Моделирование фрактальных броуновских изображений Текст научной статьи по специальности «Математика»

а)

Рис. 2 а) - структурная схема ППП, б), в), г) - этапы реконструкции в круговой зоне

На рис. 2 а) соответствующие модули ППП выделены пунктирными прямоугольниками - слева показаны модули анализирующие состояние орбиты, скорости спутника его пространственной ориентации и т.д. и вырабатывающие сигналы управления. В правой части изображены программные модули, отвечающие за формирование наборов исходных данных, их нормализацию, процедур реконструкции, анализа реконструированных функций, вычисления погрешностей шумовой составляющей и пр. Последние моменты, связанные с анализом уровня артефактов и зашумлённости восстановленного изображения являются весьма важными, так как дают возможность подобрать параметры процедуры реконструкции для данного метода исследования: способы интерполяции при процедурах доопределения данных, подбор конфигурации ядра, при заданном формате восстановления и т.д. Некоторые результаты в этом плане приведены на рис. 2 б) - исходная модельная функция распределения ионной концентрации в атмосфере, в) - результат неудачной реконструкции (размазанность, дефокусировка, высокий уровень шумовой составляющей), г) - результат реконструкции при автоматическом выборе оптимальных параметров восстановления (свёрточный алгоритм, формат 512x512 элементов).

Так как предполагается, что каждый микроспутник оборудован каналом обмена цифровыми данными с ближайшими соседями и с ОСД, то в такой системе несложно организовать процесс параллельных вычислений, связанных с задачами реконструкции искомых функциональных распределений параметров атмосферы планеты. Именно эта возможность позволяет назвать описанную исследовательскую группировку малых спутников интеллектуальной группировкой, способной самостоятельно решать, как задачи навигации, так и задачи реконструкции и передачи информации на основное средство доставки.

Литература

1. Филонин О.В., Талызин Ю.Б. Математическое моделирование процессов исследования планетарных атмосфер с помощью колоний малых спутников // Материалы 3-й Всероссийской н-т конф. «Актуальные проблемы ракетно космической техники» (3 Козловские чтения), Самара, 2013, С. 367 - 371.

2. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука, 1968. - 800 с.

Полищук С.В.1, Петров К.А.2, Смехун Я.А.3 'Магистрант; 2магистрант' 3магистрант, Дальневосточный федеральный университет МОДЕЛИРОВАНИЕ ФРАКТАЛЬНЫХ БРОУНОВСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Аннотация

Предложен и исследован алгоритм моделирования фрактальных броуновских изображений. Установлено, что интегральная характеристика спектра броуновского изображения с параметром Херста а хорошо аппроксимируется

, 2(а +1) а е (0,1/2] а е (1/2,1)

степенной функцией с показателем 4 у при v ' J и показателем степени равным 3 для v ' 7.

Ключевые слова: фрактальный броуновский процесс, пространственно-частотная фильтрация, структурная функция.

Polischuk S.V.1, Petrov K.A.2, Smekhun Y.A.3

Undergraduate; Undergraduate; Undergraduate, Far Eastern Federal University

THE SIMULATION OF FRACTIONAL BROWNIAN IMAGES

33

Abstract

The modeling algorithm of fractal Brownian images has been proposed and studied. It is established that an integral characteristic of the spec;um fBcwctct, mg. wtth He's parameter» „ wel, apPrXmatd by af,me,tern power wtth an eVonen,2(a+ 1) „

» e (0,1/2]

and the exponent which is equal to 3, for a e (1/2,1)

Keywords: the fractal Brownian process, spatial frequency filtering, a structure function.

Введение. Фрактальный анализ изображений проводится в тех случаях, когда необходимо установить, в какой степени, отображенные на изображениях объекты и структуры, проявляют фрактальные свойства.

Одним из наиболее распространенных критериев наличия фрактальных признаков у структур основан на использовании структурной функции первого порядка (математическое ожидание модуля приращения) и структурной функции второго порядка (математическое ожидание квадрата модуля приращения).

)

Моделирование фрактальных броуновских изображений. Случайный процесс

Mf(t ) = 0

, удовлетворяющий условию:

Mf 2)-$(h)]2 = a2 t 2 - tj2“

с математическим ожиданием

0 < a < 1

(1)

.2

где a - показатель Херста, a - приращение дисперсии за единицу времени, будем считать фрактальным броуновским. Других ограничений на процесс не накладывается. Можно показать, что для такого процесса спектральная плотность существует

и совпадает с известной степенной зависимостью только для значений показателя

a e

(0,12]

В интервале

ae

(12,1)

12

спектральная плотность не существует, а периодограммная оценка показателя имеет постоянное значение, равное ' [1]. Этот

факт наряду с нестационарностью фрактального броуновского процесса существенно ограничивает применение методов для моделирования фрактальных броуновских полей.

Д й й (1) |(0)= 0

Для примера рассмотрим частный случай процесса (1) при условии, что - процесс начинается в нуле, и его

приращения - величины независимые. Тогда в соответствии с центральной предельной теоремой случайный процесс -

Mf2 (t )= a21

нормальный с нулевым математическим ожиданием, дисперсией

P0 * 0.32

a °.5 . Если P° -

вероятность события

If)| >

процесса выходит за интервал

(- a^ft , a f)

то несложно получить

и параметром . Это означает, что примерно 1/3 всех траекторий

что не может обеспечить стационарная модель.

v(t)= ft + А)-ft) „роце^^)!)

