Реалізація заданого розподілення теплової дії за допомогою системи стрічкових електронних променів Текст научной статьи по специальности «Математика»

здесь H — матрица констант, размерности m и v(n) - погрешность наблюдений. По аналогии с происхождением метода фильтрации, основанного на методе наименьших квадратов, минимизируется выражение

Z l((Z(i) - Hx(i)) / Si) + uT (i)Qr1u(i) /2 (21)

i=1

при ограничениях вида

x(i +1) -Фх(і) - u(i) = 0;i = 1, n -1. (22)

Минимизация (21) дает систему уравнений, описывающих приближенные фильтры:

+ Pn+l^U-

X(n +1 / n +1) = X(n +1 / n) + T.' Z(n +1)-HX(n + 1/n)

sn+1

X (n + 1/n) = ФХ (n).

)sn+1;

(23)

Приближенная матрица ковариаций X(n + 1/n +1) задается формулой

pni = Pn"+1/n + hTh X

X l'' ((Z(n +1) - HX (n + 1/n))/sn+1)/s2+1; (24)

Pn+1/n = ®PnФT + Qn ,

' I x, x < ko,

l (x) = \ ,

10, X - ko.

(25)

УДК 621.338.27:537.221

РЕАЛІЗАЦІЯ ЗАДАНОГО РОЗПОДІЛЕННЯ ТЕПЛОВОЇ ДІЇ ЗА ДОПОМОГОЮ СИСТЕМИ СТРІЧКОВИХ ЕЛЕКТРОННИХ ПРОМЕНІВ

ВАЩЕНКО В.А., КАНАШЕВИЧГ.В., ДРОБОТІ.В, БОНДАРЕНКОМ.О.

Описується постановка задачі реалізації заданого розподілу по поверхні виробу теплового впливу за допомогою сукупності нерухомих, дискретно розташованих уздовж зазначеної поверхні джерел теплового впливу гаусівського типу (одиничних стрічкових електронних променів) різної інтенсивності впливу і коефіцієнта зосередженості. Наводиться опис програм реалізації задачі та аналіз отриманих результатів.

В різних технологічних процесах обробки матеріалів рухомими джерелами теплової дії виникає задача визначення параметрів закону руху джерела, при яких забезпечується розподілена квазістаціонарна дія Рпов(х) [1—3]. Вона відома як задача реалізації заданого розподіленого керування за допомогою рухомого джерела дії, або просто — задача реалізації

Следовательно, результаты наблюдений обрабатываются, если остаточные разности находятся в пределах + kcr, где ст — оценка стандартного отклонения наблюдаемого шума, 1 < k < 1,8 ; s — мера рассеяния остаточных разностей. Рекомендуется оценка вида 5 = MAD/0,7 [3,4]. Здесь MAD —

медиана множества |e(t) - є|}, где є — медиана

(e(t)}. Для увеличения точости матрицы Pn+1 предлагается представлять в факторизованном виде согласно методу, предложенному в [5 ]. Теперь можно улучшать результаты помехоустойчивой фильтрации, используя разные виды функции l и другие концепции, применяемые в задачах помехоустойчивого оценивания параметров регрессии.

Литература: 1. Ljung L. On consistency and identiability / / Mathematical Programming Study, 1976. N 5. P. 169-190. 2. Ljung L. Consistency of the least-squares identification method// IEEE Trans. Automatic Control, 1976. V. AC-21. P. 779-781. 3. Holland P. W., Welsch R E. Robust regression using interactively reweghted least squares // Commun. Statist.,1977. V.a6. P. 813-828. 4. PolyakB. T, Tsypkin Ya. Z. Robust identification// Automatica. 1980. Vol. 16. P. 53-63.5.ТрицюкВ. И. Рекуррентный алгоритм идентификации модели, основанный на ортогональном разложении / / Радиоэлектроника и информатика, 1999. №3. С.46-48.

Поступила в редколлегию 21.11.2001

Рецензент:д-р техн.наук, проф. Шабанов-Кушнаренко С.Ю.

Грицюк Вера Ильинична, канд. техн. наук, докторант ХНУРЭ. Научные интересы: стохастические системы управления. Хобби: музыка, литература. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-93-06.

[3, 4]. При її вирішенні неодмінно постає питання щодо формального уявлення джерела рухомої дії. Повний математичний опис різного роду рухомих джерел можна знайти в працях [1, 5].

В практичних задачах реалізації [3] в основному використовується уявлення рухомих джерел у такому вигляді (одновимірний випадок):

р(х 0=u(0 • 4х - s(4 k(0], (1)

де F(x,t)—функція, що описує дію рухомого джерела (керування); х — координата у напрямку руху джерела; t — час; u(t) — інтенсивність дії; y — нормована функція, що описує форму джерела; s(t),k(t) — відповідно, закон переміщення центра дії і закон зміни його форми (коефіцієнт зосередженості).

