Свойства оптимальных портфельных стратегий с учетом текущего потребления в стохастических условиях Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Фондовый рынок

СВОЙСТВА ОПТИМАЛЬНЫХ ПОРТФЕЛЬНЫХ СТРАТЕГИЙ С УЧЕТОМ ТЕКУЩЕГО ПОТРЕБЛЕНИЯ В СТОХАСТИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ

Экономико-математическая модель инвестирования и потребления с учетом стохастической динамики инвестиционной среды.

Свойства оптимальных стратегий

Инвестор имеет возможность вкладывать средства в банковский счет (безрисковый актив) и п рисковых активов. Предполагаем, что существует стохастически эволюционирующая переменная состояния х = (х,), определяющая изменения во времени процентной ставки по безрисковому активу г , п — мерного вектора ожидаемых доходностей по рисковым активам ц и стохастического процесса волатильностей о размерности п х п, т.е. г, = г(х,), ц, = ц(х,,,), о, = о (х,,). Изменения переменной сосхо-яния х определяют будущие ожидаемые дохода ости и вариационно-ковариационную структуру финансового рынка. Рисковая премия по рисковому активу также определяется переменной состояния: X (х, )= о (х,,,)1 (ц (х,,,)- г (х, )#),

где N — п -мерный вектор из единиц. Динамику цен рисковых активов описываем стохастическими дифференциальными уравнениями:

dPt = diag(Р,{(г(х,^ + о (х,,,)Х(х,)), + о (х,,,], (1)

где diag (р) — матрица размерности п х п с р по главной диагонали и нулями вне главной диагонали, dzt — п -мерное стандартное броуновское движение.

Предполагаем, что х определяется одномерным диффузионным процессом:

dxt = т (х, ^ + V (х,) dz,t + V (х, , (2)

где £ — одномерное стандартное броуновское движение, не зависящее от z, а индекс Т означает транспонирование. Поэтому при V (х, )* 0 существует экзогенное возмущение переменной состояния, которое не может быть хеджировано инвестициями на финансовом рынке. другими словами,

И.Г. НАТАЛУХА, кандидат экономических наук Кисловодский институт экономики и права

рынок в этом случае является неполным (в противном случае, если V(x, )= 0 , финансовый рынок является полным). Вектор v(xt) описывает чувствительность переменной состояния к экзогенным возмущениям рыночных цен активов, вектор о (x,t) v(x) есть вектор мгновенных коэффициентов ковариации между доходностями по рисковым активам и переменной состояния, а матрица ооT — вариационно-ковариационная матрица ожидаемых доходностей.

Капитал инвестора эволюционирует следующим образом [2,3]:

dWt =Wt [r (xt)+nJo (xt, t)X (xt)] dt - c,dt +

+WtnJo (x,,t)dz, , (3)

где ct — стратегия потребления, а nt — стратегия инвестирования (вектор п, определяет доли капитала, размещаемого в каждый из n рисковых активов). Неявная функция полезности инвестора определяется следующим образом:

~T

J(W,x,t)= sup EWxJ Je~H'-t)u(cs)ds + e~KT-t)u (WT) , (4)

где E — оператор математического ожидания; u (c ) — мгновенная функция полезности инвестора; 8 — субъективный дисконтный фактор инвестора.

Запишем уравнение Беллмана, соответствующее задаче (4):

\ д J

8J(W,x,t)= sup \u(c)+—W,x,t)+ +JW (W, x,t)(W [r (x)+ n To (x,t)X (x)] - ct)

+1 Jm (W,x,t)W2n To (x,t)o (x,t)Tn + Jx (W,x,t)m(x)+ +1Jx (W, x, t)(v (x)Tv (x)+ V (x)2) JWx (W, x,t)Wn To (x, t)v (x).

(5)

1раничноеусловиек(5)имеетвид J (н, х,Т )= и (н ). Максимизация правой части уравнения (5) относительно с дает условие первого порядка:

и'(с )= 1н (Н, х,,). (6)

Условие (6) означает, что текущая полезность от текущего потребления одной дополнительной единицы капитала должна равняться предельной полезности от оптимального инвестирования этой единицы. Обозначая через 1и функцию, обратную предельной полезности и'(с), запишем (пробную) оптимальную стратегию потребления в виде с* = С (V, *, х, ,,), где

С (V, х,,)= 1и [IV (V, х,,)] . (7)

Максимизация правой части (5) относительно п дает следующее выражение для оптимальной инвестиционной стратегии п * = П (V,', х,,,)

П(V,^)=-vIVVx;X))(° (*')т У *(х)-

- 1ш У^и (хс$)\(ху (8)

VIvv (V,х,,)\ ^ ' > ) У >

Заметим, что при постоянных инвестиционных возможностях, т.е. если г , ц и о не зависят от времени, вторая составляющая портфеля в правой части (8) отсутствует (отсюда следует, что при постоянных инвестиционных возможностях спрос инвестора на хеджирование отсутствует), а первая составляющая

1у (V,, )

У1уу (V,,)

(о ' )-1 * =

IV (V,,) VIwv (V,, )

(оо т )-1 (ц - N )

мых активов. В этом случае инвестор не способен хеджировать изменения переменной состояния.

