CC BY
53
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ПОРТФЕЛЬНОГО ИНВЕСТИРОВАНИЯ
Каранашев Анзор Хасанбиевич, кандидат экономических наук, доцент, заведующий кафедрой технологии социально-культурного сервиса Кабардино-Балкарского государственного университета;
Аннотация: Исследованы оптимальные стратегии инвестирования и потребления агента фондового рынка. Аналитически выведены составляющие оптимального портфеля в зависимости от премий за риск, стохастически эволюционирующих параметров инвестиционной среды и функции полезности инвестира.
Ключевые слова: моделирование, портфель, инвестиции, оптимизация, финансовые активы, рискованные активы
Abstract. Optimal investment and consumption strategies of an agent of financial market are investigated. An explicit analytical characterization of the optimal portfolio in terms of risk premiums, stochastically evolving investment media and investor’s utility function is derived.
Keywords: modeling, portfolio, investment, optimization, financial assets, risky assets
Впервые задача оптимизации портфеля в стохастической модели с непрерывным временем поставлена в работах [1,2], однако полученные в явном виде решения соответствуют постоянным инвестиционным возможностям
или являются статическими по природе. За редким исключением [3,4], в большинство исследователей проблем оптимальных финансовых инвестиций применяют численные методы [5-8], что затрудняет выявление вклада портфельных компонент (спекулятивный спрос на рискованные активы и различные виды хедж-спроса) в оптимальные решения. Точные аналитические решения получены лишь в наиболее простых частных случаях. Так, при простой стохастической динамике цен рискованных активов и в предположении
о постоянстве процентных ставок и волатильностей цен активов точное решение задачи инвестирования без учета промежуточного потребления найдено в [4]. В работе [3] в предположении о бесконечном временном горизонте получено приближенное аналитическое решение задачи инвестирования (в условиях, когда краткосрочные процентные ставки постоянны, но премии за риск описываются стохастическим процессом), однако оно явно не связано с задачей оптимального потребления.
В данной работе оптимизируются стратегии инвестирование-потребление в условиях стохастических изменений цен рискованных активов и динамики характеристик среды инвестирования. Аналитически выведены компоненты финансового портфеля (выражения для спекулятивного спроса и хедж-портфеля) в зависимости от премий за риск, волатильности цен рискованных активов и функций полезности, позволяющие инвестору реструктурировать портфель сообразно со случайно изменяющимися характеристиками инвестиционной среды. Исследованы параметры оптимальной стратегии.
Рассматриваем экономику, динамика которой генерируется п -мерным винеровским процессом г = (г г), определенным на вероятностном пространстве (а /, Р); F = / :г е[0, т]} - правосторонняя фильтрация. Все стохастические процессы, рассматриваемые в модели, предполагаются прогрессивно измеримыми относительно этой фильтрации. Индекс г обозначает время г е[о, т ].
Предполагаем, что существует стохастически эволюционирующая переменная состояния х = (хг), определяющая изменения во времени процентной
ставки по безрисковому активу г, п - мерного вектора ожидаемых доходностей по рисковым активам л и стохастического процесса волатильностей а размерности п х п, т.е.
Г = г(хг), Лг = Л(хг, г), а = а(хг, г).
Изменения переменной состояния х определяют будущие ожидаемые доходности и ковариационную структуру финансового рынка. Рыночная цена риска (рисковая премия по рисковому активу) также определяется переменной состояния:
Х(хг) = а(хг, г)-1 (Л(хг, г) - г(хг ^X где N - п - мерный вектор из единиц.
Для простоты сначала рассмотрим ситуацию, когда переменная состояния является одномерной. Динамику цен рискованных активов описываем стохастическими дифференциальными уравнениями
dPt = diag(Рг )[(г(хг )N + а(хг, г)я(хг + а(хг, г )dzt], (1)
где diag (Рг) - матрица размерности п х п с Рг по главной диагонали и нуля-
ми вне главной диагонали, dzt - п - мерное стандартное броуновское движение.
Предполагаем, что х определяется одномерным диффузионным процессом
dxt = т(хг + у(х( )т dzt + €хг )^£, (2)
где £ - одномерное стандартное броуновское движение, не зависящее от -, а
индекс Г означает транспонирование. Поэтому при £х{ 0 существует эк-
зогенное возмущение переменной состояния, которое не может быть хеджировано инвестициями на финансовом рынке. Другими словами, рынок в этом случае является неполным (в противном случае, если £х1) = 0, финансовый рынок является полным). Вектор у(х1 ) описывает чувствительность переменной состояния к экзогенным возмущениям рыночных цен активов, вектор а(х, ?) у(х) есть вектор мгновенных коэффициентов ковариации между до-
т
ходностями по рисковым активам и переменной состояния, а матрица аа -вариационно-ковариационная матрица ожидаемых доходностей.
