Хеджирование инвестиционных рисков в моделировании «Потребительских» портфельных стратегий Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ХЕДЖИРОВАНИЕ ИНВЕСТИЦИОННЫХ РИСКОВ В МОДЕЛИРОВАНИИ «ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ» ПОРТФЕЛЬНЫХ СТРАТЕГИЙ

КУРДЮКОВ С. И.,

доктор экономических наук, профессор, Кисловодский институт экономики и права, e-mail: kiep_asy@mail.ru;

ДЖАНГИРОВ А.П.,

кандидат технических наук, доцент, Кисловодский институт экономики и права, e-mail: kiep_asy@mail.ru

Проведен анализ целесообразности хеджирования рисков, связанных с меняющимися инвестиционными возможностями, и доказано, что инвестору с аддитивной по времени функцией полезности следует хеджировать только стохастические изменения краткосрочной процентной ставки и квадрата рыночных цен риска.

Ключевые слова: моделирование; хеджирование инвестиционных рисков; процентная ставка.

The paper analyses the expediency of hedging risks, associated with changing investment opportunities. We prove that investors with time-additive utility functions must only hedge stochastic variations in the short-term interest rate and in the squared market prices of risk.

Keywords: modeling; hedging of investment risks; interest rate.

Коды классификатора JEL: G11, G24.

В последнее время теория и практика выбора оптимального финансового портфеля столкнулась с отличительной чертой современных финансовых рынков: стохастичностью эволюции инвестиционной среды — краткосрочной процентной ставки, цен рисковых активов, ожидаемых ставок доходности, вариационно-ковариационной матрицы доходностей по рисковым активам, ожидаемой скорости изменения дохода инвестора вне финансового рынка, ковариации или корреляции между перечисленными переменными. Отмеченные особенности существенно влияют на оптимальный выбор инвестора, который может существенно отличаться от классической портфельной теории Марковица — Шарпа — Тобина [2,

3, 4, 5].

В работе [1] в явном аналитическом виде получены составляющие оптимального портфеля (спекулятивный спрос инвестора и портфель хеджирования) как функции рисковых премий, волатильностей цен рисковых активов и характеристик функции полезности инвестора, позволяющие агенту финансового рынка непрерывно реструктуризовывать портфель в соответствии со стохастически меняющимися инвестиционными возможностями. Исследованы свойства оптимальных стратегий.

В настоящей работе при функции полезности с постоянным относительным неприятием риска предложен подход к определению замкнутых оптимальных решений инвестирования и потребления в широком классе стохастических моделей эволюции параметров инвестиционной среды. Проведен анализ целесообразности хеджирования рисков, связанных с меняющимися инвестиционными возможностями, и доказано, что инвестору с аддитивной по времени функцией полезности следует хеджировать только стохастические изменения краткосрочной процентной ставки и квадрата рыночных цен риска.

Возможны три ситуации: (1) инвестор извлекает полезность только из потребления, (2) инвестор извлекает полезность только из конечного капитала, и (3) инвестор извлекает полезность и из промежуточного потребления, и из конечного капитала. Можно решить все три задачи одновременно, вводя параметры-индикаторы, равные 0 или 1. Положим,

© С.И. Курдюков, А.П. Джангиров, 2G1G

TERRA ECONOMICUS ^ 2010 ^ Том 8 № 4 Часть 3

ТЕRRА ECONOMICUS ^ 2010 ^ Том 8 № 4 Часть 3

( \ с‘~7 / \ Мг,~у

г/(с)=е, й(1У)=£:

I V

1-7

где>' — коэффициент относительного неприятия риска [б]. Трем описанным выше ситуациям соответствуют значения: (1) Е| = 1, Е2 = 0, (2) £| = 0, £7 = 1, (3) Е) = £2 = 1 • Запишем неявную функцию полезности:

J()V,x,t)= эир Е№х, (^>я»)«[1.г]

?е-.М^1А+е

, 1-7 1-У

(1)