Прийнята на теперішній час математична постановка задачі реалізації зводиться до такого [3,4].

Необхідно знайти параметри u(t), s(t), k(t) джерела заданої форми, яке рухається по об'єкту, із інтегрального рівняння:

1T

рпов (Х) = - • J u(0 • 4х - s(0> ^0]dt (2)

1 0

при наявності визначених обмежень на указані параметри (Т—час обробки, тобто період при бага-тоцикл овому русі джерела).

48

РИ, 2002, № 2

Сутність задачі реалізації (2) полягає в тому, щоб забезпечити рівність за час Т “вкладень” у будь-яку точку об 'єкта, що оброблюється, тепла від заданого розподіленого джерела та від рухомого джерела.

Аналітичне рішення інтегрального рівняння (2), яке відноситься до рівнянь Фредгольма першого роду[4], викликає значні й поки що нездоланні труднощі. Основні з них пов'язані з нелінійністю цього рівняння відносно шуканих функцій s(t) і k(t) та з наявністю обмежень на ці функції. При цьому методів аналітичного рішення інтегральних рівнянь Фредгольма першого роду при довільних значеннях у з обмеженнями на шукане рішення на теперішній час не існує. Таким чином, на сьогодні задача реалізації в загальному вигляді нерозв’язна.

Тому на практиці для розв’язання задач реалізації використовуються різні чисельні методи, кожний із яких орієнтований на конкретну технологічну задачу [3,4,6].

При цьому чисельне рішення задач реалізації різних розподілених дій за допомогою локального джерела, що переміщується, виявило суттєві обмеження в його використанні, особливо при обробці оптичних виробів, які мають як велику протяжність в окремих напрямках, так і складну геометричну форму. По-перше, для протяжних об'єктів складної форми реалізація заданої розподіленої потужності в межах широких ділянок шляхом багатоцик-лового руху (сканування) джерела технічно важко реалізовується. По-друге, на кінцевих ділянках обробки спостерігаються суттєві похибки у розрахунках (так, для рівномірного та параболічного розподілення потужності джерела теплової дії чисельні процеси збігаються дуже повільно) [4,6].

В даній роботі задача реалізації вирішувалася за допомогою дискретно-розташованих нерухомих джерел гаусівського типу (стрічкових “гаусіанів”, рисунок), з різними амплітудами та коефіцієнтами зосередженості (дисперсіями), які діють на поверхні виробу, що оброблюється [7]. При цьому керування дією таких джерел здійснюється автоматично з використанням мікропроцесорної техніки

[8,9].

1. Постановка задачі

Розглянутий підхід, незважаючи на очевидні переваги щодо надійності та метрологічного характеру, також потребує переходу до рішення задач реалізації від безперервного до дискретного розподілення потужності відносно поверхні, яка оброблюється, тобто визначення числа N дискретно-розподі-лених джерел енергії, потужності кожного джерела, а також місця розташування джерел.

Зазначену задачу реалізації будемо вирішувати при таких допущеннях:

1) Одновимірна постановка задачі.

Розглянемо одновимірну задачу реалізації заданого розподіленого керування за допомогою рухомого джерела дії.

На рисунку наведено схематичне уявлення наближення заданого розподілення дії Рпов(х) сумою дискретно розташованих нерухомих джерел гаусівського типу У(х).

2) Розподілення потужності по координаті х для кожного j-го дискретного джерела описується за законом Гауса, тобто:

yj(x)

1

e

(x - sJ)2 20 2

(3)

21

де о j = —--дисперсія; kj — коефіцієнт зосеред-

J 2kj

женості.

Тоді сумарна потужність у фіксованій j-й точці довжини х буде представляти собою суму yj(x) по всіх N джерелах:

N і N

Y(x) = Z yj(x) = -= Z j = 1 j V2^ j = 1

(x ~ j

2o 2

e

о

(4)

3) Будемо розглядати нормовані значення розподіленої потужності, які необхідно реалізувати (загальний сумарний енергетичний внесок однаковий для різних видів розподіленої потужності), а координату довжини в безрозмірному вигляді:

1 рпов (x) dx =1; (5)

0

£

тут x = L ; £ — поточне значення довжини; L — задана довжина ділянки, що оброблюється.

4) Розподілення дискретних джерел по всій довжині відрізка рівномірне, тобто відстань від максимуму j-го імпульсу до максимуму j+1 постійна і дорівнює 1/N.