Капитал инвестора эволюционирует следующим образом
= Wt[г(х) + ж]а(xt, t)Я(xt)]Л - + Wtжt а(xt, г)dzt, (3)
где с - стратегия потребления, а жг - стратегия инвестирования (вектор жг определяет доли капитала, размещаемого в каждый из п рискованных активов). Неявная функция полезности инвестора определяется следующим образом
~т
J (W, х, t )= sup E}
(5)
W,x,t J )ds + ~tU(WT) , (4)
(cs ж L[t,T] L t _
где E - оператор математического ожидания, и(с) - мгновенная функция полезности инвестора, 8 - субъективный дисконтный фактор.
Запишем уравнение Беллмана, соответствующее задаче (4)
Г дТ
8J (W, х, t )= sup <и(с)+—(W, х, t)+
с>0,neRn t ^
+ JW(W,x, t)(w r(х) + жтg(x, t)я(х)]- ct)+
+ 2 Jww (W, х, t )W 2 жта(х, t )г(х, t )т ж + J:x (W, х, t )ш(х)+
+1Jхх (W, х, t )(у(х )T у(х) + €(х )2)+ JW (W, х, t )WжTст(x, t )у(х )j.
Г раничное условие к (5) имеет вид J (W, х, T) = и (W).
Максимизация правой части уравнения (5) относительно с дает условие первого порядка
и '(с)= JW (W, х, t), (6)
т.е. текущая полезность от текущего потребления одной дополнительной единицы должна равняться предельной полезности от оптимального инвестирования этой единицы. Обозначая через Iu функцию, обратную предельной полезности и '(с), запишем (пробную) оптимальную стратегию потребления в виде
с* = С (ж,*, х(, і)
где
С (W, х, ^ )= 1„ [1ЯГ (W, х,г)] (7)
Максимизация правой части (5) относительно ж дает следующее условие первого порядка
JW (Ж, х, ? ^а(х, ? )я(х) + JWW (Ж, х, ? )W 2а(х, ? )г(х, ? )т ж +
+ JWx (W, х, ? )¥а(х, ? )у( х )= 0
так что (пробная) оптимальная инвестиционная стратегия имеет вид
* / * \
ж* = П(wt , xt, ?),
где
П(W, х, ?)=—^(w, x,г) (а(х, г)т V я(х)-4 ' WJww (W, х, * )' У
.Ж(ж,х,і) СТ(х ,)т У1/ )
Ж/жж (Ж, х, і)' ( , ; ' ( )-
(8)
Условия второго порядка для максимума выполнены, поскольку / вогнута по Ж, а и вогнута по с.
Заметим, что если г, л и ст не зависят от времени, второй член в правой части (8) отсутствует (отсюда следует, что при неизменных характеристиках инвестиционной среды спрос инвестора на хеджирование отсутствует), а первый член
_/Ж) (^)-1я = _ /ж(Ж,,) (^)-1 ( N)
Ж./ЙГЙГ (Ж, і у ’ Ж/жж (Ж, і)' ’
есть произведение относительной терпимости инвестора к риску
_ /ж (Ж, і) г „ „
т------т---гй, матрицы, обратной вариационно-ковариационной матрице и
Ж/ЖЖ(ж, і )1
вектора ожидаемых избыточных доходностей.
При сокращении инвестиционного горизонта неявная функция полезности / (Ж, х, і) приближается к конечной функции полезности и (Ж), не зависящей от состояния х. Следовательно, производная /Жх (Ж, х, і) и второй
член портфельной стратегии стремятся к нулю при г ^ т . Другими словами, краткосрочные инвесторы (т.е. имеющие короткий инвестиционный горизонт) не хеджируют изменения инвестиционных возможностей. Кроме того, второй член в (8) исчезает для инвесторов с конечным инвестиционным горизонтом в двух специальных случаях:
(1) Jwx ^, х, г) = 0. Переменная состояния не влияет на предельную полезность инвестора. Как будет видно из дальнейшего анализа, это всегда справедливо для инвестора с логарифмической полезностью. Такой инвестор не заинтересован в хеджировании изменений переменной состояния.
(2) у(х)= 0. Переменная состояния некоррелирована с мгновенной доходностью продаваемых активов. В этом случае инвестор не способен хеджировать изменения переменной состояния.