В силу линейности динамики капитала (3) естественно предположить, что если стратегия (с*,п* ) оптимальна при капитале и переменной состояния х, то стратегия (кс*,ж* ) будет оптимальна при капитале кШ* и переменной состояния х. Тогда

т.е. неявная функция полезности однородна степени 1 — У по капиталу. Подставляя к — — и преоб-

IV

разуя, получаем

J(W,x,t)=

ё{х,<У\У^ 1-у ■

(2)

IV

1-Т

где я(х,г)у =(1-у)Д1,ДГ,/) . Из конечного условия ,/(}У,Х, 7")= £ 2 -

. ^(х,7')=£2 при £2 = К®)- ^

g(x,TУ —£2, что

эквивалентно .

Соответствующие производные от 3 равны:

имеем

./д (IV, X, /) = -1— ^ ,у 1 Ях (х> ,

\-у

Jxx (IV, х, /) = -73? (г, г)у~: ях (х, I): IV|_г + —g(x, /)у1 gxx (х, /)И' (3)

] -у

3\а-, (№. х, /) = у#(х, /)у~'яг (х, /)№ -Ч’

— (^,х,/)=^—е(х,/У-' ^-(х,/)^. д! У ’ 1-у54 ’ Э/

Оптимальная инвестиционная стратегия принимает вид:

П(№,.х,1)=^(р(х,/У )\(х)+ ^(х,'У ) 1г(д), (4)

а оптимальная стратегия потребления определяется соотношением:

(5)

(если инвестор не извлекает полезности из промежуточного потребления, С = 0). Из (5) следует, что оптимальное потребление представляет собой зависящую от времени и переменной состояния часть капитала.

Оптимальные доли капитала, размещаемые в различные рисковые активы, как следует из (4), не зависят от капитала, но зависят от состояния и времени.

Подставляя производные (3) в уравнение (11) и упрощая, получаем, что функция g (х, /) должна являться решением следующего дифференциального уравнения в частных производных:

0 = Єі -

8 1-у

(т)-^—£х.(лг)гЛ.(г) #(-'•,/)+

2у

Э/

,»(л)+Ы^(л)ГУ(.г)

+1 £.о (*> I )()'С')/ у(л )+»€(.г

V

)+,€(.г)2)-

&(*.') +

gx(X’^)2

2

(б)

с конечным условием ё{х,Т)=г2. Анализ показывает, что уравнение (б) имеет замкнутые решения в штоком классе аффинных и квадратичных моделей (т.е. если г(х), к(х/ А.(.г), т(х), 1’(лгУ А.(.г), гус) г(г )и у€(х У являются аффинными или квадратичными функциями дс).

Применяя описанную процедуру к задаче с логарифмической полезностью, получаем .1 ]Гх (IV, / )= О, и оптимальная стратегия инвестора принимает вид

(7)

где П0, П — доли капитала, размещаемого в безрисковый и рисковые активы, соответственно. Из (7) видно, что инвестор с логарифмической полезностью не хеджирует стохастические изменения инвестиционных возможностей.

Рассмотрим обобщение модели на ситуацию, когда переменная состояния х имеет размерность к и следует диффузионному процессу

( /70(И',.г,/)'|_ 1 - ЫТ (р(х,іУ ) 'а.(л)

[і/(іУ,х,і) )

с!х, = т(х, )сіі+ У сі?, +і’€(х, )(]г€,,

(8)

где т — вектор-функция размерности к, V и у€ — функциональные матрицы размерности нук и кук, соответственно, г€ — стандартное броуновское движение размерности к, не зависимое от z. Уравнение Бел-лмана принимает вид:

(9)

Максимизация правой части (9) относительно с и п приводит к следующим (пробным) оптимальным стратегиям потребления и инвестирования:

■ (■■' ) С(П',х,і)=і(і„(П',х,і)); п' =//(<, *,,/}

Можно представить последний член в виде суммы членов, по одному на каждую компоненту переменной состояния:

ТЕRRА ECONOMICUS ^ 2010 ^ Том 8 № 4 Часть 3

ТЕRRА ECONOMICUS ^ 2010 ^ Том 8 № 4 Часть 3

У=1

Ы*))

м

Хх)

(10)

^■х(П',х,1)

Каждое из слагаемых в сумме интерпретируется как вложение капитала, хеджирующее изменение в одной компоненте переменной состояния. Поэтому в рассматриваемом случае имеет место разделение портфеля на к + 2 фонда: капитал инвестируется в безрисковый актив, спекулятивный фонд и к фондов хеджирования.

Подставляя стратегии с* и п* обратно в уравнение Беллмана, получаем уравнение в частных производных второго порядка:

&/(«',*,1)=и(1С/„ (1Г,х,/)))-^1 0г,х,/)1и„ Ог,х,г))+

+ ^ (IV, Х,,)+ г(х)ш„. (IV,X,,)-\(х)+

С// 2 »/Ц7|' уг 9Ху1)

+ Jx (IV, X, ІУ т(х)+ і ІГ (/„ (IV,X, /)[у(дг)г у(х)+у€(г)у€(г)'])-

(11)

I

игш1р.х,/)

Jwxtyv <Х,/)Т у(х)у(х)т J№■x(fV ,х,і)—

-Х(х

Л7,.(^,дг./)

При функции полезности с постоянным относительным неприятием риска решение уравнения (11) можно найти в виде:

g(x,lУ, IV1-7

, . . (12)

J(lV,x,l)=-

Функция (12) действительно будет решением уравнения Беллмана, если функция %(х, I) является решением следующего дифференциального уравнения в частных производных:

с конечным условием g(^, Т)-£ 2- Оптимальная инвестиционная стратегия и стратегия потребления тогда определяются выражениями:

П(IV,х,/)= —(р(х,/У) \(х)+—}—{р(х,гУ) у(х^х(х,і),

С(№,х,г)=

IV

*(*>0

(14)

(15)

Из анализа, проведенного выше, может показаться, что инвесторы должны хеджировать все переменные, влияющие на г,, р и а, но в действительности это не так. Покажем, что инвестору имеет смысл хеджировать только те риски, которые влияют на г( и X,.

Рассмотрим инвестора, выбирающего непосредственно «вектор волатильности капитала» (р, - О л г вместо вектора п. В этих обозначениях капитал эволюционирует следующим образом:

| | ■

Неявная функция полезности имеет вид:

У

J, = sup Е,

(с.ф)

\eMs4)u{cs)ds + eMT4)u(WT )

Заметим, что задача оптимизации не включает ц или о. Предполагая теперь, что существует пере-

менная x , так что

Г, = г(х, X X, = Х(х, X

имеем ■/, = •^0^1. , О/и можно использовать метод динамического программирования.

Для многомерной переменной х получаем оптимальный вектор волатильности капитала:

Ф, ='

ifJ„(ir.x.,) Следовательно, оптимальная портфельная стратегия имеет вид:

н у (Гу-»v(v) fV./lnr(lV.x,,)K ' > lV./lnr(fV,x,tX

(1б)

(28)

Из этого анализа можно заключить, что инвестор должен будет хеджировать только переменные, влияющие на краткосрочную процентную ставку и рыночные цены риска (это, конечно, справедливо только в рамках рассматриваемой постановки задачи: например, инвестор со стохастическим трудовым доходом будет также хеджировать связанный с ним риск). Стохастические изменения в fitи а, интересны только с точки зрения их влияния на стохастические изменения рыночной цены риска! Можно представить финансовый рынок, на котором волатильности изменяются стохастически, но ожидаемые доходности по рисковым активам следуют изменениям волатильностей, так что рыночная цена риска постоянна во времени. На таком рынке ни один агент не будет оптимально хеджировать изменения волатильностей и ожидаемых доходностей. Матрица волатильностей рисковых активов at оказывает влияние, когда агент хочет найти портфель п, генерирующий желаемый вектор волатильности капитала ф .

