Математическое моделирование установившегося потокораспределения в системах водоснабжения Текст научной статьи по специальности «Математика»

коэффициенты АР либо коэффициенты отражения РФ, что приводит к разным по структуре устройствам распознавания сигналов на базе авторегрессионных или решётчатых фильтров. Существенно выделяются среди них по качеству распоз -навания устройства, основанные на вычислениях дисперсии ошибок предсказания на выходе АР либо РФ. Проведенные исследования методом статистического моделирования на ЭВМ подтвердили возможность распознавания сигналов при низком порядке АР модели. При этом существенно снижаются вычислительные затраты по сравнению с асимптотически оптимальным классификатором, реализованным в пространстве исходного представления сигналов.

Литература: 1. Дуда Р, Харт П. Распознавание образов и анализ сцен: Пер. с англ./ Под ред. В.Л. Стефанюка. М.:Мир,1976. 511с. 2. Ту Дж., Гонсалес Р. Принципы распознавания образов: Пер. с англ./ Под ред. Ю.И. Журавлева. М.:Мир,1978. 412с. 3. ФукунагаК. Введение в статистическую теорию распознавания образов:Пер. с англ./Под ред. А.А. Дорофеюка. М.:Мир,1979. 367с. 4. Омельченко В.А. Основы спектральной теории распознавания сигналов. Харьков: Вища шк., 1983.159с. 5. Шпилевский Э.К. Принципы динамической классификации стохастических процессов и систем // Статистические проблемы управления. Вып. 28. Вильнюс: ИМ Лит.АН,1978. 139 с. 6. Прикладная теория случайных процесов и полей / Под ред. К.К. Васильева, В.А Омельченко. Ульяновск: УлГТУ, 1995. 256с. 7. Кравченко Н.И., Безрук В.М., Тихонов В.М. Распознавания случайных сигналов в рамках авторегрессионой модели // Вероятностные модели случайных сигналов и

УДК 681.5.015:628.21

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ПОТОКОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ В СИСТЕМАХ ВОДОСНАБЖЕНИЯ

ДЯДЮН С.В._____________________________

Описывается математическая модель системы водоснабжения, включающей в себя водопроводную сеть совместно с работающими насосными станциями и регулирующими емкостями. Данная модель позволяет обеспечивать возможность параллельного включения произвольного количества агрегатов насосных станций без необходимости предварительного эквива-лентирования их характеристик.

При эксплуатации реальных систем подачи и распределения воды (СПРВ), имитационном моделировании систем оперативного управления режимами их функционирования возникает задача анализа установившегося потокораспределения в СПРВ. Для ее решения нужно иметь математическую модель водопроводной сети совместно с активными источниками и регулирующими емкостями, которая обеспечивает возможность параллельного вклю-

полей. К.:УМК ВО, 1991. С. 138-142. 8. Бокс Дж., Дже-нинкс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление: Пер.с англ. /Под ред. В.Ф.Писаренко. М.:Мир,1974. 406с. 9. Фридландер Б. Решетчатые фильтры для адаптивной обработки данных // Труды института инженеров по электротехнике и радиоэлектронике. 1982. Т.70, №6. С.54-97. 10. Андерсен Т. Статистический анализ временных рядов. М.:Мир, 1976. 755с.

Поступила в редколлегию 02.10.2000 Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Мазманишвили А.С.

Кравченко Николай Иванович, д-р техн. наук, профессор кафедры основ радиотехники ХТУРЭ. Научные интересы: обработка сигналов в радиотехнических системах. Увлечения и хобби: активный отдых, рыбалка. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-95-87.

Безрук Валерий Михайлович, канд. техн. наук, доцент кафедры сетей связи ХТУРЭ. Научные интересы: моделирование и многокритериальная оптимизация систем распознавания сигналов. Увлечения и хобби: туризм, активный отдых. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-94-29.

Тихонов Вячеслав Анатольевич, канд. техн. наук, доцент кафедры радиоэлектронных систем ХТУРЭ. Научные интересы: обработка сигналов в радиотехнических системах. Увлечения и хобби: активный отдых. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14,тел. 4095-87.

чения произвольного количества агрегатов насосных станций (НС) без необходимости предварительного эквивалентирования их характеристик.

Математическая модель установившегося потокораспределения в водопроводной сети без активных элементов хорошо известна и разработана в [1; 2].

Пусть G(V,E) — граф СПРВ, моделирующий ее

структуру и отображающий взаимосвязи между отдельными элементами. Здесь V—множество всех узлов СПРВ; Е — множество всех дуг СПРВ.

Соединим все входы и выходы графа G(V,E),

через которые вода соответственно поступает в сеть и отбирается из нее, с нулевой фиктивной точкой.

