4. Polyak B. T, Tsypkin Ya. Z. Robust identification// Automatica. 1980. Vol 16, P. 5363. 5. Трицюк В.И. Помехоустойчивые методы оценки параметров // ААЭКС, 2001. №1. С.15-21.
Поступила в редколлегию 21.11.2001
Рецензент:д-р техн.наук, проф. Шабанов-Кушнаренко С.Ю.
Грицюк Вера Ильинична, канд. техн. наук, докторант ХНУРЭ. Научные интересы: стохастические системы управления. Хобби: музыка, литература. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-93-06.
УДК 681.5.015:628.21
ОЦЕНКА КАЧЕСТВА И ЭФФЕКТИВНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМАМИ ВОДОСНАБЖЕНИЯ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ СТЕПЕНИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ МОДЕЛИ ОБЪЕКТА
ДЯДЮН С.В.___________________________
Вводятся критерии, характеризующие степень близости получаемых решений при использовании различных видов модели объекта управления. Представляется алгоритм оценивания качества и эффективности управления системами водоснабжения в зависимости от объема и состава оперативной информации об управляемом объекте. Показывается, что для обеспечения оптимальных значений этих критериев достаточно располагать измерениями давлений во всех локальных диктующих точках сети.
Качество и эффективность реализуемого управления зависят от степени адекватности используемых моделей объекта управления. Чтобы оценить эффективность и качество управления системами подачи и распределения воды (СПРВ) на интервале времени [0, T] в зависимости от степени неопреде-
ленности модели объекта, т.е. от объема и состава оперативной информации о его состояниях, будем использовать имитационную модель функционирования некоторой реальной СПРВ.
Под качеством функционирования СПРВ будем понимать вероятность выполнения водопроводом своего назначения — подавать потребителям воду в необходимом количестве под заданным напором в соответствии с предъявляемыми требованиями в течение определенного времени.
Под эффективностью функционирования СПРВ будем понимать затраты ресурса (воды, электроэнергии) на обеспечение заданного качества ее функционирования в течение определенного времени.
Обозначим L — множество активных элементов, т.е. насосных станций (НС) СПРВ; М — множество магистральных участков СПРВ; N — множество узлов сети с подключенными к ним потребителями; E=LUMUN; hi, qi, ieE — потеря давления и расход в І-м участ’Ке СЇРВ; HBXi, ^хЬ НВыхЬ ЦвыхЬ i6L давление и расход на входе и выходе i-й НС.
Введем критерии, характеризующие степень близости получаемых решений при использовании различных видов модели СПРВ. Будем оценивать эффективность решения задачи управления режимами функционирования СПРВ на основе агрегированной модели объекта относительно решения
78
РИ, 2001, № 4
этой задачи по полной модели СПРВ, принимаемого за эталон. На первый взгляд представляется предпочтительным в качестве оценки, характеризующей степень близости таких решений, использовать меру:
Р(Ф2,Ф2) =ТІ (
1 ^ ф2і - Ф2/\ 2
і єЬ
Ф
2і
) ’ l =card(L), (1)
где Ф2і, Ф*і — значения критериев эффективности функционирования i-й НС СПРВ для фиксированного момента времени, получаемые соответственно на основе агрегированной и полной моделей СПРВ. Однако такая оценка не является достаточно эффективной, поскольку функции
Ф2і [двыхЪ НВый] и Ф*i [q выхi, Н выш] НеодНозНачны и могут принимать одинаковые значения при различных реализациях возможных сочетаний значений соответствующих аргументов двьтхі , Hвыхi и д*вых , Н*вых . Тогда на множестве L всех входов СПРВ введем меру, характеризующую степень близости значений переменных, которые определяют их состояние при решении по каждому виду модели СПРВ:
P(U, U*) =
1
1
I
іє Ь
Н вшхі Н вшхі + qвыхi qвшхi
2 2
V Н вшхі у ^ qвыхi у
2
2
(2)
Поскольку переменные Нвых , двьтхі измеряются в различных единицах, использование меры (2) позволяет привести несоизмеримые масштабы к единому, безразмерному.
