CC BY
13
УДК 539.2
DOI 10.24147/1812-3996.2020.25(1).13-21
МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИСТЕРЕЗИСНЫХ ЯВЛЕНИЙ В МУЛЬТИСЛОЙНЫХ МАГНИТНЫХ НАНОСТРУКТУРАХ
В. В. Прудников, П. В. Прудников, И. К. Сайфутдинов, В. О. Борзилов
Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, г. Омск, Россия
Информация о статье
Дата поступления
18.06.2019
Дата принятия в печать
04.02.2020
Дата онлайн-размещения 15.05.2020
Аннотация. Осуществлено моделирование методами Монте-Карло магнитных свойств мультислойной наноструктуры, состоящей из двух ферромагнитных пленок, разделенных пленкой немагнитного металла и связанных обменным взаимодействием, носящим антиферромагнитный характер. Для описания свойств такой структуры применена анизотропная модель Гейзенберга с анизотропией типа «легкая» ось. Исследованы зависимости гистерезисных явлений от толщины магнитных пленок и величины межслоевого обменного взаимодействия.
Ключевые слова
Метод Монте-Карло, мультислойная магнитная наноструктура, гистерезисные явления
Финансирование
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научных проектов № 17-02-00279, 18-42-550003, 19-32-90261, 20-32-70189 и грантов Президента РФ МД-6868.2018.2 и МД-2229.2020.2
SIMULATION OF HYSTERESIS PHENOMENA IN MULTILAYER MAGNETIC NANOSTRUCTURES
V. V. Prudnikov, P. V. Prudnikov, I. K. Saifutdinov, V. O. Borzilov
Dostoevsky Omsk State University, Russia, Omsk
Abstract. The Monte Carlo simulation of magnetic properties of artificial multilayer nanostructures, where ultrathin ferromagnetic films divided by layer of nonmagnetic metal are coupled antiferromagnetically, is realized. The anisotropic Heisenberg model is applied for description of magnetic properties. Dependence of hysteresis phenomena on thickness of ferromagnetic films and various values of interlayer exchange interaction is revealed.
Available online 15.05.2020
Article info
Received
18.06.2019
Accepted
04.02.2020
Keywords
Monte Carlo method, multilayer magnetic nanostructure, hysteresis phenomena
Acknowledgements
The reported study was funded by the RFBR according to the research projects № 17-02-00279, 18-42-550003, 19-32-90261, 20-32-70189 and grants of the
Вестник Омского университета 2020. Т. 25, № 1. С. 13-21
-ISSN 1812-3996
President of the Russia
MD-6868.2018.2 and
MD-2229.2020.2
Развитие технологий напыления ультратонких покрытий и выращивания материалов привело в последнее время к возможности создания принципиально новых искусственных магнитных материалов: магнитных многослойных структур, сверхрешеток и гранулированных сплавов [1; 2]. Эффект гигантского магнитосопротивления (ГМС) наблюдается в многослойных структурах, в которых магнитные слои ^е, Со и др.) разделены немагнитными металлическими слоями (Сг, Си, !г) с толщиной в несколько нанометров. Толщина прослойки подбирается таким образом, чтобы взаимодействие между магнитными слоями было антиферромагнитным. За счет этого взаимодействия намагниченности соседних ферромагнитных слоев ориентируются противоположно друг другу. При помещении такой структуры во внешнее магнитное поле намагниченности слоев начинают ориентироваться параллельно, что приводит к значительному изменению электрического сопротивления. Значения коэффициента магнитосопротивления, достигающие более 100 % при низких температурах, в сочетании с ультрамалыми толщинами мультислоев обусловливают перспективность таких структур для создания нового поколения магнитных головок и магнитных сенсоров, элементов спиновой электроники и магниторезистивной памяти [3-6].
В настоящее время статистические численные методы Монте-Карло успешно зарекомендовали себя при моделировании и описании физических свойств различных магнитных систем, как объемных, так и низкоразмерных, с выявлением особенностей, присущих данным системам при фазовых переходах. В работах [7; 8] методами Монте-Карло осуществлено численное исследование размерных эффектов в критических свойствах многослойных гейзенберговских пленок. Для пленок различной толщины учтено влияние анизотропии, создаваемой кристаллическим полем подложки. Был проведен расчет критических индексов, чьи значения наглядно продемонстрировали размерный переход от двумерных к трехмерным свойствам пленок с увеличением числа слоев.