РИ, 2002, № 2

49

Таким чином, задача полягає у визначенні числа дискретних джерел N та визначенні для кожного із

них параметра Sj (j= 1,N ), щоб наближення Тпов(х) функцією Y(x) було найкращим у деякій слушній нормі:

I =||Y(x)-Fиов(х| ^ min, (6)

що в загальноприйнятому формалізованому вигляді [2,3] стосовно розглянутої задачі має вигляд:

M S = Z і = 1

N1 Z — e

j = 1 оj

1

(x - si)2

2о 2

2

FnoB(xi)

^ min

N о j'

(7)

N визначається двома чинниками:

— по-перше — достатньою точністю наближення функції Тпов(х), що приводить до збільшення N;

— по-друге — можливістю технічної реалізації дискретного джерела.

Оскільки N може мати достатньо велике значення (декілька десятків), сформульована задача (2) є багатовимірною.

2. Загальний алгоритм розв’язання задачі

При зазначеному підході загальна схема алгоритму розв’язання задачі полягає в такому.

В ролі основної виступає програма чисельного методу оптимізації, в основному це методи типу Розенброка [11].

В основній програмі ROZENBROCKта підпрограмі MODEL [12], яка обраховує цільову функцію, за допомогою клавіатури встановлюється значення числа варіантних змінних N1, координат стартової точки Х(1), Х(2),..., X(N1), а також задаються значення числа одиничних джерел N та кількість вузлів дискретизації М1 координати довжини. Оператор CALL (рядок15) викликає підпрограму MODEL для підрахунку цільової функції Y1 в стартовій точці. Після повернення в основну програму формуються значення координат наступної точки і знову відбувається перехід на підпрограму MODEL для підрахунку цільової функції Y в сформованій точці (рядокЗО). Результат порівняння Y1 та Y визначає подальше наближення до оптимуму у відповідності з обраним чисельним методом.

Слід відзначити, що основна програма ROZENBR OCK виконана як стандартна і може бути використана в інших задачах. Змінною частиною вказаної програми є підпрограма MODEL, при цьому X— вектор варіантних параметрів, ЕТАІ — значення обчисленої цільової функції (суми квадратів нев‘язок), N1 — число координат вектора X.

3. Аналіз результатів

Проведені розрахунки на ПЕОМ, сумісних з IBM PC, AT, XT, для різних значень числа джерел дії N та видів Тпов(х), які мають практичні значення, показують, що для рівномірно розподіленої потужності джерела теплової дії по поверхні виробу, який обробляється, отримані такі рішення:

— при двох одиничних джерелах гаусівського типу, що реалізують задану розподілену теплову дію:

х(1)=0,71; х(2)=0,05; х(3)=1,8-10-3;

S=0,07;

— при п‘яти одиничних джерелах гаусівського типу, що реалізують задану розподілену теплову дію:

х(1)=1,22; х(2)=0,39; х(3)=0,36;

S=0,02;

— при восьми одиничних джерелах гаусівського типу, що реалізують задану розподілену теплову дію:

х(1)=3,06; х(2)=-0,02; х(3)=-1,5-10-3;

S=0,01;

— при десяти одиничних джерелах гаусівського типу, що реалізують задану розподілену теплову дію:

х(1)=3,07; х(2)=-0,02; х(3)=-1,5-10-3;

S=9,5-10-5.

Подальше збільшення одиничних джерел не проводилося, оскільки досягнута точність наближення S«10-4 цілком достатня для практичних розрахунків (відповідає середній квадратичній похибці «11%).

Результати розрахунків для інших практично важливих випадків розподілення потужності теплової дії по поверхні виробу, який обробляється, показують, що вказана точність також може бути досягнута за підхожу кількість кроків, але вже при набагато більшій кількості використовуваних одиничних джерел: при гіперболічному розподіленні потужності — порядку 30-40 джерел, а при широкому гаусівському розподіленні потужності — порядку 40-50 джерел.

4. Моделювання розв’язання задачі на карусельних обчислювальних системах

Значний інтерес представляє моделювання розв’язання задачі реалізації заданого розподіленого керування за допомогою рухомого джерела дії на мультимікропроцесорних обчислювальних системах, зокрема на карусельних обчислювальних системах (КОС) [9,13].

Розроблена програма MODEL KBCмоделює рішення розглянутої задачі на КОС, при цьому отримані результати розрахунків практично збігаються з результатами програми ROZENBROCK з похибкою, яка не перевищує 3 %. Однак варто помітити,

50

РИ, 2002, № 2

що ефективність рішення задачі на КВС значно вища, ніж при рішенні її на ПЕОМ, і залежить не тільки від числа мікропроцесорів в КОС, а в значній мірі від їх конфігурації у КОС. Отримані результати моделювання рішення розглянутої задачі на КОС підтверджують ефективність багатопроцесорної обробки даних та доцільність використання КОС при рішенні аналогічних класів задач

[9].

