CC BY
35
Технические науки
УДК 530.1:621.397:535
ДИФФУЗИЯ КООРДИНАТ ИЗОБРАЖЕНИЯ В СРЕДСТВАХ ВИДЕОНАБЛЮДЕНИЯ
С.М.Слободян
Инновационный центр «ТЕСТ», г.Томск E-mail: IC_Test@ inbox.ru
Дан анализ процесса диффузии случайных смещений изображения в системах видеонаблюдения. Показано, что диффузия смещения изображения в следящих системах по аналогии с броуновским движением - персистентный процесс, а траектория случайных смещений изображения - пример самоаффинного фрактала.
Изучение хаотических процессов в детерминированных системах и поиск практического применения хаоса как явления делает [1, 2] оценку влияния возникновения хаоса при функционировании телевизионных следящих средств (ТС) [3], как систем видеонаблюдения - предметом актуального внимания и анализа. Проведенные ранее исследования касались в основном оценок возможностей ТС по обеспечению работы в режимах, близких к линейному.
Турбулентная среда в канале наблюдения объекта - одна из множества [4] динамических стохастических систем, порождает хаотизацию изменения направлений элементарных световых лучей. Искажение фазы волнового фронта излучения ведет к присутствию хаотической компоненты в процессе формирования изображения объекта (ИО) и результата оценки вектора его параметров. Практические ТС [3, 5-7] - это автоматические средства, находящиеся под воздействием потока внешних возмущений. Особенности взаимодействия излучения с атмосферным каналом наблюдения, как внешней средой, описываемой уравнениями параболического типа (диффузии, теплопроводности т.п.) [1, 2, 4], позволяют утверждать, что в сравнении с быстродействием ТС вид воздействия и скорость его изменения могут быть любыми: импульсным, непрерывным, стационарным и нестационарным, быстро или медленно изменяющимся. Известно [1, 2, 4], что диффузионные процессы -следствие поведения системы при достаточно длительном на нее воздействии потока возмущений.
Принцип поэлементной (за интервал времени Д/) двумерной дискретизации Ж-элементного изображения в течении времени кадра Тк, лежащий в основе работы ТС, приводит к тому, что информация о координатах ИО х(/), у(/) поступает в дис-
кретные моменты времени (/■, ..., /;+к), разделенные интервалами Д/, зависящими от алгоритма, режима работы и других особенностей ТС. Для модели ф) траекторного движения ИО с равновероятным распределением скорости в диапазоне ±,0 и нулевым математическим ожиданием М[г(/)]=0, дисперсия равномерного распределения поля скоростей его перемещения равна ст„2=у02/3. Тогда, за время кадра наблюдения Тк, содержащего Ы0=Тк/т0 значений г(/), траекторное изменение независимых приращений координат ИО на интервале Д/, не превышающем т0 - времени корреляции (Д/,<т0) процесса его случайных. смещений, связано с изменением скорости ИО Г(/)=у(/). Оно найдется как сумма независимых случайных значений скорости ,(Д/) с равными о, и средним значением за время Тк, определяющего Ж0>>1 и значение у(Д/;),
) =т0 £ уД), (1)
отражающее асимптотическую нормальность траектории выбранной модели случайных смещений ИО с нулевым средним и дисперсией:
о2 = ТЧ2/3Жо. (2)
Поведение траектории диффузионного смещения ИО в функции времени Тк и вариаций дисперсии скорости случайных смещений о/ на интервале наблюдения, превышающем 103Д/;, наглядно иллюстрирует рис. 1.
Анализ выражений (1) и (2) говорит о важности повышения быстродействия ТС контроля объектов и турбулентного хаоса в канале наблюдения. Он приводит к следующему выводу: точность оценки траектории смещений ИО (при сохранении И0 объема выборки) пропорциональна квадрату уменьшения интервала Тк выборки, то есть, зависи-
мость параболическая; при взаимосвязанном изменении N объема выборки с изменением Тк - зависимость прямо пропорциональная:
ст2 = туот01ъ.
0 4 8 12 16 20
Число итераций, >< 10-
Рис. 1. Траектория диффузионного смещения изображения
Эволюция траектории случайных смещений ИО, приводящая к срыву слежения, является марковским диффузионным процессом [4]. Если его плотность вероятности перехода зависит только от временного интервала Д//, то он является однородным процессом и последовательность оценок независимых ХУ координат ИО, получаемых на выходе ТС, как траекторию случайных смещений ИО по осям X или У можно представить в виде процесса с бесконечным числом состояний и возможными переходами из любого /-ого в три смежных / и ¿±1 состояния с вероятностями перехода в каждое из них [1-р-д;р;д].