Во всех остальных случаях переменная состояния приводит к появлению дополнительного спроса инвестора в оптимальном портфеле по сравнению со случаем постоянных инвестиционных возможностей. Из (8) получаем следующий важный результат.
Утверждение 1. Оптимальный портфель включает (1) безрисковый актив (банковский счет), (2) спекулятивный ("близорукий") спрос, определяемый весами
1
ж* =-----------------гз------, ч ^х*.
(<т( х* , г)т) 1 Л(х* ) и (3) спрос на хеджирование, определяемый весами
=---7-------1 -----(а(хг, г )т ) 1 Ахг).
^ {а(х,, г )т )-1 у(х, )
Заметим, что структура спекулятивного спроса и спроса на хеджирование меняется со временем благодаря изменениям переменной состояния.
Следующая Утверждение показывает, что среди всех портфелей портфель хеджирования имеет максимальную абсолютную корреляцию с переменной состояния. Для полного финансового рынка максимальная корреляция равна
единице, и спрос на хеджирование в основном повторяет динамику переменной состояния.
Утверждение 2. Абсолютное значение мгновенной корреляции между изменением стоимости инвестиционной стратегии и изменением переменной
состояния максимально для инвестиционной стратегии ж{ = ж^.
Доказательство. Процесс стоимости инвестиционной стратегии ж = (ж* ) имеет следующую динамику
^ж = V* (г(х* ) + жта(хг, г)Я(х* ^ а(х, г.
Мгновенная дисперсия равна (уж У ж1 а(хг, г )т(хг, г )т ж* , а мгновенная ковариация с переменной состояния равна Угжжта(хг, г)у(х* ). Поэтому квадрат мгновенной корреляции составляет
р 2 _ V г лг и \лг’Чу\лг
а(хг, г У)(х, ))2
(угж )2 ж! а(хг, гМхг, гУ жг )(Чхг)т у(хг) + £хг)2 )
_____________(ж!а(хг, гНх, ))2_______________
(жгт а(хг, г Мхг, г У жг \(хг У у(хг) + £хг)2 )
а(х,, г )а(хг, г г ж (Их, г у\х, )+ здх,
Портфель, максимизирующий р , будет также максимизировать абсолютную корреляцию |р|. Условие первого порядка существования максимума предполагает, что
а(хг, гМхг )(жгта(хг, гМхг, гУ жг )= (ж!а(хг, гМхг , гМхг, гУ жг ■ Умножая обе части этого равенства на матрицу, обратную к а(хг, г )г(хг, г )т, приходим к равенству
(сг(х* , гУ ) 1 у(х* )(ж[ а(хг, гМхг, гУ жг )=(ж! а(хг, гМхг )Уг, (9)
которое нужно разрешить относительно жг. Сумма компонент вектора в левой части равенства (9) равна
^ (а(хг, г)т ) 1 у(хг а(хг, гМхг, гУ жг)
в то время как сумма компонент вектора в правой части (9) равна жта(хг, г)у(хг), поскольку Nтжг = 1. Разделив каждую часть равенства (9) на сумму компонент, получаем утверждение теоремы
Рассмотрим ситуацию, когда имеется единственный рисковый актив, так что а(х, г) и у(х) суть скаляры. Спрос на хеджирование в ж** принимает вид
_ JWx У
№№ а
Заметим, что JWW < 0 в силу вогнутости. Если V и а имеют одинаковый знак, то доходность по рисковому активу будет положительно коррелирована с изменениями переменной, состояния. В этом случае видно, что спрос на хеджирование по активу положителен, если предельная полезность JW возрастает с ростом х, так что JWx > 0. По сравнению с ситуацией с постоянными инвестиционными возможностями при наличии спроса на хеджирование инвестор будет размещать большую долю капитала в рисковый актив, имеющий высокую доходность в состояниях рынка с высокой предельной полезностью. Противоположная ситуация имеет место, если V и а имеют разные знаки, т.е. коррелированы отрицательно.
Можно предложить еще одну интерпретацию портфельной стратегии.
*
Утверждение 3. Оптимальная портфельная стратегия ж представляет собой единственную стратегию, минимизирующую флуктуации потребления со временем, среди всех портфельных стратегий с одинаковой с ж* ожидаемой доходностью.
Доказательство. Ожидаемая доходность по оптимальному портфелю (8) составляет
л (х,г) = г(х) + (ж**) (л(х,г)- г(х^).