Кроме того, введем меру, характеризующую максимальное отклонение переменных двых,, Нвых^ ieL, которые определяют состояния входов СПРВ, от их оптимальных значений q выхь Н выхi :
2 —2
Р0 (Нвшхі,Нвшхі) =
: max
і єЬ
Н вшхі Н вшхі 2
H в
, і єЬ,
V “ вшхі у
2 _____2
р0 (Чвшхі, Явьіхі) =
(3)
2
max
і єЬ
Явшхі
2 Л ' Явшхі
2
Явшхі
, і єЬ ,
(4)
2
Будем считать, что среди множества переменных hi, ieN, характеризующих состояние выходов полной модели СПРВ, известны значения не всех, а лишь некоторой их части h , ieN0 N; значения же остальных переменных h , ieN\N0 являются зашумленными. В работе [1] показано, что если условия наблюдаемости СПРВ не выполняются, искусственное дополнение состава наблюдаемых переменных h, ieN\ N0 в предположении о равномерном законе их распределения позволяет полу-
чить приемлемые для практики результаты. Поэтому изменяя последовательно число и состав задаваемых переменных h, ieN0 на выходах сети (значения Hвьіхі, qehixi, ieL в реальных условиях функционирования СПРВ известны всегда) и предполагая, что остальные переменные ht, ieN\N0 распределены по равномерному закону, можно посредством решения задачи идентификации состояния водопроводной сети [1] получить оценки значений измеряемых и всех остальных функционально связанных с ними переменных, характеризующих потокораспределение в сети.
Алгоритм оценивания эффективности и качества управления СПРВ в зависимости от степени неопределенности модели объекта управления состоит в следующем:
1. Получение оптимальных оценок, в дальнейшем используемых как эталон, при выполнении условий наблюдаемости СПРВ.
1.1. Считается заданной определенная предыстория реализаций наблюдаемых переменных в дискретные моменты времени k=0,-1,-2, предшествующие интервалу управления [0, Т], т.е. информационное состояние вида
P0 = Нх (k), Ных, (k), q_ (k), hj(k) | i eL,j eN} .(5)
Для каждого k=0, -1, -2 решается задача идентификации состояния водопроводной сети, в результате чего становятся известными оценки значений узловых расходов q jH) (k), j є N в каждый из этих моментов времени.
~ (н)
1.2. На основании этих оценок qj J (k) в дискретные моменты времени k=0,-1,-2 для каждого узла
j є N водопроводной сети прогнозируется расход л(н)
qj (k), j є N на интервал управления [0, Т]. Кроме того, на основании предыстории значений Нвхі (k), k=0,-1,-2 V ieL производится прогнозирование их значений на интервал [0, Т].
1.3. Для каждого момента k=0,1,2,...,K решается задача оптимального распределения нагрузки между насосными станциями. Получаем эталонные
значения Нвых (k), q^i (k), і є L.
1.4. Определение оптимальных управляющих воздействий на агрегатах каждой НС V k=1,2,...,K при заданных значениях НШі (k), qlhmi (k), а также Нвхі (k), і є L [3]. Расчет значений критериев
Фц (T), Ф2 (T) эффективности функционирования СПРВ на интервале управления [0, T].
2. Условия наблюдаемости СПРВ не выполняются, поэтому дополняем состав измерений давлений hj , jeN\N0 в узлах сети в предположении о равномерном законе их распределения.
2.1. В этом случае информационное состояние СПРВ на интервале [T-r, 0] представимо в виде
79
РИ, 2001, № 4
P ~ \Pexiik), Нвьт(к), Чвых^к), hj (k) Iі cL, j cNg c Nj.
(6)
Решаем задачу идентификации состояния водопроводной сети у k=0,-1,-2... и вычисляем оценки
~(н)п ч
расходов qj (k) .
2.2. Прогнозирование значений узловых расходов
qj J (k), j є N , а также Нвхі (k), i cL, на интервал [0, Т].
2.3. Оптимальное распределение нагрузки между НС СПРВ V k=1,2,...,K при значениях q J (k), вычисленных на этапе 2.2. Получаем значения
* *
Н вьхі (k), q вьхі (k), і c L.
2.4. Определение оптимальных структуры и параметров функционирования каждой НС у k=1,2K
* *
при заданных значениях Н вьхі (k), q вьіхі (k), а
Л
также Н вхі (k).
2.5. Анализ потокораспределения в СПРВ при реализации по модели управляющих воздействий на
каждой НС V k=1,2,...,K и значениях узловых рас-(н)
ходов q j (k), j c N , полученных на этапе 1.2 [4].