В последние годы в экспериментальных исследованиях и технологических применениях ультратонких ферромагнитных пленок основное внимание уделяется магнитным наноструктурам, в которых магнитные пленки характеризуются перпендикулярными к плоскости пленок магнитными конфигурациями. Это обусловлено тем, что активные элементы
спинтроники, основанные на эффекте гигантского магнитосопротивления, и, в частности, считывающие магнитные головки с жестких дисков с перпендикулярными к плоскости пленок магнитными конфигурациями характеризуются значительно лучшими характеристиками [9; 10]. Поэтому в этой работе мы сосредоточим внимание на изучении магнитных свойств наноструктур с намагниченностью, перпендикулярной плоскости пленок. Реальными примерами таких магнитных систем являются наноструктуры Pt/Co/Ir/Co/Pt [11] и Pt/Co/Cu/Co/Pt, в которых на пленки кобальта напыляются ультратонкие пленки платины. В работе [11] показано, что структура Pt/Co обладает гигантской энергией магнитной анизотропии Кен = 1,2-107 эрг/см3, высокой коэрцитивной силой и высокой температурой Кюри, достигающей 500 K в ультратонких пленках. Сочетание высокой температуры Кюри в пленках кобальта и перпендикулярной магнитной анизотропии за счет пленок платины позволяет ожидать значительного увеличения магнитосопротивления таких структур по сравнению со структурами Co/Ir/Co и Co/Cu/Co с намагниченностью ориентированной в плоскости пленки. Наши численные исследования температурной зависимости магнитосопротивления для структуры Pt/Co/Cu/Co/Pt дали возможность оценить величину такого эффекта [12] по сравнению с величиной магнитосопротивления для структуры Co/Cu/Co.
На рис. 1 представлена используемая нами модель мультислойной структуры, состоящей из двух ферромагнитных пленок, разделенных пленкой немагнитного металла. Гамильтониан для моделирования магнитных свойств мультислойной структуры с намагниченностью пленок, ориентированной перпендикулярно плоскости пленок, брался в соответствии с работами [12; 13] в виде
Н = -)1 X{(1 -АМНБ/Б/ + Б/Б/) + Б/Б/} -
< ,}>
-ЛX{(1 -АШб/Б/ + Б/Б/)+Б/Б/}+X, (1)
<1 ,Г> I
где обменный интеграл Л > 0 определяет взаимодействие соседних спинов внутри отдельных ферромагнитных пленок, а обменный интеграл ]2 < 0 -межслоевое взаимодействие между спинами N1 монослоя первой пленки и спинами ^ монослоя второй пленки, Ь = дЦо^вН - переменная, характеризующая влияние внешнего магнитного поля Н.
Рис. 1. Модель мультислойной структуры, состоящей из двух ферромагнитных пленок, разделенных пленкой немагнитного металла.
N, L - линейные размеры пленок
На рис. 2 представлена зависимость параметра анизотропии Д(М) от толщины ферромагнитной пленки N для систем с намагниченностью перпендикулярной плоскости пленки. Данная зависимость была получена в работе [7].
15 20 N
Рис. 2. Зависимость параметра анизотропии АЩ от толщины ферромагнитной пленки N для систем с намагниченностью перпендикулярной плоскости пленки, полученной в работе [7] на основе экспериментальных данных
Моделирование проводилось для наноструктур с ферромагнитными пленками, имеющими гра-нецентрированную кубическую (ГЦК) решетку, и ориентацией монослоев вдоль грани (100), размерами LxLxN и наложенными периодическими граничными условиями в плоскости пленки. Значения обменных интегралов задавались как ЛAв7~ =1, а ^2/^1< 0 менялись в зависимости от задач исследования. Температура T системы измеряется при этом в единицах обменного интеграла Jl/kв.
На первом этапе исследований осуществлялся расчет значений критической температуры Tc(N) для структур с различными значениями толщин магнитных пленок N = 3, 5, 7, 9 МС (монослоев) и значени-
ями межслоевого интеграла обменного взаимодействия J2/Jl = -1,5 и -9,0 методом пересечения кривых для температурных зависимостей кумулянта Бин-дера и4^, Т, Ц) [14] для систем с различными линейными размерами Ц = 24, 32, 48:
( / Л
Un(N,T ,L) =
3 -
м
и2
(2)
где т - намагниченность любой из ферромагнитных пленок в структуре.
