Моделирование и оптимизация хеджирования инвестиционных рисков Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ХЕДЖИРОВАНИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫХ РИСКОВ

Каранашев Анзор Хасанбиевич, кандидат экономических наук, доцент, заведующий кафедрой технологии социально-культурного сервиса Кабардино-Балкарского государственного университета;

[email protected]

Аннотация: Доказано, что инвестор, имеющий аддитивную функцию полезности, оптимально хеджирует только случайные изменения ставки по проценту и квадрат рисковых премий.

Ключевые слова: моделирование, хеджирование, инвестиционные риски, функция полезности

Abstract. The paper proves that investors with time-additive utility functions must only hedge stochastic variations in the short-term interest rate and in the squared market prices of risk.

Keywords: modeling, hedging, investment risks, utility function

В последнее время теория и практика выбора оптимального финансового портфеля столкнулась с отличительной чертой современных финансовых рынков: стохастичностью эволюции инвестиционной среды -ставки процента, цен рискованных активов, ожидаемых ставок доходности, вариационно-ковариационной матрицы доходностей по рисковым активам, ожидаемой скорости изменения дохода инвестора вне финансового рынка, ковариации или корреляции между перечисленными переменными.

Отмеченные особенности существенно влияют на оптимальный выбор инвестора, который может существенно отличаться от классической портфельной теории Марковица - Шарпа - Тобина [1-4].

В работе [5] в явном аналитическом виде получены компоненты оптимального портфеля (спекулятивного спроса и портфеля хеджирования) в зависимости от премий за риск, волатильности цен рискованных активов и функций полезности, позволяющие агенту финансового рынка непрерывно реструктурировать портфель в стохастической инвестиционной среде.

Анализ проведем на основе следующей модели. Возможны три ситуации: (1) инвестор извлекает полезность только из потребления, (2) инвестор извлекает полезность только из конечного капитала и (3) инвестор извлекает полезность и из промежуточного потребления, и из конечного капитала. Можно решить все три задачи одновременно, вводя параметры-

индикаторы, равные 0 или 1. Положим

Л~г

и

(с) = Є1 ----------, и (Ж) = Є

ж

1-у

1- у

1- у

где у - коэффициент относительного неприятия риска [6]. Трем описанным выше ситуациям соответствуют значения: (1) £г = 1, £2 = 0, (2) £г = 0, £2 = 1, (3) £г = £2 = 1. Запишем неявную функцию полезности

J (ж, .х, t )= sup Еж

-8^-ґ)

-Д-у

1 - у

ds + є2е

-8(Т-ґ) жт

1 - у

. (1)

В силу линейности динамики капитала (3) естественно предположить, что

(* * \ * с ,п I оптимальна при капитале Wt и переменной состояния

(* * \

^ ,п I будет оптимальна при капитале кЖг * и переменной

состояния х. Тогда

2

J (кЖ, х, t )= Е

к'-уЕ,

„( ,-«• -»й-у *. „,-«т-»Ы:

Ч 1 - У 2 1 - у

к1-^ (Ж, х, t)

т.е. неявная функция полезности однородна степени 1 - у по капиталу Подставляя к = -1 и преобразуя, получаем

J (ж , х, t )= , (2)

1 - у

1—у

где g(х, t)у = (1 - у)J(1, х, t). Из конечного условия J(ж, х, т)= е2

1-у

имеем g(х, Т)у = е2, что эквивалентно g(х, Т) = е2 при б2 = 1(0). Соответствующие производные от J равны

Jw (Ж, х, t)= g(х,t)уЖ-у ,

Jww (Ж, х, t) = -у^ (х, t )уЖ -у-1,

^(Ж, х, t) = 7^ g(х, 1: )у-1 gх(х, t )Ж 1-у,

1 - у

Jхх (Ж, х, )у-2 gх (х, t )2 Ж 1-у + :у g(х, 1:)у-1 gхх (х, t )Ж 1-у , (3)

1-у

^Жх (Ж, х t)= уg(х, t)у 1 gх(х, 11 )Ж у

^ (ж , хt)=-уу- g (^t )у-1 ^ (х, t )ж 1-дt 1 - у дt

Оптимальная инвестиционная стратегия принимает вид

П(Ж, х, t)= — (с(х, t)т) Я(х)+ gх,(х [) (<т(х, t)т) у(х), (4)

у g(х, t)

а оптимальная стратегия потребления определяется соотношением

/ ч Ж

С (Ж, х, t )= —г (5)

g иt)

у

у

(если инвестор не извлекает полезности из промежуточного потребления, С = 0). Из (5) следует, что оптимальное потребление представляет собой зависящую от времени и переменной состояния часть капитала. Оптимальная доля капитала, размещаемая в различные рискованные активы, как следует из (4), не зависят от капитала, но зависят от состояния и времени.