Во всех остальных случаях переменная состояния приводит к появлению дополнительного спроса инвестора в оптимальном портфеле по сравнению со случаем постоянных инвестиционных возможностей. Из (8) получаем следующий важный результат.

Утверждение 1. Оптимальный портфель включает (1) безрисковый актив (банковский счет), (2) спекулятивный спрос, определяемый весами 1

N

( (х,,,)Т У *(х,)

(о (х,,,)Т) *(х,)

и (3) спрос на хеджирование, определяемый весами " 1 "(о (х,,)Т)-1 V(х,)

N

(о (х,,, )т )-1 V (х,)

представляет собой произведение относительной

-IV (V, ,)

терпимостиинвестора к риску VI (V () , матрицы, обратной вариационно-ковариационной матрице, и вектора ожидаемых избыточных доходностей.

При сокращении инвестиционного горизонта неявная функция полезности I (V, х, ,) приближается к конечной функции полезности и (V), не зависящей от состояния х . Следовательно, производная ^ (V, х,,) и второй член портфельной стратегии стремятся к нулю при , ^ Т. Другими словами, краткосрочные инвесторы (т.е. имеющие короткий инвестиционный горизонт) не хеджируют изменения инвестиционных возможностей. Кроме того, второй член в (8) исчезает для инвесторов с конечным инвестиционным горизонтом в двух специальных случаях:

1). Im (V,х,,)= 0. Переменная состояния не влияет на предельную полезность инвестора. как будет видно из дальнейшего анализа, это всегда справедливо для инвестора с логарифмической полезностью. Такой инвестор не заинтересован в хеджировании изменений переменной состояния.

2). V(х)= 0. Переменная состояния некорре-лирована с мгновенной доходностью продавае-

Заметим, что структура спекулятивного спроса и спроса на хеджирование меняется со временем благодаря изменениям переменной состояния. следующее Утверждение показывает, что среди всех портфелей портфель хеджирования имеет максимальную абсолютную корреляцию с переменной состояния (доказательство Утверждения не приводится ввиду громоздкости). для полного финансового рынка максимальная корреляция равна единице, и спрос на хеджирование в основном повторяет динамику переменной состояния.

Утверждение 2. Абсолютное значение мгновенной корреляции между изменением стоимости инвестиционной стратегии и изменением переменной состояния максимально для инвестиционной стратегии п, = п^.

Рассмотрим ситуацию, когда имеется единственный рисковый актив, так что о (х,,) и V(х) суть скаляры. Спрос на хеджирование в п* при-

нимает вид -

^щг о

Заметим, что Ivv < 0 в силу вогнутости. Если V и о имеют одинаковый знак, то доходность по рисковому активу будет положительно коррели-рована с изменениями переменной, состояния. В этом случае видно, что спрос на хеджирование по активу положителен, если предельная полезность возрастает с ростом х , так что IVx > 0 . По сравнению с ситуацией с постоянными инвестиционными возможностями при наличии спроса на хеджирование инвестор будет размещать большую долю капитала в рисковый актив, имеющий высокую доходность в состояниях рынка с высокой предельной полезностью. Противоположная

п

ситуация имеет место, если V и о имеют разные знаки, т.е. коррелированы отрицательно.

Можно предложить еще одну интерпретацию оптимальной портфельной стратегии.

Утверждение 3. Оптимальная портфельная стратегия п * представляет собой единственную стратегию, минимизирующую флуктуации потребления со временем, среди всех портфельных стратегий с одинаковой с п * ожидаемой доходностью.

Выше были рассмотрены общие выражения для оптимальных стратегий инвестирования и потребления (7) и (8), выраженные через неизвестную неявную функцию полезности. Чтобы найти конкретные решения, следует подставить стратегии (7), (8) в уравнение Беллмана (5), в результате чего получается дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка: 51 (V, х,, )= и (II (V, х,,)))- V (V, х,, )11 (V, х,,))+

f (W, )+ , (х Ww (W, X, )-2 jWWé) X (x )T X (x

(9)

c1-7 _ W1

u (c )=eiTZ7 ' u (W )=е 2jz

'1 - У

где У — коэффициент относительного неприятия риска. Трем описанным выше ситуациям соот-

ветствуют значения: (1) £i = 1, е2 = 0, (2) £i = 0, е2 = 1, (3) е1 = е2 = 1. Запишем неявную функцию полезности:

Ге1Ь-8 С-» )il ds + е 2e(T- ) WL.