Этот результат может быть усилен следующим образом. Рассмотрим дифференциальное уравнение (13). Предположим, что и г, и ХТХ и, следовательно, коэффициент при g(x, t) не зависят от х. Тогда функция g(t), удовлетворяющая обыкновенному дифференциальному уравнению

и условию £ У, будет также удовлетворять уравнению в частных производных (13). Таким обра-

зом, в этом случае решение g(x, ,) уравнения (13) не зависит от х. Следовательно, спрос на хеджирование в стратегии (14) исчезает. Другими словами, инвестор будет хеджировать только стохастические изменения, влияющие на краткосрочную процентную ставку г, и на квадрат рыночных цен риска:

=(ц, -r,Nj(p,aj) ‘(и,-r,N).

Подытожим полученные результаты в следующем утверждении.

Утверждение. Инвесторы, характеризующиеся аддитивной по времени функцией полезности, хеджируют только стохастические изменения краткосрочной процентной ставки г( и квадрата рыночных цен риска Х^Х.

Этот результат допускает следующую интуитивную интерпретацию. «Касательный» портфель определяется соотношением:

I

ЫУХ

ТЕRRА ECONOMICUS ^ 2010 ^ Том 8 № 4 Часть 3

ТЕRRА ECONOMICUS ^ 2010 ^ Том 8 № 4 Часть 3

Ожидаемая избыточная доходность по «касательному» портфелю равна

(д.Пц.-г.лО- .

( )

Волатильность «касательного портфеля» определяется выражением:

Vfr,) о,о,гк, =— 1

А/’(о,0 Ч, '

Наклон мгновенной рыночной ЛИНИИ поэтому равен ^XjXt (в модели с единственным рисковым

активом X, = (д, - г, )/о,и = тЩ = X ). В статической постановке оптимальный портфель

определяется положением рыночной линии, т.е. (1) безрисковой процентной ставкой г и (2) наклоном, который равен коэффициенту Шарпа для «касательного» портфеля. Поэтому естественно, что для инвесторов в динамической модели представляют интерес изменения только этих двух переменных.

Итак, в работе показано, что проблема определения оптимальных стратегий инвестирования и потребления с учетом стохастической динамики цен рисковых активов и стохастической эволюции параметров инвестиционной среды может быть решена в замкнутой форме. Для широкого класса моделей предложен метод сведения уравнения в частных производных, характеризующего оптимальные портфельные веса (как функции волатильностей, краткосрочной процентной ставки, инвестиционного горизонта и коэффициента относительного неприятия риска), к обыкновенному дифференциальному уравнению, решение которого может быть найдено в аналитическом виде при конкретных спецификациях. Проведен анализ целесообразности хеджирования рисков, влияющих на параметры инвестиционной среды, и выяснено, что инвестору с аддитивной по времени функцией полезности оптимально хеджировать только стохастические изменения краткосрочной процентной ставки и квадрат рисковой премии по рисковым активам.

ЛИТЕРАТУРА

1. Джангиров А.П. Моделирование и оптимизация портфельных стратегий с учетом текущего потребления. 1. Базовая модель и свойства оптимальных стратегий // Экономический вестник Ростовского государственного университета. 2010. № 4.

2. Крушвиц Л. Финансирование и инвестиции. СПб.: Питер, 2000.

3. Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. М.: «ИНФА-М», 1994.

4. Четыркин Е.М. Финансовая математика. М.: Дело, 2002.

5. Шарп У., Александер Г., Бейли Д. Инвестиции. М.: ИНФРА-М, 2003.

6. ArrowK.J. The theory of risk aversion // Essays in the Theory of Risk — Bearing / Ed. by K.J. Arrow, Amsterdam: North-Holland, 1971.