На рис. 3 в качестве примера представлена температурная зависимость кумулянта Биндера и4(Т, Ц) для мультислойных структур с толщиной ферромагнитных пленок N = 5 МС при значении интеграла межслоевого обменного взаимодействия J2/J1 = -1,5. Треугольник из линий пересечения ^(Т, Ц) для структур с линейными размерами пленок Ц = 24, 36, 48 определяет критическую температуру с учетом ее статистической погрешности ТсГЦКN = 5) = 3,107(1). Значения полученных критических температур представлены в таблице.
Рис. 3. Температурная зависимость кумулянтов Биндера и4(Т, Ц) для структуры с толщиной ферромагнитной пленки N = 5 МС и линейными размерами Ц=24, 36, 48 в области пересечения кривых. Представлены линейные аппроксимации кривых в области их пересечения
Значения критических температур для наноструктур с ферромагнитными пленками, имеющими ГЦК решетку, и толщинами N = 3, 5, 7, 9 МС, при значениях межслоевого интеграла обменного взаимодействия ^/Л = -1,5 и -9,0
N Tc
J2/J1 = -1,5 J2/J1 = -9,0
3 2,752(1) 3,3644(6)
5 3,107(1) 3,5328(4)
7 3,253(1) 3,5835(14)
9 3,331(1) 3,6018(12)
2
Из таблицы видно, что критическая температура Тс№ наноструктур растет с увеличением толщины ферромагнитных пленок, а также с ростом модуля |Л/Л|.
Явления гистерезиса
На следующем этапе исследований осуществлялось моделирование гистерезисных явлений в магнитных наноструктурах, т. е. исследовалась зависимость суммарной намагниченности структуры от величины внешнего магнитного поля, перпендикулярного поверхности пленок и меняющегося как по величине, так и по направлению. Приведенная температура системы Т/Тс(^ изменялась в интервале Т/Тс(^ = 0,1-0,9 с шагом 0.2.
А) случай 3-фазового поведения намагниченности
На первом этапе моделировалось поведение структур со значением межслоевого интеграла обменного взаимодействия Л/Л = -1,5. На рис. 4 (а-г) представлены полученные петли гистерезиса для наноструктур с толщинами ферромагнитных пленок N = 3, 5, 7, 9 МС при приведенных температурах Т/Тс(^ = 0,1-0,7.
На зависимости полной намагниченности М от внешнего магнитного поля Н видны ступенеобразные участки с постоянной намагниченностью, сменяемые участками резкого увеличения или спада намагниченности в зависимости от направления поля Н и его величины. Петли гистерезиса содержат горизонтальные участки, соответствующие значениям М = 0 с компенсацией намагниченностей ферромагнитных пленок за счет антиферромагнитной межслоевой связи при перевороте намагниченности одной из пленок по направлению поля, а также горизонтальные участки, связанные с переворотом намагниченности второй пленки по направлению поля при ориентировании намагниченностей обеих пленок в направлении поля и с последующим достижением системой состояния магнитного насыщения. Таким образом, магнитные свойства структуры во внешнем магнитном поле можно охарактеризовать реализацией трех фазовых состояний, отличающихся относительной ориентацией намагниченностей ферромагнитных пленок и их ориентацией относительно направления магнитного поля.
Выявлено, что в приведенных температурах Т/Тс(^ петли гистерезиса имеют универсальный характер для структур с различными толщинами ферромагнитных пленок N, демонстрируют их хорошее наложение друг на друга.
Рис. 4. Петли гистерезиса для наноструктур со значением межслоевого обменного интеграла Л/Л = -1,5 и толщинами ферромагнитных пленок N = 3, 5, 7, 9 МС при приведенных температурах Т/ТсЩ = 0,1 (а); Т/ТМ = 0,3 (б); Т/ТМ = 0,5 (в); Т/ТсЩ = 0,7 (г)
Однако для наноструктуры с наименьшей толщиной ферромагнитных пленок N = 3 МС при температурах Т/Тс^) > 0,5 наблюдается отклонение от универсального характера наложения петель гистерезиса для структур с различными N. Для структуры с N = 3 МС влияние антиферромагнитного межслоевого взаимодействия оказывается достаточным для переворота намагниченности ультратонкой пленки с повышением температуры при более низких значениях напряженности магнитного поля, чем для структур с большими толщинами ферромагнитных пленок.
