CC BY
19
fr = signqrrr| qr|2 + h|.r) + +
+ Z biri(signqiri|qi|2 + ь-г)) + ieM1 V 2
+^0k +^ik|qk|+ (7)
+ ^^kqk|qk| =° rєl(2p), kє Ki;
fr = H ВХ1 “ HBXr +
+ Z [signqk (^0k + ^1k| qk| + ^2 k qk| qk 0] -
keK1
- Z b1ri f signqi ri| qi|2 + h(r) 1 = ° r є L2a); ^ ^
ieM1 ^ '
qi = Z b1riqr + Zxkqk + Q* > 1 є M1U L1 и Kb
reM2 keK2
(9)
где ^2k =^2k(Dk/Dk)2(nk/nk)2 -rk1 -%3(Ч),
k є K1U K2, x; = I, если i-й насос включен, x; = 0, если i-й насос выключен, i є K1U K1;
Qi _ b1kiqk _ COnst; HВХ1, HBXk давёе-
keN UL2
ние на входе соответственно 1-й и к-й НС; b^ —
элемент цикломатической матрицы В1 [2]. Величина, помеченная индексом “+” — задана. В приведенной математической модели СПРВ предполагается, что фиктивные участки с потребителями направлены от сети к нулевой фиктивной точке, а участки с насосами и соответствующие им фиктивные участки — наоборот.
Проанализируем условия разрешимости системы уравнений матема-тической модели водопроводной сети совместно с активными источниками и регулирующими емкостями. Она может быть реше -на, если заданы граничные условия функционирования СПРВ в виде комбинации значений переменных расходов и давлений на ее входах и выходах.
Математическая модель установившегося потокораспределения в системе водоснабжения, содержащей насосные станции и регулирующие емкости, используется для анализа качества функционирования СПРВ при реализации управляющих воздействий на НС, оценки эффективности решения задачи оперативного планирования режимов функционирования СПРВ на всем рассматриваемом интервале времени, а также для контроля правильности принимаемых решений по управлению технологическими процессами подачи и распределения воды.
Литература: 1. Абрамов Н.Н. Теория и методика расчета систем подачи и распределения воды. М.: Стройиздат, 1985. 288с. 2. Евдокимов А.Г. Оптимальные задачи на инженерных сетях. Харьков: Вища шк., 1976. 153с. 3. Дядюн С.В. Выбор оптимальных комбинаций агрегатов насосной станции городского водопровода// Коммунальное хозяйство городов. К.: Техніка, 1992. Вып.1. С.63-70.
Поступила в редколлегию 09.06.2000
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Бодянский Е.В.
Дядюн Сергей Васильевич, канд. техн. наук, доцент кафедры прикладной математики и вычислительной техники Харьковской государственной академии городского хозяйства. Научные интересы: математическое моделирование, оптимизация, автоматизированное управление в больших системах энергетики. Увлечения и хобби: рок-музыка, спорт. Адрес: Украина, 61024, Харьков, ул. Ольминского, 15, кв. 12, тел. 45-9031, 45-50-86.
УДК 531,534
АНАЛИЗ РЕГУЛЯРНЫХ И ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ УПРУГИХ СИСТЕМАХ
ШМАТКО ТВ._____________________________
Предлагается новый критерий устойчивости для анализа нелинейных упругих систем, который позволяет находить области регулярных и хаотических форм колебаний системы.
Многие задачи динамики упругих систем так же, как и некоторые задачи радиотехники могут быть сведены к анализу одного или двух связанных нелинейных осцилляторов.
Задача о вынужденных колебаниях нелинейного стержня может быть дискретизирована путем применения метода Бубнова-Галеркина. Если учесть только одну гармонику ряда Фурье-разложения по
пространственным координатам, то можно получить неавтономное уравнение Дуффинга. В работах [1,2 и др.] исследовано поведение упругой системы, которая описывается неавтономным уравнением Дуффинга. Было отмечено, что при малых значениях амплитуды внешней силы наблюдаются периодические колебания, близкие к одному из двух положений равновесия. А с увеличением амплитуды могут появляться хаотические движения.
Учитывая две гармоники ряда Фурье для пространственных координат, можно получить систему с двумя степенями свободы, связанную только нелинейными членами. В этом случае возможна “перекачка” энергии из одной формы колебаний в другую. Таким образом, можно сформулировать задачу устойчивости периодических или хаотических форм колебаний в пространстве с большей размерностью. В работе предлагается новый критерий устойчивости, который позволяет компьютеризировать процесс нахождения зон устойчивости
56
РИ, 2000, № 4
и неустойчивости системы на конечном временном интервале.