Отже, отримані результати можуть бути використані на практиці при керуванні рухомим електронним променем з метою реалізації на поверхні виробу, що підлягає обробці, заданого розподілення теплової дії, наслідком якої є формування в матеріалі виробу розподілення градієнту температури, швидкостей нагріву та охолодження, а також інших важливих параметрів температурних полів, які можуть зацікавити технолога.

Література: 1.ЧубаровЕ.П. Управляющие параметры подвижного воздействия. В кн.: Управление распределенными системами с подвижным воздействием. М.: Наука, 1979. С.9-16. 2. Управление распределенными системами с подвижным воздействием /Под ред.

А.Г.Бутковского. М.: Наука, 1979. 264с. Ъ.Бутковский

A. Г., КубышкинВ.А., ЧубаровЕ.П. Реализация распределенных управлений при помощи подвижных источников воздействия //Автоматика и телемеханика. 1983. №4. С.5-12. 4.ЧубаровЕ.П. Управление системами с подвижными источниками воздействием. М.: Энерго-атомиздат, 1985. 288с. 5. Бардыбахин А.И., Чубаров Е.П. Оптимальный нагрев твердого тела подвижным источником тепла в случае оценки конечного состояния с помощью линейных функционалов //Автоматика и телемеханика. 1993. №10. С.44-58. 6.Платонов А.С., Коломийцева М.Б., Митрофанов В.Е. Разработка и исследование алгоритмов оптимизации управления объектами нагрева с подвижными источниками воздействия // Сб. научных трудов Московского энергетического института. 1986. №4. С.75-91. 7.Ващенко В.А., Глущенко

B. И., Лисоченко В.Н. Формирование луче-импульсного управляющего воздействия // Тез. докл. научно-технической конференции. Черкассы: Филиал КПИ, 1989.

C. 49-50. 8.Ващенко В.А. Разработка и исследование методов реализации оптимального распределенного воздействия с помощью локальных источников. М.: Деп. в ВИНИТИ, 21.08.95, №73, ХП95. 9. Кочкарев Ю.А., Кривенко Н.И., Дробот И.В. Компьютерное моделирование эффективности многопроцессорной об-

работки данных при решении уравнений математической физики // Праці V української конференції з автоматичного управління “Автоматика 98”: Київ, 13-16 травня1998р. Ч. 3. Київ: НТУУ “Київський політехнічний інститут”, 1998. С.131-136. 10. Моисеев Н.Н. Современное состояние теории исследования операций. М.: Наука, 1979. 324с. 11.Демидович В.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970. 664с. 12. Ващенко В.А. Комплекс программных средств для решения инженерных задач на ПЭВМ, совместимых с IBM PC, AT, XT, по моделированию, оптимизации и управлению процессами взаимодействия концентрированных источников энергии с материалами. М.: Деп. в ВИНИТИ, 02.03.94, №31, ХП94. 13. Дробот И.В. Использование карусельных вычислительных систем для решения задач математической физики различными итерационными методами // Системний аналіз, управління і інформаційні технології: Вісник Харківського державного політехнічного університету. Збірник наукових праць. Вип. 73. Харків: ХДПУ, 1999. С.48-54.

Надійшла до редколегії 30.05.2001

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Шарапов В.М.

Ващенко В’ячеслав Андрійович, д-р техн. наук, професор, зав. кафедрою фізики Черкаського інженерно -технологічного інституту. Наукові інтереси: електронно-променева обробка матеріалів. Адреса: Україна, 18016, Черкаси, вул.Героїв Сталінграда, 22, кв.100, тел.: (0472)41-81-67, (0472) 43-41-55

Канашевич Геннадій Вікторович, канд. техн. наук, доцент кафедри фізики Черкаського інженерно-технологічного інституту. Наукові інтереси: електронно-променева обробка матеріалів. Адреса: Україна, 18010, Черкаси, вул. Руставі, 27, кв. 14, тел. (0472) 66-94-04, 4341-55.

Дробот Ірина Володимирівна, ст. викладач кафедри економічної кібернетики Черкаського інституту управління. Наукові інтереси: багатопроцесорна обробка, програмування, електронно-променева обробка матеріалів. Адреса: Україна, 18010 Черкаси, вул. Руставі, 15, кв. 72, тел.: (0472) 66-53-44. 64-90-66, е-mail: cim@ck.ukrtel.net

Бондаренко Максим Олексійович, аспірант кафедри фізики Черкаського інженерно-технологічного інституту. Наукові інтереси: електронно-променева обробка матеріалів. Адреса: Україна, 18010, Черкаси, вул. Гайдара, 9, кв. 551, тел.: (0472) 66-32-66, 43-41-55.

РИ, 2002, № 2

51