Особенности в магнитных свойствах наноструктуры с N = 3 МС в области достаточно высоких температур наглядно показаны на рис. 5. За счет влияния сильного межслоевого обменного взаимодействия переворот намагниченности одной из пленок с образованием антиферромагнитной структуры с полной намагниченностью М = 0 оказывается возможным даже в магнитном поле с ориентацией противоположной намагниченности данной пленки.
Рис. 5. Специфическая форма петель гистерезиса в трехпленочной структуре с N = 3 МС при = -1,5 и Т/ТМ = 0,8
Б) случай 5-фазового поведения намагниченности
При моделировании гистерезисных явлений для наноструктур со значением межслоевого обменного интеграла J2/Jl = -9,0, также как и для структур с Л/Л = -1,5, в поведении намагниченности выявлен универсальный характер петель гистерезиса в переменных Т/Тс^) для структур с различными толщинами ферромагнитных пленок N с хорошим наложением петель друг на друга.
Рис. 6. Петли гистерезиса для наноструктур со значением межслоевого обменного интеграла J2/J1 = -9,0 и толщинами ферромагнитных пленок N = 3, 5, 7, 9 МС при приведенных температурах Т/Тс(^ = 0,1 (а); Т/ТМ = 0,3 (б); Т/ТМ = 0,5 (в); Т/ТсМ = 0,7 (г)
Однако при J2/Jl = -9,0 обнаружен интересный эффект (рис. 6, а-г) появления двух дополнительных фазовых состояний наноструктур, характеризуемых двумя дополнительными горизонтальными участками на петлях гистерезиса (сравни с рис. 4, а-г), за счет влияния более сильного межслоевого обменного взаимодействия, носящего антиферромагнитный характер и приводящего к дополнительному по-слоевому перевороту монослоев ферромагнитных пленок, ближайших к немагнитному металлу.
Отметим, что наложения значений намагниченности на этих дополнительных горизонтальных участках петель гистерезиса для структур с разными N не происходит, в отличие от значений поля Н, соответствующих моменту переключения фаз, так как вклад намагниченности одного переворачиваемого монослоя в суммарную намагниченность структуры уменьшается при увеличении толщины пленок.
Следует отметить заметное влияние повышения температуры на нарушение универсального характера петель гистерезиса в переменных Т/Т^) для структур с малыми толщинами ферромагнитных пленок N = 3 МС, наблюдаемого уже при Т/Тс^) > 0,3 (рис. 6, б), для N = 5 МС при Т/Тс^) > 0,5 (рис. 6, в).
Влияние температуры на гистерезисные явления в структурах с сильным межслоевым обменным взаимодействием J2/Jl = -9,0 наиболее ярко проявляется в изменении формы и количества петель гистерезиса для структуры с N = 3 МС. Данные температурные изменения представлены на рис. 7 (а-г). Так, обнаружен интересный переход от четырехпет-левого гистерезиса к двухпетлевому при повышении температуры от Т/Тс = 0,1 к Т/Тс = 0,3 с последующим «схлопыванием» и этих двух петель при Т/Тс > 0,5 с осуществлением интересного ступенчатого поведения намагниченности, представленного на рис. 7 (г).
В) случай 6-фазового поведения намагниченности для структур с различающимися толщинами ферромагнитных пленок
Исследование структур с различающимися толщинами ферромагнитных пленок N1 = 9 и N2 = 5 при значении интеграла межслоевого обменного взаимодействия J2/Jl = 9,0 показало возможность существования шести магнитных фаз, характеризующих различное поведение намагниченности во внешнем магнитном поле. Поведение такой структуры представлено на рис. 8 (а-г).