1. Постановка задачи
Рассмотрим нелинейные изгибные колебания стержня длиной l. В рамках гипотез Кирхгоффа уравнения движения стержня имеют вид [3]:
32и
dt
2 ■ES і;
3u 1
Зс 2
3w
Зс
= 0
2
32w
dt2
- + EI-
. 34w 3x 4
- ES ■
A
3x
3w
3x
3u 1
3x 2
( 3w V
3x
„ d2w , д
+ T—J = F^J),
ox
(1)
где x — пространственная координата; w{x,t) -прогиб стержня; ц — плотность материала стержня; E — модуль упругости; S — площадь поперечного сечения стержня; I — момент инерции; г — сжимающая сила; F (x, t) — распределенная внешняя нагрузка.
Предположим, что на концах стержень свободно оперт , т.е. при x = 0 и x = l выполняются условия:
д 2w dx
= 0.
Рассмотрим закритическое поведение стержня, т.е.
случай, когда
Г>-
л2 EI
l2
. Представим внешнюю
нагрузку F (x, t) в виде
w
F (x, t) = flcosat sin |^yj; . (2)
Разложим функцию прогиба w в ряд Фурье по синусам, ограничиваясь двумя гармониками ряда:
/ \ . Ш ( \ . nnx
= уАч sin— + уі\ч sin~.
(3)
Подставив равенства (2) и (3) в уравнение (1) и применив процедуру Бубнова-Галеркина, получим нелинейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения y^(t) и y^t) следующего вида:
3 2
Уі + 8yx -ay! + Рух + cy!У2 = f cosat;
32
y2 + 3y 2 + ay2 + by2 + cy2 yl = 0 где s — коэффициент трения,
(4)
c = -
1 EI 'И 4 / \2 " Я \ _ \Р = ES 4
— I -1 — 1 Г - І ;
м V l J 11J 4pl v l J
ES ''л''' 4 п2; 1 ( пя I4 1 плЛ 2
4 ці v і V a = — М EI 1. т -( -г
b =
ES (пл
l
АП I I ' f = ~f1'
4 ці ^ l ) p
Уравнения (1) описывают динамику закритическо-го состояния упругих систем.
РИ, 2000, № 4
w
4
2. Критерий устойчивости колебаний и его применение
Рассмотрим критерий устойчивости периодической или хаотической формы колебаний У2 = 0 системы (4) с одной степенью свободы в пространстве большей размерности. Неустойчивость формы
колебаний У2 = 0 означает “перекачку” энергии из одной гармоники ряда Фурье в другую. Переменные У2,у2 рассматриваются в качестве вариаций. Предположим, что значения вариации У2 значительно меньше значения переменной У2 (в области
устойчивости формы колебаний У2 = 0 ). Предлагается следующий критерий устойчивости:
Неустойчивость формы колебаний У2 = 0 (в системе (4)) фиксируется, когда вариация У2 превышает начальное значение у2 (0) “на порядок”:
Ы0 ^ НУ2(0)| (0 < t < T), р = O(10). (5)
Сравним предложенный критерий устойчивости с хорошо известным критерием устойчивости по Ляпунову [6]: решение у = 0 является устойчивым, если для всехе > 0 существуют такие S > 0 , что для всех У0 є (0) и t > 0 можно получить y(t) е Ne(0).
Здесь n/0) и означают S - и є - окрестности формы колебаний у = 0. Например,
N у = {т є Rn|y| < у} (окрестности могут быть определены по-другому). Пусть s = р\у0\ < р8 , тогда
є ^
— верхний предел дроби ^ .Таким образом,
предложенный критерий является следствием критерия Ляпунова в случае, когда постоянные S и є связаны между собой, и S не может быть сколь угодно малой величиной. Постоянная р может быть выбрана, например, следующим образом:
— < р = с(10). в этом случае мы фиксируем неустойчивость, если текущие значения вариаций (возмущений) превышают начальные значения “на порядок”, как это часто используется в инженерных расчетах. Предложенный критерий может быть использован для числового расчета устойчивости на ПЭВМ в точках некоторой сетки на плоскости параметров системы. Время T выбирается таким образом, чтобы границы областей устойчивости и неустойчивости на плоскости параметров стабилизировались в выбранном масштабе сетки.