Так, если в момент времени ¡0 срыва слежения ИО имело координату г0(х0, у0), то в последующие дискретные моменты ¡1 координата ИО изменяется на случайную величину приращений г(х, у) Тогда в момент времени 4=кД/+0, (где /=1,2,...,к) случайная координата ИО представится марковской моделью, отражающей направление движения ИО по любой возможной траектории:
к
Гк (хк' Ук' Ч ) = гоСхо • У о •1 о) + ^ (Д )•
Атмосферная турбулентность пространства наблюдения проявляется в виде стохастически изменяющихся размеров турбулентных вихрей (от максимального, называемого «внешним» до «внутреннего» - наименьшего масштабов) и скоростей их переноса конвективным воздушным потоком. Хаос переноса £(/) и динамики распадания турбулентных вихрей обусловлен случайными факторами: тепловым возбуждением молекул, температурным градиентом и диффузионным поведением - броуновским движением турбулентных вихрей в среде канала. Уравнение диффузии без учета ускорения вихрей имеет вид [1]:
х($)~ )•
При гауссовском законе 5-корреляции, когда (£(7)=0) и (£(7)£(+т))~5(т), справедливы соотно-
шения (х(7))=0; (х2(/))~/, подтверждающие, что при переносе турбулентного вихря как элементарной линзы вектор случайного смещения £(/) создаваемого им изображения - линейная функция времени. Представление траектории в виде нормированных оценок координат [1] дает квадрат расстояния удаления ИО от начальной точки контроля положения равный
(х2«) = (м2 (Г)) = £(Д[ х'(т)]Д[ УОО]),
Т,У
где Д[х'(/)] - скачок координаты в целых числах. Для 5-корреляции случайных смещений ИО (Д[.]Д[.])~5(т,у) и квадрат среднего расстояния удаления от точки начального контроля (М(()) - линейная функция времени и коэффициента диффузии кв:
(м 2(/)) = 2кв1.
Скоростные и размерные флуктуации потока турбулентных вихрей приводят [5-7] к случайности и хаотизации траектории смещений ИО. Они могут быть представлены как скалярный марковский процесс с ковариационной функцией Я(/)=ст-2ехр(-|т|/т0), нулевым средним И[г(1)}=0 и законом изменения скорости г() с дисперсией ст2.
Г(Г) = -Т-1г (Г) + пу (4 (5)
где п() - шум скорости смещений ИО интенсивности пг(/)=2ст-2/т0; Я(т)=Яу(т) и стг2=стх2+сту2. При стационарности х,(0 и уг(?) составляющих траектории случайных смещений ИО на выходе ТС, как марковского процесса со спектральной плотностью
да
$х,У (®) = | Кх,У Т)ехр(—]ат)ёт, для выполнения
—да
условий непрерывности и дифференцируемости необходимо и достаточно, чтобы этот процесс обладал конечной дисперсией, т.е. Ят(0)=ст2у<да.
Результаты экспериментальных исследований влияния флуктуаций угла прихода излучения, вызванных турбулентным хаосом, на оценку координат ИО [5-7], приведенные на рис. 2, подтверждают выполнимость этого тре.бования, так же как. и конечность дисперсии В[г(¡)] производной г(¡) процесса случайных смещений г(/).
На рис. 2, а, представлена экспериментальная динамика отображения х и у компонент вектора случайных смещений изображения лазерного пучка в условиях воздействия турбулентной атмосферы [5]. Подобная траектория диффузионного смещения изображения может быть получена моделированием с вариацией значений транспонированной матрицы Я параметров вектора случайных смещений ИО: Я=[Г;Г]. Для наглядности сравнения на рис. 2, б, приведена известная автомодельная траектория броуновского движения точечного объекта [1, 2], полученная по алгоритму последовательного сложения, для показателя Херста Н=0,5, характеризующего гаусовский процесс с независимыми приращениями. Эта модельная самоаффинная кривая с
Технические науки
фрактальной размерностью Б=2-И для адекватности сопоставления преобразована в процесс с нулевым среднем и единичной дисперсией. Величина показателя Херста Н=0,5 - граница раздела процессов на персистентные и антиперсистентные.
При значении показателя Херста 0,5<Н<1 процесс считается [2] персистентным, то есть, поддерживающим изменение поведения процессом. Пер-систентные стохастические процессы случайных смещений изображений будут иметь явно выраженную тенденцию изменения с относительно малым уровнем шума. При показателе Херста 0<Н<0,5 траектория стохастического процесса случайных смещений будет считаться антиперсистентной. Характерные особенности антиперсистентного процесса: траектория случайных смещений изображения -сильно зашумлена; локальный уровень средней зашумленности траектории практически совпадает или очень близок к уровню максимальных глобальных отклонений траектории смещений; после тенденции роста амплитуды смещений изображения в течение некоторого интервала времени, в последующем интервале следует ожидать вероятного за-
тухания этого процесса и наоборот. Последний фактор при прогнозировании процесса эволюции траектории смещений следует учитывать.