Обозначим L — множество насосных станций и регулирующих емкостей, тогда элементами этого множества будут фиктивные дуги, соединяющие нулевую точку со входами всех НС и регулирующих емкостей; М — множество пассивных элементов, т.е. магистральных участков (трубопроводов) водопроводной сети, являющихся реальными дугами графа; N — множество узлов СПРВ с подсоединенными к ним потребителями, т.е. множество фиктивных дуг модели СПРВ. При этом множество узлов графа СПРВ состоит из двух непересекающихся подмножеств V = N U N, где N —

54

РИ, 2000, № 4

подмножество промежуточных узлов модели СПРВ, т.е. таких узлов, в которых нет отбора воды, однако по тем или иным соображениям их нужно отразить в модели СПРВ.

Кроме того, введем множество K = U L .,харак-

jeL

теризующее общее количество дуг с насосными агрегатами на всех насосных станциях СПРВ.

Таким образом, элементами множества K служат звенья всех насосных станций, каждое из которых включает в себя непосредственно сам активный элемент (насос), а также примыкающие к нему участки с регулируемой и нерегулируемой задвижками. При этом, как известно [3], каждому звену насосной станции соответствует уравнение, описывающее процесс движения воды через данный насосный агрегат:

H ВХ - Г11П? +

+ (^0i +^iiqi +^2iqi2)(Di/D')2 (ni/nО2 -- ri3 i)q2 - HВЫХ = 0 i є Lj .

ей номер 1. При этом все фиктивные участки, инцидентные узлам СПВР, которые являются входами НС (кроме первого) и регулирующих емкостей, а также участки с потребителями будут отнесены к хордам, магистральные же участки и участки с насосами частично станут хордами, а частично — ветвями дерева. Полагаем, что индекс 1, присвоенный множествами соответственно

L, M, N, K, E , характеризует принадлежность их

элементов к ветвям дерева, а индекс 2 — к хордам. В результате такого выбора множество всех дуг

графа СПРВ представим как E = EiUE2,

гдеE1 = M1 и к1 и L1, E2 = M2uK2uL2uN2,

Li = W.Ni = 0 , N2 = N. Множество L2 ра-зобъем на два непересекающихся подмножества L2 = L<2l) U L(2p), где L^ — множество хорд с активными элементами (НС); L(p) — множество хорд с регулирующими емкостями (водонапорными башнями, колоннами, резервуарами, которые являются пассивно-активными регулирующими элементами сети).

Здесь HВХ, HВЫХ — давление соответственно на Кроме того, обозначим qi — расход воды в і-м

входе и выходе НС; qi — расход воды через і-е участке сети, i є M; q — гидравлическое сопро-

звено; ^0i, ^1i, ^2i — коэффициенты аппроксимации нагрузочной характеристики H(q) і-го насосного агрегата; Гц, Гі3 — сопротивления участков

с нерегулируемой и регулируемой задвижками, находящимися соответственно во всасывающей и

напорной линии і-го насоса; X і — степень открытия і-й регулируемой задвижки; Di, Di — соответственно нормальный и срезанный диаметр рабочего колеса і-го насоса; nb ni — соответственно фактическая и номинальная частота вращения рабочего колеса і-го насосного агрегата (при наличии на нем регулируемого привода).

Для однозначности направления потока воды, перекачиваемой і-м включенным агрегатом СПРВ, представим (1) в несколько ином виде:

HBX - ri1qilqil +

+ (^0i +^1i|qi|+^2iqi|qi|)(Di/D02 (ni /ni)2 - (2)

-ri3^i)qilqil-HBbix=0 ieLj.

Потеря напора для активного элемента, будь то НС или отдельно работающий насосный агрегат, всегда есть величина отрицательная, так что в данном случае можно говорить о “приобретении” напора.

тивление і-го участка сети, i є M; h(r) — перепад геодезических отметок начала и конца і-го участка; hi — потеря давления на і-м участке сети, i є M.

С учетом произведенного выбора дерева графа СПРВ, а также того факта, что сумма перепадов геодезических высот по любому замкнутому циклу, содержащему магистральные участки сети, равна нулю, т.е.

h(r) b1rihrr) = 0, i є M2,

reM1

(3)

математическая модель установившегося потокораспределения в водопроводной сети совместно с активными источниками и регулирующими емкостями примет вид

2

fr = signqrrr| qr| +

+ Z b1ri signqi ri | qi | = 0, r є M2; (4)

ieM1

fr = HBX1 +^0k +^1k|qk| +^2kqk|qk| - hr- Z b1ri{signqiri|qi|2 + h(r) 1 = ° ieM1 V ' (5)

r є N, k є K1;

Выберем дерево графа СПРВ таким образом, чтобы в него вошли магистральные участки сети и участки с насосами (принадлежащими разным НС СПРВ), а также одна фиктивная ветвь, соединяющая нулевую точку со входом некоторой из НС. Присвоим

fk =^0k +^1k|qk| + ^2 kqk|qk| +

+ xi Ki +^1i|qi| + ^2iqi|qi|)=0, (6)

k є K2, i є K1;