Проанализируем зависимость (или независимость) устойчивости колебаний от начальных условий. Результаты, полученные при анализе линейной устойчивости, свидетельствуют о независимости
57
области устойчивости от начальных условий, что является свойством линейных вариационных уравнений. Известно [7,8], что дополнительные области неустойчивости, полученные при учете нелинейных членов, имеют меньшую размерность на плоскости параметров, чем область неустойчивости, полученная при исследовании линеаризованных уравнений в вариациях (если вариации достаточно малы). Рассматриваемые в дальнейшем примеры подтверждают независимость области устойчивости от начальных условий.
Для проверки достоверности предложенного критерия и разработанного программного обеспечения, которое его реализует, было решено несколько тестовых задач. В частности, рассматривалось уравнение Матье. Полученные результаты хорошо совпадают с известными результатами и не зависят от начальных условий [4].
В качестве примера, где может быть применен предложенный метод, рассмотрим нелинейный осциллятор, который описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя степенями свободы:
.. дП
Хі +х— - 0 ^
UXi
.. дП
Х2 + _ 0
дХ2
(6)
2 4 2 2 2
где £2 — #2 Хі + a4 Хі + е° Х2 + Є2 Хі Х2 .
Исследуется устойчивость формы колебаний Х2 = 0.
Если а4 = 0 и связующий член в первом уравнении системы (6) отсутствует, то второе уравнение преобразуется в уравнение Матье [5]. Отметим, что это второе уравнение определяет устойчивость рассматриваемой формы колебаний.
X
Рис. 1. Границы областей устойчивости и неустойчивости, полученные при решении уравнения Ламе с помощью критерия (5)
Если а4 ф 0 и связующие члены присутствуют в двух уравнениях системы (6), то тогда функция Хі (/) является негармонической и второе уравнение преобразуется в более сложное уравнение Ламе.
Выберем следующие параметры системы: а2 = 0.5; ац = -0.005; Є2 = 3.2. Пусть начальное значение функции Хі(/) и параметр е° варьируются, причем
Хі(°) = X, где X є [°;і] и e° є[-1.6;2.5]. Анализируются два варианта различных начальных условий. Вариант I: х^О) = X, Х^О) = 0, х2(°) = 0.005*X, Х2(°) = 0 . Вариант II: хД°) = X, ХД°) = 0,
х2(°) = 0.005*X, Х2 (°) = 0.005. Результаты выводятся на плоскость варьируемых параметров (X,a), гдеX = Хі(°)і а = 2*е° + е2. Границы областей устойчивости и неустойчивости, полученные при численном расчете системы (6) с использованием критерия устойчивости (5), представлены на рис. 1. Область неустойчивости находится внутри отмеченных границ. Значения параметров изменялись на интервалах° < X < 0.2 и ° < а < 5 , задаваемый шаг расчета AX = О.і, Ла = О.і. Было выявлено, что границы областей устойчивости и неустойчивости на плоскости параметров (X,a) стабилизируются на временном интервале ° < t < T = 700.
Как и было предположено, результаты исследования не зависят от выбранных начальных условий при небольших начальных значениях вариации
Х2 (°). Интересно отметить, что в рассматриваемом случае границы областей устойчивости и неустойчивости близки к известным границам, соответствующим решению уравнения Матье [5].
3. Численные примеры динамики устойчивости нелинейных упругих систем
Теперь вернемся к системе (4), описывающей нелинейную динамику стержня и оболочки. Выполним преобразования
Уі ^ РіУі , У2 ^ А2У2 , t ^ M3t
с помощью масштабных коэффициентов цг- так,
чтобы а = і° , Р = і°°, S = і, <n = 3.76. Полученные значения соответствуют системе с одной степенью свободы (у2 = °), рассмотренной в [1]. Таким образом, неустойчивость формы колебаний У2 = 0
означает неустойчивость первой гармоники укороченного ряда Фурье по отношению к другой гармонике.
Рассмотрим следующие значения параметров в разложении (3): n = 2 , b = і600 , с = 400 (вариант А); n = 3, b = 8і°0 , с = 900 (вариант В); n = 4 , b = 25600, с = і600 (вариант С). Пусть параметр a
58
РИ, 2000, № 4
варьируется на интервале а є [- 200;200]. Другие значения параметров системы соответствуют реальным характеристикам стержня и оболочки.