Подставляя производные (3) в уравнение (11) и упрощая, получаем, что функция g (х, ?) должна являться решением следующего дифференциального

уравнения в частных производных

Г ^ 1 -

у г(х) - ^“у л(х)т л(х) IВ(х, t) +

+ дg (х I) + Г т(х) +1-у А(х)т у(х)! в„ (х, I) + (6)

+ 2В.(х, I)(''(х)т ,« + у(х)2)- 2(1 - уХ>(х)2

с конечным условием в(х, т)= е2. Анализ показывает, что уравнение (6) имеет замкнутые решения в широком классе аффинных и квадратичных моделей (т.е. если г (х), Я(х)т Я(х), т(х), у(х)т А.(х), у(х)Tv(х) и -в(х)2 являются аффинными или квадратичными функциями х).

Применяя описанную процедуру к задаче с логарифмической полезностью, получаем JWх (Ж, х,!) = 0, и оптимальная стратегия инвестора принимает вид

Г „/ . .„Л-1 .Л

(7)

П 0 (Ж, х, t )Л

П (Ж, х, t)

1 - ^ (<г(х, t)т) Я(х)

(<т(х, t)т) Л(х)

где П0, П - части капитала, вкладываемого в безрисковый и рискованный активы соответственно. Из (7) видно, что инвестор с логарифмической полезностью не хеджирует стохастические изменения инвестиционных возможностей.

Рассмотрим обобщение модели на ситуацию, когда переменная состояния х имеет размерность к и следует диффузионному процессу

= т(х{ ^ + у(х| )т + Ъ{х{ , (8)

где m - вектор-функция размерности k, v и V - функциональные матрицы размерности n х k и k х k соответственно, Z - стандартное броуновское движение размерности k, не зависимое от z. Уравнение Беллмана принимает вид

—(W,x,t) = sup iu(c)+—— (W,x,t)+JW(W,x,t)(w[r(x)+nTo{x,t)A(x)]-c)+

c>0,neRn

—t

+1JWW (W, x, t )W 2nTo(x, t )r(x, t )T n + Jx (W, x, t )T m(x)+

+1 tr (—xx (W, x, t )[v(x )T v(x) + v(x )v(x )T ])+ WnTa(x, t )v(x )jWx (W, x, t )]

(9)

Максимизация правой части (9) относительно с и ж приводит к следующим (пробным) оптимальным стратегиям потребления и инвестирования

с* = с (ж;, х,, I),

С (Ж, х, I ) = I (3Ж (Ж, х, I)); ж* = П (г,\ х,, l),

П (Ж, х, t) = - (ст(х> | )т)-1 Л(х) - (ст(х, | )т )-1 у(х .

Южж (Ж, х, I)' ’ ' ' 'wJww (Ж, х, I)

Можно представить последний член в П в виде суммы к членов, по одному

на каждую компоненту переменной состояния:

П (W, x, t)

Jw (w , t)

WJ ww (W, x, t У

(ct(x,t)T) A(x)-

-z й x, t )T Г

j=

v

(x)

V2 j (x )

1j

v j (x)

JWx, (W,x,t)

(10)

WJww Ж, х, t)

V’ п^ ’)

Каждое из слагаемых в сумме интерпретируется как вложение капитала, хеджирующее изменение в одной компоненте переменной состояния. Поэтому в рассматриваемом случае имеет место разделение портфеля на к + 2 фонда: капитал инвестируется в безрисковый актив, спекулятивный фонд и к фондов хеджирования.

Подставляя стратегии с{ и ж{ обратно в уравнение Беллмана, получаем

уравнение в частных производных второго порядка

J (Ж, х, t) = и(1 ^ (Ж, х, t))) - Jw (Ж, х, t )1 (JW (Ж, х, t))+

+ ¿(Ж, х, t)+г(х(Ж, х, t) -1 ^Ж, х, 1) х(х)т 2(х)+ д, W ^ ' 2 Jww (Ж, х, t) ^ ^

Jх (Ж, х, t)Tm(х) + 2|г(/« (Ж, х |)[у(х)ту(х) + х(х)у(х)т ])- . (11)

Жх (Ж, ^ 1 )т 4хМх)т Жх (Ж, ^ 1) -

2 Jww (ж , х, I)

- 2 (г)т у(г) (ж,х,1 )JWх (ж,х,1)

- 2(х) Чх) Jww (Ж, х, I) .

При функции полезности с постоянным относительным неприятием риска решение уравнения (11) можно найти в виде

В(х■1 )уж 1-у. (12)

1 - у

Функция (12) действительно будет решением уравнения Беллмана, если функция в (х, I) является решением следующего дифференциального уравнения в частных производных

0 = е1 - - ^-у г (х) -1ут 2(х )т 2(х )) В(х, 1) +

V у у 2у )

+ дВ (х, 1) + Гт(х) + 1~~у у(х)т 2(х^ Вх (х, 1) +

д| V у )

+2,г (вхх(х, 1 )[чх )т у(х)+4х Мх )т ])-

- 2(1 - у)Вх (х, 1 )-1 Вх(х, 1 )т 4х Xх )т Вх(х1)

с конечным условием в (х, т )= е2. Оптимальная инвестиционная стратегия и стратегия потребления тогда определяются выражениями

П(Ж,х,I)= — Ых,I)т) 2(х)+—т1—гЫх,I)т) х(х£(х,I), (14)

у В (х, IГ

Ж

С (Ж, х, I )=——,. (15)

В(х, 1)

Из анализа, проведенного выше, может показаться, что инвесторы должны хеджировать все переменные, влияющие на г{, и а1, но в

действительности это не так. Покажем, что инвестору имеет смысл хеджировать только те риски, которые влияют на г1 и Л1.

