Помехоустойчивые оценки параметров в авторегрессионных моделях Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 516.6

ПОМЕХОУСТОЙЧИВЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ В

АВТОРЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЯХ

ГРИЦЮК В.И._____________________________

Исследуются соотношения, необходимые для доказательства сходимости и состоятельности метода параметрической идентификации. Определяются М-оценки условного среднего. Предлагается устойчивый алгоритм оценки параметров, в котором оценка условного среднего вычисляется рекуррентно из помехоустойчивого фильтра.

Для определения члена модельного набора M, который лучше других описывает измеряемые входные, выходные данные y,u , естественно сравнить истинный выход y(t) с ожидаемым в соответствии с моделью М( ©) и с измеряемыми данными yt_1, ut_1:

y(t) - gM (®; t, yt_1 ,ut_1) = s(t, ©). (1)

Тогда наилучшая модель выбирается минимизацией скалярной функции матрицы QN над ©єDm . Пусть эта функция обозначена h(-) и полученный критерий VN [1,2]:

VN(©;y ,u ) = h(QN(©;y ,u )),

QN(©;yN,uN“1) =1 E l(t, ©, s(t, ©)). (2)

Nt=1

Критериальные функции l(t, ©; є) могут быть подвержены следующим условиям регулярности:

© є Dm , для всех t,

і |2

<с|є| ,©єDm, (3)

для всех t — условие С1. Типичный выбор в применениях

l(t, ©, є) = |є|2, l(t, ©, є) = 1/ 2(є T Aqs) +

+ 1/2(logdet Л@),

(h(Q)=Q) (4)

или l(t,©,s) = 88T, (h(Q) = detQ) . (5)

Эти критерии квадратичны по є. В реальных применениях лучше всего использовать l(t, ©, є), возрастающее более медленно, чем квадратично по є, т.е. принять

l(t, ©, є) = а(|є|2), (6)

где a(t) — возрастающая функция такая, что a(t) /1 ^ 0 при t ^ да . Это делает критерий робастным против плохих измерений и соответствует предположениям, что вероятность выбросов выше, чем при распределении Г аусса.

Для функции l(t, ©, є) необходимо ввести некоторые соотношения, необходимые для доказательства сходимости оценок и состоятельности метода пара-

— l(t, ©; є)

ОЄ

< с є

5©

l(t, ©, є)

метрической идентификации, включающие распределения ошибок предсказания.

Приведем два условия на критериальную функцию h(-).

C2: Функция h(-) непрерывна, и если А и В симметричные, положительно полуопределенные

матрицы, то h(A) ^ h(B) »trA ^ trB .

C3: Функция h( •) непрерывна и

trA ^ 0 ^ h(A + A) ^ h(A)

для некоторой строго положительно определенной матрицы л .

Условие C2 более сильное, чем C3. Функция h(A) = trA удовлетворяет и C2, и C3, тогда как h(A) = det A удовлетворяет C3, но не C2.

В работах [3,4] определяется помехоустойчивость как минимаксная, эффективная и качественная соответственно.

Минимаксная помехоустойчивая оценка параметра сдвига минимизирует максимум асимптотической дисперсии на несчетном бесконечном классе распределений. Эффективная — это такая оценка, для которой соответсвенно определенная эффективность является “высокой” на всем классе выбранных распределений. Качественная помехоустойчивость Хампеля связана с довольно естественным требованием равномерной непрерывности. Кроме того, Хампель ввел такие понятия, как кривая чувствительности и точка излома, которые очень полезны в исследованиях по устойчивости.

Для решения задач оценки вектора параметров временных рядов рассмотрим вариант М-оценок в присутствии резких выбросов, связанных с аддитивными ошибками - АО - модель авторегрессии в предположении, что ц — параметр сдвига равен нулю. Пусть Y = (у], ..JiXx; = (хьхм, ...,xi_p+1)

и пусть Хі(ф') — оценка условного среднего

Е|xi|Yi, ф I (УСМ-оценка) в предположении, что

Ф' — вектор параметров авторегрессии.

М-оценка условного среднего определяется как решение задачи минимизации:

n-1

min Ер

ф' i=p

где р — некоторая симметричная функция потерь;

s — оценка параметра масштаба, которая подлежит определению. Учитывая доводы, основанные на методе Монте-Карло, можно получить приближенный вариант

n-1

Е xi(9)T

i=p

Приближенный вариант оценок хi =Е^|у Ф } можно вычислить рекуррентно с помощью помехоустойчивой фильтрации с изменяющимся во вре-

77

Уі+1 - xi (Ф)Ф

= 0

(8)

Уі+1 -хІ (Ф>'

(7)

РИ, 2001, № 4

мени параметром масштаба в зависимости от экс- Следует заметить, что (8) эквивалентно системе периментальных данных. нормальных уравнений типа Юла-Уокера.