3. На основании результатов этапа 2.5 вычисляем значения критериев качества Ф 0і(Т), Ф ц(Т),
Ф *н(Т), Ф 1 (Т), і є N и эффективности Ф 2і(Т), ф 2 (Т), і є L функционирования СПРВ на интервале [0, Т] [1]. Сравниваем их с оптимальными значениями критериев качества и эффективности функционирования СПРВ на интервале [0, Т], полученными на этапе 1.4.
4. Значения НвьШ (k), qeuxt (к), і є L, k=1,2K, п°лу-ченные на этапе 2.5, сравниваем с эталонными значениями этих параметров, полученными на этапе 1.3, в соответствии с выражениями (2) - (4).
5. Изменение числа либо состава наблюдаемых переменных hj (k), j є N0 ^ N, k=0,-1,-2 и возврат к этапу 2.1.
Исследуя таким образом при различном числе и составе наблюдаемых переменных hj(k), j є N, k=0,-1,-2, получаем оценки критериев качества и эффективности функционирования СПРВ на интервале управления [0, Т], а также оценки критериев (2)-(4), характеризующие степень близости оптимальных решений, получаемых при внесении соответствующей величины погрешности за счет неполноты состава оперативной информации об управляемом объекте.
Очевидно, если задавать соответствующий уровень стохастических возмущений окружающей среды, то приведенный алгоритм можно распространить и на вычисление оценок качества и эффективности
80
управления СПРВ в зависимости от степени неопределенности моделей объекта управления и окружающей среды.
Проведенные исследования показали, что для обеспечения оптимальных значений критериев качества и эффективности функционирования СПРВ на интервале управления [0, Т] достаточно располагать измерениями давлений только во всех локальных диктующих точках сети [2]. Дальнейшее увеличение числа измерений не улучшает эти критерии.
Этот вывод неразрывно связан с проблемой оптимального размещения датчиков на сети. Очевидно, что для предшествующего и последующего интервалов управления может изменяться положение не только локальных диктующих точек, но даже и глобальной диктующей точки (ГДТ) [2]. Поэтому в данном случае целесообразно в качестве множества контролируемых точек сети использовать множество ГДТ подынтервалов некоторого длительного интервала времени.
На практике при определении точек для оптимального размещения датчиков на сети необходимо сначала установить приборы временного контроля параметров в наиболее “подозрительных” точках, которые определяются на основании экспертных оценок. По прошествии же длительного интервала времени можно в ГДТ его подынтервалов размещать средства автоматического контроля параметров.
В реальных условиях функционирования СПРВ, если обеспечивать известное априори значение минимально допустимого с учетом величины запаса давления в ГДТ либо другой характерной точке сети, то заданное качество функционирования СПРВ при максимальной эффективности может быть достигнуто и при управлении по одной контролируемой точке на основе использования агрегированной модели объекта [5]. Очевидно, что такие агрегированные модели могут использоваться при управлении технологическими процессами функционирования всех реальных СПРВ, для которых множество характерных точек, находящихся в зоне совместного влияния всех работающих на СПРВ НС, не является пустым.
Литература: 1. Евдокимов А.Г., Тевяшев АД., Дубровский В.В. Моделирование и оптимизация потокораспределения в инженерных сетях. М.: Стройиздат, 1990. 368с. 2. Евдокимов А.Г., Дубровский В.В., Тевяшев АД. Потокораспределение в инженерных сетях. М.: Стройиздат, 1979. 199с. 3. Дядюн С.В. Выбор оптимальных комбинаций агрегатов насосной станции городского водопровода // Коммунальное хозяйство городов. Киев: Техніка, 1992. №1. С.63-70. 4. Дядюн С.В. Математическое моделирование установившегося потокораспределения в системах водоснабжения // Радиоэлектроника и информатика. 2000. №4. С.54-56. 5. Дядюн С.В. Управление системой водоснабжения в условиях минимального объема оперативной информации // Коммунальное хозяйство городов. Киев: Техніка, 1996. С.32-34.
Поступила в редаколлегию 28.06.2001
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Петров Э.Г.
Дядюн Сергей Васильевич, канд. техн. наук, доцент кафедры прикладной математики и вычислительной техники ХГАГХ. Научные интересы: математическое моделирование, оптимизация, автоматизированное управление в больших системах энергетики. Увлечения и хобби: рок-музыка, спорт. Адрес: Украина, 61002, Харьков, ул. Революции, 12, тел. 45-90-31, 45-50-86, 45-90-61.
РИ, 2001, № 4