J 1 - y 1 - y

J(W,x,t)= sup ew:X/

(c S

t,T ]

(10)

В силу линейности динамики капитала (3) естественно предположить, что если стратегия (с*,п*) оптимальна при капитале V* и переменной состояния х , то стратегия (кс,п*) будет оптимальна при капитале кЖ, * и переменной состояния х . Тогда

J (kW, x,t )= Et

J e-t (-» )(kc*L ds+е e-8(T-t )

t )(kWT )

1 - Y

= klJf E,

* Г

-b(s-t )

, Ж

1 - Y '

e-5 (T-t )

-t W y

1 - Y

1 - У

= k1-ï J (W, x,t ),

(V, х,,)т (х)+1 ]хх (V, х,,)( (х)Tv (х)+ V (х)2 )

1 V (V, ^)2 v ( ^ ( ) -У (V,x,,)Ivx ^,x,,)* ( )тv ( )

2 (V, х,, (V, х,,) КГ

Если это уравнение имеет решение I (V, х,,), при котором стратегии (7), (8) допустимы, то эти стратегии действительно являются оптимальными стратегиями инвестирования и потребления. Несмотря на сложность уравнения (9), решения его в замкнутом виде могут быть найдены в ряде интересных модельных спецификаций. Рассмотрим процедуру его решения для широкого класса функций полезности с постоянным относительным неприятием риска.

Оптимальное решение задачи инвестирование-потребление при функции полезности инвестора с постоянным относительным неприятием риска

Возможны три ситуации: (1) инвестор извлекает полезность только из потребления, (2) инвестор извлекает полезность только из конечного капитала и (3) инвестор извлекает полезность и из промежуточного потребления, и из конечного капитала. Можно решить все три задачи одновременно, вводя параметры-индикаторы, равные 0 или 1. Положим

V1-7

т.е. неявная функция полезности однородна степени 1 - у по капиталу. Подставляя к = — и преоб-

V

разуя, получаем

, ч Я (х, У V1-7 ,11Ч

I (V,х,,)= ^ у -, (11)

где я (х,,) =(1 - у )/ (1, х,,). Из конечного условия

V1-7

I(v,х,т)=£2 — имеем я(х,Т) = £2,

что эквива-

лентно я (х,Т )= £2 при £ 2 = 1(0).

С учетом (11) оптимальная инвестиционная стратегия принимает вид

П(V,х,,)= 1 (о (х,,)Т)-1 *(х)+ ^(о (х,,)Т) v(x), (12)

а оптимальная стратегия потребления определяется соотношением

V

С (W, x, t)= е1

g(x,t)

(13)

(если инвестор не извлекает полезности из промежуточного потребления, С = 0 ). Из (13) следует, что оптимальное потребление представляет собой зависящую от времени и переменной состояния часть капитала. Оптимальные доли капитала, размещаемые в различные рисковые активы, как следует из (12), не зависят от капитала, но зависят от состояния и времени.

Подставляя соответствующие производные от функции полезности (11) в уравнение (9) и упрощая, получаем, что функция я (х,,) должна являться решением следующего дифференциального уравнения в частных производных:

+

0 = <4-[ ^ -1-1 г (х )- ^ X (х )Т X (х g (х,Г)+ +1 (х,( )+( т (х )+ ^ (х )% (х ^ gx (х^ )+ , (14) 2 -хх (х,?)( (х )Tv (х )+ ; (х ))) 1 (1 - у )> (х )2

+— 2

с конечным условием -(х,Т)= £2. Анализ показывает, что уравнение (14) имеет замкнутые решения в широком классе аффинных и квадратичных моделей (т.е. если г(х), X(х)X(х), т(х), V(х)ТX(х), V (х) V (х) и V (х ) являются аффинными или квадратичными функциями х).

Применяя описанную процедуру к задаче с логарифмической полезностью, получаем (Н, х, , )= 0, и оптимальная стратегия инвестора принимает вид:

По (Н,х,,

П (Н, х,,) )

1 - N

(о (х, , )Т) X (х ) ( (х, ,)) X(х)

(15)

где П0, П — доли капитала, размещаемого в безрисковый и рисковые активы соответственно. Из (15) видно, что инвестор с логарифмической полезностью не хеджирует стохастические изменения инвестиционных возможностей.