Рассмотрим инвестора, выбирающего непосредственно «вектор волатильности капитала» р{ = <7{ жг вместо вектора жг. В этих обозначениях капитал эволюционирует следующим образом

dWt = Wt г + рі- с^ + Wtр'Tdzt.

Неявная функция полезности имеет вид

3, = шр ^

(с,р)

Заметим, что задача оптимизации не включает или а1. Предполагая теперь, что существует переменная х{, так что

г, =г (хI), 2 = л(х, X

имеем Jt = J(Ж,, х,, I), и можно использовать метод динамического программирования.

Для многомерной переменной х получаем оптимальный вектор волатильности капитала

=-WГГ41 )-х(х) ¿г ) • (1б)

гг(г, х, 1) гг(г, х, 1)

Следовательно, оптимальная портфельная стратегия имеет вид

ж =-JГх|L(етT)-1 Л(х )-(стт )-1 х(х) Зг (Г ’х’1 \. (28)

1 №7 тг (Ж, х, I у ’ ' ' ’Ж1ШГ (Ж, х, I)

Из этого анализа можно заключить, что инвестор должен будет хеджировать только переменные, влияющие на краткосрочную процентную ставку и рыночные цены риска (это, конечно, справедливо только в рамках рассматриваемой постановки задачи: например, инвестор со стохастическим трудовым доходом будет также хеджировать связанный с ним риск). Стохастические изменения в и а1 интересны только с точки зрения их

влияния на стохастические изменения рыночной цены риска! Можно представить финансовый рынок, на котором волатильности изменяются стохастически, но ожидаемые доходности по рисковым активам следуют изменениям волатильностей, так что рыночная цена риска постоянна во времени. На таком рынке ни один агент не будет оптимально хеджировать изменения волатильностей и ожидаемых доходностей. Матрица волатильностей рискованных активов оказывает влияние, когда агент хочет найти портфель жг, генерирующий желаемый вектор волатильности капитала р{.

Этот результат может быть усилен следующим образом. Рассмотрим дифференциальное уравнение (13). Предположим, что и г, и Т X и, следовательно коэффициент при g(х, t), не зависят от х . Тогда функция g(ї), удовлетворяющая обыкновенному дифференциальному уравнению

0 = Єї —

V

ї

и условию я (Т) = є У, будет также удовлетворять уравнению в частных производных (13). Таким образом, в этом случае решение я(х, ї) уравнения (13) не зависит от х . Следовательно, спрос на хеджирование в стратегии (14) исчезает. Другими словами, инвестор будет хеджировать только стохастические изменения, влияющие на краткосрочную процентную ставку Г и на квадрат рыночных цен риска

ЇЇ х =(^ — г^)Т {°^Т) 1 (МІ — ).

Подытожим полученные результаты в следующем Утверждении. Утверждение. Инвесторы, характеризующиеся аддитивной по времени функцией полезности, хеджируют только стохастические изменения

краткосрочной процентной ставки г{ и квадрата рыночных цен риска Т Т .

Этот результат допускает следующую интуитивную интерпретацию. «Касательный» портфель определяется соотношением

=

7т У*Г

NT 1(7,' I X,

к)-

Ожидаемая избыточная доходность по «касательному» портфелю равна

(ж, )т (¿'< - ^) =-------, 1 ' ! 22 .

Мт к )-12|

Волатильность «касательного портфеля» определяется выражением

7т )■

NT Iff,' I X,

Наклон мгновенной рыночной линии поэтому равен ^2 2 . (В модели с

единственным рисковым активом 2 = (^/ - г, )/и лЙЧ ='2 = 21). В

статической постановке оптимальный портфель определяется положением рыночной линии, т.е. (1) безрисковой процентной ставкой г и (2) наклоном, который равен коэффициенту Шарпа для «касательного» портфеля. Поэтому естественно, что для инвесторов в динамической модели представляют интерес изменения только этих двух переменных.

t

Литература

1. Шарп У., Александер Г., Бейли Д. (2003): Инвестиции. М.: ИНФРА-М.

2. Крушвиц Л. (2000): Финансирование и инвестиции, СПб.: Питер.

3. Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. - М.: «ИНФА-М», 1994.

4. Четыркин Е.М. (2002): Финансовая математика. М.: Дело.

5. Каранашев А.Х. Математическое моделирование и оптимизация портфельного инвестирования // Управление экономическими системами (электронный научный журнал), 2011. - № 11 (32).

6. Arrow K.J. (1971): The theory of risk aversion // Essays in the Theory of Risk -Bearing / Ed. by K.J. Arrow, Amsterdam: North-Holland.