1 N=3| ГТ
" ■ ■a
•1
■
■ ^
-6 -4 -2 0 2 4 6
Н
(а)
1.0
-1.0 -'-1---1---'-■-'---'-'-
-6 -4 -2 0 2 4 6
Н
(6)
-6 -4 -2 0 2 4 6
Н
(В)
-6 -4 -2 0 2 4 6
Н
(г)
Рис. 7. Температурные изменения формы и числа петель гистерезиса в наноструктуре с N =3 МС при }2/}1 = -9,0 и Т/Тс = 0,1 (а); Т/Тс = 0,23 (б); Т/Тс = 0,3 (в); Т/Тс = 0,5 (г)
Рис. 8. Петли гистерезиса для наноструктуры со значением межслоевого обменного интеграла J2/J1 = -9,0 и толщинами ферромагнитных пленок N1 = 9 МС и ^ = 5 МС при приведенных температурах Т/Тс = 0,1 (а); Т/Тс = 0,3 (б); Т/Тс = 0,5 (в); Т/Тс = 0,75 (г)
Критическая температура для данной структуры была получена с применением метода кумулянтов Биндера 4-го порядка для шахматной намагниченности структуры и равна Тс = 3,3711(5). Использование приведенной температуры Т/Тс позволяет представлять гистерезисные явления в разных структурах в унифицированном виде. Анализ петель гистерезиса, представленных на рис. 8 (а-г), показывает, что в структурах с различающимися толщинами пленок не происходит полной компенсации намаг-ниченностей пленок при их переворотах, т. е. возникает ферримагнитоподобная структура с полной намагниченностью М * 0 и с несимметричным распределением намагниченностей в пленках вдоль и против направления внешнего магнитного поля.
За счет влияния сильного межслоевого взаимодействия, носящего антиферромагнитный характер, в структуре происходит послоевой переворот монослоев ферромагнитных пленок, ближайших к немагнитному металлу. Данным состояниям соответствуют петли и горизонтальные участки на рис. 8 (а) в области значений Н = ± 4, которые с повышением температуры «схлопываются» (рис. 8, б), а ступеньки выхода на горизонтальные участки этих состояний сглаживаются (рис. 8, в).
Рис. 9. Гистерезисные явления, наблюдаемые в структуре Р^Со/!г/Со/Р^ при температурах Т = 100К (сверху) и Т = 300К (снизу) [11]
Более тонкий численный анализ влияния внут-рислоевого обменного взаимодействия с учетом числа ближайших соседей, межслоевого обменного взаимодействия и влияния магнитного поля в приведенных единицах позволил выделить условия существования многофазовых магнитных состояний в магнитных наноструктурах с ГЦК решеткой во внешнем магнитном поле. Так, трехфазовое состояние возможно при (100) ориентации пленок при |.2/Л|< 4, а при (111) ориентации пленок при |Л/Л|< 3. Пятифазовое состояние возможно при (100) ориентации пленок при 4 < | .2/. 11< 8, а при (111) ориентации пленок при 3 < | . 2/. 1|< 6. В структурах с различающимися толщинами ферромагнитных пленок число магнитных состояний увеличивается на единицу.
В представленной работе осуществлено комплексное исследование гистерезисных эффектов в мультислойных структурах, возникающих при циклических изменениях величины и направления внешнего магнитного поля, ориентированного вдоль оси магнитной анизотропии. Проведено изучение влияния температуры, толщины ферромагнитных пленок и различных значений интеграла межслоевого обменного взаимодействия .2/.1 на характеристики ги-стерезисных явлений.
На зависимостях приведенной намагниченности от величины внешнего магнитного поля выявлены ступенеобразные участки с постоянной намагниченностью, сменяемые участками резкого увеличения или спада намагниченности в зависимости от направления и величины магнитного поля. Представлен механизм формирования поведения намагниченности в изменяющемся магнитном поле через процессы преодоления потенциальных барьеров, сопровождающие перевороты намагниченности отдельных монослоев наноструктуры.
Показано, что за счет большого межслоевого обменного взаимодействия, имеющего антиферромагнитный характер, на гистерезисных петлях возникают горизонтальные участки, связанные с переворотами намагниченностей отдельных монослоев ферромагнитных пленок. Выявлено, что вид петель гистерезиса и их количество зависят как от величины межслоевого обменного взаимодействия, так и приведенной температуры. Выделены области многостадийного изменения магнитного состояния наноструктуры.
Данные особенности гистерезисных эффектов магнитных наноструктур (см. рис. 9), выявленные методами компьютерного моделирования, находят подтверждение в результатах экспериментальных исследований [11].
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Parkin S. S. P. Giant magnetoresistance in magnetic nanostructures // Annual Review of Materials Science. 1995. Vol. 25. P. 357-388.
2. Lavrijsen R., Lee J-H., Fernández-Pacheco A., Petit D.C.M.C., Mansell R., Cowburn R.P. Magnetic ratchet for three-dimensional spintronic memory and logic // Nature. 2013. Vol. 493. P. 647-650.
3. Baibich M.N., Broto J.M., Fert A. et al. Giant magnetoresistance of (001)Fe/(001)Cr magnetic superlattices // Phys. Rev. Lett. 1988. Vol. 61. P. 2472-2476.