РИ, 2000, № 4

55

fr = signqrrr| qr|2 + h|.r) + +

+ Z biri(signqiri|qi|2 + ь-г)) + ieM1 V 2

+^0k +^ik|qk|+ (7)

+ ^^kqk|qk| =° rєl(2p), kє Ki;

fr = H ВХ1 “ HBXr +

+ Z [signqk (^0k + ^1k| qk| + ^2 k qk| qk 0] -

keK1

- Z b1ri f signqi ri| qi|2 + h(r) 1 = ° r є L2a); ^ ^

ieM1 ^ '

qi = Z b1riqr + Zxkqk + Q* > 1 є M1U L1 и Kb

reM2 keK2

(9)

где ^2k =^2k(Dk/Dk)2(nk/nk)2 -rk1 -%3(Ч),

k є K1U K2, x; = I, если i-й насос включен, x; = 0, если i-й насос выключен, i є K1U K1;

Qi _ b1kiqk _ COnst; HВХ1, HBXk давёе-

keN UL2

ние на входе соответственно 1-й и к-й НС; b^ —

элемент цикломатической матрицы В1 [2]. Величина, помеченная индексом “+” — задана. В приведенной математической модели СПРВ предполагается, что фиктивные участки с потребителями направлены от сети к нулевой фиктивной точке, а участки с насосами и соответствующие им фиктивные участки — наоборот.

Проанализируем условия разрешимости системы уравнений матема-тической модели водопроводной сети совместно с активными источниками и регулирующими емкостями. Она может быть реше -на, если заданы граничные условия функционирования СПРВ в виде комбинации значений переменных расходов и давлений на ее входах и выходах.

Математическая модель установившегося потокораспределения в системе водоснабжения, содержащей насосные станции и регулирующие емкости, используется для анализа качества функционирования СПРВ при реализации управляющих воздействий на НС, оценки эффективности решения задачи оперативного планирования режимов функционирования СПРВ на всем рассматриваемом интервале времени, а также для контроля правильности принимаемых решений по управлению технологическими процессами подачи и распределения воды.

Литература: 1. Абрамов Н.Н. Теория и методика расчета систем подачи и распределения воды. М.: Стройиздат, 1985. 288с. 2. Евдокимов А.Г. Оптимальные задачи на инженерных сетях. Харьков: Вища шк., 1976. 153с. 3. Дядюн С.В. Выбор оптимальных комбинаций агрегатов насосной станции городского водопровода// Коммунальное хозяйство городов. К.: Техніка, 1992. Вып.1. С.63-70.

Поступила в редколлегию 09.06.2000

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Бодянский Е.В.

Дядюн Сергей Васильевич, канд. техн. наук, доцент кафедры прикладной математики и вычислительной техники Харьковской государственной академии городского хозяйства. Научные интересы: математическое моделирование, оптимизация, автоматизированное управление в больших системах энергетики. Увлечения и хобби: рок-музыка, спорт. Адрес: Украина, 61024, Харьков, ул. Ольминского, 15, кв. 12, тел. 45-9031, 45-50-86.

УДК 531,534

АНАЛИЗ РЕГУЛЯРНЫХ И ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ УПРУГИХ СИСТЕМАХ

ШМАТКО ТВ._____________________________

Предлагается новый критерий устойчивости для анализа нелинейных упругих систем, который позволяет находить области регулярных и хаотических форм колебаний системы.

Многие задачи динамики упругих систем так же, как и некоторые задачи радиотехники могут быть сведены к анализу одного или двух связанных нелинейных осцилляторов.

Задача о вынужденных колебаниях нелинейного стержня может быть дискретизирована путем применения метода Бубнова-Галеркина. Если учесть только одну гармонику ряда Фурье-разложения по

пространственным координатам, то можно получить неавтономное уравнение Дуффинга. В работах [1,2 и др.] исследовано поведение упругой системы, которая описывается неавтономным уравнением Дуффинга. Было отмечено, что при малых значениях амплитуды внешней силы наблюдаются периодические колебания, близкие к одному из двух положений равновесия. А с увеличением амплитуды могут появляться хаотические движения.

Учитывая две гармоники ряда Фурье для пространственных координат, можно получить систему с двумя степенями свободы, связанную только нелинейными членами. В этом случае возможна “перекачка” энергии из одной формы колебаний в другую. Таким образом, можно сформулировать задачу устойчивости периодических или хаотических форм колебаний в пространстве с большей размерностью. В работе предлагается новый критерий устойчивости, который позволяет компьютеризировать процесс нахождения зон устойчивости

56

РИ, 2000, № 4