Норма потребления определяется условием
с, = Фг, х,, г). (10)
Применение леммы Ито к (10) дает
^ = Шг + (cw (^, х, , гУжа(хг, г) + Сх (wt, хг, гМхг Г +
+ Сх (wt, хг, гЖхг
(член с тенденцией ВШ нетрудно вычислить, однако он не играет роли в дальнейшем анализе), откуда следует, что мгновенная дисперсия процесса потребления равна
а2 = Сw (Ж, х,г) 2 W2жта(х, г)г(х, г)т ж + Сх(Ж, х,г) 2 (у(х)т у(х) + У(х)2)+
+ 2СW (w, х, г)сх (w, х, г^ж т а(х, г)у(х)
2
Рассмотрим задачу минимизации ас среди всех портфелей ж, имеющих
ожидаемую доходность, равную и*(х,г), т.е. портфелей ж с
г (х) + жт а(х, г )я(х) = и* (х, г).
Составляя функцию Лагранжа
2 = а2 + (р\р*(х,г)- г(х)- жта(х,г)Я(х)], находим условие оптимальности
ж* =---------ч— -----(а(х,г)т )-1 д(х)- Сх (w■хг) 1а(х, ,)т )-1 у(х).
2Сц! (W, х, г )2 W2 ' ’ WСw (w> х, О' 1 >
Дифференцируя условие и '(С(W, х, г)) = Jw (W, х, г) вдоль оптимальной траектории потребления по W и х, получаем
и "(С(^, х, г))с^ (w, х, г)=Jww (w, х, г), и"(с (w, х, г))сх (w, х, г) = JWx , х, г).
Поэтому
Сх ^, х, г) = JWx (W, х, г) WСw (W, х, г) WJww (w, х, г) ’
^ * ** -л- ^
так что вторые члены выражений ж и ж идентичны. Первый член выра-
** * ^ ** жения ж пропорционален первому члену ж , и поскольку портфель ж
выбран так, что он имеет одинаковую ожидаемую доходность с ж , первые
члены также должны совпадать. Итак, ж =ж , что и требовалось доказать.
Выше были обсуждены общие выражения, определяющие оптимальные стратегии инвестирования-потребления, выраженные через неизвестную неявную функцию полезности. Чтобы найти конкретные решения, следует подставить стратегии (7), (8) в уравнение Беллмана (5), в результате чего получается дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка
^ (ш, х, г) = и(1 (JW (ш, х, г))) - Jw (ш, х, г)1 (JW (ш, х, г)) +
+ ^(Ж, хг) + г (х)ж/ w(ж, x, г) - 2 Я(х) т Я(х) +
дг 2 Jww(ж, x, г)
+ Jx (Ж, х, г)т(х) +1 Jxx (Ж, х, г)(у(х)ту(х) + $(х')2)- ^ ^
1 -/Шх {Ж, x, г)2 у(х)ту(х) - ^, X, ^ (W, X, г) А(х)Чх)
-------------------------------------------------------1/1 I I 1/1 I I ----------------------
2 Jww , x, г) Jww , x, г)
Если это уравнение имеет решение J (W, х, г), при котором стратегии (7), (8) допустимы, то эти стратегии действительно являются оптимальными стратегиями инвестирования и потребления. Несмотря на сложность уравнения
(11), решения его в замкнутом виде могут быть найдены в ряде интересных модельных спецификаций. В следующей работе рассмотрим процедуру его решения для широкого класса функций полезности с постоянным относительным неприятием риска.
Литература
1. Merton R.C. (1969): Lifetime portfolio selection under uncertainty: the continuous - time case // Review of Economics and Statistics. V. 51. №2.
2. Merton R.C. (1971): Optimum consumption and portfolio rules in a continuous - time model // Journal of Economic Theory. V.3. №2.
3. Brandt M.W. (1999): Estimating portfolio and consumption choice: a conditional Euler equations approach // Journal of Finance. V. 54. №6.
4. Canner N., Mankiw N.G., Weil D.N. (1997): An asset allocation puzzle // American Economic Review. V. 87. №2. P. 181-191.Крушвиц Л. (2000): Финансирование и инвестиции, СПб.: Питер.
5. Уотшем Т. Дж., Паррамоу К. (1999): Количественные методы в финансах. М.: ЮНИТИ.
6. Шарп У., Александер Г., Бейли Д. (2003): Инвестиции. М.: ИНФРА-М.
7. Arrow K.J. (1971): The theory of risk aversion // Essays in the Theory of Risk -Bearing / Ed. by K.J. Arrow, Amsterdam: North-Holland.
8. Balduzzi P., Lynch A.W. (1999): Transaction costs and predictability: some utility cost calculations // Journal of Financial Economics. V. 52. №1.