Из сравнения траекторий (а и б) можно сделать вывод, что динамика отображения вектора случайных смещений ИО при турбулентном воздействии (с отфильтрованным нестационарным вкладом суточного рефракционного изменения показателя преломления среды) имеет коэффициент Херста Й>0,5, а вид процесса флуктуаций угла прихода излучения, определяющий диффузионное смещение ИО, обладает явными признаками персистентно-сти. Кроме того, из сопоставления экспериментальных проекций X и У траектории случайных смещений центра тяжести изображения лазерного пучка в условиях модельной конвекции турбулентной среды и модельной кривой с величиной Н=0,5, характерной для броуновского диффузионного движения как гауссова процесса с независимыми приращениями, видна высокая степень их подобия. Сравнивая X и У экспериментальные траектории случайных смещений ИО можно сказать, что, из-за стратификации конвекции модельной турбу-
лентности проекции траектории координат X и У случайных смещений самоаффинны. Это признак преобладания тенденции к вертикальной направленности перед горизонтальной. Из сравнения с броуновским процессом, адекватным при Н=0,5 гауссову процессу с независимыми приращениями, можно отметить, что процесс случайных смещений ИО в условиях воздействия конвективной турбулентности, ввиду наглядной аналогии, инвариантен в смысле распределения при преобразовании, меняющем масштаб времени в к раз, а масштаб длины в раз. Соотношение подобия, отражающее скейлинг (свойство подобия) случайных смещений ИО, из-за флуктуаций угла прихода излучения, будет иметь вид плотности вероятности распределения аналогичный броуновскому движению (с множителем кгщ, обеспечивающим условие единичного нормирования)
р(Е, = к112^;Т = кт) = р(£,т)/к112.
То есть, преобразования движения ИО меняют масштабы времени и расстояния в различных пропорциях и являются аффинными. Поэтому и траектория случайных смещений ИО, как зависимость, в меру точности ТС отражающая изменения флуктуаций угла прихода излучения и сохраняющая свой вид при аффинном преобразовании, будет самоаффинной кривой. Ее размерность функционально связана с фрактальными свойствами траекторий смещения центра тяжести лазерного пучка в евклидовом пространстве. Поскольку смещения пучка происходит во фрактальном множестве турбулентных вихрей канала наблюдения, погруженного в евклидово пространство, то X и У составляющим коэффициента диффузии траектории координат случайных смещений ИО будет присуща асимметрия. Его величина из-за погрешности преобразования ТС будет незначительно отличаться от показателя диффузионного переноса турбулентных вихрей с сохранением фрактальных признаков траектории смещения ИО.
Классическое броуновское тепловое движение турбулентных вихрей отражает винеровский процесс, подчиняющийся нормальному закону распределения с независимыми приращениями. Для него плотность вероятности вариаций траектории случайных смещений ИО не зависит [4] от начального состояния оценки ее координат X). При нулевом среднем и единичной дисперсии входного воздействия турбулентного хаоса возмущений первые два момента распределения случайных смещений ИО функции времени: М[£(0л]=1,6/1/2; Д<Ц(0л]=1,2О4£ Отсюда:
(х 2(/)) = 2,54/
с коэффициентом диффузии, равным 4/п. В силу адекватности воздействию, входящему в соотношение подобия с различными коэффициентами, траектория случайных смещений ИО - это пример самоаффинного фрактала.
Подводя итог работы, обобщим изложенное. В реальных условиях изображению даже неподвижного объекта из-за действия возмущений на ТС свойственна [5, 7] хаотичность движения. Наибольшей скоростной динамикой обладают знакопеременные перемещения ИО. При их действии детектируются и регулярные компоненты возмущенного движения, приводящие к дрейфу средней траектории смещений ИО. Таким образом, в выходном сигнале ТС, отражающим положение ИО и пройденный им путь, имеется нарастающая со временем погрешность - диффузионный дрейф координат. Другая, достаточно весомая составляющая, обусловлена хаосом воздействия. Ее структура и поведение являются отражением хаотического движения турбулентных вихрей при их конвективном и ветровом переносе в канале наблюдения объекта с сохранением фрактальных закономерностей хаоса воздействия на траекторию смещения изображения. Количественная оценка этих составляющих смещений ИО позволяет принять меры по снижению веса их влияния.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шустер Г. Детерминированный хаос: Пер. с англ. - М.: Мир, 1988. - 242 с.
2. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. - Ижевск: РХД, 2001. - 528 с.
3. Слободян С.М. Анализ и оптимизация телевизионного принципа сканирования фазового пространства оптическим фазометром: 2. Следящие микрорастры // Известия Томского политехнического университета. - 2005. - Т. 308. - № 1. - С. 40-46.
4. Левин Б.Р., Шварц В. Вероятностные модели и методы в системах связи и управления. - М.: Радио и связь, 1985. - 312 с.
5. Слободян С.М., Сазанович В.М., Галахов В.Н. Следящая система с диссектором для измерения угловых флуктуаций оптического пучка // Приборы и техника эксперимента. - 1980. -№ 4. - С. 192-194.
6. Пустынский И.Н., Слободян С.М. Диссекторные следящие системы. - М.: Радио и связь, 1984. - 136 с.
7. Слободян С.М. Оптимизация биморфного привода оптических измерительных систем с обратной связью // Измерительная техника. - 2003. - № 1. - С. 19-23.