Используем тот факт, что в одномерном случае приращение v / ^ v / ^ v / процесса ^ v / по интервалу

фиксированной длительности А является стационарным в широком смысле случайным процессом с коэффициентом корреляции [13]

( \ Mv(t +t)d(() 1 h 12a n 12a ~i

t//(r) =-----—2 = —11 + z +11 - z - 2| z

2a

Mv2(t) 2

z = т/ А _ I (ю)

где . Спектральная плотность

(2)

оператор преобразования Фурье. Процесс

v

(t)

(ю -частота) процесса приращений

1 (т) ~ F[^(r)], где F

передаточной функцией v(t)

можно смоделировать, пропуская реализации «белого шума» через фильтр с

f(t)

Затем траектории процесса

находятся интегрированием стационарных приращений

Г (x,У)

Двумерный процесс зададим в виде суперпозиции [2]

1 к

г (ху)=-^(xcos^- + уsin)

V K i=1

(3)

независимых фрактальных броуновских процессов i с параметром Херста a , математическим ожиданием

Mf = 0

структурной функцией вида (1),

щ = 2т/K i = 1, ..., K

функцию двух аргументов

(x, У)

. Эта функция - величина постоянная на прямой

. В соотношении (3) каждое слагаемое представляет собой

t = x cos щ + у sin щ

для любого

фиксированного и совпадает с фрактальным броуновским процессом в направлении, перпендикулярном этой прямой.

Структурная функция поля

Г

и

34

D2 (x1 У\; x 2 y 2 )= M| nix 2 , У 2 )- У1 )|2 = M

1 К

= -MI[tf (t2 )-£ (t, )]2 =

K i=1

О2 K

K

K

Ik, (t 2)- (t,)]

i =1

поскольку

K

I|(x2 - x1)cosP +(У2 - У1 )sin Pi

12a

(4)

независимые процессы

Mtf = 0.

= V(x2 - x1 )2 + (y2 - У1 )2 9 = arctg [(y2 - У! )/(x2 - Xj )]

полярной системе

из (13) получаем

координат

D2 =

О

2K

I r cos 9 cos p + r sin 9 sin p

K i=1

2a

— r2a I| cos(9- p )|

2a

K ,=1

Если K ^ x

(5)

то сумма в соотношении (5) может быть представлена интегралом: 2 — K 2—

lim — 11 cos(9 - p,) I 2a = j I cos (9- z) I 2adz =

K K ,=1

0

2—+9

= j | cos u| 2adu = j | cos u| 2adu

2—

2a

(6)

и, следовательно,

Ц (X У) -

фрактальное

к D 2 r 2a

Таким образом, при большом Л структурная функция 2~а броуновское поле с параметром Херста a .

Для моделирования фрактальных броуновских изображений использовался следующий алгоритм. Генерировались из

(j) Х a i = 1.................K

«белого шума» одномерные броуновские процессы

с показателем Херста

j = - N ,...,0,..., N

Далее формировались K изображений, в которых строки заполнялась соответствующими

значениями процесса tfi (j ). Каждое изображение поворачивалось вокруг точки (0,0) на заданный угол Pi 2——/К , и все

К изображений суммировались. Затем из суммарного изображения вырезалась область размером (N * N) отсчетов с центром в точке (0,0). Статистический анализ смоделированных таким образом фрактальных броуновских изображений (

К > 32ч 0 35 < a < 1 , Dj(/) „ LS =[1;N/8]

) показал, что если , то для функции область скейлинга при

^ = 0.02 . Если °.01 < a < 0.35, то при малых значениях / отклонения функции D1 (/) от степенной зависимости становятся значительными. Для устранения этих отклонений можно применить пространственно-частотную фильтрацию к уже

V (k)

смоделированным изображениям. Важно отметить, что интегральная характеристика оценки спектральной плотности

жен

fl.i/vxi 0 < a < 0.5 и v(k) ~ k-3

смоделированных фрактальных броуновских изображений для частот 2—k / N в интервале /64; — / 2] хорошо

), если

_ , „ V(k)~ k Р ,В « 2a + 2.

аппроксимируется степенной функцией , (

0.5 < a < 1

Заключение. В данной работе предложен и исследован алгоритм моделирования фрактальных броуновских изображений на основе генерирования одномерных реализаций фрактального броуновского процесса. Установлено, что существует достаточно широкий диапазон пространственных частот, в котором интегральная характеристика спектра броуновского изображения

хорошо аппроксимируется степенной функцией

0.5 < a < 1

V (k) ~ k

-2(a+1)

0 < a < 0.5 и V(k) ~ k

-3

Литература

1. Кулешов Е.Л., Грудин Б. Н.Спектральная плотность фрактального броуновского процесса // Автометрия. 2013. Том 49, №

3. С.18 -24.

2. Yin Z.-M. New method for simulation of fractional Brownian motion // Journal of computational physics, 1996, № 127, P. 66-72.

2

1

r

35