Какие риски следует хеджировать?

Из проведенного анализа может показаться, что инвесторы должны хеджировать все переменные, влияющие на г,, ц, и о,, но в действительности это не так. Покажем, что инвестору с аддитивной по времени функцией полезности имеет смысл хеджировать только те риски, которые влияют на г, и X,.

рассмотрим инвестора, выбирающего непосредственно «вектор волатильности капитала» Ф, = о;Ттс, вместо вектора п,. В этих обозначениях капитал эволюционирует следующим образом: dWt =й + фТX, ] dt - сД + WtфJdzt .

Неявная функция полезности имеет вид:

Jt = sup Е,

(с,Ф)

|(з-,)и с д+в-5(Т-,)й(нт). _, _

Следовательно, оптимальная портфельная

стратегия имеет вид:

Jw (н, х,,)

Н7нн (Н, х, ,)

(о Т )1X (х, )-

-(о Т )1V (х )

Jwx (Н, х, , )

(Н, х,,)

(16)

Из этого анализа можно заключить, что инвестор должен будет хеджировать только переменные, влияющие на краткосрочную процентную ставку и рыночные цены риска (это, конечно, справедливо только в рамках рассматриваемой постановки задачи: например, инвестор со стохастическим трудовым доходом должен будет также хеджировать связанный с ним риск). стохастические изменения в ц и о интересны только с точки зрения их влияния на стохастические изменения рисковой премии! Можно представить финансовый рынок, на котором волатильности изменяются стохастически, но ожидаемые доходности по рисковым активам следуют изменениям волатильностей, так что рыночная цена риска постоянна во времени. на таком рынке ни один агент не будет оптимально хеджировать изменения волатильностей и ожидаемых доходностей. Матрица волатильностей рисковых активов о, оказывает влияние, когда агент хочет найти портфель п,, генерирующий желаемый вектор волатильности капитала ф,.

Этот результат может быть усилен следующим образом. Рассмотрим дифференциальное уравнение (14). Предположим, что и г , и XтX и, следовательно, коэффициент при - (х,,), не зависят от х . Тогда функция - (), удовлетворяющая обыкновенному дифференциальному уравнению

0 = £1 -

7 -1-1 г (,)-^ X (,)Т X (,)\-(,)+ -'()

и условию - (Т)=£2 , будет также удовлетворять уравнению в частных производных (14). таким образом, в этом случае решение - (х, ) уравнения (14) не зависит от х . Следовательно, спрос на хеджирование в стратегии (16) исчезает. другими словами, инвестор будет хеджировать только стохастические изменения, влияющие на краткосрочную процентную ставку г и на квадрат рисковых премий

XTX = (ц, - г^) (о,оТ )-1 (ц, - гN).

Подытожим полученные результаты в следующем утверждении.

Утверждение 4. Инвесторы, характеризующиеся аддитивной по времени функцией полезности, хеджируют только стохастические изменения краткосрочной процентной ставки г( и квадрата рыночных ценриска \ТX, .

Этот результат допускает следующую интуитивную интерпретацию. Спекулятивный портфель определяется соотношением (см. Утверждение 1):

,- (о Т )-1 X.

, ^ (о Т )-1 X1 }

п, =

Ожидаемая избыточная доходность по спекулятивному портфелю

^, „ч 1

(п,) (ц, - г^ )=

-X X

^ (о Т ) X

Волатильность спекулятивного портфеля определяется выражением

о о, п,

X X

N(оТ)-1 X , ''

Наклон мгновенной линии рынка капитала

поэтому равен X . (В модели с единственным

рисковым активом X = (ц, - г,)/о, и X = -\/Х = X ). В статической постановке оптимальный портфель определяется положением рыночной линии,

т.е. (1) безрисковой процентной ставкой г и (2) наклоном, который равен коэффициенту Шарпа для спекулятивного портфеля [4]. Поэтому естественно, что для инвесторов в динамической модели представляют интерес изменения только этих двух переменных.

ЛИТЕРАТУРА

1. Крушвиц Л. Финансирование и инвестиции. — СПб.: Питер, 2000.

2. Наталуха И.Г. Стратегии оптимального хеджирования процентного риска облигациями // Финансы и кредит. - 2005. - № 30 (198). - С. 38-40.

3. Наталуха И.Г. Долгосрочное хеджирование инвестиционного риска, вызванного стохастическими процентными ставками // Экономический вестник Ростовского государственного университета. - 2005. - № 3. - С. 74-82.

4. Шарп У., Александер Г., Бейли Д. Инвестиции. - М.: ИНФРА-М, 2003.

1