Рис.2. Границы устойчивости и неустойчивости (вариант А)
Рис.3. Границы устойчивости и неустойчивости (вариант В)
Рис.4. Границы устойчивости и неустойчивости (вариант С)
Численный эксперимент позволил определить, что границы областей устойчивости и неустойчивости стабилизируются на временном интервале 0 < t < T = 100 . Результаты вычислений не зависят от начальных условий. Из графиков видно, что при увеличении коэффициента трения область неустойчивости уменьшается.
Предложенный критерий устойчивости регулярной и хаотической формы колебаний и его компьютерная реализация могут быть использованы для других типов упругих систем, например, арки, пологой оболочки и других.
Основное уравнение движения пологой арки может быть представлено в виде:
As Р
5 2 w
а2"
д4(w - w0)
+ EI —----- T
EAs [ T =—s J
2l
dy4
dw
¥
dw0
5 2 w dy 2 2
= q(t, y),
dy,
(7)
2
где w = w(t, y) и w0 = w0 (y) — координаты соответственно деформированной и первоначальной центральной линии арки; р — массовая плотность; q = q(t, y) — функция поперечной нагруз-
Значения амплитуды внешнего воздействия f изменяются на интервале f є [0;2], коэффициент трения учитывается при трех различных значениях S = 0,8 = 0.5,8 = 1. Задаются следующие начальные условия: yi(0) = 0.3, yi(0) = 0, y^^ = 0.001,
y2 (0) = 0 , однако результаты не зависят от начальных условий. Плоскость варьируемых параметров (a, f), задаваемый шаг сетки Ла = 2, 4f = 0.05 . Результаты приведены на рис.2, 3, 4.
ки; Т—величина распора; EI и EAs — жесткости на изгиб и растяжение-сжатие соответственно.
Для удобства в дальнейших преобразованиях вводится параметр е, характеризующий высоту арки, а также безразмерные величины:
2
e =-
Я = -
J w0 sin ?r)dy , r = )2, E —et ,
0 j J 1 ІР ’
EI w W0 = W0(q)
2EAS ’ W = W (T,7) = — e
q =
ny
w0
e
/
/
РИ, 2000, № 4
59
р=^=й4 Ош • <8»
Для определенности рассмотрим двухшарнирную арку при следующих начальных условиях:
1
|г=0 = ^w , Wт=0 = W(0,7) (9)
и краевых условиях:
d2(W - W0)
dr)1
д2(W - W0)
rj=0
= 0
q=n
W(т,0) = W(т,я) = 0 . (10)
Для решения поставленной задачи зададим функции W0 и P в виде
W0 =- sin^, P = p sin^, (11)
а уравнение траектории W представим в виде следующего Фурье-разложения:
W = Wi(r)sin^ + Wi(ri)Sin1p . (12)
Применив метод Бубнова-Галеркина для задачи (7), (9), (10) с учетом соотношений (10),(11), получим следующую систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений:
d 2W1
---21 + A(W1 +1) + f [W ]Wi = Ap, (13)
dr
d 2W2 dr2
+ 161W2 + 4 f[W]W2 = 0.
где f[W] = 0.25 (W12 + 4 W22 -1).
0 < t < T и 2000 . На рис.5 представлена стабилизация границ областей устойчивости и неустойчивости при различных значениях Т. Показаны результаты при Т=1700, Т=2000и Т=2200. Как видно из рис.5, границы областей устойчивости и неустойчивости при Т=2000и Т=2200полностью совпада-
Рис.5. Стабилизация границ областей устойчивости и неустойчивости пологой арки
На рис .6 изображена граница областей устойчивости и неустойчивости для Т=2000. Интересно отметить, что с помощью предложенного алгоритма может быть изображена не только зона статической неустойчивости для малых значений параметра А, которая получена в работе [9], но и достаточно большая область динамической неустойчивости.
В работе [9] было показано, что в случае действия внешней статической нагрузки (p=const) симметричная форма W0 = 0 является неустойчивой при А < 1/22 . В настоящей работе рассматривается динамическая внешняя нагрузка p = q cos®r .
С помощью критерия (5) найдены области устойчивости и неустойчивости для рассматриваемой пологой арки. При этом начальные условия были
заданы следующими: y1 (0)=0.02, у (0)=0,
у2 (0)=0.002, у2 (0)=0. Области неустойчивости представлены на плоскости варьируемых параметров (A, q). Параметр А изменялся на промежутке
0.01 < А < 035, параметр q — на промежутке 0 < q < 2 . Был выбран соответствующий шаг сетки по выводимым параметрам ЛА = 0.085, Aq = 0.05 .