4. Binasch G., Grunberg P., Saurenbach F., Zinn W. Enhanced magnetoresistance in layered magnetic structures with antiferromagnetic interlayer exchange // Phys. Rev. B. 1989. Vol. 39. P. 4828-4830.
5. Wang X.L., Shao Q., Zhuravlyova A., He M., Yi Y., Lortz R., Wang J.N., Ruotolo A. Giant negative magnetoresistance in manganese-substituted zinc oxide // Scientific Reports. 2015. Vol. 5. 09221.
6. Ultrathin Magnetic Structures IV. Applications of Nanomagnetism / ed. B. Heinrich, J .A. C. Bland. SpringerVerlag: Berlin, Heidelberg, 2005. 257 pp.
7. Прудников П. В., Прудников В. В., Медведева М. А. Размерные эффекты в ультратонких магнитных пленках // Письма в ЖЭТФ. 2014. Т. 100. С. 501-505.
8. Prudnikov P. V., Prudnikov V. V., Menshikova M. A., Piskunova N. I. Dimensionality crossover in critical behaviour of ultrathin ferromagnetic films // JMMM. 2015. Vol. 387. P. 77-82.
9. Richter H. J. The transition from longitudinal to perpendicular recording // J. Phys. D. 2007. Vol. 40. P. R149-
R177.
10. Suess D., Schrefl T., Fahler S., Kirschner M., Hrkac G., Dorfbauer F., Fidler J. Exchange spring media for perpendicular recording // Appl. Phys. Lett. 2005. Vol. 87. 012504.
20 -
Herald of Omsk University 2020, vol. 25, no. 1, pp. 13-21
Вестник Омского университета 2020. Т. 25, № 1. С. 13-21
ISSN 1812-3996-
11. Morgunov R., Hamadeh A., Fache T. et al. Magnetic field and temperature control over Pt/Co/Ir/Co/Pt multistate magnetic logic device // Superlattices Microstruct. 2017. Vol. 104. P. 509-517.
12. Prudnikov P. V., Prudnikov V. V., Mamonova M. V., Piskunova N. I. Influence of anisotropy on magnetoresistance in magnetic multilayer structures // J. Magn. Magn. Mater. 2019. Vol. 482. P. 201-205.
13. Прудников В. В., Прудников П. В., Романовский Д. Е. Моделирование методами Монте-Карло муль-тислойных магнитных структур и расчет коэффициента магнитосопротивления // Письма в ЖЭТФ. 2015. Т. 102. С. 759-765.
14. Прудников В. В., Вакилов А. Н., Прудников П. В. Фазовые переходы и методы их компьютерного моделирования. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. 224 с.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Прудников Владимир Васильевич - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической физики, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: prudnikv@univer.omsk.ru.
Прудников Павел Владимирович - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра теоретической физики, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: prudnikov_pavel@mail.ru.
Сайфутдинов Игорь Константинович - студент физического факультета, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: zecukutski@ gmail.com.
Борзилов Вадим Олегович - аспирант кафедры теоретической физики, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: borzilov@omsu.ru.
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Прудников В. В., Прудников П. В., Сайфутдинов И. К., Борзилов В. О. Моделирование гистере-зисных явлений в мультислойных магнитных наноструктурах // Вестн. Ом. ун-та. 2020. Т. 25, № 1. С. 1321. DOI: 10.24147/1812-3996.2020.25(1).13-21.
INFORMATION ABOUT AUTHORS
Prudnikov Vladimir Vasiljevich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of the Department of Theoretical Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: prudnikv@univer.omsk.ru.
Prudnikov Pavel Vladimirovich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, the Department of Theoretical Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: prudnikov_pavel@mail.ru.
Saifutdinov Igor Konstantinovich - Student of Physics Faculty, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: zecukutski@ gmail.com.
Borzilov Vadim Olegovich - Postgraduate Student of the Department of Theoretical Physics, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: borzilov@omsu.ru.
FOR GTATIONS
Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Saifutdinov I.K., Borzilov V.O. Simulation of hysteresis phenomena in multilayer magnetic nanostructures. Vestnik Omskogo uni-versiteta = Herald of Omsk University, 2020, vol. 25, no. 1, pp. 13-21. DOI: 10.24147/1812-3996.2020. 25(1).13-21. (in Russ.).