Упрощением помехоустойчивого фильтра является фильтр

Xi+i = Xj ф + s;ф

Уі+1 -Xj Ф

(9)

где Sj получено из соответствующей зависящей от данных вспомогательной рекуррентной формулы. Дальнейшее упрощение позволяет помехоустойчивый фильтр представить так:

Si+1 = Xj + sV

Уі+i - Xj ф

(10)

здесь s — зависящая от данных, но времяинвари-антная оценка параметра масштаба ожидаемых

значений остаточных разностей у^ - X T ф . На-

пример, s можно определить из уравнений (8) и дополнительной системы уравнений

1 "С1 2

—2- Еф

n - 2- j=-

Уі+1 - Xi (ф)ф

= B

(11)

КонстантаБ выбираетсятак что s является состоятель-нойоценкой стЕ в случае g = N(0, ст2), т.е. B = E Фф 2 (r), где ф — стандартное нормальное распределение. Получившаяся оценка ф — результат помехоустойчивой регрессии при наблюдениях по оценкам условного среднего.

п-1

Е Я^ф^+Дф) - Xj (ф)ф]= о. j=-

(12)

Эта система уравнений может быть решена итерационно:

ЕІ Дф J)tx і+1(ф J) - X Т(ф J)<p J+1]=0, (13)

j=-

где X ДфJ) получена из (10) при ф' =фJ, а ф1 -оценка по методу наименьших квадратов.

Полученная система уравнений может быть решена с помощью итерационной процедуры, с применением методов регуляризации, как в [5].

Литература: 1.Ljung L. On consistency and identiability // Mathematical Programming Study, 1976. N 5, P. 169-190. 2. Ljung L. Consistency of the least-squares identification method// IEEE Trans. Automatic Control, 1976. V. AC- 21, P. 779-781. 3. HollandP. W., Welsch R. E. Robust regression using interactively reweghted least squares //Commun. Statist., 1977. V.A6, P. 813-828. 4. Polyak B. T, Tsypkin Ya. Z. Robust identification// Automatica. 1980. Vol 16, P. 5363. 5. Трицюк В.И. Помехоустойчивые методы оценки параметров // ААЭКС, 2001. №1. С.15-21.

Поступила в редколлегию 21.11.2001

Рецензент:д-р техн.наук, проф. Шабанов-Кушнаренко С.Ю.

Грицюк Вера Ильинична, канд. техн. наук, докторант ХНУРЭ. Научные интересы: стохастические системы управления. Хобби: музыка, литература. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-93-06.

УДК 681.5.015:628.21

ОЦЕНКА КАЧЕСТВА И ЭФФЕКТИВНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМАМИ ВОДОСНАБЖЕНИЯ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ СТЕПЕНИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ МОДЕЛИ ОБЪЕКТА

ДЯДЮН С.В.___________________________

Вводятся критерии, характеризующие степень близости получаемых решений при использовании различных видов модели объекта управления. Представляется алгоритм оценивания качества и эффективности управления системами водоснабжения в зависимости от объема и состава оперативной информации об управляемом объекте. Показывается, что для обеспечения оптимальных значений этих критериев достаточно располагать измерениями давлений во всех локальных диктующих точках сети.

Качество и эффективность реализуемого управления зависят от степени адекватности используемых моделей объекта управления. Чтобы оценить эффективность и качество управления системами подачи и распределения воды (СПРВ) на интервале времени [0, T] в зависимости от степени неопреде-

ленности модели объекта, т.е. от объема и состава оперативной информации о его состояниях, будем использовать имитационную модель функционирования некоторой реальной СПРВ.

Под качеством функционирования СПРВ будем понимать вероятность выполнения водопроводом своего назначения — подавать потребителям воду в необходимом количестве под заданным напором в соответствии с предъявляемыми требованиями в течение определенного времени.

Под эффективностью функционирования СПРВ будем понимать затраты ресурса (воды, электроэнергии) на обеспечение заданного качества ее функционирования в течение определенного времени.

Обозначим L — множество активных элементов, т.е. насосных станций (НС) СПРВ; М — множество магистральных участков СПРВ; N — множество узлов сети с подключенными к ним потребителями; E=LUMUN; hi, qi, ieE — потеря давления и расход в І-м участ’Ке СЇРВ; HBXi, ^хЬ НВыхЬ ЦвыхЬ i6L давление и расход на входе и выходе i-й НС.

Введем критерии, характеризующие степень близости получаемых решений при использовании различных видов модели СПРВ. Будем оценивать эффективность решения задачи управления режимами функционирования СПРВ на основе агрегированной модели объекта относительно решения

78

РИ, 2001, № 4