На основании проведенного вычислительного эксперимента было установлено, что границы областей устойчивости и неустойчивости стабилизируются на плоскости параметров (A, q) на интервале
q
Рис.6. Граница области устойчивости и неустойчивости пологой арки при Т=2000
60
РИ, 2000, № 4
В качестве еще одного примера рассмотрим задачу о вынужденных нелинейных колебаниях цилиндрической оболочки. Разрешающая система динамических уравнений движения оболочки имеет вид [10]:
— V 4 w = b(w, ф) + h
1д 2ф
R дх2
+q
h
- р
d 2 w
dt2
(14)
2К = 2
3
6 2 А
2
2R
1
У\ = — Р
E 4 Dn4r4
—r +-----2
16 hR2
Er 4s 4
— V 4Ф = --
E 2
b{w, w)
1 ^2w
R dx2 ’
(15)
3E 2 4 6 g =----n r s
16 p
11
■+-
(s 2 + r 2J (s 2 + 9r 2f
где L(w>ф
d2w д2Ф d2w д2Ф d2w д2Ф
----------h------------2---------
dx2 dy2 dy2 dx2 dxdy dxdy ’
Lw, w) = 2
d 2 w d 2 w f d 2 w ) 2
dx2 dy2 { dxdy ^
Полный динамический прогиб зададим в виде : w = fi cos sy sin rx + f 2 sin sy sin rx , (16)
n mn
здесь s = — и r = ——, n, m — целые положительные R l
числа. А внешнюю нагрузку зададим как p = f cos ют .
Как показано в работе [10], после решения уравнения (15) и применения процедуры метода Бубнова-Галеркина к уравнению (14) получим систему уравнений для определения обобщенных функций
f 1 и f2 :
!Ж ■1+f +<°2 fi+ Чf I +
+ nfi + g/15 = f cos®6
Полученная система аналогична (13) и может быть исследована с помощью разработанных программ и алгоритмов, в основе которых лежит предложенный критерий устойчивости.
Литература: 1. Holmes P.J. A nonlinear oscillator with a strange attractor// Philos.Trans.Royal Soc.London, 1979. A292. Р. 419-448. 2. Moon F.C. Chaotic Vibrations. NewYork:Wiley, 1987. 312 p. 3. Kauderer H. Nichtlinear Mechanik. Berlin: Springer-Verlag, 1958. 778 p. 4. Mikhlin Yu.V. Stability of periodical and chaotic vibrations in systems with more than one equilibrium positions. // Proc.of MATHMOD, Vienna, 1994. Р. 903-905. 5. Shmatko T.V. Stability of periodic and chaotic vibration modes in nonlinear systems with several equilibrium positions // Сборник трудов VII научно-технической конференции MicroCad’99. Информационные технологии: наука, техника, технология, образование , здоровье. 1999. C.396-400. 6. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.:Л.: ОНТИ, 1935. 386с.7. Siegel C.L. and Moser J.K. Lectures on Celestical Mechanics. Grundlehrem: Springer-Verlag, 1971. 288 p. 8. Pecelli G. and ThomasE.S. Normal modes, incoupling, and stability for a class of nonlinear oscillators // Quart.of Appl. Math, 1979. № 37. Р. 281-301. 9. МаневичЛ.И, МихлинЮ.В., ПилипчукB.H. Метод нормальных колебаний для существенно нелинейных систем. М.: Наука, 1989. 215 с. 10. Кубенко В.Д., Ковальчук П. С., Краснопольская Т. С. Нелинейное взаимодействие форм изгибных колебаний цилиндрических оболочек. К.: Наук. думка. 1984. 219 с.
Поступила в редколлегию 14.07.2000
d2
dt2
где
( . (f*- \2 Hr Л
+ f 2 •
®0 + 2К
V V
df1 Г , f d f
di) +An?
2 1
®0 = — p
D( 2 2F Er4
r I +-
h ' ' ЛД.2 ..2 1
+nfl+gf4
4
= 0
R 2 (s 2 + r 2J
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Горбенко И.Д.
Шматко Татьяна Валентиновна, аспирантка кафедры прикладной математики Харьковского государственного политехнического университета. Научные интересы: математическое моделирование процессов, описывающих переход от регулярных движений к хаотическим. Адрес: Украина, 61000, Харьков, ул. Дружбы Народов, 267, кв. 181, тел. 16-55-94, 40-09-41.
РИ, 2000, № 4
61
